1、第第 2 课时课时 等比数列前等比数列前 n 项和公式的应用项和公式的应用 1某森林原有木材量为 a m3，每年以 25%的速度增长，5 年后，这片森林共有木材量( ) Aa(125%)5 Ba(125%)4 C4a 5 4 51 Da(125%)6 答案 A 解析 森林中原有木材量为 a，一年后为 a(125%)，两年后为 a(125%)2，五年后为 a(125%)5. 2某地为了保持水土资源实行退耕还林，如果 2018 年退耕 a 万亩，以后每年比上一年增加 10%，那么到 2025 年一共退耕( ) A10a(1.181)万亩 Ba(1.181)万亩 C10a(1.171)万亩 Da(1
2、.171)万亩 答案 A 解析 记 2018 年为第一年，第 n 年退耕 an万亩， 则an为等比数列，且 a1a，公比 q110%， 则问题转化为求数列an的前 8 项和， 所以数列an的前 8 项和为a11q 8 1q a11.1 8 11.1 10a(1.181) 所以到 2025 年一共退耕 10a(1.181)万亩 3我国工农业总产值从 1997 年到 2017 年的 20 年间翻了两番，设平均每年的增长率为 x， 则有( ) A(1x)194 B(1x)203 C(1x)202 D(1x)204 答案 D 解析 设 1997 年总产值为 1，由于我国工农业总产值从 1997 年到
3、2017 年的 20 年间翻了两 番，说明 2017 年的工农业总产值是 1997 年工农业总产值的 4 倍，则(1x)204. 4某人的月工资由基础工资和绩效工资组成，2010 年每月的基础工资为 2 100 元、绩效工资 为 2 000 元从 2011 年起每月基础工资比上一年增加 210 元、绩效工资为上一年的 110%.照 此推算，此人 2021 年的年薪为(结果精确到 0.1)( ) A9.3 万元 B10.4 万元 C12.14 万元 D14 万元 答案 C 解析 由题意可得，基础工资是以 2 100 元为首项，以 210 元为公差的等差数列，绩效工资 以 2 000 元为首项，以
4、 1.1 为公比的等比数列， 则此人 2021 年每月的基础工资为 2 100210(121)4 410(元)，每月的绩效工资为 2 000 1.1115 706.23(元)， 则此人 2021 年的年薪为 12(4 4105 706.23)12.14(万元) 5刚上班不久的小明于 10 月 5 日在某电商平台上通过零首付购买了一部售价 6 000 元的手 机，约定从下月 5 日开始，每月 5 日按等额本息(每期以相同的额度偿还本金和利息)还款 a 元， 1年还清； 其中月利率为0.5%， 则小明每月还款数a(精确到个位， 参考数据： 1.005111.056； 1.005121.062；1.
5、005131.067)( ) A488 元 B500 元 C514 元 D602 元 答案 C 解析 由题意知小明第 1 次还款 a 元后，还欠本金及利息为6 000(10.5%)a元， 第 2 次还款 a 元后，还欠本金及利息为6 000(10.5%)2a(10.5%)a元， 第 3 次还款 a 元后，还欠本金及利息为 6 000(10.5%)3a(10.5%)2a(10.5%)a元， 以此类推，则第 12 次还款 a 元后，还欠本金及利息为 6 000(10.5%)12a(10.5%)11a(10.5%)a元， 此时已全部还清，则 6 000(10.5%)12a(10.5%)11a(10.
6、5%)a0， 即 6 000(10.5%)12a110.5% 12 110.5% ， 解得 a6 0000.0051.005 12 1.005121 301.062 0.062 514(元) 6某厂去年的产值记为 1.若计划在今后五年内每年的产值比上年增长 10%，则从今年起到 第五年这五年内，这个厂的总产值约为_(保留一位小数，取 1.151.6) 答案 6.6 解析 由题意可知，第一年要比上年增长 10%， 那么第一年产值就是 110%1.1， 第二年又比第一年增加 10%， 所以第二年产值是 1.12， ， 以此类推，第五年产值是 1.15， 总产量为 1.11.121.151.111.
7、1 5 11.1 110.66.6. 7农民收入由工资收入和其他收入两部分构成.2015 年某地区农民人均收入为 13 150 元(其 中工资收入为 7 800 元，其他收入为 5 350 元)预计该地区自 2016 年起的 6 年内，农民的工 资收入将以每年 6%的年增长率增长，其他收入每年增加 160 元根据以上数据，2021 年该 地区农民人均收入约为_元(其中 1.0641.26，1.0651.34,1.0661.42) 答案 17 386 解析 农民人均收入来源于两部分， 一是工资收入为 7 800(16%)67 8001.06611 076(元), 二是其他收入为 5 350616
8、06 310(元)， 因此，2021 年该地区农民人均收入为 11 0766 31017 386(元) 8小明打算从 2018 年起，每年的 1 月 1 日到银行存入 a 元的一年期定期储蓄，若年利率为 p，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期.2019 年 1 月 1 日小明去 银行继续存款 a 元后， 他的账户中一共有_元； 到 2022 年的 1 月 1 日不再存钱且将所 有的存款和利息全部取出，则可取回_元(写化简后结果) 答案 ap2a a p(1p) 5(1p) 解析 依题意，2019 年 1 月 1 日存款 a 元后，帐户中一共有 a(1p)a(ap2a)元；
9、 银行利息为单利计息，故 2022 年 1 月 1 日可取出钱的总数为 a(1p)4a(1p)3a(1p)2a(1p)， a 1p11p4 11p a p(1p) 5(1p) 9王某 2017 年 12 月 31 日向银行贷款 100 000 元，银行贷款年利率为 5%，若此贷款分十年 还清(2027 年 12 月 31 日还清)，每年年底等额还款(每次还款金额相同)，设第 n 年末还款后 此人在银行的欠款额为 an元 (1)设每年的还款额为 m 元，请用 m 表示出 a2； (2)求每年的还款额(精确到 1 元) 解 (1)由题意得，a2100 000(15%)2m(15%)m110 250
10、2.05m. (2)因为 100 000(15%)101.059m1.058mm， 所以 100 0001.0510m11.05 10 11.05 ，解得 m12 950. 10某地今年年初有居民住房面积为 a m2，其中需要拆除的旧房面积占了一半，当地有关部 门决定每年以当年年初住房面积的 10%的住房增长率建设新住房， 同时每年拆除 x m2的旧住 房，又知该地区人口年增长率为 4.9. (1)如果 10 年后该地区的人均住房面积正好比目前翻一番，那么每年应拆除的旧住房面积 x 是多少？ (2)依照(1)的拆房速度，共需多少年能拆除所有需要拆除的旧房？ 注：下列数据供计算时参考： 1.19
11、2.36 1.004 991.04 1.1102.6 1.004 9101.05 1.1112.85 1.004 9111.06 解 (1)设今年人口为 b 人，则 10 年后人口为 b(14.9)101.05b. 1 年后的住房面积为 a(110%)x1.1ax， 2 年后的住房面积为(1.1ax)(110%)x1.12a1.1xx1.12ax(11.1)， 3 年后的住房面积为(1.12a1.1xx)(110%)x1.13ax(11.11.12)， 10 年后的住房面积 a1.110 x(11.11.121.19)2.6ax 111.110 11.1 2.6a16x. 所以2.6a16x
12、1.05b 2a b.解得 x a 32. (2)全部拆除旧房还需1 2a a 3216(年) 11 九章算术第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通 常称递减的比例为“衰分比”如：已知 A，B，C 三人分配奖金的衰分比为 20%，若 A 分 得资金 1 000 元，则 B，C 所分得资金分别为 800 元和 640 元某科研所四位技术人员甲、 乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励 68 780 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比” 分配资金，且甲与丙共获得资金 36 200 元，则“衰分比”与丁所获得的资金分别为( ) A20%,14 580 元 B10%,14
13、580 元 C20%,10 800 元 D10%,10 800 元 答案 B 解析 设“衰分比”为 q， 甲获得的奖金为 a1， 则 a1a1(1q)a1(1q)2a1(1q)368 780. a1a1(1q)236 200，解得 q0.1，a120 000， 故 a1(1q)314 580. 122016 年崇明区政府投资 8 千万元启动休闲体育新乡村旅游项目规划从 2017 年起，在 今后的若干年内， 每年继续投资 2 千万元用于此项目.2016 年该项目的净收入为 5 百万元， 并 预测在相当长的年份里，每年的净收入均在上一年的基础上增长 50%.记 2016 年为第 1 年， f(n)
14、为第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计利润(注：含第 n 年，累计利润累计净收入累计 投入，单位：千万元)，且当 f(n)为正值时，认为该项目赢利根据预测，该项目将从哪一年 开始并持续赢利( ) A2020 B2021 C2022 D2023 答案 D 解析 由题意知，第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计投入为 82(n1)2n6(千万元)， 第 1 年至此后第 n(nN*)年的累计净收入为1 2 1 2 3 2 11 2 3 2 21 2 3 2 n1 1 2 1 3 2 n 13 2 3 2 n1(千万元)， f(n) 3 2 n1(2n6) 3 2 n2n7(千万元) f(n1)
15、f(n) 3 2 n12n17 3 2 n2n7 1 2 3 2 n4 ，当 n3 时，f(n1)f(n)0，故当 n4 时，f(n)单调递减； 当 n4 时，f(n1)f(n)0，故当 n4 时，f(n)单调递增 又 f(1)15 2 0，f(7) 3 2 721172140，f(8) 3 2 823252320. 该项目将从第 8 年开始并持续赢利 该项目将从 2023 年开始并持续赢利 13某病毒研究所为了更好地研究“新冠”病毒，计划改建十个实验室，每个实验室的改建 费用分为装修费和设备费，每个实验室的装修费都一样，设备费从第一到第十实验室依次构 成等比数列， 已知第五实验室比第二实验室
16、的设备费用高 42 万元， 第七实验室比第四实验室 的设备费用高 168 万元，并要求每个实验室改建费用不能超过 1 700 万元则该研究所改建 这十个实验室投入的总费用最多需要( ) A3 233 万元 B4 706 万元 C4 709 万元 D4 808 万元 答案 C 解析 设每个实验室的装修费用为 x 万元，设备费为 an万元(n1,2,3，10)， 则 a5a242， a7a4168， 所以 a1q4a1q42， a1q6a1q3168， 解得 a13， q2. 故 a10a1q91 536. 依题意 x1 5361 700，即 x164. 所以总费用为 10 xa1a2a1010
17、x312 10 12 10 x3 0694 709 万元 14程先生买了一套总价为 80 万元的住房，首付 30 万元，其余 50 万元向银行申请贷款，贷 款月利率 0.5%，从贷款后的第一个月后开始还款，每月还款数额相等，30 年还清问程先 生每月应还款_元(精确到 0.01 元)(参考数据 1.0053606.022 6) (注：如果上个月欠银行贷款 a 元，则一个月后，程先生应还给银行固定数额 x 元，此时贷款 余额为 a(10.5)%x 元) 答案 2 997.75 解析 设程先生在第 n 个月时还欠银行贷款 an万元，每月固定还款 x 万元，则 anan1(10.5%)x，a050，
18、 ank1.005(an1k)， an1.005an10.005k. 所以 k200 x，an200 x是公比为 1.005 的等比数列， 即 an200 x(a0200 x) 1.005n. 由 a3600 得 0200 x(50200 x) 1.005360. 利用计算器可以求得 x0.299 775，即每月还款 2 997.75 元 15对年利率为 r 的连续复利，要在 x 年后达到本利和 A，则现在投资值为 BAe rx，e 是自 然对数的底数如果项目 P 的投资年利率为 r6%的连续复利 (1)现在投资 5 万元，则满 10 年的本利和约为_；(精确到 0.1 万元) (2)一个家庭
19、为刚出生的孩子设立创业基金，若每年初一次性给项目 P 投资 2 万元，那么，至 少满_年基金共有本利和超过一百万元(精确到 1 年) 答案 (1)9.1 万元 (2)23 解析 (1)由题意：5Ae 6%n，A5 e6%n. 当 n10 时，本利和为 A5 e6%n5 e0.69.1(万元) (2)由题意得 B2.设 n 年后共有本利和超过一百万元，则 n 年后： 第一年年初的投资所得为 A12 e6%n. 第二年年初的投资所得为 A22 e6%(n 1) 以此类推：第 n 年年初的投资所得为 An2 e6%. 则满 n 年后，基金共有本利和为 A1A2An2 e6%n2 e6%(n 1)2
20、e6%e 6%1e6%n 1e6% 2. 由题意得e 6%1e6%n 1e6% 2100， n 6% e log 15050 e 6% e6% ， n22.7. 故至少满 23 年基金共有本利和超过一百万元 16 贺先生想向银行贷款买辆新能源车， 银行可以贷给贺先生N元， 一年后需要一次性还1.02N 元 (1)贺先生发现一个投资理财方案：每个月月初投资 m 元，共投资一年，每月的月收益率达到 1%，于是贺先生决定贷款 12m 元，按投资方案投资，求 m 的值，使得贺先生用最终投资所 得的钱还清贷款后，还有 120 000 的余额去旅游(精确到 0.01 元)； (2)贺先生又发现一个投资方案
21、：第 k 个月月初投资 km 元(k1,2，12)，共投资一年，每 月的月收益率达到 1%， 则贺先生应贷款多少， 使得用最终投资所得的钱还清后， 还有 120 000 的余额去旅游(精确到 0.01 元) (参考数据 1.01121.126 825 030 1,1.01131.138 093 280 4,1.01141.149 474 213 2) 解 (1)由题意得：m(11%)12(11%)11(11%)12m1.02120 000， 可知(11%)，(11%)2，(11%)12成等比数列， 根据等比数列前 n 项和公式得 (11%)12(11%)11(11%)1.0111.01 12
22、11.01 ， m1.0111.01 12 11.01 12.24m120 000， 解得 m210 774.79. (2)由题意设共贷款11212m 2 78m(元)， 则 m1(11%)122(11%)1112(11%)78m1.02120 000， 令 S121(11%)122(11%)1112(11%)， 则 S12121.01111.012101.01311.0112， 1.01 得 101S12121.012111.013101.01411.0113， 得0.01S12121.01(11.01211.01311.0113)， S12121011.01 141.012 0.010.01， m 121011.01 141.012 0.010.01 78m1.02120 000， 解得 2.182 132m120 000， m54 992.09， 78m4 289 383.04， 故贺先生应贷款 4 289 383.04 元， 才能使得用最终投资所得的钱还清后， 还有 120 000 的余额 去旅游