1、 5.2 导数的运算导数的运算 5.2.1 基本初等函数的导数基本初等函数的导数 1下列求导运算正确的是( ) A(cos x)sin x B(x3)x3ln x C(ex)xex 1 D(ln x) 1 xln 10 答案 A 2下列各式中正确的个数是( ) (x7)7x6；(x 1)x2；(5 x2) 3 5 2 ; 5 x (cos 2)sin 2. A2 B3 C4 D5 答案 A 解析 (x 1)x2； (cos 2)0. 错误，故选 A. 3已知函数 f(x)x(Q，且 0)，若 f(1)4，则 的值等于( ) A4 B4 C5 D5 答案 A 解析 f(x)x 1，f(1)(1)
2、14， a4. 4若函数 f(x)cos x，则 f 4 f 4 的值为( ) A0 B1 C1 D2 答案 A 解析 f(x)sin x， 所以 f 4 f 4 sin 4cos 40. 5(多选)已知曲线 yx3在点 P 处的切线斜率为 k，则当 k3 时的 P 点坐标为( ) A(1,1) B(1，1) C(1,1) D(1，1) 答案 BC 解析 y3x2，因为 k3，所以 3x23，所以 x 1，则 P 点坐标为(1，1)或(1,1) 6已知cf(x)cf(x)，其中 c 为常数若 f(x)ln 5log5x，则曲线 f(x)在点 A(1,0)处的切线 方程为 答案 xy10 解析
3、由已知得 f(x)ln 5 1 xln 5 1 x， 所以 f(1)1，在 A 点处的切线方程为 xy10. 7若曲线 y x在点 P(a， a)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，则实数 a 的值 是 答案 4 解析 因为 y 1 2 x， 所以切线方程为 y a 1 2 a(xa)， 令 x0，得 y a 2 ，令 y0，得 xa， 由题意知1 2 a 2 a2，所以 a4. 8设曲线 yex在点(0,1)处的切线与曲线 y1 x(x0)上点 P 处的切线垂直，则点 P 的坐标 为 答案 (1,1) 解析 设 f(x)ex， 则 f(x)ex， 所以 f(0)1.设 g(x)1 x
4、(x0)， 则 g(x) 1 x2. 由题意可得 g(xP)1，解得 xP1. 所以 P(1,1) 9点 P 是曲线 yex上任意一点，求点 P 到直线 yx 的最小距离 解 如图，当曲线 yex在点 P(x0，y0)处的切线与直线 yx 平行时，点 P 到直线 yx 的距 离最近 则曲线 yex在点 P(x0，y0)处的切线斜率为 1，又 y(ex)ex， 所以 0 ex1，得 x00， 代入 yex，得 y01，即 P(0,1) 利用点到直线的距离公式得最小距离为 2 2 . 10已知抛物线 yx2，求过点 1 2，2 且与抛物线相切的直线方程 解 设直线的斜率为 k，直线与抛物线相切的切
5、点坐标为(x0，y0)，则直线方程为 y2 k x1 2 ， 因为 y2x，所以 k2x0， 又点(x0，x20)在切线上， 所以 x2022x0 x01 2 ， 所以 x01 或 x02，则 k2 或 k4， 所以直线方程为 y22 x1 2 或 y24 x1 2 ， 即 2xy10 或 4xy40. 11已知函数 f(x)x3在某点处的切线的斜率等于 1，则这样的切线有( ) A1 条 B2 条 C多于 2 条 D不能确定 答案 B 解析 yf(x)3x2， 设切点为(x0，x30)， 由 3x201，得 x0 3 3 ， 即在点 3 3 ， 3 9 和点 3 3 ， 3 9 处均有斜率为
6、 1 的切线，故有 2 条 12若曲线 yx1(Q 且 0)在点(1,2)处的切线经过原点，则 . 答案 2 解析 yx 1，所以 y| x1，所以切线方程为 y2(x1)，即 yx2，该直 线过点(0,0)，所以 2. 13已知 f(x)cos x，g(x)x，则关于 x 的不等式 f(x)g(x)0 的解集为 答案 x x 22k，kZ 解析 f(x)sin x，g(x)1， 由 f(x)g(x)0，得sin x10， 即 sin x1，则 sin x1， 解得 x 22k，kZ， 其解集为 x x 22k，kZ . 14 设 f0(x)sin x， f1(x)f0(x)， f2(x)f1
7、(x)， ， fn1(x)fn(x)， nN， 则 f2 020(x) . 答案 sin x 解析 由已知得，f1(x)cos x，f2(x)sin x， f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，依次类推可得，函数呈周期变化，且周期为 4， 则 f2 020(x)f4(x)sin x. 15函数 yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 ak1，其中 kN*， 若 a116，则 a1a3a5的值是 答案 21 解析 y2x，yx2(x0)的图象在点(ak，a2k)处的切线方程为 ya2k2ak(xak) 又该切线与 x 轴的交点坐标为(ak1,0)， ak11 2ak，即数列ak是首项为 a116，公比为 q 1 2的等比数列， a34，a51，a1a3a521. 16设曲线 yxn 1(nN*)在点(1,1)处的切线与 x 轴的交点的横坐标为 x n，令 anlg xn，求 a1a2a99的值 解 导函数 y(n1)xn，切线斜率 ky|x1n1，所以切线方程为 y(n1)xn，可 求得切线与 x 轴的交点为 n n1，0 ，则 anlg n n1lg nlg(n1)，所以 a1a2a99 (lg 1lg 2)(lg 2lg 3)(lg 99lg 100)lg 1lg 1002.