1、5.2.3 简单复合函数的导数简单复合函数的导数 1(多选)下列函数是复合函数的是( ) Ayx31 x1 Bycos x 4 Cy 1 ln x Dy(2x3)4 答案 BCD 解析 A 不是复合函数，B，C，D 均是复合函数， 其中 B 由 ycos u，ux 4复合而成； C 由 y1 u，uln x 复合而成； D 由 yu4，u2x3 复合而成 2函数 yxln(2x5)的导数为( ) Aln(2x5) x 2x5 Bln(2x5) 2x 2x5 C2xln(2x5) D. x 2x5 答案 B 解析 yxln(2x5)， yln(2x5) 2x 2x5. 3函数 yx3ecos x
2、的导数为( ) Ay3x2ecos xx3ecos x By3x2ecos xx3ecos xsin x Cy3x2ecos xx3esin x Dy3x2ecos xx3ecos xsin x 答案 B 解析 y(x3)ecos xx3(ecos x)3x2ecos xx3ecos x (cos x)3x2ecos xx3ecos xsin x. 4曲线 yxex 1在点(1,1)处切线的斜率等于( ) A2e Be C2 D1 答案 C 解析 yxex 1，yex1xex1， ky|x1e0e02，故选 C. 5已知直线 yx1 与曲线 yln(xa)相切，则 a 的值为( ) A1 B2
3、 C1 D2 答案 B 解析 设切点坐标是(x0，x01)， 依题意有 1 x0a1， x01lnx0a， 由此得 x010，x01，a2. 6函数 ysin 2xcos 3x 的导数是 答案 y2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x 解析 ysin 2xcos 3x， y(sin 2x)cos 3xsin 2x(cos 3x)2cos 2xcos 3x3sin 2xsin 3x. 7已知函数 f(x)的导函数为 f(x)，若 f(x)f 9 sin 3xcos 3x，则 f 9 . 答案 3 3 解析 f(x)f 9 sin 3xcos 3x， f(x)f 9 3cos 3x3
4、sin 3x， 令 x 9可得 f 9 f 9 3cos 33sin 3 3 2 f 9 3 3 2 ， 解得 f 9 3 3. 8点 P 是 f(x)(x1)2上任意一点，则点 P 到直线 yx1 的最短距离是 ，此时点 P 的坐标为 答案 7 2 8 1 2， 1 4 解析 与直线 yx1 平行的 f(x)(x1)2的切线的切点到直线 yx1 的距离最短 设切点为(x0，y0)， 则 f(x0)2(x01)1，x01 2，y0 1 4. 即 P 1 2， 1 4 到直线 yx1 的距离最短 d 1 2 1 41 1212 7 2 8 . 9求下列函数的导数： (1)yln(exx2)； (
5、2)y102x 3； (3)ysin4xcos 4x. 解 (1)令 uexx2，则 yln u. yxyu ux1 u (e xx2) 1 exx2 (e x2x)e x2x exx2. (2)令 u2x3，则 y10u， yxyu ux10u ln 10 (2x3)2102x 3ln 10. (3)ysin4xcos4x(sin2xcos2x)22sin2 x cos2 x11 2sin 2 2x11 4(1cos 4x) 3 4 1 4cos 4x. ysin 4x. 10曲线 yesin x在点(0,1)处的切线与直线 l 平行，且与 l 的距离为 2，求直线 l 的方程 解 yesi
6、n x， yesin xcos x， y|x01. 曲线 yesin x在点(0,1)处的切线方程为 y1x，即 xy10. 又直线 l 与 xy10 平行， 故直线 l 可设为 xym0. 由 |m1| 112 2得 m1 或 3. 直线 l 的方程为 xy10 或 xy30. 11曲线 ye 2x1 在点(0,2)处的切线与直线 y0 和 yx 围成的三角形的面积为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D1 答案 A 解析 依题意得 ye 2x (2)2e2x， y|x02e 202. 所以曲线 ye 2x1 在点(0,2)处的切线方程是 y22x， 即 y2x2.在坐标系中作出
7、直线 y2x2，y0 与 yx 的图象，如图所示 因为直线 y2x2 与 yx 的交点坐标是 2 3， 2 3 ， 直线 y2x2 与 x 轴的交点坐标是(1,0)， 所以结合图象可得， 这三条直线所围成的三角形的面积为1 21 2 3 1 3. 12(多选)已知点 P 在曲线 y 4 ex1上， 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角，则 的取值可 以是( ) A. 4 B. 2 C. 3 4 D. 7 8 答案 CD 解析 因为 y 4 ex1， 所以 y 4ex ex12 4ex e2x2ex1 4 ex1 ex2 . 因为 ex0， 所以 ex1 ex2(当且仅当 x0 时取等号)， 所以
8、y1,0)， 所以 tan 1,0) 又因为 0，)， 所以 3 4 ， . 13设函数 f(x)cos( 3x)(0)，若 f(x)f(x)是奇函数，则 . 答案 6 解析 f(x) 3sin( 3x)， f(x)f(x)cos( 3x) 3sin( 3x)， 令 g(x)cos( 3x) 3sin( 3x)， 其为奇函数， g(0)0，即 cos 3sin 0， tan 3 3 ， 又 0， 6. 14已知 f(x)为偶函数，当 x0 时，f(x)ln(x)3x，则曲线 yf(x)在点(1，3)处的切线 方程是 答案 y2x1 解析 设 x0，则x0，f(x)ln x3x， 又 f(x)为
9、偶函数，所以 f(x)ln x3x， f(x)1 x3，f(1)2， 所以切线方程为 y2x1. 15已知 f 1 x x 1x，则 f(x)等于( ) A. 1 1x B 1 1x C. 1 1x2 D 1 1x2 答案 D 解析 由 f 1 x x 1x 1 1 x1 ， 得 f(x) 1 x1， 从而 f(x) 1 1x2，故选 D. 16(1)已知 f(x)exsin x，求 f(x)及 f 1 2 ； (2)在曲线 y 1 1x2上求一点，使过该点的切线平行于 x 轴，并求切线方程 解 (1)f(x)exsin x， f(x)exsin xexcos x ex(sin xcos x) f 1 2 2 esin+cos 22 2 e . (2)设切点坐标为 P(x0，y0)， 由题意可知 0 = |0. x x y 又 y 2x 1x22， 0 = |x xy 2x0 1x2020. 解得 x00，此时 y01. 即该点的坐标为 P(0,1)，切线方程为 y10.