1、第第 2 课时课时 等差数列前等差数列前 n 项和的性质及应用项和的性质及应用 1在等差数列an中，a11，其前 n 项和为 Sn，若S8 8 S6 62，则 S10 等于( ) A10 B100 C110 D120 答案 B 解析 an是等差数列，a11， Sn n 也是等差数列且首项为S1 11. 又S8 8 S6 6 2， Sn n 的公差是 1， S10 101(101)110， S10100. 2若等差数列an的前 m 项的和 Sm为 20，前 3m 项的和 S3m为 90，则它的前 2m 项的和 S2m 为( ) A30 B70 C50 D60 答案 C 解析 等差数列an中，Sm
2、，S2mSm，S3mS2m也成等差数列， 2(S2mSm)SmS3mS2m， 2(S2m20)2090S2m， S2m50. 3已知数列2n19，那么这个数列的前 n 项和 Sn( ) A有最大值且是整数 B有最小值且是整数 C有最大值且是分数 D无最大值和最小值 答案 B 解析 易知数列2n19的通项 an2n19， a117，d2. 该数列是递增等差数列 令 an0，得 n91 2. a1a2a3a90a10S7S5，下列判断正确的是( ) Ad0 CS12S7， a7S5， a6a70， a60，d0，B 正确； S1212 2 (a1a12)6(a6a7)0，C 不正确； 数列Sn中最
3、大项为 S6，D 不正确 故正确的选项是 AB. 5在等差数列an中，Sn是其前 n 项和，且 S2 011S2 018，SkS2 009，则正整数 k 为( ) A2 017 B2 018 C2 019 D2 020 答案 D 解析 因为等差数列的前 n 项和 Sn是关于 n 的二次函数， 所以由二次函数的对称性及 S2 011S2 018，SkS2 009， 可得2 0112 018 2 2 009k 2 ， 解得 k2 020. 6已知在等差数列an中，公差 d1，且前 100 项和为 148，则前 100 项中的所有偶数项的 和为_ 答案 99 解析 由题意，得 S奇S偶148， S偶
4、S奇50d50， 解得 S偶99. 7 已知在等差数列an中， Sn为其前 n 项和， 已知 S39， a4a5a67， 则 S9S6_. 答案 5 解析 S3，S6S3，S9S6成等差数列， 而 S39，S6S3a4a5a67， S9S65. 8已知等差数列an的前 n 项和为 Sn,7a55a90，且 a9a5，则 Sn取得最小值时 n 的值为 _ 答案 6 解析 由 7a55a90，得a1 d 17 3 . 又 a9a5，所以 d0，a10. 因为函数 yd 2x 2 a1d 2 x 的图象的对称轴为 x1 2 a1 d 1 2 17 3 37 6 ，取最接近的整数 6，故 Sn取得最小
5、值时 n 的值为 6. 9已知在等差数列an中，a19，a4a70. (1)求数列an的通项公式； (2)当 n 为何值时，数列an的前 n 项和取得最大值？ 解 (1)由 a19，a4a70， 得 a13da16d0，解得 d2， ana1(n1) d112n. (2)方法一 a19，d2， Sn9nnn1 2 (2)n210n (n5)225， 当 n5 时，Sn取得最大值 方法二 由(1)知 a19，d20；当 n6 时，an5 时，an0； 当 n5 时，an0； 当 n0. 当 n5 时，Tn|a1|a2|an| a1a2an9nn2. 当 n5 时，Tn|a1|a2|an| a1a
6、2a5(a6a7an) S5(SnS5)2S5Sn 2(9525)9nn2n29n40， Tn 9nn2，n5，nN*， n29n40，n6，nN*. 11若数列an的前 n 项和是 Snn24n2，则|a1|a2|a10|等于( ) A15 B35 C66 D100 答案 C 解析 易得 an 1，n1， 2n5，n2. |a1|1，|a2|1，|a3|1， 令 an0，则 2n50， n3. |a1|a2|a10| 11a3a10 2(S10S2) 2(1024102)(22422)66. 12 已知等差数列an的前 n 项和为 Sn， a211， S15 15 S7 7 8， 则 Sn取
7、最大值时的 n 为( ) A6 B7 C8 D9 答案 B 解析 设数列an是公差为 d 的等差数列， 则 Sn n 是公差为d 2的等差数列 因为S15 15 S7 78， 故可得 8d 28，解得 d2； 则 a1a2d13， 则 Snn214n(n7)249， 故当 n7 时，Sn取得最大值 13 已知 Sn， Tn分别是等差数列an， bn的前 n 项和， 且Sn Tn 2n1 4n2(nN *)， 则 a10 b3b18 a11 b6b15 _. 答案 41 78 解析 因为 b3b18b6b15b10b11，所以 a10 b3b18 a11 b6b15 a10a11 b10b11
8、10a10a11 10b10b11 S20 T20 2201 4202 41 78. 14已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且S4 S8 1 3，那么 S8 S16_. 答案 3 10 解析 设 S4k，S83k，由等差数列的性质得 S4，S8S4，S12S8，S16S12构成等差数列 所以 S8S42k，S12S83k，S16S124k. 所以 S126k，S1610k. S8 S16 3 10. 15设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为 44，偶数项之和为 33，则这个数列的中间项是 _，项数是_ 答案 11 7 解析 设等差数列an的项数为 2n1(nN*)， S奇a1a3a2n1
9、 n1a1a2n 1 2 (n1)an1， S偶a2a4a6a2n na2a2n 2 nan1， 所以S 奇 S偶 n1 n 44 33， 解得 n3，所以项数 2n17，S奇S偶an1， 即 a4443311，为所求的中间项 16已知数列an的前 n 项和为 Sn，an0，a12,6Sn(an1)(an2) (1)求证：an是等差数列； (2)令 bn 3 anan1，数列bn的前 n 项和为 Tn，求证：Tn0，所以 anan13， 所以数列an是公差为 3 的等差数列 (2)当 n1 时，6S1(a11)(a12)， 解得 a11 或 a12， 因为 a12，所以 a11， 由(1)可知 anan13，即公差 d3， 所以 ana1(n1)d1(n1)33n2， 所以 bn 3 anan1 3 3n23n1 1 3n2 1 3n1， 所以 Tn11 4 1 4 1 7 1 3n2 1 3n1 1 1 3n11.