1、 4.4 数学归纳法数学归纳法 1用数学归纳法证明 3nn3(n3，nN)，第一步应验证( ) An1 Bn2 Cn3 Dn4 答案 C 解析 由题意知，n 的最小值为 3， 所以第一步验证 n3 是否成立 2 已知 n 为正偶数， 用数学归纳法证明 11 2 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 n2 1 n4 1 2n 时，若已假设 nk(k2)为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证( ) Ank1 时等式成立 Bnk2 时等式成立 Cn2k2 时等式成立 Dn2(k2)时等式成立 答案 B 解析 因为已知 n 为正偶数， 故当 nk 时，下一个偶数为 k2. 3某个命题与正整数有关，
2、如果当 nk(kN*)时，该命题成立，那么可推得当 nk1 时， 该命题也成立现在已知当 n5 时，该命题成立，那么可推导出( ) A当 n6 时命题不成立 B当 n6 时命题成立 C当 n4 时命题不成立 D当 n4 时命题成立 答案 B 4用数学归纳法证明不等式 1 n1 1 n2 1 nn 13 24(nN *)的过程中，由 nk 到 nk 1 时，不等式左边的变化情况为( ) A增加 1 2k1 B增加 1 2k1 1 2k1 C增加 1 2k1 1 2k2，减少 1 k1 D增加 1 2k1，减少 1 k1 答案 C 5在数列an中，a12，an1 an 3an1(nN *)，依次计
3、算 a 2，a3，a4归纳推测出数列an的 通项公式为( ) A. 2 4n3 B. 2 6n5 C. 2 4n3 D. 2 2n1 答案 B 解析 a12，a22 7，a3 2 13，a4 2 19， 可推测 an 2 6n5. 6设 f(n)11 2 1 3 1 3n1(nN *)，那么 f(n1)f(n) . 答案 1 3n 1 3n1 1 3n2 解析 注意末项与首项，所以 f(n1)f(n) 1 3n 1 3n1 1 3n2. 7证明：假设当 nk(kN*)时等式成立，即 242kk2k，那么 242k2(k 1)k2k2(k1)(k1)2(k1)，即当 nk1 时等式也成立因此对于
4、任意 nN* 等式都成立 以上用数学归纳法证明“242nn2n(nN*)”的过程中的错误为 答案 缺少步骤归纳奠基 8已知 Sn 1 13 1 35 1 57 1 2n12n1，nN *，则 S 1 ，S2 ，S3 ，S4 ，猜想 Sn . 答案 1 3 2 5 3 7 4 9 n 2n1 解析 当 n1 时，S11 3； 当 n2 时，S22 5； 当 n3 时，S33 7； 当 n4 时，S44 9. 观察猜想得 Sn n 2n1. 9证明：1 2 1 22 1 23 1 2n 1 1 2n1 1 2n(nN *) 证明 (1)当 n1 时，左边1 2， 右边11 2 1 2，等式成立 (
5、2)假设当 nk(k1，kN*)时， 等式成立，即1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k1 1 2k， 那么当 nk1 时， 左边1 2 1 22 1 23 1 2k 1 1 2k 1 2k 11 1 2k 1 2k 1121 2k 11 1 2k 1. 所以当 nk1 时，等式也成立 根据(1)和(2)，可知等式对任意 nN*都成立 10求证： 1 n1 1 n2 1 3n 5 6(n2，nN *) 证明 (1)当 n2 时， 左边1 3 1 4 1 5 1 6 57 60 5 6， 不等式成立 (2)假设当 nk(k2，kN*)时不等式成立，即 1 k1 1 k2 1 3k 5
6、 6. 则当 nk1 时， 1 k11 1 k12 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 1 k2 1 3k 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 1 3k1 1 3k2 1 3k3 1 k1 5 6 3 1 3k3 1 k1 5 6. 所以当 nk1 时不等式也成立 由(1)(2)可知，原不等式对一切 n2，nN*都成立 11对于不等式 n2nn1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下： (1)当 n1 时， 12111，不等式成立 (2)假设当 nk(k1 且 kN*)时，不等式成立，即k2kk1，则当 nk1 时， k12k1 k23k2 k23k
7、2k2 k22(k1)1， 当 nk1 时，不等式成立，则上述证法( ) A过程全部正确 Bn1 验证不正确 C归纳假设不正确 D从 nk 到 nk1 的推理不正确 答案 D 解析 在 nk1 时，没有应用 nk 时的归纳假设，不是数学归纳法 12记凸 k 边形的内角和为 f(k)，则凸 k1 边形的内角和 f(k1)f(k) . 答案 解析 由凸 k 边形变为凸 k1 边形时，增加了一个三角形图形，故 f(k1)f(k). 13 已知 f(n)11 2 1 3 1 n(nN *)， 用数学归纳法证明 f(2n)n 2时， f(2 k1)f(2k) . 答案 1 2k1 1 2k2 1 2k
8、1 解析 f(2k 1)11 2 1 3 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 2k 1 f(2k) 1 2k1 1 2k2 1 2k 1， f(2k 1)f(2k) 1 2k1 1 2k2 1 2k 1. 14用数学归纳法证明 34n 152n1(nN)能被 8 整除，当 nk1 时，34(k1)152(k1)1应 变形为 答案 81(34k 152k1)5652k1(或 25(34k152k1)5634k1) 解析 34(k 1)152(k1)134k552k38134k12552k18134k18152k1 5652k 181(34k152k1)5652k1. 15 在平面内有 n 条直
9、线， 其中每两条直线相交于一点， 并且每三条直线都不相交于同一点 则 这 n 条直线将它们所在的平面分成 个区域 答案 n2n2 2 (n2，nN*) 解析 (1)n2 时，两条直线相交把平面分成 4 个区域，命题成立 (2)假设当 nk(k2，kN*)时，k 条直线将平面分成k 2k2 2 块不同的区域 当 nk1 时，设其中的一条直线为 l，其余 k 条直线将平面分成k 2k2 2 块区域，直线 l 与 其余 k 条直线相交，得到 k 个不同的交点，这 k 个点将 l 分成 k1 段，每段都将它所在的区 域分成两部分，故新增区域为 k1 块 从而 k1 条直线将平面分成k 2k2 2 k1
10、k1 2k12 2 块区域 所以 nk1 时命题也成立 由(1)(2)可知，原命题成立 16试比较 2n2 与 n2的大小(nN*)，并用数学归纳法证明你的结论 解 当 n1 时，2124n21， 当 n2 时，2226n24， 当 n3 时，23210n29， 当 n4 时，24218n216， 由此可以猜想， 2n2n2(nN*)成立 下面用数学归纳法证明： (1)当 n1 时， 左边2124，右边1， 所以左边右边，所以原不等式成立 当 n2 时，左边2226， 右边224，所以左边右边； 当 n3 时，左边23210，右边329， 所以左边右边 (2)假设 nk 时(k3 且 kN*)时，不等式成立， 即 2k2k2. 那么 nk1 时，2k 122 2k22(2k2)22 k22. 又2k22(k1)2k22k3 (k3)(k1)0， 即 2k22(k1)2，故 2k 12(k1)2成立 根据(1)和(2)，原不等式对于任意 nN*都成立