1、第第 2 课时课时 等差数列的性质等差数列的性质 1 已知等差数列an的公差为 d(d0)， 且 a3a6a10a1332， 若 am8， 则 m 的值为( ) A12 B8 C6 D4 答案 B 解析 由等差数列的性质，得 a3a6a10a13(a3a13)(a6a10) 2a82a84a832， a88，又 d0，m8. 2已知数列an，bn为等差数列，且公差分别为 d12，d21，则数列2an3bn的公差 为( ) A7 B5 C3 D1 答案 D 解析 由于an，bn为等差数列，故数列2an3bn的公差 d(2an13bn1)(2an3bn) 2(an1an)3(bn1bn)2d13d
2、21. 3若等差数列an的首项 a15，am3，则 am2等于( ) A13 B3 4 m1 C3 2 m1 D5 2 m1 答案 B 解析 设等差数列an的公差为 d， 因为 a15，am3， 所以 dama1 m1 2 m1. 所以 am2am2d3 4 m13 4 m1. 4(多选)若an是等差数列，下列数列中仍为等差数列的是( ) A|an| Ban1an Cpanq(p，q 为常数) D2ann 答案 BCD 解析 数列1,1,3 是等差数列， 取绝对值后：1,1,3 不是等差数列，A 不成立 若an是等差数列，利用等差数列的定义， an1an为常数列， 故是等差数列，B 成立 若a
3、n的公差为 d， 则(pan1q)(panq)p(an1an)pd 为常数， 故panq是等差数列，C 成立 (2an1n1)(2ann)2(an1an)12d1， 故2ann是等差数列，D 成立 5已知等差数列an中，a2a5a89，那么关于 x 的方程 x2(a4a6)x100( ) A无实根 B有两个相等的实根 C有两个不等的实根 D不能确定有无实根 答案 A 解析 因为 a4a6a2a82a5，a2a5a83a59， 所以 a53， 则方程为 x26x100， 因为 6241040，所以方程无实根 6已知数列an是等差数列，若 a4a7a1017，a4a5a6a12a13a1477，则
4、 a15 _，若 ak15，则 k_. 答案 11 21 解析 a4a7a103a717，a717 3 . 又a4a5a13a1411a977， a97. 故 da9a7 97 717 3 2 2 3. a15a9(159)d762 311， aka9(k9)d15， 157(k9)2 3， k21. 7若三个数成等差数列，它们的和为 9，平方和为 59，则这三个数的积为_ 答案 21 解析 设这三个数为 ad，a，ad， 则 adaad9， ad2a2ad259. 解得 a3， d4 或 a3， d4. 这三个数为1,3,7 或 7,3，1. 它们的积为21. 8 若 a， b， c 成等差
5、数列， 则二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点的个数为_ 答案 1 或 2 解析 a，b，c 成等差数列， 2bac， 4b24ac(ac)24ac(ac)20. 二次函数 yax22bxc 的图象与 x 轴的交点个数为 1 或 2. 9在等差数列an中 (1)已知 a2a3a23a2448，求 a13； (2)已知 a2a3a4a534，a2 a552，求公差 d. 解 (1)根据已知条件 a2a3a23a2448， 得 4a1348，a1312. (2)由 a2a3a4a534， 得 2(a2a5)34，即 a2a517， 由 a2 a552， a2a517， 解得 a24，
6、 a513 或 a213， a54. da5a2 52 134 3 3 或 da5a2 52 413 3 3. 10四个数成递减等差数列，四个数之和为 26，第二个数与第三个数之积为 40.求这四个数 解 设这四个数为 a3d，ad，ad，a3d(公差为 2d)， 依题意，得 4a26， a2d240， 解得 a13 2 ， d3 2 或 a13 2 ， d3 2. 又四个数成递减等差数列，所以 d0 Bd0 Da1da1an，由等差 数列的公差为 d 知，anan1d，所以 a1an1a1ana1ana1an10a1(anan1)0a1d0 Ba2a1010， 则(a2d)(ad)a(ad)
7、(a2d)5a100，a20. 由1 7(aada2d)a2dad， 得 3a3d7(2a3d)， 24d11a，d55 6 ， 最小的一份为 a2d20110 6 5 3. 15 若关于 x 的方程 x2xm0 和 x2xn0(m， nR， 且 mn)的四个根组成首项为1 4的 等差数列，则数列的公差 d_，mn 的值为_ 答案 1 6 31 72 解析 设 x2xm0，x2xn0 的根分别为 x1，x2，x3，x4，则 x1x2x3x41(且 1 4m0,14n0) 设数列的首项为 x1，则根据等差数列的性质，数列的第 4 项为 x2.由题意知 x11 4， x23 4，数列的公差 d 3
8、 4 1 4 41 1 6， 数列的中间两项分别为1 4 1 6 5 12， 5 12 1 6 7 12. x1 x2m 3 16，x3 x4n 5 12 7 12 35 144. mn 3 16 35 144 31 72. 16已知两个等差数列an：5,8,11，与bk：3,7,11，它们的项数均为 100，则它们有 多少个彼此具有相同数值的项？ 解 由题意，知 an3n2(nN*)，bk4k1(kN*)， 两数列的共同项可由 3n24k1 求得， 所以 n4 3k1.而 nN *，kN*， 所以设 k3r(rN*)，得 n4r1. 由已知 13r100， 14r1100， 且 rN*，可得 1r25. 所以共有 25 个相同数值的项.