1、第第 2 课时课时 导数的几何意义导数的几何意义 1设 f(x0)0，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线( ) A不存在 B与 x 轴平行或重合 C与 x 轴垂直 D与 x 轴斜交 答案 B 解析 因为 f(x0)0，所以曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率为 0. 2已知曲线 y2x2上一点 A(2,8)，则在点 A 处的切线斜率为( ) A4 B16 C8 D2 答案 C 解析 ky|x2lim x0 22x2222 x 8. 3若曲线 f(x)x2的一条切线 l 与直线 x4y80 垂直，则 l 的方程为( ) A4xy40 Bx4y50 C4xy30 Dx4
2、y30 答案 A 解析 设切点为(x0，y0)， 因为 f(x)lim x0 xx2x2 x lim x0(2xx)2x. 由题意可知，切线斜率 k4， 即 f(x0)2x04，所以 x02. 所以切点坐标为(2,4)，切线方程为 y44(x2)， 即 4xy40，故选 A. 4 已知函数 f(x)满足 f(x1)0， f(x2)0，f(x2)0 可知，f(x)的图象在 x1处切线的斜率为正，在 x2处切线的斜率 为负 5(多选)下列各点中，在曲线 yx32x 上，且在该点处的切线倾斜角为 4的是( ) A(0,0) B(1，1) C(1,1) D(1,1) 答案 BC 解析 设切点坐标为(x
3、0，y0)， 则 0 = |x xylim x0 x0 x32x0 xx302x0 x 3x202tan 41， 所以 x0 1， 当 x01 时，y01. 当 x01 时，y01. 6已知函数 yf(x)在点(2,1)处的切线与直线 3xy20 平行，则 y|x2_. 答案 3 解析 因为直线 3xy20 的斜率为 3，所以由导数的几何意义可知 y|x23. 7已知 f(x)x2ax，f(1)4，曲线 f(x)在 x1 处的切线在 y 轴上的截距为1，则实数 a 的值为_ 答案 2 解析 由导数的几何意义，得切线的斜率为 kf(1)4. 又切线在 y 轴上的截距为1， 所以曲线 f(x)在
4、x1 处的切线方程为 y4x1， 从而可得切点坐标为(1,3)， 所以 f(1)1a3，即 a2. 8设 f(x)存在导函数，且满足lim x0 f1f12x 2x 1，则曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切 线斜率为_ 答案 1 解析 lim x0 f1f12x 2x lim x0 f12xf1 2x f(1)1. 9在抛物线 yx2上哪一点处的切线平行于直线 4xy10？哪一点处的切线垂直于这条 直线？ 解 ylim x0 xx2x2 x lim x0 (2xx)2x. 设抛物线上点 P(x0，y0)处的切线平行于直线 4xy10， 则 0 = |x xy2x04，解得 x02， 所以
5、 y0 x204，即 P(2,4)，经检验，符合题意 设抛物线上点 Q(x1，y1)处的切线垂直于直线 4xy10， 则 1 = |x xy2x11 4，解得 x1 1 8， 所以 y1x21 1 64，即 Q 1 8， 1 64 ，经检验，符合题意 故抛物线 yx2在点(2,4)处的切线平行于直线 4xy10，在点 1 8， 1 64 处的切线垂直于 直线 4xy10. 10已知直线 l1为曲线 yx2x2 在点(1,0)处的切线，l2为该曲线的另一条切线，且 l1l2， 求直线 l2的方程 解 因为 ylim x0 y x lim x0 xx2xx2x2x2 x 2x1， 所以 y|x13
6、， 所以直线 l1的方程为 y3(x1)，即 y3x3， 设直线 l2过曲线 yx2x2 上的点 P(x0，x20 x02)， 则直线 l2的方程为 y(x20 x02)(2x01)(xx0) 因为 l1l2，所以 2x011 3，x0 2 3， 所以直线 l2的方程为 3x9y220. 11若曲线 yx1 x上任意一点 P 处的切线斜率为 k，则 k 的取值范围是( ) A(，1) B(1,1) C(，1) D(1，) 答案 C 解析 yx1 x上任意一点 P(x0，y0)处的切线斜率为 k 0 = |x xylim x0 x0 x 1 x0 x x0 1 x0 x lim x0 1 1 x
7、20 x0 x 1 1 x201. 即 k1. 12已知函数 yax2b 在点(1,3)处的切线斜率为 2，则 a_，b_. 答案 1 2 解析 由题意知 ab3， 又 y|x1lim x0 a1x2bab x 2a2， a1，b2. 13若点 P 是抛物线 yx2上任意一点，则点 P 到直线 yx2 的最小距离为_ 答案 7 2 8 解析 由题意可得，当点 P 到直线 yx2 的距离最小时，点 P 为抛物线 yx2的一条切线 的切点，且该切线平行于直线 yx2，设 yf(x)x2，由导数的几何意义知 yf(x) lim x0 fxxfx x 2x1，解得 x1 2，所以 P 1 2， 1 4
8、 ，故点 P 到直线 yx2 的最小距离为 d 1 2 1 42 2 7 2 8 . 14若抛物线 yx2xc 上一点 P 的横坐标是2，在点 P 处的切线恰好过坐标原点，则实 数 c 的值为_ 答案 4 解析 ylim x0 y x2x1， 在点 P 处的切线斜率为 2(2)15. 因为点 P 的横坐标是2， 所以点 P 的纵坐标是 6c， 故直线 OP 的斜率为6c 2 ， 根据题意有6c 2 5，解得 c4. 15已知函数 f(x)x3，过点 P 2 3，0 作曲线 f(x)的切线，则其切线方程为_ 答案 y0 或 3xy20 解析 设切点为 Q(x0，x30)，得切线的斜率为 kf(x
9、0)lim x0 x0 x3x30 x 3x20， 切线方程为 yx303x20(xx0)，即 y3x20 x2x30. 因为切线过点 P 2 3，0 ， 所以 2x202x300， 解得 x00 或 x01， 从而切线方程为 y0 或 3xy20. 16点 P 在曲线 f(x)x21 上，且曲线在点 P 处的切线与曲线 y2x21 相切，求点 P 的 坐标 解 设 P(x0，y0)，则 y0 x201， f(x0)lim x0 x0 x21x201 x 2x0， 所以过点 P 的切线方程为 yy02x0(xx0)， 即 y2x0 x1x20， 而此直线与曲线 y2x21 相切， 所以切线与曲线 y2x21 只有一个公共点， 由 y2x0 x1x20， y2x21， 得 2x22x0 x2x200， 则 4x208(2x20)0， 解得 x0 2 3 3 ，则 y07 3， 所以点 P 的坐标为 2 3 3 ，7 3 或 2 3 3 ，7 3 .