1、5.15.1 导数的概念及其意义导数的概念及其意义 第第 1 1 课时课时 变化率问题和导数的概念变化率问题和导数的概念 1已知函数 y21 x，当 x 由 1 变到 2 时，函数的增量 y 等于( ) A.1 2 B 1 2 C1 D1 答案 B 解析 y 21 2 (21)1 2. 2函数 f(x)5x3 在区间a，b上的平均变化率为( ) A3 B4 C5 D6 答案 C 解析 平均变化率为fbfa ba 5ba ba 5. 3一质点的运动方程为 s53t2，若该质点在时间段1,1t内相应的平均速度为3t 6，则该质点在 t1 时的瞬时速度是( ) A3 B3 C6 D6 答案 D 解析
2、 由平均速度和瞬时速度的关系可知，质点在 t1 时的瞬时速度为lim t0(3t6)6. 4已知 f(x)x23x，则 f(0)等于( ) Ax3 B(x)23x C3 D0 答案 C 解析 f(0)lim x0 0 x230 x0230 x lim x0 x23x x lim x0 (x3)3. 5(多选)设 f(x)t2x，若 f(1)4，则 t 的值是( ) A2 B1 C1 D2 答案 AD 解析 因为 f(1)lim x0 t21xt2 x t24， 所以 t 2. 6函数 f(x)x2x 在区间2，t上的平均变化率是 2，则 t_. 答案 5 解析 因为函数 f(x)x2x 在区间
3、2，t上的平均变化率是 2， 所以ftf2 t2 t 2t222 t2 2， 即 t2t62t4， 从而 t23t100， 解得 t5 或 t2(舍去) 7一物体位移 s 和时间 t 的关系是 s2t3t2，则物体的初速度是_ 答案 2 解析 由题意知， lim t0 sttst t lim t0 2tt3tt22t3t2 t lim t0 2t6tt3t2 t 26t. 当 t0 时，v2602， 即物体的初速度是 2. 8若可导函数 f(x)的图象过原点，且满足lim x0 fx x 1，则 f(0)_. 答案 1 解析 f(x)的图象过原点，f(0)0， f(0)lim x0 f0 xf
4、0 x lim x0 fx x 1. 9若函数 f(x)ax2c，且 f(1)2，求 a 的值 解 f(1x)f(1)a(1x)2cac a(x)22ax， f(1)lim x0 f1xf1 x lim x0 ax22ax x lim x0(ax2a)2a，即 2a2， a1. 10某物体按照 s(t)3t22t4(s 的单位：m)的规律做直线运动，求自运动开始到 4 s 时物 体的运动的平均速度和 4 s 时的瞬时速度 解 自运动开始到 t s 时，物体运动的平均速度 v (t)st t 3t24 t， 故前 4 s 物体的平均速度为 v (4)3424 415(m/s) 由于 s3(tt)
5、22(tt)4(3t22t4) (26t)t3(t)2. s t26t3t， lim t0 s t26t， 当 t4 时，lim t0 s t26426， 所以 4 s 时物体的瞬时速度为 26m/s. 11 (多选)如图显示物体甲、 乙在时间0到t1范围内， 路程的变化情况， 下列说法正确的是( ) A在 0 到 t0范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 B在 0 到 t0范围内，甲的平均速度等于乙的平均速度 C在 t0到 t1范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 D在 t0到 t1范围内，甲的平均速度小于乙的平均速度 答案 BC 解析 在 0 到 t0范围内，甲、乙的平均速度都为 v s0
6、 t0，故 A 错误，B 正确；在 t0 到 t1范围 内，甲的平均速度为s2s0 t1t0 ，乙的平均速度为s1s0 t1t0 .因为 s2s0s1s0，t1t00，所以 s2s0 t1t0 s1s0 t1t0，故 C 正确，D 错误 12A，B 两机关开展节能活动，活动开始后两机关的用电量 W1(t)，W2(t)与时间 t(天)的关系 如图所示，则一定有( ) A两机关节能效果一样好 BA 机关比 B 机关节能效果好 CA 机关的用电量在0，t0上的平均变化率比 B 机关的用电量在0，t0上的平均变化率大 DA 机关与 B 机关自节能以来用电量总是一样大 答案 B 解析 由题图可知，A，B
7、 两机关用电量在0，t0上的平均变化率都小于 0，由平均变化率的 几何意义知，A 机关用电量在0，t0上的平均变化率小于 B 机关的平均变化率，从而 A 机关 比 B 机关节能效果好 13设函数 f(x)可导，则lim x0 f1xf1 3x 等于( ) Af(1) B3f(1) C.1 3 f(1) Df(3) 答案 C 解析 lim x0 f1xf1 3x 1 3limx0 f1xf1 x 1 3 f(1) 14如图所示，函数 yf(x)在x1，x2，x2，x3，x3，x4这几个区间内，平均变化率最大的 一个区间是_ 答案 x3，x4 解析 由平均变化率的定义可知，函数 yf(x)在区间x
8、1，x2，x2，x3，x3，x4上的平均变 化率分别为fx2fx1 x2x1 ，fx3fx2 x3x2 ，fx4fx3 x4x3 ， 结合图象可以发现函数 yf(x)的平均变化率最大的一个区间是x3，x4 15将半径为 R 的球加热，若半径从 R1 到 Rm 时球的体积膨胀率为28 3 ，则 m 的值为 _ 答案 2 解析 体积的增加量 V4 3 m34 3 4 3 (m31)， 所以V R 4 3 m31 m1 28 3 ， 所以 m2m17，所以 m2 或 m3(舍) 16若一物体的运动方程如下：(位移单位：m，时间单位：s) sf(t) 293t32，0t3， 3t22，t3. 求：(1
9、)物体在 t3,5内的平均速度； (2)物体在 t1 时的瞬时速度 解 (1)因为物体在 t3,5内的时间变化量为 t532， 位移变化量为 s3522(3322) 3(5232)48， 所以物体在 t3,5内的平均速度为 s t 48 2 24 m/s. 即物体在 t3,5内的平均速度为 24 m/s. (2)物体在 t1 时的瞬时速度即为物体在 t1 处位移的瞬时变化率， 因为物体在 t1 附近位移的平均变化率为 s t f1tf1 t 2931t3 2293132 t 3t12， 所以物体在 t1 处位移的瞬时变化率为 lim t0 s tlimt0 (3t12)12， 即物体在 t1 时的瞬时速度为12 m/s.