1、5 5. .3.23.2 函数的极值与最大函数的极值与最大( (小小) )值值 第第 1 1 课时课时 函数的极值函数的极值 学习目标 1.了解函数极值的概念， 会从几何方面直观理解函数的极值与导数的关系.2.掌握 函数极值的判定及求法.3.掌握函数在某一点取得极值的条件 知识点一 函数极值的定义 1极小值点与极小值 若函数 yf(x)在点 xa 的函数值 f(a)比它在点 xa 附近其他点的函数值都小，f(a)0， 而且在点 xa 附近的左侧 f(x)0，就把 a 叫做函数 yf(x)的极小值点，f(a) 叫做函数 yf(x)的极小值 2极大值点与极大值 若函数 yf(x)在点 xb 的函数
2、值 f(b)比它在点 xb 附近其他点的函数值都大，f(b)0， 而且在点 xb 附近的左侧 f(x)0，右侧 f(x)0，右侧 f(x)0，那么 f(x0)是极大值； (2)如果在 x0附近的左侧 f(x)0，那么 f(x0)是极小值 2求可导函数 f(x)的极值的步骤 (1)确定函数的定义域，求导数 f(x)； (2)求方程 f(x)0 的根； (3)列表； (4)利用 f(x)与 f(x)随 x 的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值 1导数为 0 的点一定是极值点( ) 2函数的极大值一定大于极小值( ) 3函数 yf(x)一定有极大值和极小值( ) 4函数的极值点是自
3、变量的值，极值是函数值( ) 一、求函数的极值 例 1 求下列函数的极值： (1)f(x)x33x29x5； (2)f(x)xaln x(aR) 解 (1)f(x)3x26x9， 令 f(x)0，即 3x26x90， 解得 x11，x23. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1,3) 3 (3，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x1 时，函数 yf(x)有极大值，且 f(1)10； 当 x3 时，函数 yf(x)有极小值，且 f(3)22. (2) f(x)xaln x 的定义域为(0，)， 由 f(x)1a x xa x ，x0，知
4、当 a0 时，f(x)0，函数 f(x)为(0，)上的增函数，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，由 f(x)0，解得 xa. 又当 x(0，a)时，f(x)0， 从而函数 f(x)在 xa 处取得极小值，且极小值为 f(a)aaln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时，函数 f(x)在 xa 处取得极小值 aaln a，无极大值 反思感悟 函数极值和极值点的求解步骤 (1)确定函数的定义域 (2)求方程 f(x)0 的根 (3)用方程 f(x)0 的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格 (4)由 f(x)在方程 f(x)0 的根左右的符号，
5、来判断 f(x)在这个根处取极值的情况 跟踪训练 1 (1)求函数 f(x) 2x x212 的极值 解 函数 f(x)的定义域为 R. f(x)2x 214x2 x212 2x1x1 x212 . 令 f(x)0，得 x1 或 x1. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，1) 1 (1,1) 1 (1，) f(x) 0 0 f(x) 极小值 极大值 由上表可以看出，当 x1 时，函数有极小值，且极小值为 f(1)3； 当 x1 时，函数有极大值，且极大值为 f(1)1. (2)已知函数 f(x)xa x1，aR.求此函数的极值 解 函数的定义域为x|x0， f(x)
6、1 a x2 x2a x2 . 当 a0 时，显然 f(x)0，这时函数 f(x)在区间(，0)，(0，)上均单调递增，此时函 数无极值 当 a0 时，令 f(x)0，解得 x a. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (， a) a ( a，0) (0， a) a ( a，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 由上表可知，当 x a时，函数取得极大值 f( a)2 a1. 当 x a时，函数取得极小值 f( a)2 a1. 综上， 当 a0 时， 函数 f(x)无极值； 当 a0 时， 函数 f(x)在 x a处取得极大值2 a1， 在 x a处取得极小值 2
7、 a1. 二、由极值求参数的值或取值范围 例 2 (1)若函数 f(x)x3ax2bxa2在 x1 处取得极值 10， 则 a_， b_. 答案 4 11 解析 f(x)3x22axb， 依题意得 f110， f10， 即 a2ab9， 2ab3， 解得 a4， b11 或 a3， b3. 但由于当 a3，b3 时， f(x)3x26x33(x1)20， 故 f(x)在 R 上单调递增，不可能在 x1 处取得极值， 所以 a3， b3 不符合题意，应舍去 而当 a4，b11 时，经检验知符合题意， 故 a，b 的值分别为 4，11. (2)已知函数 f(x)1 3x 31 2(m3)x 2(m
8、6)x(xR，m 为常数)，在区间(1，)内有两个极 值点，求实数 m 的取值范围 解 f(x)x2(m3)xm6. 因为函数 f(x)在(1，)内有两个极值点， 所以 f(x)x2(m3)xm6 在(1，)内与 x 轴有两个不同的交点，如图所示 所以 m324m60， f11m3m60， m3 2 1， 解得 m3.故实数 m 的取值范围是(3，) 反思感悟 已知函数的极值求参数的方法 (1)对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导 数值为 0，极值点两侧的导数值异号 注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件 (2)对于函数无极值的问题，往往转化为
9、其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题， 即转化为 f(x)0 或 f(x)0 在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否 成立 跟踪训练 2 (1)若函数 f(x)axln x 在 x 2 2 处取得极值，则实数 a 的值为( ) A. 2 B. 2 2 C2 D.1 2 答案 A 解析 因为 f(x)a1 x，所以 f 2 2 0， 即 a 1 2 2 0，解得 a 2. (2)已知函数 f(x)1 3x 3x2ax1. 若函数的极大值点是1，求 a 的值； 若函数 f(x)有一正一负两个极值点，求 a 的取值范围 解 f(x)x22xa， 由题意得，f(1)12a0， 解
10、得 a3，则 f(x)x22x3， 经验证可知，f(x)在 x1 处取得极大值，故 a3. 由题意得，方程 x22xa0 有一正一负两个根， 设为 x1，x2，则 x1x2a0， g416m0， 解得16m68 27. 实数 m 的取值范围为 16，68 27 . 反思感悟 (1)利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出 函数的大致图象，从直观上判断函数图象与 x 轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而 为研究方程根的个数问题提供了方便 (2)解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极 值 跟踪训练 3 若函数 f(x)1 3x
11、 34x4 的图象与直线 ya 恰有三个不同的交点，则实数 a 的 取值范围是_ 答案 4 3， 28 3 解析 f(x)1 3x 34x4， f(x)x24(x2)(x2) 令 f(x)0，得 x2 或 x2. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x (，2) 2 (2,2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时，函数取得极大值 f(2)28 3 ； 当 x2 时，函数取得极小值 f(2)4 3. 且 f(x)在(，2)上单调递增，在(2,2)上单调递减，在(2，)上单调递增 根据函数单调性、极值的情况，它的图象大致如图所示， 结合图象知4
12、 3a 28 3 . 1(多选)函数 f(x)的定义域为 R，它的导函数 yf(x)的部分图象如图所示，则下面结论正 确的是( ) A在(1,2)上函数 f(x)单调递增 B在(3,4)上函数 f(x)单调递减 C在(1,3)上函数 f(x)有极大值 Dx3 是函数 f(x)在区间1,5上的极小值点 答案 ABC 解析 由题图可知，当 1x2 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增； 当 2x4 时，f(x)0，函数 f(x)单调递减； 当 4x5 时，f(x)0，函数 f(x)单调递增， x2 是函数 f(x)的极大值点， x4 是函数 f(x)的极小值点，故 A，B，C 正确，D 错误 2
13、 (多选)已知函数 f(x)2x3ax236x24 在 x2 处有极值， 则该函数的一个单调递增区间 是( ) A(，2) B(3，) C(2，) D(，3) 答案 AB 解析 f(x)6x22ax36，且在 x2 处有极值， f(2)0，即 244a360，解得 a15， f(x)6x230 x366(x2)(x3)， 由 f(x)0 得 x2 或 x3. 3设函数 f(x)xex，则( ) Ax1 为 f(x)的极大值点 Bx1 为 f(x)的极小值点 Cx1 为 f(x)的极大值点 Dx1 为 f(x)的极小值点 答案 D 解析 令 f(x)exx ex(1x)ex0，得 x1. 当 x
14、1 时，f(x)0； 当 x1 时，f(x)0. 故 x1 为 f(x)的极小值点 4函数 f(x)x33x21 的极小值点为_ 答案 2 解析 由 f(x)3x26x0， 解得 x0 或 x2. 列表如下： x (，0) 0 (0,2) 2 (2，) f(x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 当 x2 时，f(x)取得极小值 5已知曲线 f(x)x3ax2bx1 在点(1，f(1)处的切线斜率为 3，且 x2 3是 yf(x)的极值 点，则 a_，b_. 答案 2 4 解析 f(x)3x22axb， 由题意知 f13， f 2 3 0， 即 32ab3， 4 3 4 3ab0， 解得 a2， b4. 经验证知符合题意 1知识清单： (1)函数极值的定义 (2)函数极值的判定及求法 (3)函数极值的应用 2方法归纳：方程思想、分类讨论 3常见误区：导数值等于零不是此点为极值点的充要条件