1、5.35.3 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 5 5. .3.13.1 函数的单调性函数的单调性 学习目标 1.了解导数与函数的单调性的关系.2.掌握利用导数判断函数单调性的方法.3.能 利用导数求不超过三次多项式函数的单调区间 知识点一 函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数 yf(x)： f(x)的正负 f(x)的单调性 f(x)0 单调递增 f(x)0 单调递减 思考 如果在某个区间内恒有 f(x)0，那么函数 f(x)有什么特性？ 答案 f(x)是常数函数 知识点二 利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数 yf(x)的定义域； (2
2、)求出导数 f(x)的零点； (3)用 f(x)的零点将 f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出 f(x)在各区间上的正负，由 此得出函数 yf(x)在定义域内的单调性 知识点三 函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数 yf(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) 1函数 f(x)在定义域上都有 f(x)0.( ) 3函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上的导数的绝对值越大( ) 4函数 yx3x 的单调递增区间为(，)( ) 一、函数图象与导函数图象的关系 例
3、1 (1)设函数 f(x)在定义域内可导， yf(x)的图象如图所示， 则导函数 yf(x)的图象可能 为( ) 答案 D 解析 由函数的图象可知：当 x0 时，函数单调递增，导数始终为正；当 x0 时，函数先 增后减再增，即导数先正后负再正，对照选项，应选 D. (2)已知 f(x)是 f(x)的导函数，f(x)的图象如图所示，则 f(x)的图象只可能是( ) 答案 D 解析 从 f(x)的图象可以看出，在区间 a，ab 2 内，导数单调递增；在区间 ab 2 ，b 内， 导数单调递减 即函数 f(x)的图象在 a，ab 2 内越来越陡， 在 ab 2 ，b 内越来越平缓，由此可知，只有选项
4、 D 符合 反思感悟 (1)函数的单调性与其导函数的正负之间的关系： 在某个区间(a， b)内， 若 f(x)0， 则 yf(x)在(a， b)上单调递增； 如果 f(x)0， 则 yf(x)在这个区间上单调递减； 若恒有 f(x) 0，则 yf(x)是常数函数，不具有单调性 (2)函数图象变化得越快，f(x)的绝对值越大，不是 f(x)的值越大 跟踪训练 1 (1)已知 yxf(x)的图象如图所示(其中 f(x)是函数 f(x)的导函数)， 则所给的四 个图象中，yf(x)的图象大致是( ) 答案 C 解析 当 0x1 时，xf(x)0， f(x)1 时，xf(x)0，f(x)0， 故 yf
5、(x)在(1，)上单调递增 故选 C. (2)函数 yf(x)在定义域 3 2，3 内可导，其图象如图，记 yf(x)的导函数为 yf(x)，则不 等式 f(x)0 的解集为_ 答案 1 3，1 (2,3) 解析 因为 yf(x)在区间 1 3，1 和区间(2,3)上单调递减，所以在区间 1 3，1 和区间(2,3) 上 f(x)0) 解 (1)函数 f(x)1 2x 2ln x 的定义域为(0，)， 又 f(x)x1x1 x .令 f(x)0，解得 x1 或 x1(舍) f(x)，f(x)随 x 的变化如表所示 x (0,1) 1 (1，) f(x) 0 f(x) 单调递减 f(1) 单调递
6、增 故函数 f(x)1 2x 2ln x 的单调递增区间为(1，)；单调递减区间为(0,1) (2)函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)， f(x) xb x 1 b x2 1 x2(x b)(x b)， 令 f(x)0，解得 x b或 x b. f(x)，f(x)随 x 的变化如下表所示 x (， b) b ( b，0) (0， b) b ( b，) f(x) 0 0 f(x) 单调递增 f( b) 单调递减 单调递减 f( b) 单调递增 所以函数的单调递增区间为(， b)，( b，) 单调递减区间为( b，0)，(0， b) 反思感悟 求函数 yf(x)的单调区间常用解不等式 f(x
7、)0，函数在解集与定义域的交集上为单调递增 跟踪训练 2 (1)函数 f(x)(x22x)ex(xR)的单调递减区间为_ 答案 (2 2，2 2) 解析 由 f(x)(x24x2)ex0， 即 x24x20， 解得2 2x0， 所以 f(x)在(，)上单调递增 若 a0，则当 x(，ln a)时，f(x)0. 所以 f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增 综上所述，当 a0 时，函数 f(x)的单调递增区间为(，)，无单调递减区间； 当 a0 时，f(x)的单调递减区间为(，ln a)，单调递增区间为(ln a，) 利用导数求参数的取值范围 典例 已知函数 f(x)x3
8、ax1 为增函数，求实数 a 的取值范围 解 由已知得 f(x)3x2a， 因为 f(x)在(，)上是增函数， 所以 f(x)3x2a0 在(，)上恒成立， 即 a3x2对 xR 恒成立， 因为 3x20，所以只需 a0. 又因为 a0 时，f(x)3x20， 即 f(x)x31 在 R 上是增函数，所以 a0. 素养提升 (1)利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路 将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即 f(x)0(或 f(x)0)恒成立，利用分 离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“”时是否满足题意 先令 f(x)0(或 f(x)0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“
9、”时 f(x)是否满足 题意 (2)理清运算对象，选择运算方法，求得运算结果，充分体现数学运算的数学核心素养 1设函数 f(x)的图象如图所示，则导函数 f(x)的图象可能为( ) 答案 C 解析 f(x)在(，1)，(4，)上单调递减，在(1,4)上是单调递增，当 x1 或 x4 时，f(x)0； 当 1x4 时，f(x)0. 2(多选)函数 f(x)(x3)ex在下列区间上单调递增的是( ) A(，2) B(0,3) C(3,4) D(2，) 答案 CD 解析 f(x)ex(x3)ex(x2)ex， 由 f(x)0 得(x2)ex0，x2. f(x)的单调递增区间为(2，)，CD 符合 3函数 f(x)ax3x 在 R 上为减函数，则( ) Aa0 Ba1 Ca1 时，g(x)1，b1. 1知识清单： (1)函数的单调性与其导数的关系 (2)利用导数判断函数的单调性 (3)利用导数求函数的单调区间 2方法归纳：方程思想、分类讨论 3常见误区：利用导数法解决取值范围问题时忽略等号是否满足；忽略定义域的限制