1、4 4. .3.23.2 等比数列的前等比数列的前 n n 项和公式项和公式 第第 1 1 课时课时 等比数列前等比数列前 n n 项和公式项和公式 学习目标 1.掌握等比数列的前n项和公式及公式证明思路.2.会用等比数列的前n项和公式 解决有关等比数列的一些简单问题 知识点一 等比数列的前 n 项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn a11qn 1q q1， na1q1 Sn a1anq 1q q1， na1q1 知识点二 等比数列前 n 项和的性质 1数列an为公比不为1 的等比数列(或公比为1，且 n 不是偶数)，Sn为其前 n 项和，则 Sn，S2nSn，
2、S3nS2n仍构成等比数列 2若an是公比为 q 的等比数列，则 SnmSnqnSm(n，mN*) 3若an是公比为 q 的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：在其 前 2n 项中，S 偶 S奇q； 在其前 2n1 项中，S奇S偶a1a2a3a4a2na2n1a1a2n 1q 1q a1a2n 2 1q (q 1) 1等比数列前 n 项和 Sn不可能为 0.( ) 2若首项为 a 的数列既是等比数列又是等差数列，则其前 n 项和等于 na.( ) 3若 aR，则 1aa2an 11a n 1a .( ) 4若某数列的前 n 项和公式为 Snaqna(a0，q0 且 q1，n
3、N*)，则此数列一定是 等比数列( ) 一、等比数列前 n 项和公式的基本运算 例 1 在等比数列an中， (1)S230，S3155，求 Sn； (2)a1a310，a4a65 4，求 S5； (3)a1an66，a2an1128，Sn126，求公比 q. 解 (1)由题意知 a11q30， a11qq2155， 解得 a15， q5 或 a1180， q5 6. 从而 Sn1 45 n15 4或 Sn 1 080 1 5 6 n 11 . (2)方法一 由题意知 a1a1q210， a1q3a1q55 4， 解得 a18， q1 2， 从而 S5a11q 5 1q 31 2 . 方法二 由
4、(a1a3)q3a4a6， 得 q31 8，从而 q 1 2. 又 a1a3a1(1q2)10， 所以 a18， 从而 S5a11q 5 1q 31 2 . (3)因为 a2an1a1an128， 所以 a1，an是方程 x266x1280 的两个根 从而 a12， an64 或 an2， a164. 又 Sna1anq 1q 126， 所以 q2 或1 2. 反思感悟 等比数列前 n 项和运算的技巧 (1)在等比数列的通项公式和前 n 项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项 a1和公比 q 为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答 (2)对于基本量的计算，列方程组求
5、解是基本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消元， 有时会用到整体代换，如 qn， a1 1q都可看作一个整体 (3)在解决与前 n 项和有关的问题时，首先要对公比 q1 或 q1 进行判断，若两种情况都有 可能，则要分类讨论 跟踪训练 1 在等比数列an中 (1)若 a1 2，an16 2，Sn11 2，求 n 和 q； (2)已知 S41，S817，求 an. 解 (1)由 Sna1anq 1q 得，11 2 216 2q 1q ， q2， 又由 ana1qn 1得，16 2 2(2)n1， n5. (2)若 q1，则 S82S4，不符合题意， q1， S4a11q 4 1q 1， S8a
6、11q 8 1q 17， 两式相除得1q 8 1q4171q 4， q2 或 q2， a1 1 15或 a1 1 5， an 1 15 2 n1或1 5 (2) n1. 二、利用错位相减法求数列的前 n 项和 例 2 求数列 n 2n 的前 n 项和 解 设 Sn1 2 2 22 3 23 n 2n， 则有1 2Sn 1 22 2 23 n1 2n n 2n 1， 两式相减，得 Sn1 2Sn 1 2 1 22 1 23 1 2n n 2n 1， 即1 2Sn 1 2 1 1 2n 11 2 n 2n 11 1 2n n 2n 1. Sn2 1 2n 1 n 2n2 n2 2n (nN*) 反
7、思感悟 错位相减法的适用范围及注意事项 (1)适用范围：它主要适用于an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和 (2)注意事项： 利用“错位相减法”时，在写出 Sn与 qSn的表达式时，应注意使两式交错对齐，以便于作 差，正确写出(1q)Sn的表达式 利用此法时要注意讨论公比 q 是否等于 1 的情况 跟踪训练 2 已知等比数列an满足：a11 2，a1，a2，a3 1 8成等差数列，公比 q(0,1) (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn(2n1)an，求数列bn的前 n 项和 Sn. 解 (1)设等比数列an的公比为 q， a11 2， 因为 a1，a2，a31
8、8成等差数列， 所以 2a2a1a31 8， 即得 4q28q30， 解得 q1 2或 q 3 2， 又因为 q(0,1)，所以 q1 2， 所以 an1 2 1 2 n11 2n. (2)根据题意得 Sn11 23 1 22(2n1) 1 2n， 1 2Sn1 1 223 1 23(2n3) 1 2n(2n1) 1 2n 1， 两式相减得 1 2Sn1 1 22 1 222 1 2n(2n1) 1 2n 1 1 2 1 2 1 1 2n 1 11 2 (2n1) 1 2n 1 3 2 1 2n 12n1 2n 1， 所以 Sn3 4 2n 2n1 2n 32n3 2n ，nN*. 三、等比数
9、列前 n 项和的性质 例 3 (1)在等比数列an中，若 S27，S691，则 S4_. (2)已知等比数列an共有 2n 项，其和为240，且(a1a3a2n1)(a2a4a2n) 80，则公比 q_. (3)若数列an是等比数列，且其前 n 项和为 Sn3n 12k，则实数 k_. 答案 (1)28 (2)2 (3)3 2 解析 (1)数列an是等比数列，且易知公比 q1，S2，S4S2，S6S4也构成等比数 列，即 7，S47,91S4构成等比数列，(S47)27(91S4)，解得 S428 或 S421.又 S4a1a2a3a4a1a2a1q2a2q2(a1a2)(1q2)S2 (1q
10、2)0，S428. (2)由题意知 S奇S偶240，S奇S偶80， S奇80，S偶160，qS 偶 S奇2. (3)Sn3n 12k3 3n2k，且a n为等比数列， 32k0，即 k3 2. 延伸探究 本例(3)中，若将条件改为“若数列an是等比数列，且其前 n 项和为 Sna 1 3 n15”，再 求实数 a 的值 解 由 Sna 1 3 n15，可得 S n3a 1 3 n5，依题意有 3a50，故 a5 3. 反思感悟 处理等比数列前 n 项和有关问题的常用方法 (1)运用等比数列的前 n 项和公式，要注意公比 q1 和 q1 两种情形，在解有关的方程(组) 时，通常用约分或两式相除的
11、方法进行消元 (2)灵活运用等比数列前 n 项和的有关性质 跟踪训练 3 (1)已知等比数列an的前 n 项和为 Sn，S41，S83，则 a9a10a11a12等于 ( ) A8 B6 C4 D2 答案 C 解析 S4，S8S4，S12S8成等比数列 即 1,2，a9a10a11a12成等比数列 a9a10a11a124. (2)一个项数为偶数的等比数列an，全部各项之和为偶数项之和的 4 倍，前 3 项之积为 64， 求数列的通项公式 解 设数列an的首项为 a1，公比为 q， 所有奇数项、偶数项之和分别记作 S奇，S偶，由题意可知， S奇S偶4S偶，即 S奇3S偶 因为数列an的项数为偶
12、数， 所以有 qS 偶 S奇 1 3. 又因为 a1 a1q a1q264， 所以 a31 q364， 即 a112， 故所求通项公式为 an12 1 3 n1，nN*. 1在数列an中，已知 an12an，且 a11，则数列an的前 5 项的和等于( ) A25 B25 C31 D31 答案 D 解析 因为 an12an，且 a11， 所以数列an是首项为 1，公比为 2 的等比数列， 所以数列an的前 5 项的和为2 51 21 31. 2等比数列 1，x，x2，x3，的前 n 项和 Sn等于( ) A.1x n 1x B.1x n1 1x C. 1xn 1x ，x1且x0 n，x1 D.
13、 1xn 1 1x ，x1且x0 n，x1 答案 C 解析 当 x1 时，Snn； 当 x1 且 x0 时，Sn1x n 1x . 3设等比数列an的前 n 项和为 Sn，若 S10S512，则 S15S5等于( ) A34 B23 C12 D13 答案 A 解析 在等比数列an中，S5，S10S5，S15S10，成等比数列，因为 S10S512，所以 S52S10，S153 4S5，得 S15S534，故选 A. 4已知在等比数列an中，a33 2，S3 9 2，则 a1_. 答案 3 2或 6 解析 方法一 当 q1 时，a1a2a33 2， 满足 S39 2. 当 q1 时，依题意，得
14、a1q23 2， a11q3 1q 9 2. 解得 a16， q1 2. 综上可得 a13 2或 a16. 方法二 S3a1a2a39 2， a33 2. 所以 a1a23， 所以a1a2 a3 1q q2 2， 所以 q1 或 q1 2. 所以 a13 2或 a16. 5若等比数列an的公比为1 3，且 a1a3a9960，则an的前 100 项和为_ 答案 80 解析 令 Xa1a3a9960， Ya2a4a100， 则 S100XY， 由等比数列前 n 项和性质知Y Xq 1 3， 所以 Y20，即 S100XY80. 1知识清单： (1)等比数列前 n 项和公式 (2)利用错位相减法求数列的前 n 项和 (3)等比数列前 n 项和的性质 2方法归纳：错位相减法、方程(组)思想、分类讨论 3常见误区： (1)忽略 q1 的情况而致错 (2)错位相减法中粗心出错 (3)忽略对参数的讨论