1、5.25.2 导数的运算导数的运算 5 5. .2.12.1 基本初等函数的导数基本初等函数的导数 学习目标 1.能根据定义求函数 yc，yx，yx2，y1 x，y x的导数.2.能利用给出的基 本初等函数的导数公式求简单函数的导数 知识点一 几个常用函数的导数 原函数 导函数 f(x)c f(x)0 f(x)x f(x)1 f(x)x2 f(x)2x f(x)x3 f(x)3x2 f(x)1 x f(x) 1 x2 f(x) x f(x) 1 2 x 知识点二 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 f(x)c(c 为常数) f(x)0 f(x)x(Q，且 0) f(x)x 1 f(x)si
2、n x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)ax(a0，且 a1) f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax(a0，且 a1) f(x) 1 xln a f(x)ln x f(x)1 x 1若 y 2，则 y1 221.( ) 2若 f(x) 1 x3，则 f(x) 3 x4.( ) 3若 f(x)5x，则 f(x)5xlog5e.( ) 4若 ysin 60 ，则 ycos 60 .( ) 一、利用导数公式求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)yx0； (2)y 1 3 x； (3)ylg x； (4)y x2 x； (5
3、)y2cos2x 21. 解 (1)y0. (2)y 1 3 xln 1 3 1 3 xln 3. (3)y 1 xln 10. (4)y x2 x 3 2, x 31 22 33 22 yxxx (5)y2cos2x 21cos x， y(cos x)sin x. 反思感悟 (1)若所求函数符合导数公式，则直接利用公式求导 (2)若给出的函数解析式不符合基本初等函数的导数公式，则通过恒等变换对解析式进行化简 或变形后求导，如根式要化成指数幂的形式求导 如 y1 x4可以写成 yx 4，y5 x3可以写成 y 3 5 x等，这样就可以直接使用幂函数的求导公 式求导，避免在求导过程中出现指数或系
4、数的运算失误 (3)要特别注意“1 x与 ln x”，“a x与 log ax”，“sin x 与 cos x”的导数区别 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)y2 020； (2)y 1 3 x2 ； (3)y4x； (4)ylog3x. 解 (1)因为 y2 020， 所以 y(2 020)0. (2)因为 y 1 3 x2 2 3 x - ， 所以 y 25 1 33 22 33 .xx (3)因为 y4x， 所以 y4xln 4. (4)因为 ylog3x， 所以 y 1 xln 3. 二、利用导数研究曲线的切线方程 例 2 已知曲线 yln x，点 P(e,1)是曲线上一点，求曲
5、线在点 P 处的切线方程 解 y1 x， ky|xe1 e， 切线方程为 y11 e(xe)， 即 xey0. 延伸探究 求曲线 yln x 的过点 O(0,0)的切线方程 解 O(0,0)不在曲线 yln x 上 设切点 Q(x0，y0)， 则切线的斜率 k 1 x0. 又切线的斜率 ky00 x00 ln x0 x0 ， ln x0 x0 1 x0，即 x0e， Q(e,1)， k1 e， 切线方程为 y11 e(xe)，即 xey0. 反思感悟 (1)利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况 若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数； 若已知点不是切点，则应先设出切点，再借助
6、两点连线的斜率公式进行求解 (2)求过点 P 与曲线相切的直线方程的三个步骤 跟踪训练 2 (1)函数 yx3在点(2,8)处的切线方程为( ) Ay12x16 By12x16 Cy12x16 Dy12x16 答案 A 解析 因为 y3x2， 当 x2 时，y12， 故切线的斜率为 12， 切线方程为 y12x16. (2)已知曲线 yln x 的一条切线方程为 xyc0，求 c 的值 解 设切点为(x0，ln x0)， 由 yln x 得 y1 x. 因为曲线 yln x 在 xx0处的切线方程为 xyc0，其斜率为 1. 所以 0 = |x xy1 x01， 即 x01， 所以切点为(1,
7、0) 所以 10c0， 所以 c1. 利用导数公式求切点坐标问题 典例 已知直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点，O 是坐标原点，试求与直 线 l 平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点 P，使ABP 的面积最大 解 由于直线 l: 2xy40 与抛物线 yx2相交于 A，B 两点， |AB|为定值，要使ABP 的面积最大，只要点 P 到 AB 的距离最大， 设 P(x0，y0)为切点，过点 P 与 AB 平行的切线斜率为 ky2x0，k2x02，x01， y0 1. 故可得 P(1,1)，与直线 l 平行的抛物线的切线方程为 2xy10. 故 P(1,1)点即为
8、所求弧AOB上的点，使ABP 的面积最大 素养提升 (1)利用基本初等函数的求导公式， 可求其图象在某一点 P(x0， y0)处的切线方程， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 (2)结合图象，利用公式计算求解，体现了直观想象与数学运算的数学核心素养 1给出下列命题： yln 2，则 y1 2； y1 x2，则 y|x3 2 27； y2x，则 y2xln 2； ylog2x，则 y 1 xln 2. 其中正确命题的个数为( ) A1 B2 C3 D4 答案 C 解析 对于，y0，故错
9、； 对于，y 2 x3，y|x3 2 27，故正确； 显然，正确 2已知 f(x) x，则 f(8)等于( ) A0 B2 2 C. 2 8 D1 答案 C 解析 f(x) x，得 f(x) 1 2 1 2 x - ， f(8) 1 2 12 =8 28 - 3(多选)下列结论正确的是( ) A若 y3，则 y0 B若 y 1 x，则 y 1 2 x C若 y x，则 y 1 2 x D若 yx，则 y1 答案 ACD 解析 只有 B 是错误的 因为 y 13 22 111 22 xx xx x 4已知 f(x)ln x 且 f(x0) 1 x20，则 x0 . 答案 1 解析 因为 f(x)ln x(x0)， 所以 f(x)1 x， 所以 f(x0) 1 x0 1 x20， 所以 x01. 5曲线 y9 x在点 M(3,3)处的切线方程是 答案 xy60 解析 y9 x2， y|x31， 过点(3,3)的斜率为1 的切线方程为 y3(x3)， 即 xy60. 1知识清单： (1)常用函数的导数 (2)基本初等函数的导数公式 (3)切线方程 2方法归纳：方程思想、待定系数法 3常见误区：不化简成基本初等函数.