1、5 5. .2.22.2 导数的四则运算法则导数的四则运算法则 学习目标 1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合 运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 知识点 导数的运算法则 已知 f(x)，g(x)为可导函数，且 g(x)0. (1)f(x) g(x)f(x) g(x) (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，特别地，cf(x)cf(x) (3) fx gx fxgxfxgx gx2 . 1. excos 4 ex.( ) 2函数 f(x)xex的导数是 f(x)ex(x1)( ) 3当 g(x)0 时， 1 gx gx g2x .(
2、 ) 一、利用运算法则求函数的导数 例 1 求下列函数的导数： (1)y1 5x 54 3x 3； (2)y3x2xcos x； (3)y x 1x； (4)ylg xex； (5)y( x1) 1 x1 . 解 (1)y 1 5x 54 3x 3 1 5x 5 4 3x 3 x44x2. (2)y(3x2xcos x)(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x. (3)y x 1x x1xx1x 1x2 1xx 1x2 1 1x2. (4)y(lg xex)(lg x)(ex) 1 xln 10e x. (5)y x1 1 x1 1 x x 11 2
3、2 = xx 1131 2222 11 = 22 xxxx 1 2 x 11 x . 反思感悟 利用导数运算法则的策略 (1)分析待求导式子符合哪种求导法则，每一部分式子是由哪种基本初等函数组合成的，确定 所需的求导法则和基本公式 (2)如果求导式比较复杂，则需要对式子先变形再求导，常用的变形有乘积式展开变为和式求 导，商式变乘积式求导，三角函数恒等变换后求导等 (3)利用导数运算法则求导的原则是尽可能化为和、差，能利用和差的求导法则求导的，尽量 少用积、商的求导法则求导 跟踪训练 1 求下列函数的导数： (1)yx2xln x； (2)yln x x2 ； (3)ye x x； (4)y(2
4、x21)(3x1) 解 (1)y(x2xln x)(x2)(xln x) 2x(x)ln xx(ln x) 2xln xx 1 x 2xln x1. (2)y ln x x2 ln x x 2ln xx2 x4 1 x x 22xln x x4 12ln x x3 . (3)y ex x e xxexx x2 e x xex x2 . (4)方法一 y(2x21)(3x1)(2x21)(3x1)(2x21)(3x1) 4x(3x1)(2x21)3 12x24x6x23 18x24x3. 方法二 y(2x21)(3x1)6x32x23x1， y(6x32x23x1) (6x3)(2x2)(3x)
5、(1) 18x24x3. 二、利用运算法则求曲线的切线 例 2 (1)曲线 y sin x sin xcos x 1 2在点 M 4，0 处的切线的斜率为( ) A1 2 B. 1 2 C 2 2 D. 2 2 答案 B 解析 ycos xsin xcos xsin xcos xsin x sin xcos x2 1 sin xcos x2，故 = 4 | x y1 2， 曲线在点 M 4，0 处的切线的斜率为 1 2. (2)已知曲线 f(x)x3axb 在点 P(2，6)处的切线方程是 13xy320. 求 a，b 的值； 如果曲线 yf(x)的切线与直线 y1 4x3 垂直，求切线的方程
6、 解 f(x)x3axb 的导数 f(x)3x2a，由题意可得 f(2)12a13，f(2)82a b6， 解得 a1，b16. 切线与直线 yx 43 垂直，切线的斜率 k4. 设切点的坐标为(x0，y0)， 则 f(x0)3x2014，x0 1. 由 f(x)x3x16，可得 y0111614 或 y0111618， 则切线方程为 y4(x1)14 或 y4(x1)18， 即 y4x18 或 y4x14. 反思感悟 (1)此类问题往往涉及切点、切点处的导数、切线方程三个主要元素，其他的条件 可以进行转化，从而转化为这三个要素间的关系 (2)准确利用求导法则求出导函数是解决此类问题的第一步，
7、 也是解题的关键， 务必做到准确 (3)分清已知点是否在曲线上，若不在曲线上，则要设出切点，这是解题时的易错点 跟踪训练 2 (1)曲线 yx34x24 在点(1,1)处的切线方程为( ) Ayx2 By5x4 Cy5x6 Dyx1 答案 C 解析 由 yx34x24，得 y3x28x， y|x1385， 所以曲线 yx34x24 在点(1,1)处的切线方程为 y15(x1)，即 y5x6. (2)已知函数 f(x)aln x x1 b x，曲线 yf(x)在点 A(1，f(1)处的切线方程为 x2y30，则 a， b 的值分别为_ 答案 1,1 解析 f(x) a x1 x ln x x12
8、 b x2. 由于直线 x2y30 的斜率为1 2，且过点(1,1)， 故 f11， f11 2， 即 b1， a 2b 1 2， 解得 a1， b1. 三、与切线有关的综合问题 例 3 (1)曲线 yxln x 上的点到直线 xy20 的最短距离是( ) A. 2 B. 2 2 C1 D2 答案 B 解析 设曲线 yxln x 在点(x0，y0)处的切线与直线 xy20 平行 yln x1， 0 = |x xyln x011， 解得 x01， y00，即切点坐标为(1,0) 切点(1,0)到直线 xy20 的距离为 d|102| 11 2 2 ， 即曲线 yxln x 上的点到直线 xy20
9、 的最短距离是 2 2 . (2)设曲线 ya(x1)ex在点(1,0)处的切线与直线 x2y10 垂直，则实数 a_. 答案 2 e 解析 令 yf(x)，则曲线 ya(x1)ex在点(1,0)处的切线的斜率为 f(1)， 又切线与直线 x2y10 垂直， 所以 f(1)2. 因为 f(x)a(x1)ex， 所以 f(x)aex a(x1)exaxex， 所以 f(1)ae，故 a2 e. 反思感悟 本题正确的求出函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐 含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键 跟踪训练 3 求曲线 y2 e(x1)e x在点
10、(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积 解 由题意可知，y2 ex e x，y| x12， 切线方程为 y2(x1)，即 2xy20. 令 x0 得 y2；令 y0 得 x1. 曲线 y2 e(x1)e x在点(1,0)处的切线与坐标轴围成的面积为 S1 2211. 1已知 f(x)ax33x22，若 f(1)4，则 a 的值是( ) A.19 3 B.16 3 C.13 3 D.10 3 答案 D 解析 f(x)3ax26x， f(1)3a64， a10 3 . 2设函数 y2exsin x，则 y等于( ) A2excos x B2exsin x C2exsin x D2ex(sin xco
11、s x) 答案 D 解析 y2(exsin xexcos x) 2ex(sin xcos x) 3若函数 f(x)1 2 f(1)x 22x3，则 f(1)的值为( ) A1 B0 C1 D2 答案 A 解析 因为 f(x)1 2 f(1)x 22x3， 所以 f(x)f(1)x2. 所以 f(1)f(1)(1)2， 所以 f(1)1. 4已知 f(x)ln x x ，则 f(1)_. 答案 1 解析 f(x)ln x xln x x x2 1 x xln x x2 1ln x x2 ， 所以 f(1)1. 5已知函数 f(x)f 4 cos xsin x，则 f 4 的值为_ 答案 1 解析 f(x)f 4 sin xcos x， f 4 f 4 2 2 2 2 ，得 f 4 21. f(x)( 21)cos xsin x，f 4 1. 1知识清单： (1)导数的运算法则 (2)综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数 2方法归纳：转化法 3常见误区：对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则