1、4.34.3 等比数列等比数列 4 4. .3.13.1 等比数列的概念等比数列的概念 第第 1 1 课时课时 等比数列的概念及通项公式等比数列的概念及通项公式 学习目标 1.通过实例， 理解等比数列的概念.2.掌握等比中项的概念并会应用.3.掌握等比数 列的通项公式并了解其推导过程.4.灵活应用等比数列通项公式的推广形式及变形 知识点一 等比数列的概念 1定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数， 那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母 q 表示(q0) 2递推公式形式的定义： an an1q(nN *且 n1) 或an 1
2、an q，nN*. 思考 为什么等比数列的各项和公比 q 均不能为 0? 答案 由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为 0，因此 q 也不能为 0. 知识点二 等比中项 如果在 a 与 b 中间插入一个数 G，使 a，G，b 成等比数列，那么 G 叫做 a 与 b 的等比中项， 此时，G2ab. 思考 当 G2ab 时，G 一定是 a，b 的等比中项吗？ 答案 不一定，如数列 0,0,5 就不是等比数列 知识点三 等比数列的通项公式 若等比数列an的首项为 a1，公比为 q，则 ana1qn 1(nN*) 知识点四 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列an的公比为 q，则 ana
3、1qn 1 amqn m a1 q q n. 其中当中 m1 时，即化为. 当中 q0 且 q1 时，ya1 q q x为指数型函数 1数列 1，1,1，1，是等比数列( ) 2若一个数列从第 2 项起每一项与前一项的比为常数，则该数列为等比数列( ) 3等比数列的首项不能为零，但公比可以为零( ) 4常数列一定为等比数列( ) 一、等比数列中的基本运算 例 1 在等比数列an中： (1)a11，a48，求 an； (2)an625，n4，q5，求 a1； (3)a2a518，a3a69，an1，求 n. 解 (1)因为 a4a1q3， 所以 8q3，所以 q2， 所以 ana1qn 12n1
4、. (2)a1 an qn 1625 54 15， 故 a15. (3) 因为 a2a5a1qa1q418， a3a6a1q2a1q59， 由 ，得 q 1 2，从而 a132. 又 an1， 所以 32 1 2 n11， 即 26 n20，故 n6. 反思感悟 等比数列的通项公式涉及 4 个量 a1，an，n，q，只要知道其中任意三个就能求出 另外一个，在这四个量中，a1和 q 是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量，问题便迎 刃而解 跟踪训练 1 在等比数列an中： (1)若它的前三项分别为 5，15,45，求 a5； (2)若 a42，a78，求 an. 解 (1)因为 a5a1q4，
5、而 a15， qa2 a13， 所以 a5405. (2)因为 a4a1q3， a7a1q6， 所以 a1q32， a1q68， 由 得 q 34， 从而 q34，而 a1q32， 于是 a1 2 q3 1 2， 所以 ana1qn 1 25 3 2 n 二、等比中项的应用 例 2 如果1，a，b，c，9 成等比数列，那么 b_，ac_. 答案 3 9 解析 因为 b 是1，9 的等比中项， 所以 b29，b 3. 又等比数列奇数项符号相同，得 b0) 跟踪训练 2 在等比数列an中，a116，a48，则 a7等于( ) A4 B 4 C2 D 2 答案 A 解析 因为 a4是 a1与 a7的
6、等比中项， 所以 a24a1a7， 即 6416a7，故 a74. 三、等比数列通项公式的推广及应用 例 3 在等比数列an中 (1)已知 a34，a716，且 q0，求 an； (2)若an为递增数列，且 a25a10,2(anan2)5an1，求通项公式 an. 解 (1)a7 a3q 73q44， q22，又 q0，q 2， ana3 qn 34 ( 2)n3 1 2 2 n (nN*) (2)由 a25a10a5 q10 5，且 a 50， 得 a5q5，即 a1q4q5， 又 q0，a1q. 由 2(anan2)5an1得，2an(1q2)5qan， an0，2(1q2)5q， 解得
7、 q1 2或 q2. a1q，且an为递增数列， a12， q2. an2 2n 12n(nN*) 反思感悟 (1)应用 anamqn m， 可以凭借任意已知项和公比直接写出通项公式， 不必再求 a 1. (2)等比数列的单调性由 a1，q 共同确定，但只要单调，必有 q0. 跟踪训练 3 已知等比数列an满足 a13，a1a3a521，则 a3a5a7等于( ) A21 B42 C63 D84 答案 B 解析 设等比数列an的公比为 q，则由 a13，a1a3a521 得 3(1q2q4)21，解得 q23(舍去)或 q22，于是 a3a5a7q2(a1a3a5)22142. 四、灵活设元求
8、解等比数列问题 例 4 (1)有四个数成等比数列，将这四个数分别减去 1,1,4,13 成等差数列，则这四个数的和 是_ 答案 45 解析 (1)设这四个数分别为 a，aq，aq2，aq3， 则 a1，aq1，aq24，aq313 成等差数列 即 2aq1a1aq24， 2aq24aq1aq313， 整理得 aq123， aqq126， 解得 a3，q2. 因此这四个数分别是 3,6,12,24，其和为 45. (2)有四个实数，前三个数成等比数列，且它们的乘积为 216，后三个数成等差数列，且它们 的和为 12，求这四个数 解 方法一 设前三个数分别为a q，a，aq， 则a q a aq2
9、16， 所以 a3216.所以 a6. 因此前三个数为6 q，6,6q. 由题意知第 4 个数为 12q6. 所以 66q12q612， 解得 q2 3. 故所求的四个数为 9,6,4,2. 方法二 设后三个数为 4d,4,4d， 则第一个数为1 4(4d) 2， 由题意知1 4(4d) 2(4d)4216， 解得 4d6.所以 d2. 故所求得的四个数为 9,6,4,2. 反思感悟 几个数成等比数列的设法 (1)三个数成等比数列设为a q，a，aq. 推广到一般：奇数个数成等比数列设为 ， a q2， a q，a，aq，aq 2， (2)四个符号相同的数成等比数列设为 a q3， a q，a
10、q，aq 3. 推广到一般：偶数个符号相同的数成等比数列设为 ， a q5， a q3， a q，aq，aq 3，aq5， (3)四个数成等比数列，不能确定它们的符号是否相同时，可设为 a，aq，aq2，aq3. 跟踪训练 4 在 2 和 20 之间插入两个数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则 插入的两个数的和为( ) A4 或35 2 B4 或35 2 C4 D.35 2 答案 B 解析 设插入的第一个数为 a，则插入的另一个数为a 2 2. 由 a，a 2 2，20 成等差数列得 2 a2 2a20. a2a200，解得 a4 或 a5. 当 a4 时，插入的两个数的和为 aa
11、 2 2 4. 当 a5 时，插入的两个数的和为 aa 2 2 35 2 . 1在等比数列an中，若 a24，a532，则公比 q 应为( ) A 1 2 B 2 C. 1 2 D2 答案 D 解析 因为a5 a2q 38，故 q2. 2(多选)已知 a 是 1,2 的等差中项，b 是1，16 的等比中项，则 ab 等于( ) A6 B6 C12 D12 答案 AB 解析 a12 2 3 2，b 2(1)(16)16，b 4， ab 6. 3若等比数列的首项为 4，末项为 128，公比为 2，则这个数列的项数为( ) A4 B8 C6 D32 答案 C 解析 由等比数列的通项公式得，12842
12、n 1,2n132，所以 n6. 4等比数列an中，|a1|1，a58a2，a5a2，则 an等于( ) A(2)n 1 B(2n 1) C(2)n D(2)n 答案 A 解析 设公比为 q，则 a1q48a1q， 又 a10，q0， 所以 q38，q2， 又 a5a2， 所以 a20，a50， 从而 a10，即 a11， 故 an(2)n 1. 5在等比数列an中，a12，a38，则数列an的公比为_，通项公式为 an _. 答案 2 (2)n或2n 解析 a3 a1q 2， q28 24，即 q 2. 当 q2 时，ana1qn 12(2)n1(2)n； 当 q2 时，ana1qn 122n12n. 1知识清单： (1)等比数列的概念 (2)等比数列的通项公式 (3)等比中项的概念 (4)等比数列的通项公式推广 2方法归纳：方程(组)思想、构造法、等比数列的设法 3常见误区： (1)x，G，y 成等比数列G2xy，但 G2xyx，G，y 成等比数列 (2)四个数成等比数列时设成 a q3， a q，aq，aq 3，未考虑公比为负的情况 (3)忽视了等比数列中所有奇数项符号相同，所有偶数项符号相同而出错