1、4 4. .2.22.2 等差数列的前等差数列的前 n n 项和公式项和公式 第第 1 1 课时课时 等差数列前等差数列前 n n 项和公式的推导及简单应用项和公式的推导及简单应用 学习目标 1.了解等差数列前 n 项和公式的推导过程.2.掌握等差数列前 n 项和公式.3.熟练掌 握等差数列的五个量 a1，d，n，an，Sn的关系，能够由其中三个求另外两个 知识点 等差数列的前 n 项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Snna1an 2 Snna1nn1 2 d 1等差数列前 n 项和公式的推导方法是倒序相加( ) 2若数列an的前 n 项和 Snkn(kR)，则a
2、n为常数列( ) 3等差数列的前 n 项和，等于其首项、第 n 项的等差中项的 n 倍( ) 41231001001100 2 .( ) 一、等差数列前 n 项和的有关计算 例 1 在等差数列an中： (1)已知 a610，S55，求 a8和 S10； (2)已知 a14，S8172，求 a8和 d. 解 (1) S55a154 2 d5， a6a15d10， 解得 a15，d3. a8a62d102316， S1010a1109 2 d10(5)59385. (2)由已知得 S88a1a8 2 84a8 2 172， 解得 a839， 又a84(81)d39， d5. a839，d5. 反思
3、感悟 等差数列中的基本计算 (1)利用基本量求值： 等差数列的通项公式和前 n 项和公式中有五个量 a1，d，n，an和 Sn，这五个量可以“知三求 二”一般是利用公式列出基本量 a1和 d 的方程组，解出 a1和 d，便可解决问题解题时注 意整体代换的思想 (2)结合等差数列的性质解题： 等差数列的常用性质：若 mnpq(m，n，p，qN*)，则 amanapaq，常与求和公式 Snna1an 2 结合使用 跟踪训练 1 在等差数列an中： (1)a11，a47，求 S9； (2)a3a1540，求 S17； (3)a15 6，an 3 2，Sn5，求 n 和 d. 解 (1)设等差数列an
4、的公差为 d， 则 a4a13d13d7， 所以 d2. 故 S99a198 2 d998 2 281. (2)S1717a1a17 2 17a3a15 2 1740 2 340. (3)由题意得，Snna1an 2 n 5 6 3 2 2 5， 解得 n15. 又 a155 6(151)d 3 2， 所以 d1 6， 所以 n15，d1 6. 二、等差数列前 n 项和的比值问题 例 2 有两个等差数列an，bn满足a1a2a3an b1b2b3bn 7n2 n3 ，求a5 b5. 解 方法一 设等差数列an，bn的公差分别为 d1，d2， 则a1a2a3an b1b2b3bn na1nn1
5、2 d1 nb1nn1 2 d2 a1n1 2 d1 b1n1 2 d2 ， 则有 a1n1 2 d1 b1n1 2 d2 7n2 n3 ， 又由于a5 b5 a14d1 b14d2， 观察，可在中取 n9，得a14d1 b14d2 792 93 65 12.故 a5 b5 65 12. 方法二 设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn， 则有An Bn 7n2 n3 ，其中 Ana1ann 2 ， 由于 a1a92a5. 即a1a9 2 a5，故 A9a1a9 9 2 a59. 同理 B9b59.故A9 B9 a59 b59. 故a5 b5 A9 B9 792 93 65 12. 方法三
6、 设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn， 因为等差数列的前 n 项和为 Snan2bn an nb a ， 根据已知，可令 An(7n2)kn，Bn(n3)kn(k0) 所以 a5A5A4 (752)k5(742)k465k， b5B5B4(53)k5(43)k412k. 所以a5 b5 65k 12k 65 12. 方法四 设an，bn的前 n 项和分别为 An，Bn，由A2n 1 B2n1 an bn，有 a5 b5 A9 B9 792 93 65 12. 反思感悟 设an，bn的前 n 项和为 Sn，Tn，则 anbnS2n1T2n1. 跟踪训练 2 已知等差数列an， bn，
7、其前 n 项和分别为 Sn， Tn， an bn 2n3 3n1， 则 S11 T11等于( ) A.15 17 B. 25 32 C1 D2 答案 A 解析 由等差数列的前 n 项和公式以及等差中项的性质得 S1111a1a11 2 11a6， 同理可得 T1111b6，因此，S11 T11 11a6 11b6 a6 b6 263 361 15 17. 1已知数列an的通项公式为 an23n，nN*，则an的前 n 项和 Sn等于( ) A3 2n 2n 2 B3 2n 2n 2 C.3 2n 2n 2 D.3 2n 2n 2 答案 A 解析 an23n，a1231， Snn123n 2 3
8、 2n 2n 2. 2在等差数列an中，若 a2a88，则该数列的前 9 项和 S9等于( ) A18 B27 C36 D45 答案 C 解析 S99 2(a1a9) 9 2(a2a8)36. 3已知等差数列an的前 n 项和为 Sn，且 S36，a34，则公差 d 为( ) A1 B.5 3 C2 D3 答案 C 解析 因为 S3a1a33 2 6， 而 a34， 所以 a10， 所以 da3a1 2 2. 4在等差数列an中，已知 a1010，则 S19_. 答案 190 解析 S1919a1a19 2 192a10 2 190. 5已知在等差数列an中，a13 2，d 1 2，Sn15，则 n_，a12_. 答案 12 4 解析 Snn 3 2 nn1 2 1 2 15， 整理得 n27n600， 解得 n12 或 n5(舍去)， a123 2(121) 1 2 4. 1知识清单： (1)等差数列前 n 项和及其计算公式 (2)等差数列前 n 项和公式的推导过程 (3)由 an与 Sn的关系求 an. (4)等差数列在实际问题中的应用 2方法归纳：函数与方程思想、倒序相加法、整体思想 3常见误区：由 Sn求通项公式时忽略对 n1 的讨论