1、第第 2 2 课时课时 导数的几何意义导数的几何意义 学习目标 1.了解导函数的概念， 理解导数的几何意义.2.会求简单函数的导函数.3.根据导数 的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程 知识点一 导数的几何意义 1割线斜率与切线斜率 设函数 yf(x)的图象如图所示，直线 AB 是过点 A(x0，f(x0)与点 B(x0 x，f(x0 x)的一条 割线，此割线的斜率是y x fx0 xfx0 x . 当点 B 沿曲线趋近于点 A 时，割线 AB 绕点 A 转动，它的极限位置为直线 AD，直线 AD 叫做 此曲线在点 A 处的切线于是，当 x0 时，割线 AB 的斜率无限趋近于过点 A 的切线
2、 AD 的斜率 k，即 kf(x0)lim x0 fx0 xfx0 x . 2导数的几何意义 函数 yf(x)在点 xx0处的导数的几何意义是曲线 yf(x)在点 P(x0， f(x0)处的切线的斜率 也 就是说，曲线 yf(x)在点 P(x0，f(x0)处的切线的斜率是 f(x0)相应地，切线方程为 yf(x0) f(x0)(xx0) 知识点二 导函数的定义 从求函数 f(x)在 xx0处导数的过程可以看出，当 xx0时，f(x0)是一个唯一确定的数这 样，当 x 变化时，yf(x)就是 x 的函数，我们称它为 yf(x)的导函数(简称导数)yf(x) 的导函数记作 f(x)或 y，即 f(
3、x)ylim x0 fxxfx x . 特别提醒： 区别 联系 f(x0) f(x0)是具体的值，是数值 在 xx0处的导数 f(x0)是导函数 f(x) 在 xx0处的函数值，因此求函数在某一 点处的导数，一般先求导函数，再计算导 函数在这一点的函数值 f(x) f(x)是函数 f(x)在某区间 I 上 每一点都存在导数而定义的一 个新函数，是函数 1函数在某点处的导数 f(x0)是一个常数( ) 2函数 yf(x)在点 x0处的导数 f(x0)就是导函数 f(x)在点 xx0处的函数值( ) 3函数 f(x)0 没有导数( ) 4直线与曲线相切，则直线与该曲线只有一个公共点( ) 一、求切
4、线方程 例 1 已知曲线 C：yf(x)x3x. (1)求曲线 C 在点(1,2)处切线的方程； (2)设曲线 C 上任意一点处切线的倾斜角为 ，求 的取值范围 解 因为y x xx3xxx3x x 3x23xx1(x)2， 所以 f(x)lim x0 y xlimx03x 23xx1(x)23x21. (1)曲线 C 在点(1,2)处切线的斜率为 kf(1)31214.所以曲线 C 在点(1,2)处的切线方 程为 y24(x1)，即 4xy20. (2)曲线 C 在任意一点处切线的斜率为 kf(x)tan ， 所以 tan 3x211. 又 0，)， 所以 4， 2 . 反思感悟 求曲线在某
5、点处的切线方程的步骤 跟踪训练 1 曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线与 y 轴交点的纵坐标是_ 答案 3 解析 y|x2lim x0 y x lim x0 2x21221 x lim x0 (4x)4， ky|x24. 曲线 yx21 在点 P(2,5)处的切线方程为 y54(x2)，即 y4x3. 切线与 y 轴交点的纵坐标是3. 二、求切点坐标 例 2 过曲线 yx2上某点 P 的切线满足下列条件，分别求出 P 点 (1)平行于直线 y4x5； (2)垂直于直线 2x6y50； (3)与 x 轴成 135 的倾斜角 解 f(x)lim x0 fxxfx x lim x0 xx2x
6、2 x 2x， 设 P(x0，y0)是满足条件的点 (1)切线与直线 y4x5 平行， 2x04，x02，y04， 即 P(2,4)是满足条件的点 (2)切线与直线 2x6y50 垂直， 2x0 1 31， 得 x03 2，y0 9 4， 即 P 3 2， 9 4 是满足条件的点 (3)切线与 x 轴成 135 的倾斜角， 其斜率为1.即 2x01， 得 x01 2，y0 1 4， 即 P 1 2， 1 4 是满足条件的点 反思感悟 求切点坐标的一般步骤 (1)设出切点坐标 (2)利用导数或斜率公式求出斜率 (3)利用斜率关系列方程，求出切点的横坐标 (4)把横坐标代入曲线或切线方程，求出切点
7、纵坐标 跟踪训练2 已知曲线f(x)x21在xx0处的切线与曲线g(x)1x3在xx0处的切线互相 平行，求 x0的值 解 对于曲线 f(x)x21， k1lim x0 fx0 xfx0 x 2x0. 对于曲线 g(x)1x3， k2lim x0 gx0 xgx0 x lim x0 1x0 x31x30 x 3x20. 由题意得 2x03x20， 解得 x00 或 x02 3. 经检验，均符合题意 三、利用图象理解导数的几何意义 例 3 已知函数 f(x)的图象如图所示，则下列不等关系中正确的是( ) A0f(2)f(3)f(3)f(2) B0f(2)f(3)f(2)f(3) C0f(3)f(
8、3)f(2)f(2) D0f(3)f(2)f(2)f(3) 答案 C 解析 kABf3f2 32 f(3)f(2)， f(2)为函数 f(x)的图象在点 B(2，f(2)处的切线的斜率， f(3)为函数 f(x)的图象在点 A(3，f(3)处的切线的斜率， 根据图象可知 0f(3)f(3)f(2)0 说明曲线在 x0处的切线的 斜率为正值，从而得出在 x0附近曲线是上升的；f(x0)0 说明在 x0附近曲线是下降的 (2)曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度， 可以判断出曲线升降的快慢 跟踪训练 3 若函数 yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函
9、数 yf(x)在区间a，b 上的图象可能是( ) 答案 A 解析 依题意，yf(x)在a，b上是增函数，则在函数 f(x)的图象上，各点的切线的斜率随 着 x 的增大而增大，观察四个选项的图象，只有 A 满足 过某点的曲线的切线 典例 求过点(1,0)与曲线 yx2x1 相切的直线方程 解 设切点为(x0，x20 x01)， 则切线的斜率为 klim x0 x0 x2x0 x1x20 x01 x 2x01. 又 kx 2 0 x010 x01 x 2 0 x01 x01 ， 2x01x 2 0 x01 x01 . 解得 x00 或 x02. 当 x00 时，切线斜率 k1，过(1,0)的切线方
10、程为 y0 x1，即 xy10. 当 x02 时，切线斜率 k3，过(1,0)的切线方程为 y03(x1)，即 3xy30. 故所求切线方程为 xy10 或 3xy30. 素养提升 (1)首先要理解过某点的含义，切线过某点，这点不一定是切点 (2)过点(x1，y1)与曲线 yf(x)相切的直线方程的求法步骤 设切点(x0，f(x0) 建立方程 f(x0)y1fx0 x1x0 . 解方程得 kf(x0)，x0，y0，从而写出切线方程 (3)本例考查了切线的含义及切线方程的求法体现了直观想象和数学运算的数学核心素养 1已知曲线 yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为 2xy20，则 f(1)等
11、于( ) A4 B4 C2 D2 答案 D 解析 由导数的几何意义知 f(1)2. 2(多选)下面说法不正确的是( ) A若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线 B若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处有切线，则 f(x0)必存在 C若 f(x0)不存在，则曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线斜率不存在 D若曲线 yf(x)在点(x0，f(x0)处没有切线，则 f(x0)有可能存在 答案 ABD 解析 根据导数的几何意义及切线的定义知曲线在(x0，y0)处有导数，则切线一定存在，但反 之不一定成立，故 A，B，D 错误 3曲线 f(x)9 x在点
12、(3,3)处的切线的倾斜角 等于( ) A45 B60 C135 D120 答案 C 解析 f(x)lim x0 fxxfx x 9lim x0 1 xx 1 x x 9lim x0 1 xxx 9 x2，所以 f(3) 1.又切线的倾斜角 的范围为 0 180 ，所以所求倾斜角为 135 . 4已知曲线 y2x24x 在点 P 处的切线斜率为 16，则 P 点坐标为_ 答案 (3,30) 解析 令 f(x)2x24x，设点 P(x0,2x204x0)， 则 f(x0)lim x0 fx0 xfx0 x lim x0 2x24x0 x4x x 4x04， 令 4x0416，得 x03，P(3,
13、30) 5已知直线 y4xa(a0)和曲线 yx32x23 相切，则切点坐标为_，实数 a 的值 为_ 答案 (2,3) 5 解析 设直线与曲线相切于点 P(x0，y0)，则 f(x)lim x0 xx32xx23x32x23 x 3x24x. 由导数的几何意义，得 kf(x0)3x204x04， 解得 x02 3或 x02， 切点坐标为 2 3， 49 27 或(2,3) 当切点为 2 3， 49 27 时，有49 274 2 3 a， a121 27 (舍去) 当切点为(2,3)时，有 342a，a5， 因此切点坐标为 (2,3)，a 的值为5. 1知识清单： (1)导数的几何意义 (2)导函数的概念 (3)切线方程 2方法归纳：方程思想、数形结合 3常见误区：切线过某点，这点不一定是切点