1、第第 2 2 课时课时 数列的递推公式数列的递推公式 学习目标 1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累 乘法由递推公式求通项公式.3.会由数列an的前 n 项和 Sn求数列an的通项公式 知识点一 数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个 数列的递推公式 思考 仅由数列an的关系式 anan12(n2，nN*)就能确定这个数列吗？ 答案 不能知道了首项和递推公式，才能确定这个数列 知识点二 数列的前 n 项和 Sn与 an的关系 1把数列an从第 1 项起到第 n 项止的各项之和，称为数列an的前 n
2、 项和，记作 Sn，即 Sn a1a2an. 2an S1，n1， SnSn1，n2. 1在数列an中，若 an12an，nN*，则 a22a1.( ) 2利用 an12an，nN*可以确定数列an( ) 3递推公式是表示数列的一种方法( ) 4S2n表示数列an中所有偶数项的和. ( ) 一、由递推公式求数列的指定项 例 1 设数列an满足 an 1，n1， 1 1 an1，n2，nN *. 写出这个数列的前 5 项 解 由题意可知 a11，a21 1 a12，a31 1 a2 3 2，a41 1 a3 5 3，a51 1 a41 3 5 8 5. 反思感悟 由递推公式写出数列的项的方法 (
3、1)根据递推公式写出数列的前几项， 首先要弄清楚公式中各部分的关系， 依次代入计算即可 (2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式 (3)若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式 注意：由递推公式写出数列的项时，易忽视数列的周期的判断，导致陷入思维误区 跟踪训练 1 (1)已知数列an的首项 a11， 且满足an11 2an 1 2n， 则此数列的第3项是( ) A1 B.1 2 C. 3 4 D. 5 8 答案 C 解析 a11，a21 2a1 1 21，a3 1 2a2 1 22 3 4. (2)已知数列an满足 an11 1 an，且
4、a12，则 a2 020的值为( ) A.1 2 B1 C2 D1 答案 C 解析 由 an11 1 an及 a12，得 a2 1 2，a31，a42，至此可发现数列an是周期 为 3 的周期数列：2，1 2，1,2， 1 2，1，. 而 2 02067331， 故 a2 020a12. 二、由递推公式求通项公式 例 2 在数列an中，a11，an1an1 n 1 n1，则 an 等于( ) A.1 n B. 2n1 n C.n1 n D. 1 2n 答案 B 解析 方法一 (归纳法) 数列的前 5 项分别为 a11，a2111 22 1 2 3 2， a33 2 1 2 1 32 1 3 5
5、 3， a45 3 1 3 1 42 1 4 7 4， a57 4 1 4 1 52 1 5 9 5， 又 a11， 由此可得数列的一个通项公式为 an2n1 n . 方法二 (迭代法) a2a111 2， a3a21 2 1 3，anan1 1 n1 1 n(n2)， 则 ana111 2 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n 21 n 2n1 n (n2) 又 a11，所以 an2n1 n (nN*) 方法三 (累加法) an1an1 n 1 n1， a11， a2a111 2， a3a21 2 1 3， a4a31 3 1 4， anan1 1 n1 1 n(n2)， 以上各
6、项相加得 an111 2 1 2 1 3 1 n1 1 n. 所以 an2n1 n (n2) 因为 a11 也适合上式，所以 an2n1 n (nN*) 反思感悟 由递推公式求通项公式的常用方法 (1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式 (2)迭代法、累加法或累乘法：递推公式对应的有以下几类： an1an常数，或 an1anf(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法； an1pan(p 为非零常数)，或 an1f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法； an1panq(p，q 为非零常数)，适当变形后转化为第类解决 跟踪训练 2 (1)
7、已知数列an满足 a11，anan1 n1 n(n2)，求 an. 解 因为 anan1 n1 n(n2)， 所以 anan1 n1 n. 所以 an(anan1)(an1an2)(a2a1)a1 ( n1 n)( n n1)( 3 2)1 n1 21. 又 a11 也符合上式， 所以 an n1 21，nN*. (2)已知数列an满足 a11，ln anln an11(n2)，求 an. 解 因为 ln anln an11， 所以 ln an an11， 即 an an1e(n2) 所以 an an an1 an1 an2 a2 a1 a1 1 =eee 1 n 个 en 1(n2)， 又
8、a11 也符合上式， 所以 anen 1，nN*. 三、利用 Sn与 an的关系求通项公式 例 3 设 Sn为数列an的前 n 项和，Sn2n230n.求 a1及 an. 解 因为 Sn2n230n， 所以当 n1 时，a1S121230128， 当 n2 时，anSnSn1 2n230n2(n1)230(n1)4n32. 验证当 n1 时上式成立， 所以 an4n32，nN*. 延伸探究 将本例的条件“Sn2n230n”改为“Sn2n230n1”，其他条件不变，求 an. 解 因为 Sn2n230n1， 所以当 n1 时，a1S1212301127， 当 n2 时，anSnSn1 2n230
9、n12(n1)230(n1)14n32. 当 n1 时不符合上式 所以 an 27，n1， 4n32，n2. 反思感悟 由 Sn求通项公式 an的步骤 (1)当 n1 时，a1S1. (2)当 n2 时，根据 Sn写出 Sn1，化简 anSnSn1. (3)如果 a1也满足当 n2 时，anSnSn1的通项公式，那么数列an的通项公式为 anSn Sn1； 否则数列an的通项公式要分段表示为 an S1，n1， SnSn1，n2. 跟踪训练 3 已知 Sn是数列an的前 n 项和，根据条件求 an. (1)Sn2n23n2； (2)Sn3n1. 解 (1)当 n1 时，a1S17， 当 n2
10、时，anSnSn1(2n23n2)2(n1)23(n1)24n1， 又 a17 不适合上式， 所以 an 7，n1， 4n1，n2. (2)当 n1 时，a1S12， 当 n2 时，anSnSn1(3n1)(3n 11)23n1，显然 a 12 适合上式， 所以 an23n 1(nN*) 1已知在数列an中，a12，an1ann(nN*)，则 a4的值为( ) A5 B6 C7 D8 答案 D 解析 因为 a12，an1ann， 所以 a2a11213， a3a22325， a4a33538. 2已知数列an的前 n 项和 Snn22n，则 a2a18等于( ) A36 B35 C34 D33
11、 答案 C 解析 a2S2S12222(1221)1， a18S18S17182218(172217)33. a2a1834. 3已知数列an中，a11，a22，且 an an2an1(nN*)，则 a2 020的值为( ) A2 B1 C.1 2 D. 1 4 答案 B 解析 因为 an an2an1(nN*)， 由 a11，a22，得 a32， 由 a22，a32，得 a41， 由 a32，a41，得 a51 2， 由 a41，a51 2，得 a6 1 2， 由 a51 2，a6 1 2，得 a71， 由 a61 2，a71，得 a82， 由此推理可得数列an是一个周期为 6 的周期数列，
12、 所以 a2 020a33664a41. 4设 Sn为数列an的前 n 项和，Snn2n，则 an_. 答案 2n，nN* 解析 Snn2n， 当 n1 时，a1S12， 当 n2 时，anSnSn1n2n(n1)2(n1)2n， 验证当 n1 时上式成立 an2n，nN*. 5数列 1,3,6,10,15，的递推公式可以是 anan1_(nN*，n2)由 a1055， 则 a12_. 答案 n 78 解析 由已知，a2a12，a3a23，a4a34， 所以递推公式可以写成 anan1n. 所以 a12a1112a10111278. 1知识清单： (1)数列的递推公式 (2)数列的前 n 项和 Sn与 an的关系 2方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法 3常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由 Sn求 an时忽略验证 n=1 时的情况.