1、4.44.4 数学归纳法数学归纳法 学习目标 1.了解数学归纳法的原理.2.能用数学归纳法证明一些简单的命题. 知识点 数学归纳法 1数学归纳法 一般地，证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当 nn0(n0N*)时命题成立； (2)(归纳递推)以当“nk(kN*，kn0)时命题成立”为条件，推出“当 nk1 时命题也成 立” 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立这种证明方法叫 做数学归纳法 2数学归纳法的证明形式 记 P(n)是一个关于正整数 n 的命题我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：(1) P(n0
2、)为真；(2)若 P(k)为真，则 P(k1)也为真 结论：P(n)为真 3. 数学归纳法中的两个步骤 在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当 nn0时结论成立，即命题 P(n0)为真；第 二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若 P(k)为真，则 P(k1)也为真只 要将这两步交替使用， 就有 P(n0)真， P(n01)真P(k)真， P(k1)真， 从而完成证明 1应用数学归纳法证明数学命题时 n01.( ) 2用数学归纳法进行证明时，要分两个步骤，缺一不可( ) 3推证 nk1 时可以不用 nk 时的假设. ( ) 一、证明恒等式 例 1 用数学归纳法证明 11 2
3、 1 3 1 4 1 2n1 1 2n 1 n1 1 n2 1 2n(nN *) 证明 (1)当 n1 时，左边11 2 1 2，右边 1 2，命题成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时，命题成立，即 11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 k1 1 k2 1 2k， 那么当 nk1 时， 左边11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k1 1 k2 1 2k 1 2k1 1 2k2 1 k2 1 k3 1 2k1 1 2k2. 上式表明当 nk1 时，命题也成立 由(1)(2)知，命题对一切正整数均成立 反思感悟 用数学归纳法证明等式的策略
4、应用数学归纳法证明等式时需要确定两个式子的结构，即： (1)nn0时，等式的结构 (2)nk 到 nk1 时，两个式子的结构：nk1 时的代数式比 nk 时的代数式增加(或减 少)的项 这时一定要弄清三点： 代数式从哪一项(哪一个数)开始，即第一项 代数式相邻两项之间的变化规律 代数式中最后一项(最后一个数)与 n 的关系 跟踪训练 1 求证：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*) 证明 (1)当 n1 时，左边12223，右边3，等式成立 (2)假设当 nk 时，等式成立，即 12223242(2k1)2(2k)2k(2k1) 当 nk1 时，12223242(2k1)
5、2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2k 1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1， 所以 nk1 时，等式也成立 综上所述，等式对任何 nN*都成立 二、证明不等式 例 2 用数学归纳法证明： 1 22 1 32 1 42 1 n21 1 n(n2，nN *) 证明 (1)当 n2 时，左边 1 22 1 4， 右边11 2 1 2. 明显1 4 1 2，所以不等式成立 (2)假设 nk(k2，kN*)时， 不等式成立， 即 1 22 1 32 1 42 1 k21 1 k， 则当 nk1 时， 1 22 1 32 1 42 1 k2 1 k
6、121 1 k 1 k12 1k1 2k kk12 1k 2k1 kk12 k(k 为正整数)，则 n0k1. (2)证明不等式的第二步中，从 nk 到 nk1 的推导过程中，一定要用归纳假设，不应用 归纳假设的证明不是数学归纳法，因为缺少归纳假设 (3)用数学归纳法证明与 n 有关的不等式一般有两种具体形式：一是直接给出不等式，按要求 进行证明；二是给出两个式子，按要求比较它们的大小对第二类形式往往要先对 n 取前 k 个值的情况分别验证比较，以免出现判断失误，最后猜出从某个 k 值开始都成立的结论，常 用数学归纳法证明 (4)用数学归纳法证明不等式的关键是由 nk 时成立，得 nk1 时成
7、立，主要方法有比较 法、放缩法等 跟踪训练 2 求证：1 2 1 3 1 4 1 2n 1n2 2 (n2) 证明 (1)当 n2 时，左边1 20右边， 不等式成立 (2)假设当 nk(k2，kN*)时，不等式成立 即1 2 1 3 1 2k 1k2 2 成立 那么 nk1 时，1 2 1 3 1 2k 1 1 2k 11 1 2k 12k1 k2 2 1 2k 11 1 2k k2 2 1 2k 1 2k 1 2k k2 2 2 k1 2k k12 2 ， 当 nk1 时，不等式成立 由(1)(2)可知，不等式对一切 nN*且 n2 时成立 三、归纳猜想证明 例 3 数列an中，a11，a
8、21 4，且 an1 n1an nan (n2，nN*)，求 a3，a4，猜想 an的表 达式，并加以证明 解 a21 4， 且 an1n1an nan (n2)， a3 a2 2a2 1 4 21 4 1 7， a4 2a3 3a3 21 7 31 7 1 10. 猜想：an 1 3n2(nN *) 下面用数学归纳法证明猜想正确： (1)当 n1,2 时易知猜想正确 (2)假设当 nk(k2，kN*)时猜想正确， 即 ak 1 3k2. 当 nk1 时， ak1k1ak kak k1 1 3k2 k 1 3k2 k1 3k2 3k22k1 3k2 k1 3k22k1 k1 3k1k1 1 3
9、k1 1 3k12. 当 nk1 时猜想也正确 由(1)(2)可知，猜想对任意 nN*都正确 反思感悟 (1)利用数学归纳法可以探索与正整数 n 有关的未知问题、存在性问题，其基本模 式是“归纳猜想证明” (2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合 的问题是最常见的问题这种方法更适用于已知数列的递推公式求通项公式 跟踪训练 3 已知数列bn的首项 b11， 其前 n 项和 Bn1 2(n1)bn， 求数列bn的通项公式 解 由已知条件 b11，Bn1 2(n1)bn，得 B2b1b2 3 2b2， b22. B3b1b2b32b3， b33. B4b1b2b3b4
10、5 2b4， b44. 由此猜想：bnn(nN*)为数列bn的通项公式 下面用数学归纳法证明 (1)当 n1 时，b11，等式成立 (2)假设当 nk(k1，kN*)时，等式成立 即 bkk，则当 nk1 时， bk1Bk1Bk1 2(k11)bk1 1 2(k1)bk， 整理得 bk1k1 k bkk1， 即当 nk1 时，bk1k1. 由(1)(2)知，对任意 nN*，都有 bnn. 1用数学归纳法证明等式 123(n3)n3n4 2 (nN*)，验证 n1 时，左边 应取的项是( ) A1 B12 C123 D1234 答案 D 解析 当 n1 时，左边1234. 2在数列an中，an1
11、1 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n，则 ak1 等于( ) Aak 1 2k1 Bak 1 2k2 1 2k4 Cak 1 2k2 Dak 1 2k1 1 2k2 答案 D 解析 a111 2，a21 1 2 1 3 1 4， an11 2 1 3 1 4 1 2n1 1 2n， ak11 2 1 3 1 4 1 2k1 1 2k， 所以 ak1ak 1 2k1 1 2k2. 3用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时，xnyn能被 xy 整除”的第二步是( ) A假设 n2k1 时正确，再推 n2k3 正确 B假设 n2k1 时正确，再推 n2k1 正确 C假设 nk 时正确，再推 n
12、k1 正确 D假设 nk(k1)，再推 nk2 时正确(以上 kN*) 答案 B 解析 因为 n 为正奇数，根据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第 k 个正奇数也成立， 本题即假设 n2k1 正确，再推第(k1)个正奇数即 n2k1 正确 4用数学归纳法证明：123n2n 4n2 2 ，则当 nk1 时，左端在 nk 时的左端 加上 答案 (k21)(k22)(k1)2 解析 nk 时，左端为 123k2，nk1 时， 左端为 123k2(k21)(k22)(k1)2. 5观察下列不等式：11 2，1 1 2 1 31,1 1 2 1 3 1 7 3 2，1 1 2 1 3 1 152,1 1 2 1 3 1 31 5 2，由此猜测第 n 个不等式为 (nN *) 答案 11 2 1 3 1 2n1 n 2 1知识清单： (1)数学归纳法的概念 (2)数学归纳法的步骤 2方法归纳：归纳猜想证明 3常见误区： (1)对题意理解不到位导致 n0的取值出错； (2)推证当 nk1 时忽略 nk 时的假设