1、4.14.1 数列的概念数列的概念 第第 1 1 课时课时 数列的概念及通项公式数列的概念及通项公式 学习目标 1.理解数列的有关概念与数列的表示方法.2.掌握数列的分类，了解数列的单调 性.3.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任一项.4.能根据数列的前几项写出数 列的一个通项公式 知识点一 数列及其有关概念 1一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列 的项数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第 1 项，常用符号 a1表示，第二个位置上的 数叫做这个数列的第 2 项，用 a2表示，第 n 个位置上的数叫做这个数列的第 n 项，用 an 表示其中
2、第 1 项也叫做首项 2. 数列的一般形式可以写成 a1，a2，a3，an，简记为an 思考 数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列吗？ 答案 不是顺序不一样 知识点二 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 知识点三 函数与数列的关系 数列an是从正整数集 N*(或它的有限子集1,2，n)到实数集 R 的函数，其自变量是序 号 n，对应的函数值是数列的第 n 项 an，记为 anf(n) 知识点四 数列的单调性 递增数列 从第 2 项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第 2 项起，每一项都小于它的前一项的数列
3、常数列 各项都相等的数列 知识点五 通项公式 1如果数列an的第 n 项 an与它的序号 n 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这 个式子叫做这个数列的通项公式 2通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数 列是自变量为离散的数的函数 思考 既然数列是一类特殊的函数，那么表示数列除了用通项公式外，还可以用哪些方法？ 答案 还可以用列表法、图象法 11,1,1,1 是一个数列( ) 2数列 1,3,5,7 可表示为1,3,5,7( ) 3如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列( ) 4an与an表达不同的含义( ) 一、数列的有关概念和分类 例
4、1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是无穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪 些是常数列？ (1)1,0.84,0.842,0.843，； (2)2,4,6,8,10，； (3)7,7,7,7，； (4)1 3， 1 9， 1 27， 1 81，； (5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1； (6)0，1,2，3,4，5，. 解 (5)是有穷数列；(1)(2)(3)(4)(6)是无穷数列；(2)是递增数列；(1)(4)(5)是递减数列；(3)是 常数列 反思感悟 (1)判断数列是何种数列一定严格按照定义进行判断 (2)判断数列的单调性时一定要确保每一项均大于(或均小于)后一项，不能有例
5、外 跟踪训练 1 下列数列哪些是有穷数列？哪些是递增数列？哪些是递减数列？哪些是常数 列？ (1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021； (2)0，1 2， 2 3， n1 n ，； (3)1，1 2， 1 4， 1 2n 1，； (4) 1 12， 1 23， 1 34， 1 45，； (5)1,0，1，sin n 2 ，； (6)9,9,9,9,9,9. 解 (1)(6)是有穷数列；(1)(2)是递增数列；(3)是递减数列；(6)是常数列 二、由数列的前几项写出数列的一个通项公式 例 2 写出下列数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)1，1 2，
6、 1 3， 1 4； (2)1 2，2， 9 2，8； (3)0,1,0,1； (4)9,99,999,9 999. 解 (1)这个数列的前 4 项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为负，偶数项为正， 所以它的一个通项公式为 an1 n n ，nN*. (2)数列中的项， 有的是分数， 有的是整数， 可将各项都统一成分数再观察： 1 2， 4 2， 9 2， 16 2 ， ， 所以它的一个通项公式为 ann 2 2 ，nN*. (3)这个数列中的项是 0 与 1 交替出现，奇数项都是 0，偶数项都是 1，所以通项公式可以写 成 an 0，n为奇数， 1，n为偶数， 由第(1)题也可以写成 an
7、11 n 2 (nN*)或 an1cos n 2 (nN*) (4)各项加 1 后，变为 10,100,1 000,10 000，此数列的通项公式为 10n，可得原数列的一个 通项公式为 an10n1，nN*. 反思感悟 根据数列的前几项求通项公式的解题思路 (1)先统一项的结构，如都化成分数、根式等 (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数解析式 (3)对于正负交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(1)n或(1)n 1 处理符号 (4)对于周期数列， 可考虑拆成几个简单数列之和的形式， 或者利用周期函数， 如三角函数等 跟踪训练 2 写出下面数列的一个通
8、项公式，使它的前 4 项分别是下列各数： (1)1 2， 1 4， 5 8， 13 16； (2)2 21 2 ，3 21 3 ，4 21 4 ，5 21 5 ； (3)7,77,777,7 777. 解 (1)各项分母分别为 21,22,23,24， 易看出第 1,2,3,4 项分子分别比分母少了 3， 则原数列可化 为2 13 21 ，2 23 22 ，2 33 23 ，2 43 24 ，所以它的一个通项公式为 an2 n3 2n ，nN*. (2)这个数列的前 4 项的分母都是比序号大 1 的数，分子都是比序号大 1 的数的平方减 1， 所以它的一个通项公式为 ann1 21 n1 ，n
9、N*. (3)这个数列的前 4 项可以变为7 99， 7 999， 7 9999， 7 99 999， 即7 9(101)， 7 9(1001)， 7 9(1 0001)， 7 9(10 0001)， 即7 9(101)， 7 9(10 21)，7 9(10 31)， 7 9(10 41)， 所以它的一个通项公式为 an7 9(10 n1)，nN*. 三、数列通项公式的简单应用 例 3 已知数列an的通项公式是 an2n2n，nN*. (1)写出数列的前 3 项； (2)判断 45 是否为数列an中的项，3 是否为数列an中的项 解 (1)在通项公式中依次取 n1,2,3，可得an的前 3 项
10、分别为 1,6,15. (2)令 2n2n45，得 2n2n450，解得 n5 或 n9 2(舍去)，故 45 是数列an中的第 5 项 令 2n2n3，得 2n2n30，解得 n1 或 n3 2，故 3 不是数列an中的项 反思感悟 (1)利用数列的通项公式求某项的方法 数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系， 只要用序号代替公式中的n， 就可以求出数列的相应项 (2)判断某数值是否为该数列的项的方法 先假定它是数列中的第 n 项，然后列出关于 n 的方程若方程的解为正整数，则是数列的一 项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项 跟踪训练 3 已知数列an的通项公式
11、为 anqn，nN*，且 a4a272. (1)求实数 q 的值； (2)判断81 是否为此数列中的项 解 (1)由题意知 q4q272， 则 q29 或 q28(舍去)， q 3. (2)当 q3 时，an3n. 显然81 不是此数列中的项； 当 q3 时，an(3)n. 令(3)n81，无解， 81 不是此数列中的项 延伸探究 已知数列an的通项公式为 ann25n4，nN*.问当 n 为何值时，an取得最小值？并求出 最小值 解 ann25n4 n5 2 29 4， 当 n2 或 3 时，an取得最小值，为 a2a32. 数列单调性的应用 典例 已知数列an的通项公式是an(n1) 10
12、 11 n， nN*.试问该数列有没有最大项？若有， 求出最大项和最大项的序号；若没有，请说明理由 解 方法一 an1an(n2) 10 11 n1(n1) 10 11 n9n 10 11 n 11 ， 当 n0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an； 当 n9 时，an1an0，即 an1an. 则 a1a2a3a11a12， 故数列an有最大项，为第 9 项和第 10 项，且 a9a1010 10 11 9. 方法二 根据题意，令 an1an， anan1， 即 n 10 11 n1n1 10 11 n， n1 10 11 nn2 10 11 n1， 解得 9n10
13、. 又nN*，则n9 或n10.故数列an有最大项，为第9 项和第10 项，且a9a1010 10 11 9. 素养提升 (1)由于数列是特殊的函数，所以可以用研究函数的思想方法来研究数列的相关 性质，如单调性、最大值、最小值等，此时要注意数列的定义域为正整数集或其有限子集 1,2，n这一条件 (2)可以利用不等式组 an1an， anan1， 找到数列的最大项；利用不等式组 an1an， anan1， 找到数列 的最小项 (3)通过数列单调性的应用，培养数学抽象、数学运算等核心素养. 1下列说法正确的是( ) A数列 1,3,5,7，2n1 可以表示 1,3,5,7， B数列 1,0，1，2
14、 与数列2，1,0,1 是相同的数列 C数列 n1 n 的第 k 项为 11 k D数列 0,2,4,6,8，可记为2n 答案 C 解析 数列 1,3,5,7，2n1 为有穷数列，而数列 1,3,5,7，为无穷数列，故 A 中说法错 误； 数的顺序不同就是两个不同的数列，故 B 中说法错误； 在 C 中，ak1k k 11 k，故 C 中说法正确； 在 D 中，an2n2，故 D 中说法错误 2已知数列an的通项公式为 an11 n1 2 ，nN*，则该数列的前 4 项依次为( ) A1,0,1,0 B0,1,0,1 C.1 2，0， 1 2， 0 D2,0,2,0 答案 A 解析 把 n1,
15、2,3,4 依次代入通项公式，得 a111 11 2 1，a211 21 2 0，a3 113 1 2 1，a411 41 2 0. 3(多选)下面四个数列中，既是无穷数列又是递增数列的是( ) A1，1 2， 1 3， 1 4， 1 n， Bsin 7，sin 2 7 ，sin 3 7 ，sin n 7 ， C1，1 2， 1 4， 1 8， 1 2n 1， D1， 2， 3， n， 答案 CD 解析 选项 C，D 既是无穷数列又是递增数列 4已知数列 3， 7， 11， 15，则该数列的一个通项公式是_，5 3 是该数列的第_项 答案 an 4n1(nN*) 19 解析 由给出的前几项可归纳出 an 4n1(nN*)故由 4n15 3 75， 得 4n175， 所以 n19，即 5 3是该数列的第 19 项 5数列 3,5,9,17,33，的一个通项公式是_ 答案 an2n1，nN* 1知识清单： (1)数列及其有关概念 (2)数列的分类 (3)函数与数列的关系 (4)数列的单调性 (5)数列的通项公式 2方法归纳：观察、归纳、猜想 3常见误区：归纳法求数列的通项公式时归纳不全面；不注意用(1)n进行调节，不注意分 子、分母间的联系