1、第第 2 章章 特殊三角形单元测试特殊三角形单元测试(B 卷提升篇）卷提升篇） 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （2019 秋临洮县期末）如图，ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） ABC BADBC CAD 平分BAC DAB2BD 2 （2019 秋余姚市期末）已知一个等腰三角形的底角为 50，则这个三角形的顶角为（ ） A40 B50 C80 D100 3 （2019 秋裕华区校级期末）若实数 m、n 满足等式|m2|+0，且 m、n 恰好是等腰ABC 的两条 边的边长，则ABC 的周长是（
2、） A6 B8 C10 D8 或 10 4 （2019 秋北仑区期末）ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题为真命题的（ ） A如果A2B3C，则ABC 是直角三角形 B如果A：B：C3：4：5，则ABC 是直角三角形 C如果 a：b：c1：2：2，则ABC 是直角三角形 D如果 a：b；c3：4：，则ABC 是直角三角形 5 （2019 秋东阿县期末）以下命题的逆命题为真命题的是（ ） A对顶角相等 B同旁内角互补，两直线平行 C若 ab，则 a2b2 D若 a0，b0，则 a2+b20 6 （2020温州模拟）如图，ABC 中，ABAC8，BC6，AE 平分BAC 交 B
3、C 于点 E，点 D 为 AB 的 中点，连接 DE，则BDE 的周长是（ ） A7+ B10 C4+2 D11 7 （2019仙居县模拟）如图，ABC 中，ABBC，AB2CB，以 C 为圆心，CB 为半径作弧交 AC 于点 D， 以 A 为圆心，AD 长为半径画弧交 AB 于点 E，则 AE：AB 的值是（ ） A B C D 8 （2020 春西湖区校级月考）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 m 和 3（m3） ，过锐角顶点把 该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ） Am2+6m+90 Bm26m+90 Cm2+6m90 Dm26m90 9 （2019 春余姚
4、市期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇 P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接 P， Q 两镇已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ） A B C D 10 （2020浙江自主招生）一个三角形有一内角为 48，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰 三角形，那么它的最大内角可能值有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （2019 秋台州期中）如图，在ABC 和BAD 中，已知CD90，再添加一个条件，就可以用 “HL”判定 RtABCRtBAD，你
5、添加的条件是 12 （2020上城区模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28，则顶角是 13 （2020浙江自主招生） 若一个直角三角形的两个直角边长为 a， b （ab） 均为整数， 且满足 a+bm+2， ab4m，则这个直角三角形边长为 14（2018 秋滨江区期末） 在等腰ABC 中， AB 为腰， AD 为中线， AB5， AD3， 则ABD 的周长为 15 （2019 秋富阳区期末）如图，CD 是ABC 的角平分线，AECD 于 E，BC6，AC4，ABC 的面 积是 9，则AEC 的面积是 16 （2020 春鄞州区期末）如图，等腰ABC 中，ABAC6，BAC120，点
6、 D，点 P 分别在 AB， BC 上运动，则线段 AP 和线段 DP 之和的最小值是 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 17 （6 分） （2019 秋瑞安市期中）如图，ABC 中，ABC60，ACB50，延长 CB 至点 D，使 DBBA，延长 BC 至点 E，使 CECA，连接 AD，AE求DAE 的度数 18 （8 分） （2019 秋伊犁州期末）如图，已知：ABC 中，ABAC，BD 和 CE 分别是ABC 和ACB 的 角平分线，且相交于 O 点 试说明OBC 是等腰三角形； 连接 OA，试判断直线 OA 与线段 BC 的关系，并说明理由 19 （8
7、分） （2019 秋龙湾区期中）如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，CE 平分DCB 交 AB 于点 E （1）求证：AECACE； （2）若AEC2B，AD1，求 AB 的长 20 （10 分） （2019 秋下城区期末）在ABC 中，点 E，点 F 分别是边 AC，AB 上的点，且 AEAF，连接 BE，CF 交于点 D，ABEACF （1）求证：BCD 是等腰三角形 （2）若A40，BCBD，求BEC 的度数 21 （10 分） （2019 秋越城区期末）如图，已知在ABC 中，ABAC，D 是 BC 边上任意一点，E 在 AC 边上，且 ADAE （1）若BAD40，求
8、EDC 的度数； （2）若EDC15，求BAD 的度数； （3）根据上述两小题的答案，试探索EDC 与BAD 的关系 22 （12 分） （2018 秋嘉善县期末）已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 上一点，F 是 AC 上一点若EDF90，且 BE2+FC2EF2，求证：BAC90 23 （12 分） （2019 秋北仑区期末）如图，ABC 中，C90，AB5cm，BC3cm，若动点 P 从点 C 开始，按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒 （1）出发 2 秒后，求ABP 的周长 （2）问 t 为何值时，BCP 为等腰三角形？ （3）
9、另有一点 Q，从点 C 开始，按 CBAC 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两点同时出 发，当 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动当 t 为何值时，直线 PQ 把ABC 的周长分成相 等的两部分？ 第第 2 章章 特殊三角形单元测试特殊三角形单元测试(B 卷提升篇）卷提升篇） 参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1 （2019 秋临洮县期末）如图，ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点，下列结论中不正确的是（ ） ABC BADBC CAD 平分BAC DAB2BD 【思路点拨】此题需对每一个
10、选项进行验证从而求解 【答案】解：ABC 中，ABAC，D 是 BC 中点 BC， （故 A 正确） ADBC， （故 B 正确） BADCAD（故 C 正确） 无法得到 AB2BD， （故 D 不正确） 故选：D 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，本题关键熟练运用等腰三角形的三线合一性质 2 （2019 秋余姚市期末）已知一个等腰三角形的底角为 50，则这个三角形的顶角为（ ） A40 B50 C80 D100 【思路点拨】在等腰三角形中，2 个底角是相等的，这里用 180减去 2 个 50就是等腰三角形的顶角 的度数 【答案】解：180502 180100 80 故这个三角形的顶角的
11、度数是 80 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，关键是熟悉三角形的内角和是 180和等腰三角形 2 个底角是 相等的，运用内角和求角 3 （2019 秋裕华区校级期末）若实数 m、n 满足等式|m2|+0，且 m、n 恰好是等腰ABC 的两条 边的边长，则ABC 的周长是（ ） A6 B8 C10 D8 或 10 【思路点拨】由已知等式，结合非负数的性质求 m、n 的值，再根据 m、n 分别作为等腰三角形的腰，分 类求解 【答案】解：|m2|+0， m20，n40， 解得 m2，n4， 当 m2 作腰时，三边为 2，2，4，不符合三边关系定理； 当 n4 作腰时，三边为 2，4，4
12、，符合三边关系定理，周长为：2+4+410 故选：C 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，非负数的性质关键是根据非负数的性质求 m、n 的值，再根 据 m 或 n 作为腰，分类求解 4 （2019 秋北仑区期末）ABC 中A、B、C 的对边分别是 a、b、c，下列命题为真命题的（ ） A如果A2B3C，则ABC 是直角三角形 B如果A：B：C3：4：5，则ABC 是直角三角形 C如果 a：b：c1：2：2，则ABC 是直角三角形 D如果 a：b；c3：4：，则ABC 是直角三角形 【思路点拨】根据勾股定理的逆定理和直角三角形的判定解答即可 【答案】解：A、A2B3C，A+B+C180，A98，
13、错误不符合题意； B、如果A：B：C3：4：5，A+B+C180，A75，错误不符合题意； C、如果 a：b：c1：2：2，12+2222，不是直角三角形，错误不符合题意； D、如果 a：b；c3：4：，则ABC 是直角三角形，正确； 故选：D 【点睛】本题主要考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的逆定理和直角三角形的判定 5 （2019 秋东阿县期末）以下命题的逆命题为真命题的是（ ） A对顶角相等 B同旁内角互补，两直线平行 C若 ab，则 a2b2 D若 a0，b0，则 a2+b20 【思路点拨】根据逆命题与原命题的关系，先写出四个命题的逆命题，然后依次利用对顶角的定义、平 行线
14、的性质、有理数的性质进行判断 【答案】解：A、对顶角相等逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，故 A 选项错误； B、同旁内角互补，两直线平行的逆命题为两直线平行，同旁内角互补，此逆命题为真命题，故 B 选项 正确； C、若 ab，则 a2b2的逆命题为若 a2b2，则 ab，此逆命题为假命题，故 C 选项错误； D、若 a0，b0，则 a2+b20 的逆命题为若 a2+b20，则 a0，b0，此逆命题为假命题，故 D 选 项错误 故选：B 【点睛】本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假 命题；经过推理论证的真命题称为定理考查逆命题是否为真命题
15、，关键先找出逆命题，再进行判断 6 （2020温州模拟）如图，ABC 中，ABAC8，BC6，AE 平分BAC 交 BC 于点 E，点 D 为 AB 的 中点，连接 DE，则BDE 的周长是（ ） A7+ B10 C4+2 D11 【思路点拨】根据等腰三角形三线合一的性质，先求出 BE，再利用直角三角形斜边中线定理求出 DE 即 可 【答案】解：在ABC 中，ABAC6，AE 平分BAC， BECEBC3， 又D 是 AB 中点， BDAB4， DE 是ABC 的中位线， DEAC4， BDE 的周长为 BD+DE+BE3+4+411 故选：D 【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理，中
16、位线定理及等腰三角形的性质，熟练掌握直角三 角形及等腰三角形的性质是解题的关键 7 （2019仙居县模拟）如图，ABC 中，ABBC，AB2CB，以 C 为圆心，CB 为半径作弧交 AC 于点 D， 以 A 为圆心，AD 长为半径画弧交 AB 于点 E，则 AE：AB 的值是（ ） A B C D 【思路点拨】设 AB2a，BCa，则 ACa，利用勾股定理求得 AE 的长，即可得出 AE：AB 的值 【答案】解：BCAB， ABC90， 设 AB2a，BCa，则 ACa， CDBCa， ADACCD（1）a， AEAD， AE（1）a， 故选：C 【点睛】本题考查了勾股定理以及黄金分割的运用，
17、正确掌握勾股定理是解题的关键 8 （2020 春西湖区校级月考）已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为 m 和 3（m3） ，过锐角顶点把 该纸片剪成两个三角形，若这两个三角形都为等腰三角形，则（ ） Am2+6m+90 Bm26m+90 Cm2+6m90 Dm26m90 【思路点拨】如图，根据等腰三角形的性质和勾股定理可得 m2+m2（3m）2，整理即可解答 【答案】解：如图， m2+m2（3m）2， 2m2326m+m2， m2+6m90 故选：C 【点睛】考查了等腰直角三角形，等腰三角形的性质，勾股定理，关键是熟练掌握等腰三角形的性质， 根据勾股定理得到等量关系 9 （2019 春余姚市
18、期末）如图，平行河岸两侧各有一城镇 P，Q，根据发展规划，要修建一条公路连接 P， Q 两镇已知相同长度造桥总价远大于陆上公路造价，为了尽量减少总造价，应该选择方案（ ） A B C D 【思路点拨】虽然 P，Q 两点在河两侧，但连接 P，Q 的线段不垂直于河岸关键在于使 PM+NQ 最短， 但 PM 与 QN 未连起来，要用线段公理就要想办法使 M 与 N 重合起来，利用平行四边形的特征可以实现 这一目的 【答案】解：如图，作 PP垂直于河岸 L，使 PP等于河宽， 连接 QP，与河岸 L 相交于 N，作 NML， 则 MNPP且 MNPP， 于是四边形 PMNP为平行四边形，故 PMNP
19、根据“两点之间线段最短” ，QP最短，即 PM+NQ 最短 观察选项，选项 C 符合题意 故选：C 【点睛】考查了轴对称最短路径问题，要利用“两点之间线段最短” ，但许多实际问题没这么简单，需 要我们将一些线段进行转化，即用与它相等的线段替代，从而转化成两点之间线段最短的问题目前， 往往利用对称性、平行四边形的相关知识进行转化，以后还会学习一些线段转化的方法 10 （2020浙江自主招生）一个三角形有一内角为 48，如果经过其一个顶点作直线能把其分成两个等腰 三角形，那么它的最大内角可能值有（ ） A3 个 B4 个 C5 个 D6 个 【思路点拨】当它为顶角时，根据等腰三角形的性质，可以求得
20、最大角是 90 度，如图所示；当它是侧 角时，用同样的方法，可求得最大角有 4 种情况 【答案】解：如图所示，当BAC48时，那么它的最大内角是 90 当ACB48时，有以下 4 种情况， 所以共 5 种情况， 故选：C 【点睛】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，此题涉及等知识点 并不多，但是要分 4 种情况解答，因此，属于难题 二填空题（共二填空题（共 6 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11 （2019 秋台州期中）如图，在ABC 和BAD 中，已知CD90，再添加一个条件，就可以用 “HL”判定 RtABCRtBAD，你添加的条
21、件是 ACBD（或者 ADBC） 【思路点拨】利用直角三角形的判定方法得出答案 【答案】解：条件是 ACBD， CD90， 在 RtABC 和 RtABD 中 ， RtABCRtABD（HL） ， 故答案为：ACBD（或者 ADBC） 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定的应用，能熟记定理是解此题的关键，注意：直角三角形全 等的判定定理有 SAS，ASA，AAS，SSS，HL 12 （2020上城区模拟）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是 28，则顶角是 62或 118 【思路点拨】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边 上根据条件可知第三种高在三角
22、形的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论 【答案】解：分两种情况： 当高在三角形内部时（如图 1） ， ABD28， 顶角A902862； 当高在三角形外部时（如图 2） ， ABD28， 顶角CAB90+28118 故答案为：62或 118 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质， 熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键， 本题易出现的错误是只是求出62一种情况， 把三角形简单的认为是锐角三角形 因此此题属于易错题 13 （2020浙江自主招生） 若一个直角三角形的两个直角边长为 a， b （ab） 均为整数， 且满足 a+bm+2， ab4m，则这个直角三角形边长为
23、5，12，13 或 6，8，10 【思路点拨】根据已知条件 a+bm+2，ab4m得到 4a+4bab80，因式分解得到（a4） （b 4）8，由于 a，b 均为正整数，于是得到 818 或 24，求得直角三角形两直角边分别为 5，12 或 6，8根据勾股定理健康得到结论 【答案】解：a+bm+2，ab4m 4，得 4a+4bab80， 因式分解，得（a4） （b4）8， a，b 均为正整数， 且 818 或 24， a41，b48 或 a42，b44， 直角三角形两直角边分别为 5，12 或 6，8 直角三角形三边长为是 5，12，13 或 6，8，10， 故答案为：5，12，13 或 6，
24、8，10 【点睛】本题考查了勾股定理，方程的解法，正确的理解题意是解题的关键 14 （2018 秋滨江区期末）在等腰ABC 中，AB 为腰，AD 为中线，AB5，AD3，则ABD 的周长为 12 或 10.5 【思路点拨】 如图 1， 根据等腰三角形的性质得到 ADBC， 由勾股定理得到 BD 3，于是得到ABD 的周长12，如图 2，在等腰ABC 中，ABBC，求得 BDBC2.5，于是得 到ABD 的周长10.5 【答案】解：如图 1，在等腰ABC 中，ABAC， AD 为中线， ADBC， BD3， ABD 的周长12， 如图 2，在等腰ABC 中，ABBC， AD 为中线， BDBC2
25、.5， ABD 的周长10.5， 综上所述，ABD 的周长为 12 或 10.5， 故答案为：12 或 10.5 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质的应用，正确的画出图形是解题的关键 15 （2019 秋富阳区期末）如图，CD 是ABC 的角平分线，AECD 于 E，BC6，AC4，ABC 的面 积是 9，则AEC 的面积是 3 【思路点拨】延长 AE 交 BC 于 F，根据全等三角形的性质得到 CFAC4，得到 BF2，根据三角形的 面积公式即可得到结论 【答案】解：延长 AE 交 BC 于 F， CD 是ABC 的角平分线， ACEFCE， AECD 于 E， AECCEF90， CECE
26、， ACEFCE（ASA） ， CFAC4， BC6， BF2， ABC 的面积是 9， SACF96， AEC 的面积SACF3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，三角形的面积的计算，全等三角形的判定和性质，正确 的作出辅助线是解题的关键 16 （2020 春鄞州区期末）如图，等腰ABC 中，ABAC6，BAC120，点 D，点 P 分别在 AB， BC 上运动，则线段 AP 和线段 DP 之和的最小值是 3 【思路点拨】 作点 A 关于直线 BC 的对称点 E， 连接 AE 交 BC 于点 H， 过 E 作 EDAB 于 D 交 BC 于 P， 则此时，线段 AP
27、和线段 DP 之和的值最小，根据等腰三角形的性质和解直角三角形即可得到结论 【答案】 解： 作点 A 关于直线 BC 的对称点 E， 连接 AE 交 BC 于点 H， 过 E 作 EDAB 于 D 交 BC 于 P， 则此时，线段 AP 和线段 DP 之和的值最小， ABAC6，BAC120，AEBC， B30，BAE60， AHAB3， AE2AH6， DEAE3， 线段 AP 和线段 DP 之和的最小值是 3， 故答案为：3 【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题，等腰三角形的性质，解直角三角形，正确的作出图形是解 题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，共小题，共 66 分）分） 1
28、7 （6 分） （2019 秋瑞安市期中）如图，ABC 中，ABC60，ACB50，延长 CB 至点 D，使 DBBA，延长 BC 至点 E，使 CECA，连接 AD，AE求DAE 的度数 【思路点拨】由题意知ABD 和ACE 均为等腰三角形，可由三角形内角和定理求得BAC 的度数，用 三角形的外角与内角的关系求得D 与E 的度数，即可求得DAE 的度数 【答案】解：ABC60，ACB50， BAC180ABCACB180605070， DBBA， DDABABC30， CECA， ECAEACB25， DAEDAB+BAC+CAE30+70+25125 【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，
29、熟知等边对等角、三角形的外角与内角的关系、三角形的内 角和定理是正确解答本题的关键 18 （8 分） （2019 秋伊犁州期末）如图，已知：ABC 中，ABAC，BD 和 CE 分别是ABC 和ACB 的 角平分线，且相交于 O 点 试说明OBC 是等腰三角形； 连接 OA，试判断直线 OA 与线段 BC 的关系，并说明理由 【思路点拨】根据对边对等角得到ABCACB，再结合角平分线的定义得到OBCOCB，从 而证明 OBOC； 首先根据全等三角形的判定和性质得到 OA 平分BAC，再根据等腰三角形的三线合一的性质得到直 线 AO 垂直平分 BC 【答案】解：在ABC 中，ABAC， ABCB
30、CA； BD、CE 分别平分ABC、BCA， OBCBCO； OBOC， OBC 为等腰三角形 在AOB 与AOC 中 ， AOBAOC（SSS） ； BAOCAO； 直线 AO 垂直平分 BC （等腰三角形顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合） 解法二：OBOC，ABAC， OA 垂直平分线段 BC 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，综合利用了全等三角形的判定和角平分线的定义，对各知识点 要能够熟练运用 19 （8 分） （2019 秋龙湾区期中）如图，在ABC 中，ACB90，CDAB 于点 D，CE 平分DCB 交 AB 于点 E （1）求证：AECACE； （2）若AEC2
31、B，AD1，求 AB 的长 【思路点拨】 （1）依据ACB90，CDAB，即可得到ACDB，再根据 CE 平分BCD，可得 BCEDCE，进而得出AECACE； （2）依据ACDBCEDCE，ACB90，即可得到ACD30，进而得出 RtACD 中， AC2AD2，RtABC 中，AB2AC4 【答案】解： （1）ACB90，CDAB， ACD+AB+A90， ACDB， CE 平分BCD， BCEDCE， B+BCEACD+DCE， 即AECACE； （2）AECB+BCE，AEC2B， BBCE， 又ACDB，BCEDCE， ACDBCEDCE， 又ACB90， ACD30，B30， Rt
32、ACD 中，AC2AD2， RtABC 中，AB2AC4 【点睛】 本题主要考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义， 解题时注意： 三角形内角和是 180 20 （10 分） （2019 秋下城区期末）在ABC 中，点 E，点 F 分别是边 AC，AB 上的点，且 AEAF，连接 BE，CF 交于点 D，ABEACF （1）求证：BCD 是等腰三角形 （2）若A40，BCBD，求BEC 的度数 【思路点拨】 （1）根据全等三角形的性质得到 ABAC，ABEACF，根据角的和差得到DBC DCB，于是得到结论； （2）根据三角形的内角和得到ABC（18040）70，推出DBC 是等边三角形，求
33、得 DBC60，根据三角形外角的性质即可得到结论 【答案】 （1）证明：AEAF，AA，ABEACF， ABEACF（AAS） ， ABAC，ABEACF， ABCACB， ABCABEACBACF， 即DBCDCB， BCD 是等腰三角形； （2）解：ABAC，A40， ABC（18040）70， BDBC， BDCBCD， DBCDCB， DBC 是等边三角形， DBC60， ABE10， BECA+ABE50 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质， 正确的识别图形世界地图根据 21 （10 分） （2019 秋越城区期末）如图，已知在A
34、BC 中，ABAC，D 是 BC 边上任意一点，E 在 AC 边上，且 ADAE （1）若BAD40，求EDC 的度数； （2）若EDC15，求BAD 的度数； （3）根据上述两小题的答案，试探索EDC 与BAD 的关系 【思路点拨】（1） 根据等腰三角形性质求出B 的度数， 根据三角形的外角性质求出ADC， 求出DAC， 根据等腰三角形性质求出ADE 即可； （2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，AEDEDC+C，ADCB+ BAD，再根据等边对等角的性质BC，ADEAED，代入数据计算即可求出BAD 的度数； （3）根据（1） （2）的结论猜出即可 【答案】解： （1）A
35、BAC， BC（180BAC）90BAC， ADCB+BAD90BAC+40130BAC， DACBACBADBAC40， ADEAED（180DAC）110BAC， EDCADCADE（130BAC）（110BAC）20， 故EDC 的度数是 20 （2）AEDEDC+C，ADCB+BAD， ADAE， AEDADE， ABAC， BC， B+BADEDC+C+EDC， 即BAD2EDC， EDC15， BAD30 （3）EDC 与BAD 的数量关系是EDCBAD 【点睛】本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的 能力，题目比较典型，是一道很好的题目
36、，关键是进行推理和总结规律 22 （12 分） （2018 秋嘉善县期末）已知：如图，在ABC 中，D 是 BC 中点，E 是 AB 上一点，F 是 AC 上一点若EDF90，且 BE2+FC2EF2，求证：BAC90 【思路点拨】延长 FD 到 G 使 GDDF，连接 BG，EG，证BDGCDF，推出 BGFC，C GBD，求出EBG90，根据平行线的性质即可得到结论 【答案】证明：延长 FD 到 G 使 GDDF，连接 BG，EG， D 为 BC 中点， BDDC， 在BDG 和CDF 中， BDGCDF（SAS） ， BGFC，CGBD， BGAC， EDDF， EGEF， BE2+FC
37、2EF2， BG2+BE2EG2， ABG90， BGAC， A+ABG180， BAC90 【点睛】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助 线是解题的关键 23 （12 分） （2019 秋北仑区期末）如图，ABC 中，C90，AB5cm，BC3cm，若动点 P 从点 C 开始，按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm，设出发的时间为 t 秒 （1）出发 2 秒后，求ABP 的周长 （2）问 t 为何值时，BCP 为等腰三角形？ （3）另有一点 Q，从点 C 开始，按 CBAC 的路径运动，且速度为每秒 2cm，若 P、Q 两点同时出 发，当
38、 P、Q 中有一点到达终点时，另一点也停止运动当 t 为何值时，直线 PQ 把ABC 的周长分成相 等的两部分？ 【思路点拨】 （1）根据速度为每秒 1cm，求出出发 2 秒后 CP 的长，然后就知 AP 的长，利用勾股定理求 得 PB 的长，最后即可求得周长 （2）因为 AB 与 CB，由勾股定理得 AC4 因为 AB 为 5cm，所以必须使 ACCB，或 CBAB，所以必 须使 AC 或 AB 等于 3，有两种情况，BCP 为等腰三角形 （3）分类讨论：当 P 点在 AC 上，Q 在 AB 上，则 PCt，BQ2t3，t+2t36；当 P 点在 AB 上， Q 在 AC 上，则 ACt4，
39、AQ2t8，t4+2t86 【答案】解： （1）如图 1，由C90，AB5cm，BC3cm， AC4，动点 P 从点 C 开始，按 CABC 的路径运动，且速度为每秒 1cm， 出发 2 秒后，则 CP2， C90， PB， ABP 的周长为：AP+PB+AB2+5+7 （2）如图 2，若 P 在边 AC 上时，BCCP3cm， 此时用的时间为 3s，BCP 为等腰三角形； 若 P 在 AB 边上时，有三种情况： i）如图 3，若使 BPCB3cm，此时 AP2cm，P 运动的路程为 2+46cm， 所以用的时间为 6s，BCP 为等腰三角形； ii）如图 4，若 CPBC3cm，过 C 作斜
40、边 AB 的高，根据面积法求得高为 2.4cm， 作 CDAB 于点 D， 在 RtPCD 中，PD1.8， 所以 BP2PD3.6cm， 所以 P 运动的路程为 93.65.4cm， 则用的时间为 5.4s，BCP 为等腰三角形； ）如图 5，若 BPCP，此时 P 应该为斜边 AB 的中点，P 运动的路程为 4+2.56.5cm 则所用的时间为 6.5s，BCP 为等腰三角形； 综上所述，当 t 为 3s、5.4s、6s、6.5s 时，BCP 为等腰三角形 （3）如图 6，当 P 点在 AC 上，Q 在 AB 上，则 PCt，BQ2t3， 直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分， t+2t33， t2； 如图 7，当 P 点在 AB 上，Q 在 AC 上，则 APt4，AQ2t8， 直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分， t4+2t86， t6， 当 t 为 2 或 6 秒时，直线 PQ 把ABC 的周长分成相等的两部分 【点睛】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学 生来说是个难点，尤其是第（2）由两种情况，BCP 为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因 此这是一道难题