1、2021 年山东省枣庄市中考数学试卷年山东省枣庄市中考数学试卷 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来. 每小题选对得每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分. 15 的倒数是（ ） A5 B5 C D 2将一把直尺和一块含 30和 60角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果CDE40，那么 BAF 的大小为（ ） A10 B15 C20 D25 3将如图的七巧板的其中几块，拼
2、成一个多边形，为轴对称图形的是（ ） A B C D 4如图，数轴上有三个点 A，B，C，若点 A，B 表示的数互为相反数，则图中点 C 对应的数是（ ） A2 B0 C1 D4 5下列计算正确的是（ ） A3a+2b5ab B （2a）24a2 C （a+1）2a2+2a+1 Da3a4a12 6为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了 10 名参赛学 生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数 （个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这组数据的结论正确的是（ ） A平均数是 144 B众数是 141 C
3、中位数是 144.5 D方差是 5.4 7小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其 中不能放入的有（ ） A搭配 B搭配 C搭配 D搭配 8如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC6，BD6，点 P 是 AC 上一动点， 点 E 是 AB 的中点，则 PD+PE 的最小值为（ ） A3 B6 C3 D6 9如图，三角形纸片 ABC，ABAC，BAC90，点 E 为 AB 中点，沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与 点 A 重合，折痕交 BC 于点 F已知 EF，则 BC 的长是（ ） A B3 C3 D3 10在平
4、面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧） ，并分别与直线 yx 和双 曲线 y相交于点 A，B，且 AC+BC4，则OAB 的面积为（ ） A2+或 2 B2+2 或 22 C2 D2+2 11如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点以 C 为圆心， 2 为半径作圆弧 BD， 再分别以 E， F 为圆心， 1 为半径作圆弧 BO， OD， 则图中阴影部分的面积为 （ ） A1 B3 C2 D4 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为 x，且经过点（2，0） 下列说法
5、： abc0；2b+c0；4a+2b+c0；若（，y1） ， （，y2）是抛物线上的两点，则 y1y2； b+cm（am+b）+c（其中 m） 正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分分.只填写最后结果，每小题填对得只填写最后结果，每小题填对得 4 分分. 13 （4 分）已知 x，y 满足方程组，则 x+y 的值为 14 （4 分）幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫图将数字 19 分 别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15，则
6、m 的值 为 15 （4 分）如图，正比例函数 y1k1x（k10）与反比例函数 y2（k20）的图象相交于 A，B 两点， 其中点 A 的横坐标为 1当 k1x时，x 的取值范围是 16 （4 分）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，ABC由ABC 绕点 P 旋转得到，则点 P 的坐标 为 17 （4 分）若等腰三角形的一边长是 4，另两边的长是关于 x 的方程 x26x+n0 的两个根，则 n 的值 为 18 （4 分）如图，BOD45，BODO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F下列 4 个判断：OEBD；ADB3
7、0；DFAF；若点 G 是 线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 （填序号） 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x1 20 （8 分） 某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立 100 周年书画展评活动， 全校征集学生书画作品 王 老师从全校 20 个班中随机抽取了 A，B，C，D 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下 两幅不完整的统计图 （1）王老师采取的调查
8、方式是 （填“普查”或“抽样调查” ） ，王老师所调查的 4 个班共征集 到作品 件，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形圆心角的度数为 ； （3） 如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖， 其中有 1 件作品的作者是男生， 3 件作品的作者是女生 现 要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 （要 求用树状图或列表法写出分析过程） 21 （8 分）2020 年 7 月 23 日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国 文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅运载火箭从地面 O 处发射，
9、当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷达站测得 AD4000 米，仰角为 30.3 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45O，C，D 在同一直线上，已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A 到 B 处的平均速度 （结果精确到 1 米，参考数据：1.732，1.414） 22 （8 分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 y（x0）的图象与性 质进行探究 因为 y1，即 y+1，所以可以对比函数 y来探究 列表： （1）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请写出 m，n 的值：m ，n ； x 4 3 2 1 1 2 3
10、 4 y 1 2 4 4 2 1 y 2 3 m 3 1 0 n 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以 y相应的函数值为纵坐标，描出相 应的点，如图所示： （2）请把 y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： 当 x0 时，y 随 x 的增大而 ； （填“增大”或“减小” ） 函数 y的图象是由 y的图象向 平移 个单位而得到 函数图象关于点 中心对称 （填点的坐标） 23 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O 在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD， CD，过点 D 作O 的切线与
11、AC 的延长线交于点 P （1）求证：DPBC； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 24 （10 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图 1，垂美四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O猜想：AB2+CD2与 AD2+BC2 有什么关系？并证明你的猜想 （3） 解决问题： 如图3， 分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连结 CE，B
12、G，GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 y x2+bx+c 经过坐标原点和点 A，顶点为点 M （1）求抛物线的关系式及点 M 的坐标； （2）点 E 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，连接 EB，EA，当EAB 的面积等于时，求 E 点的坐 标； （3）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 ymx+n，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 D（2，0） ， 连接 DM，求证：ADMACM45 2021 年山东省枣庄市中考数学试卷年山东省枣庄市中考数学试卷 参考答案与试
13、题解析参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来. 每小题选对得每小题选对得 3 分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分. 15 的倒数是（ ） A5 B5 C D 【分析】根据倒数的定义可直接解答 【解答】解：5 的倒数是； 故选：D 2将一把直尺和一块含 30和 60角的三角板 ABC 按如图所示的位置放置，如果CDE40，那么 BAF 的大小为（ ） A10 B15 C20 D2
14、5 【分析】由 DEAF 得AFDCDE40，再根据三角形的外角性质可得答案 【解答】解：由题意知 DEAF， AFDCDE40， B30， BAFAFDB403010， 故选：A 3将如图的七巧板的其中几块，拼成一个多边形，为轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个 图形叫做轴对称图形，据此进行分析即可 【解答】解：A不是轴对称图形，故本选项不合题意； B不是轴对称图形，故本选项不合题意； C不是轴对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D 4如图，数轴上有三个点 A，B，
15、C，若点 A，B 表示的数互为相反数，则图中点 C 对应的数是（ ） A2 B0 C1 D4 【分析】关键：是找出原点位置理解相反数在数轴上的几何意义，即两数分布在原点的左右两侧，一 正一负，且等距点 A 到点 B 之间共六格，所以原点在点 A 右边的第 3 格（也可以说是在点 B 左边第 3 格） 【解答】解：因为点 A，点 B 表示的数互为相反数，所以原点在线段 AB 中间，即在点 A 右边的第 3 格， 得出点 C 在原点的右边第 1 格，所以点 C 对应的数是 1 故选：C 5下列计算正确的是（ ） A3a+2b5ab B （2a）24a2 C （a+1）2a2+2a+1 Da3a4a
16、12 【分析】根据完全平方公式，合并同类项、积的乘方、同底数幂的乘法的运算法则逐一计算可得 【解答】解：A、3a 与 2b 不是同类项，不能合并，原计算错误，故此选项不符合题意； B、 （2a）24a2，原计算错误，故此选项不符合题意； C、 （a+1）2a2+2a+1，原计算正确，故此选项符合题意； D、a3a4a7，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C 6为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了 10 名参赛学 生的成绩，将这组数据整理后制成统计表： 一分钟跳绳个数 （个） 141 144 145 146 学生人数（名） 5 2 1 2 则关于这
17、组数据的结论正确的是（ ） A平均数是 144 B众数是 141 C中位数是 144.5 D方差是 5.4 【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可 【解答】解：根据题目给出的数据，可得： 平均数为：，故 A 选项错误； 众数是：141，故 B 选项正确； 中位数是：，故 C 选项错误； 方差是：4.4， 故 D 选项错误； 故选：B 7小明有一个呈等腰三角形的积木盒，现在积木盒中只剩下如图的九个空格，下面有四种积木的搭配，其 中不能放入的有（ ） A搭配 B搭配 C搭配 D搭配 【分析】把这四种搭配进行组合，可得出如图的九个空格的形状，即为本题的选项 【解答
18、】解：搭配中，有 10 个小正方形，显然不符合 9 个小正方形的条件， 故选：D 8如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC，BD 相交于点 O，AC6，BD6，点 P 是 AC 上一动点， 点 E 是 AB 的中点，则 PD+PE 的最小值为（ ） A3 B6 C3 D6 【分析】由三角形的三边关系可得当点 P 在 DE 上时，PD+PE 的最小值为 DE 的长，由菱形的性质可得 AOCO3，BODO3，ACBD，ABAD，由锐角三角函数可求ABO60，可证ABD 是 等边三角形，由等边三角形的性质可得 DEAB，即可求解 【解答】解：如图，连接 DE， 在DPE 中，DP+PEDE，
19、当点 P 在 DE 上时，PD+PE 的最小值为 DE 的长， 四边形 ABCD 是菱形， AOCO3，BODO3，ACBD，ABAD， tanABO， ABO60， ABD 是等边三角形， 点 E 是 AB 的中点， DEAB， sinABD， ， DE3， 故选：A 9如图，三角形纸片 ABC，ABAC，BAC90，点 E 为 AB 中点，沿过点 E 的直线折叠，使点 B 与 点 A 重合，折痕交 BC 于点 F已知 EF，则 BC 的长是（ ） A B3 C3 D3 【分析】由题意可得点 F 是 BC 的中点，ABF 是等腰直角三角形，再根据 EF 的长度，可求出 BF 的长 度，进而得
20、出结论 【解答】解：在ABC 中，BAC90，ABAC， BC45， 由折叠可知，EFAB，BEAB，AFBF， BBAF45， AFB90，即 AFBC， 点 F 是 BC 的中点， BC2BF， 在ABF 中，AFB90，BEAB， BEEF， BF， BC3 故选：C 10在平面直角坐标系 xOy 中，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧） ，并分别与直线 yx 和双 曲线 y相交于点 A，B，且 AC+BC4，则OAB 的面积为（ ） A2+或 2 B2+2 或 22 C2 D2+2 【分析】先求出点 A，点 B 坐标，可得 ACxOC，BC，由 AC+BC4，可求
21、 x 的值，由三角形 的面积公式可求解 【解答】解：设点 C（x，0） ， 直线 AB 与直线 yx 和双曲线 y相交于点 A，B， 点 A（x，x） ，点 B（x，） ， ACxOC，BC， AC+BC4， x+4， x2， 当 x2+时，AC2+OC，BC2， AB2， OAB 的面积BAOC2+2； 当 x2时，AC2OC，BC2+， AB2， OAB 的面积BAOC22； 综上所述：OAB 的面积为 2+2 或 22， 故选：B 11如图，正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点，点 E，F 分别为 BC，AD 的中点以 C 为圆心， 2 为半径作圆弧 BD， 再分别以 E，
22、 F 为圆心， 1 为半径作圆弧 BO， OD， 则图中阴影部分的面积为 （ ） A1 B3 C2 D4 【分析】连接 BD，根据在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧，所对的弦分别相等，利用面积割补法 可得阴影部分的面积等于弓形面积，即等于扇形 CBD 减去直角三角形 CBD 的面积之差 【解答】解：连接 BD，EF，如图， 正方形 ABCD 的边长为 2，O 为对角线的交点， 由题意可得：EF，BD 经过点 O，且 EFAD，EFCB 点 E，F 分别为 BC，AD 的中点， FDFEOEB1， ，OBOD 弓形 OB弓形 OD 阴影部分的面积等于弓形 BD 的面积 S阴影S扇形CBDSCB
23、D2 故选：C 12二次函数 yax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，对称轴为 x，且经过点（2，0） 下列说法： abc0；2b+c0；4a+2b+c0；若（，y1） ， （，y2）是抛物线上的两点，则 y1y2； b+cm（am+b）+c（其中 m） 正确的结论有（ ） A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】抛物线开口向下，且交 y 轴于正半轴及对称轴为 x，推导出 a0，b0、c0 以及 a 与 b 之间的关系：ba；根据二次函数图像经过点（2，0） ，可得出 04a+2b+c；再由二次函数的对称性， 当 a0 时，距离对称轴越远 x 所对应的 y 越小；由抛物线开口向下
24、，对称轴是 x，可知当 x时， y 有最大值 【解答】解：抛物线开口向下，且交 y 轴于正半轴， a0，c0， 对称轴 x，即 ba， b0， abc0， 故正确； 二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象过点（2，0） ， 04a+2b+c， 故不正确； 又可知 ba， 04b+2b+c，即2b+c0， 故正确； 抛物线开口向下，对称轴是 x，且1，2， y1y2， 故选不正确； 抛物线开口向下，对称轴是 x， 当 x时，抛物线 y 取得最大值 ymax， 当 xm 时，ymam2+bm+cm（am+b）+c，且 m， ymaxym， 故正确， 综上，结论正确， 故选：B 二、填空题：本大
25、题共二、填空题：本大题共 6 小题，满分小题，满分 24 分分.只填写最后结果，每小题填对得只填写最后结果，每小题填对得 4 分分. 13 （4 分）已知 x，y 满足方程组，则 x+y 的值为 2 【分析】用加减消元法解二元一次方程组，然后求解 【解答】解：， 2，得：4x+2y6， ，得：y7， 把 y7 代入，得 2x73， 解得：x5， 方程组的解为， x+y2， 故答案为：2 14 （4 分）幻方是古老的数学问题，我国古代的洛书中记载了最早的幻方九宫图将数字 19 分 别填入如图所示的幻方中，要求每一横行、每一竖行以及两条斜对角线上的数字之和都是 15，则 m 的值 为 1 【分析】
26、根据幻方的定义，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即可得出结论 【解答】解：依题意，得：6+m+815， 解得：m1 故答案为：1 15 （4 分）如图，正比例函数 y1k1x（k10）与反比例函数 y2（k20）的图象相交于 A，B 两点， 其中点 A 的横坐标为 1当 k1x时，x 的取值范围是 0 x1 或 x1 【分析】由正比例函数与反比例函数的对称性可得点 B 横坐标，然后通过图象求解 【解答】解：由正比例函数与反比例函数的对称性可得点 B 横坐标为1， 由图象可得当 k1x时，x 的取值范围是 0 x1 或 x1 故答案为：0 x1 或 x1 16（4 分） 如图， 在平面直角
27、坐标系 xOy 中， ABC由ABC 绕点 P 旋转得到， 则点 P 的坐标为 （1， 1） 【分析】连接 AA，CC，线段 AA、CC的垂直平分线的交点就是点 P 【解答】解：连接 AA、CC， 作线段 AA的垂直平分线 MN，作线段 CC的垂直平分线 EF， 直线 MN 和直线 EF 的交点为 P，点 P 就是旋转中心 直线 MN 为：x1，设直线 CC为 ykx+b，由题意：， ， 直线 CC为 yx+， 直线 EFCC，经过 CC中点（，） ， 直线 EF 为 y3x+2， 由得， P（1，1） 故答案为（1，1） 17（4 分） 若等腰三角形的一边长是 4， 另两边的长是关于 x 的
28、方程 x26x+n0 的两个根， 则 n 的值为 8 或 9 【分析】 当 4 为腰长时， 将 x4 代入原一元二次方程可求出 n 的值， 将 n 值代入原方程可求出方程的解， 利用较小两边之和大于第三边可得出 n4 符合题意；当 4 为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根 的判别式0，解之可得出 n 值，将 n 值代入原方程可求出方程的解，利用较小两边之和大于第三边可 得出 n9 符合题意 【解答】解：当 4 为腰长时，将 x4 代入 x26x+n0，得：4264+n0， 解得：n8， 当 n8 时，原方程为 x26x+80， 解得：x12，x24， 2+44， n8 符合题意； 当 4
29、为底边长时，关于 x 的方程 x26x+n0 有两个相等的实数根， （6）241n0， 解得：n9， 当 n9 时，原方程为 x26x+90， 解得：x1x23， 3+364， n9 符合题意 n 的值为 8 或 9 故答案为：8 或 9 18 （4 分）如图，BOD45，BODO，点 A 在 OB 上，四边形 ABCD 是矩形，连接 AC，BD 交于点 E，连接 OE 交 AD 于点 F下列 4 个判断：OEBD；ADB30；DFAF；若点 G 是 线段 OF 的中点，则AEG 为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 （填序号） 【分析】由矩形得 EBEDEA，BAD 为直角，再由等腰三角形的
30、三线合一性质可判断的正误；根 据矩形的性质可得ADB22.5，便可判断的正误；连接 BF，由线段的垂直平分线得 BFDF，证 明AOFABD，得 AFAB，进而便可判断的正误；由直角三角形斜边上的中线定理得 AGOG， 进而求得AGE45，由矩形性质得 EDEA，进而得EAD22.5，再得EAG90，便可判断 的正误 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， EBED， BODO， OE 平分BOD，故正确； BOD45，BODO， ABD（18045）67.5， ADB9027.522.5，故错误； 四边形 ABCD 是矩形， OADBAD90， ABD+ADB90， OBOD，BEDE， O
31、EBD， BOE+OBE90， BOEBDA， BOD45，OAD90， ADO45， AOAD， AOFABD（ASA） ， OFBD， AFAB， 连接 BF，如图 1， BFAF， BEDE，OEBD， DFBF， DFAF，故正确； 根据题意作出图形，如图 2， G 是 OF 的中点，OAF90， AGOG， AOGOAG， AOD45，OE 平分AOD， AOGOAG22.5， FAG67.5，ADBAOF22.5， 四边形 ABCD 是矩形， EAED， EADEDA22.5， EAG90， AGEAOG+OAG45， AEG45， AEAG， AEG 为等腰直角三角形，故正确；
32、判断正确的是 故答案为： 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 7 小题，满分小题，满分 60 分分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 19 （6 分）先化简，再求值：（1+） ，其中 x1 【分析】利用平方差公式、通分将原式化简成，代入 x1 即可求出结论 【解答】解：原式， ， x1， 原式 20 （8 分） 某中学为组织学生参加庆祝中国共产党成立 100 周年书画展评活动， 全校征集学生书画作品 王 老师从全校 20 个班中随机抽取了 A，B，C，D 四个班，对征集作品进行了数量分析统计，绘制了如下 两幅不完整的统计图
33、 （1）王老师采取的调查方式是 抽样调查 （填“普查”或“抽样调查” ） ，王老师所调查的 4 个班共 征集到作品 24 件，并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形圆心角的度数为 150 ； （3） 如果全校参展作品中有 4 件获得一等奖， 其中有 1 件作品的作者是男生， 3 件作品的作者是女生 现 要从获得一等奖的作者中随机抽取两人去参加学校的总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率 （要 求用树状图或列表法写出分析过程） 【分析】 （1）根据全面调查与抽样调查的概念得出王老师采取的调查方式是抽样调查；利用 A 班的作品 数除以它所占的百分比得到调查的总作品件数，再用
34、总件数减去其他班级的件数，得出 B 班级的件数， 然后补全统计图即可； （2）用 360乘以 C 班所占的百分比即可得出 C 班圆心角的度数； （3）画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，找出抽中一男一女的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】解： （1）王老师采取的调查方式是抽样调查； 王老师所调查的 4 个班共征集到作品有 424（件） ， B 班级的件数有：2441046（件） ，补全统计图如下： 故答案为：抽样调查，24； （2）在扇形统计图中，表示 C 班的扇形圆心角是：360150； 故答案为：150； （3）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中恰好抽中一男一女的结
35、果数为 6， 所以恰好抽中一男一女的概率 21 （8 分）2020 年 7 月 23 日，我国首次火星探测“天问一号”探测器，由长征五号遥四运载火箭在中国 文昌航天发射场发射成功，正式开启了中国的火星探测之旅运载火箭从地面 O 处发射，当火箭到达点 A 时，地面 D 处的雷达站测得 AD4000 米，仰角为 30.3 秒后，火箭直线上升到达点 B 处，此时地面 C 处的雷达站测得 B 处的仰角为 45O，C，D 在同一直线上，已知 C，D 两处相距 460 米，求火箭从 A 到 B 处的平均速度 （结果精确到 1 米，参考数据：1.732，1.414） 【分析】在两个直角三角形中求出 AO、B
36、O，进而计算出 AB，最后求出速度即可 【解答】解：由题意得，AD4000 米，ADO30，CD460 米，BCO45， 在 RtAOD 中， AD4000 米，ADO30， OAAD2000（米） ，ODAD2000（米） ， 在 RtBOC 中，BCO45， OBOCODCD（2000460）米， ABOBOA200046020001004（米） ， 火箭的速度为 10043335（米/秒） ， 答：火箭的速度约为 335 米/秒 22 （8 分）小明根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对函数 y（x0）的图象与性 质进行探究 因为 y1，即 y+1，所以可以对比函数 y来探究
37、列表： （1）下表列出 y 与 x 的几组对应值，请写出 m，n 的值：m 5 ，n ； x 4 3 2 1 1 2 3 4 y 1 2 4 4 2 1 y 2 3 m 3 1 0 n 描点：在平面直角坐标系中，以自变量 x 的取值为横坐标，以 y相应的函数值为纵坐标，描出相 应的点，如图所示： （2）请把 y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来； （3）观察图象并分析表格，回答下列问题： 当 x0 时，y 随 x 的增大而 增大 ； （填“增大”或“减小” ） 函数 y的图象是由 y的图象向 上 平移 1 个单位而得到 函数图象关于点 （0，1） 中心对称 （填点的坐标） 【
38、分析】 （1）x，x3，分别代入 y+1 即可得 m、n 的值； （2）按要求分别用条光滑曲线顺次连接所描的点即可； （3）数形结合，观察函数图象即可得到答案 【解答】解： （1）x时，y+15， m5， x3 时，y+1， n； 故答案为：5，； （2）把 y 轴左边各点和右边各点，分别用条光滑曲线顺次连接起来，如图： （3）根据图象可得： 在 y 轴左边，y 随 x 增大而增大， 故答案为：增大； 函数 y的图象是由 y的图象向上平移 1 个单位得到的， 故答案为：上，1； 函数图象关于点 （0，1）中心对称， 故答案为： （0，1） 23 （8 分）如图，O 是ABC 的外接圆，点 O
39、在 BC 边上，BAC 的平分线交O 于点 D，连接 BD， CD，过点 D 作O 的切线与 AC 的延长线交于点 P （1）求证：DPBC； （2）求证：ABDDCP； （3）当 AB5cm，AC12cm 时，求线段 PC 的长 【分析】 （1）连接 OD，由BAC 是直径所对的圆周角，可知BAC90，再由 AD 是BAC 的平分 线，可得BAD45，根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系，可得BOD90，再由切线 DP OD，可证 DPBC； （2）由（1）DPBC，得ACBP，再由同弧所对圆周角相等，得ACBADB，进而得到P ADB，又由ODC45，CDP45，即可证明ABDDCP； （3
40、）由已知可求 BC13cm，在 RtCOD 中，CD，在 RtBOD 中，BD，再由ABD DCP，可得，即可求 CP 【解答】解： （1）连接 OD， DP 是O 的切线， DODP， AD 是BAC 的平分线， BADCAD， ， BC 是圆的直径， BAC90， BAD45， BOD90， ODBC， DPBC； （2）DPBC， ACBP， ， ACBADB， PADB， ODOC， ODC45， CDP45， ABDDCP； （3）AB5cm，AC12cm，BAC90， BC13cm， 在 RtCOD 中，CD， 在 RtBOD 中，BD， ABDDCP， ， ， CP 24 （10
41、 分）如图 1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形 （1）概念理解：如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，CBCD，问四边形 ABCD 是垂美四边形吗？ 请说明理由； （2）性质探究：如图 1，垂美四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于点 O猜想：AB2+CD2与 AD2+BC2 有什么关系？并证明你的猜想 （3） 解决问题： 如图3， 分别以RtACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE， 连结 CE，BG，GE已知 AC4，AB5，求 GE 的长 【分析】 （1）连接 AC、BD，根据垂直平分线的判定定理证明即可； （2）根据垂直的定义和勾股定理解答
42、即可； （3）如图 3，连接 CG、BE，根据垂美四边形的性质、勾股定理、结合（2）的结论计算即可 【解答】解： （1）四边形 ABCD 是垂美四边形 理由如下：如图 2，连接 AC、BD， ABAD， 点 A 在线段 BD 的垂直平分线上， CBCD， 点 C 在线段 BD 的垂直平分线上， 直线 AC 是线段 BD 的垂直平分线， ACBD，即四边形 ABCD 是垂美四边形； （2）AB2+CD2AD2+BC2， 理由如下： 如图 1 中， ACBD， AODAOBBOCCOD90， 由勾股定理得，AD2+BC2AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2AO2+BO2+CO2+DO2
43、， AD2+BC2AB2+CD2； （3）如图 3，连接 CG、BE， 正方形 ACFG 和正方形 ABDE， AGAC，ABAE，CAGBAE90， CAG+BACBAE+BAC，即GABCAE， 在GAB 和CAE 中， ， GABCAE（SAS） ， ABGAEC， AEC+AME90， ABG+AME90，即 CEBG， 四边形 CGEB 是垂美四边形， 由（2）得，CG2+BE2CB2+GE2， AC4，AB5， BC3， CG4，BE5， GE2CG2+BE2CB2（4）2+（5）23273， GE 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，直线 yx+3 与 x 轴交于点 A，
44、与 y 轴交于点 B，抛物线 y x2+bx+c 经过坐标原点和点 A，顶点为点 M （1）求抛物线的关系式及点 M 的坐标； （2）点 E 是直线 AB 下方的抛物线上一动点，连接 EB，EA，当EAB 的面积等于时，求 E 点的坐 标； （3）将直线 AB 向下平移，得到过点 M 的直线 ymx+n，且与 x 轴负半轴交于点 C，取点 D（2，0） ， 连接 DM，求证：ADMACM45 【分析】 （1）用待定系数法即可求解； （2）由EAB 的面积SEHB+SEHAEHOA6（x+3x2+2x），即可求解； （3）由直线 CM 的表达式知，tanMCD，则 sinMCD，则 DMCDsi
45、nMCD（2+3） ，由点 D、M 的坐标得，DM，即可求解 【解答】解： （1）对于 yx+3，令 yx+30，解得 x6，令 x0，则 y3， 故点 A、B 的坐标分别为（6，0） 、 （0，3） ， 抛物线 yx2+bx+c 经过坐标原点，故 c0， 将点 A 的坐标代入抛物线表达式得：036+6b，解得 b2， 故抛物线的表达式为 yx22x； 则抛物线的对称轴为 x3，当 x3 时，yx22x3， 则点 M 的坐标为（3，3） ； （2）如图 1，过点 E 作 EHy 轴交 AB 于点 H， 设点 E 的坐标为（x，x22x） ，则点 H（x，x+3） ， 则EAB 的面积SEHB+SEHAEHOA6（x+3x2+2x）， 解得 x1 或， 故点 E 的坐标为（1，）或（，） ； （3）直线 AB 向下平移后过点 M（3，3） ， 故直线 CM 的表达式为 y（x3）3x， 令 yx0，解得 x3， 故点 C（3，0） ； 故点 D 作 DHCM 于点 H， 直线 CM 的表达式为 yx，故 tanMCD，则 sinMCD， 则 DMCDsinMCD（2+3）， 由点 D、M 的坐标得，DM， 则 sinHMD， 故HMD45DCMADMACM45， ADMACM45