2021年贵州省贵阳市中考数学真题试卷（含答案详解）

1、2021 年贵州省贵阳市中考数学试卷年贵州省贵阳市中考数学试卷 一、选择题一、选择题:以下每小题均有以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项四个选项,其中只有一个选项正确其中只有一个选项正确,请用请用 2B 铅笔在答题卡相应位铅笔在答题卡相应位 置作答置作答,每小题每小题 3 分分,共共 36 分分. 1在1，0，1，四个实数中，大于 1 的实数是（ ） A1 B0 C1 D 2下列几何体中，圆柱体是（ ） A B C D 3袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父” ，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达 2.4 亿亩，每年增产的粮食可以养活 80000000 人将 8000000

2、0 这个数用科学记数法可表示为 810n， 则 n 的值是（ ） A6 B7 C8 D9 4 “一个不透明的袋中装有三个球，分别标有 1，2，x 这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意 摸出一个球，摸出球上的号码小于 5”是必然事件，则 x 的值可能是（ ） A4 B5 C6 D7 5计算的结果是（ ） A B C1 D1 6今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小 红所在班级学生的平均成绩是 80 分，小星所在班级学生的平均成绩是 85 分，在不知道小红和小星成绩 的情况下，下列说法比较合理的是（ ） A小红的分数比小星的分数低 B小红的

3、分数比小星的分数高 C小红的分数与小星的分数相同 D小红的分数可能比小星的分数高 7如图，已知线段 AB6，利用尺规作 AB 的垂直平分线，步骤如下： 分别以点 A，B 为圆心，以 b 的长为半径作弧，两弧相交于点 C 和 D 作直线 CD直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 则 b 的长可能是（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，已知数轴上 A，B 两点表示的数分别是 a，b，则计算|b|a|正确的是（ ） Aba Bab Ca+b Dab 9如图，O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C 两点，则AOC 的度数是（ ） A144 B130 C129 D108 1

4、0已知反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数 yax（a0）的图象相交于 A，B 两点，若点 A 的坐标是（1，2） ，则点 B 的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 11如图，在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E，BCD 的平分线交 AD 于点 F，若 AB3，AD 4，则 EF 的长是（ ） A1 B2 C2.5 D3 12 小星在 “趣味数学” 社团活动中探究了直线交点个数的问题 现有 7 条不同的直线 yknx+bn（n1， 2， 3，4，5，6，7） ，其中 k1k2，b3b4b5，则他探究这 7 条直线的交点个数最多是（ ）

5、 A17 个 B18 个 C19 个 D21 个 二、填空题二、填空题:每小题每小题 4 分分,共共 16 分分 13 （4 分）二次函数 yx2的图象开口方向是 （填“向上”或“向下” ） 14 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 对角线的交点坐标是 O（0，0） ，点 B 的坐标是（0， 1） ，且 BC，则点 A 的坐标是 15 （4 分）贵阳市 2021 年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分 组 有甲、 乙、 丙、 丁四位同学参加测试， 则甲、 乙两位同学分到同一组的概率是 16（4 分） 在综合实践课上， 老师要求同学用正方形纸片剪

6、出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上 小 红利用两张边长为 2 的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最小的正三角 形则这两个正三角形的边长分别是 三、解答题三、解答题:本大题本大题 9 小题小题,共共 98 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （12 分） （1）有三个不等式 2x+31，5x15，3（x1）6，请在其中任选两个不等式，组成一 个不等式组，并求出它的解集； （2）小红在计算 a（1+a）（a1）2时，解答过程如下： a（1+a）（a1）2 a+a2（a21）第一步 a+a2a21第二步

7、a1第三步 小红的解答从第 步开始出错，请写出正确的解答过程 18 （10 分）2020 年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变化情况，根据贵 州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表请利用统计图表提供的信息回答下列问题： 贵州省历次人口普查城镇人口统计表 年份 1953 1961 1982 1990 2000 2010 2020 城镇人口（万 人） 110 204 540 635 845 1175 2050 城镇化率 7% 12% 19% 20% 24% a 53% （1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是 万人； （2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的

8、百分率，是衡量城镇化水平的一个指标根据统 计图表提供的信息，我省 2010 年的城镇化率 a 是 （结果精确到 1%） ；假设未来几年我省城乡 总人口数与 2020 年相同，城镇化率要达到 60%，则需从乡村迁入城镇的人口数量是 万人（结 果保留整数） ； （3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势 19 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在 DC 上，AMAB，且 BNAM，垂足为 N （1）求证：ABNMAD； （2）若 AD2，AN4，求四边形 BCMN 的面积 20 （10 分）如图，一次函数 ykx2k（k0）的图象与反比例函数 y（m10）的图

9、象交于点 C， 与 x 轴交于点 A，过点 C 作 CBy 轴，垂足为 B，若 SABC3 （1）求点 A 的坐标及 m 的值； （2）若 AB2，求一次函数的表达式 21 （10 分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 B， C 两点之间的距离如图所示，小星站在广场的 B 处遥控无人机，无人机在 A 处距离地面的飞行高度是 41.6m，此时从无人机测得广场 C 处的俯角为 63，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高 BE 1.6m，EA50m（点 A，E，B，C 在同一平面内） （1）求仰角 的正弦值； （2）求 B，C 两点之间的距离（结果

10、精确到 1m） （sin630.89，cos630.45，tan631.96，sin270.45，cos270.89，tan270.51） 22 （10 分）为庆祝“中国共产党的百年华诞” ，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、 宣传册和横幅， 其中制作宣传册的数量是展板数量的 5 倍， 广告公司制作每件产品所需时间和利润如表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间 （小时） 1 制作一件产品所获利润20 3 10 （元） （1）若制作三种产品共计需要 25 小时，所获利润为 450 元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）若广告公司所获利润为 700 元，且三种产

11、品均有制作，求制作三种产品总量的最小值 23 （12 分） 如图， 在O 中， AC 为O 的直径， AB 为O 的弦， 点 E 是的中点， 过点 E 作 AB 的垂线， 交 AB 于点 M，交O 于点 N，分别连接 EB，CN （1）EM 与 BE 的数量关系是 ； （2）求证：； （3）若 AM，MB1，求阴影部分图形的面积 24 （12 分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片如图，甲秀楼的桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分， 在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m （1）按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为 1.2m

12、 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 O 点 0.4m 时，桥下水位刚好在 OA 处，有一名身高 1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由 （假设船底与水面齐平） （3）如图，桥拱所在的函数图象是抛物线 yax2+bx+c（a0） ，该抛物线在 x 轴下方部分与桥拱 OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象将新函数图象向右平移 m（m0）个单位长度，平移后的函 数图象在 8x9 时，y 的值随 x 值的增大而减小，结合函数图象，求 m 的取值范围 25 （12 分） （1）阅读理解 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学

13、著作周髀算经中汉代数学家赵 爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图” ，后人称之为“赵爽弦图” 根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决 勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形 ACDE 的中心 O，作 FGHP， 将它分成 4 份，所分成的四部分和以 BC 为边的正方形恰好能拼成以 AB 为边的正方形若 AC12，BC 5，求 EF 的值； （3）拓展探究 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重 复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形设大正方形 N 的边长为定值 n，小正方形 A，B，C，D 的

14、边长分别为 a，b，c，d 已知123，当角 （090）变化时，探究 b 与 c 的关系式，并写出该关系式及解 答过程（b 与 c 的关系式用含 n 的式子表示） 2021 年贵州省贵阳市中考数学试卷年贵州省贵阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题一、选择题:以下每小题均有以下每小题均有 A、B、C、D 四个选项四个选项,其中只有一个选项正确其中只有一个选项正确,请用请用 2B 铅笔在答题卡相应位铅笔在答题卡相应位 置作答置作答,每小题每小题 3 分分,共共 36 分分. 1在1，0，1，四个实数中，大于 1 的实数是（ ） A1 B0 C1 D 【分析】先根据实数

15、的大小比较法则比较数的大小，再得出答案即可 【解答】解：1 是负数， 11， 01，1.414， 大于 1 的实数是 故选：D 2下列几何体中，圆柱体是（ ） A B C D 【分析】根据常见的立体图形，如：长方体、正方体、圆柱、圆锥、球、棱柱、棱锥等的特征解答即可 【解答】解：A、这个几何体是圆锥，故本选项不符合题意； B、这个几何体是圆台，故本选项不符合题意； C、这个几何体是圆柱，故本选项符合题意； D、这个几何体是棱台，故本选项不符合题意 故选：C 3袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父” ，经过他带领的团队多年艰苦努力，目前我国杂交水稻种植面积达 2.4 亿亩，每年增产的粮食可以养活 80

16、000000 人将 80000000 这个数用科学记数法可表示为 810n， 则 n 的值是（ ） A6 B7 C8 D9 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：800000008107， n7， 故选：B 4 “一个不透明的袋中装有三个球，分别标有 1，2，x 这三个号码，这些球除号码外都相同，搅匀后任意 摸出一个球，摸出球上的号码小于 5”是必然事件，则 x 的值可能是（ ）

17、 A4 B5 C6 D7 【分析】根据必然事件的意义，进行解答即可 【解答】解：根据题意可得，x 的值可能为 4如果是 5、7、6，那么与摸出球上的号码小于 5”是必然 事件相违背 故选：A 5计算的结果是（ ） A B C1 D1 【分析】根据同分母的分式加减的法则计算，分母不变，分子相加减 【解答】解：原式1， 故选：C 6今年是三年禁毒“大扫除”攻坚克难之年为了让学生认识毒品的危害，某校举办了禁毒知识比赛，小 红所在班级学生的平均成绩是 80 分，小星所在班级学生的平均成绩是 85 分，在不知道小红和小星成绩 的情况下，下列说法比较合理的是（ ） A小红的分数比小星的分数低 B小红的分数

18、比小星的分数高 C小红的分数与小星的分数相同 D小红的分数可能比小星的分数高 【分析】根据平均数的定义进行分析即可求解 【解答】解：根据平均数的定义可知，已知小红所在班级学生的平均成绩是 80 分，小星所在班级学生的 平均成绩是 85 分，在不知道小红和小星成绩的情况下， 小红的分数可能高于 80 分，或等于 80 分，也可能低于 80 分，小星的分数可能高于 85 分，或等于 85 分，也可能低于 85 分， 所以上列说法比较合理的是小红的分数可能比小星的分数高 故选：D 7如图，已知线段 AB6，利用尺规作 AB 的垂直平分线，步骤如下： 分别以点 A，B 为圆心，以 b 的长为半径作弧，

19、两弧相交于点 C 和 D 作直线 CD直线 CD 就是线段 AB 的垂直平分线 则 b 的长可能是（ ） A1 B2 C3 D4 【分析】利用基本作图得到 bAB，从而可对各选项进行判断 【解答】解：根据题意得 bAB， 即 b3， 故选：D 8如图，已知数轴上 A，B 两点表示的数分别是 a，b，则计算|b|a|正确的是（ ） Aba Bab Ca+b Dab 【分析】根据各点在数轴上的位置，利用绝对值的性质，把|b|，|a|化简即可 【解答】解：由图可知，a0，b0， |a|a，|b|b， |b|a|b+a， 故选：C 9如图，O 与正五边形 ABCDE 的两边 AE，CD 相切于 A，C

20、 两点，则AOC 的度数是（ ） A144 B130 C129 D108 【分析】先根据五边形的内角和求ED108，由切线的性质得：OAEOCD90，最后 利用五边形的内角和相减可得结论 【解答】解：正五边形的内角（52）1805108， ED108， AE、CD 分别与O 相切于 A、C 两点， OAEOCD90， AOC5409090108108144， 故选：A 10已知反比例函数 y（k0）的图象与正比例函数 yax（a0）的图象相交于 A，B 两点，若点 A 的坐标是（1，2） ，则点 B 的坐标是（ ） A （1，2） B （1，2） C （1，2） D （2，1） 【分析】反比例

21、函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称 【解答】解：根据题意，知 点 A 与 B 关于原点对称， 点 A 的坐标是（1，2） ， B 点的坐标为（1，2） 故选：C 11如图，在ABCD 中，ABC 的平分线交 AD 于点 E，BCD 的平分线交 AD 于点 F，若 AB3，AD 4，则 EF 的长是（ ） A1 B2 C2.5 D3 【分析】根据平行四边形的性质证明 DFCD，AEAB，进而可得 AF 和 ED 的长，然后可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADCB，ABCD3，ADBC5， DFCFCB， 又CF 平分BCD， DCFFCB

22、， DFCDCF， DFDC3， 同理可证：AEAB3， AD4， AF541，DE431， EF4112 故选：B 12 小星在 “趣味数学” 社团活动中探究了直线交点个数的问题 现有 7 条不同的直线 yknx+bn（n1， 2， 3，4，5，6，7） ，其中 k1k2，b3b4b5，则他探究这 7 条直线的交点个数最多是（ ） A17 个 B18 个 C19 个 D21 个 【分析】由 k1k2得前两条直线无交点，b3b4b5得第三到五条有 1 个交点，然后第 6 条线与前 5 条 线最多有 5 个交点，第 7 条线与前 6 条线最多有 6 个交点求解 【解答】解：k1k2，b3b4b5

23、， 直线 yknx+bn（n1，2，3，4，5）中， 直线 yk1x+b1与 yk2x+b2无交点，yk3x+b3与 yk4x+b4与 yk5x+b5有 1 个交点， 直线 yknx+bn（n1，2，3，4，5）最多有交点 23+17 个， 第 6 条线与前 5 条线最多有 5 个交点， 第 7 条线与前 6 条线最多有 6 个交点， 交点个数最多为 7+5+618 故选：B 二、填空题二、填空题:每小题每小题 4 分分,共共 16 分分 13 （4 分）二次函数 yx2的图象开口方向是 向上 （填“向上”或“向下” ） 【分析】由二次函数图象开口方向和系数 a 之间的关系得出结论 【解答】解

24、：由 yx2得：a0， 二次函数图象开口向上 故答案为：向上 14 （4 分）如图，在平面直角坐标系中，菱形 ABCD 对角线的交点坐标是 O（0，0） ，点 B 的坐标是（0， 1） ，且 BC，则点 A 的坐标是 （2，0） 【分析】根据菱形性质得 OC 的长，因而得点 C 的坐标，根据对称性质可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 是菱形， BOC90，OCOA， 点 B 的坐标是（0，1） ， OB1， 在直角三角形 BOC 中，BC， OC2， 点 C 的坐标（2，0） ， OA 与 OC 关于原点对称， 点 A 的坐标（2，0） 故答案为： （2，0） 15 （4 分）贵阳市 20

25、21 年中考物理实验操作技能测试中，要求学生两人一组合作进行，并随机抽签决定分 组有甲、乙、丙、丁四位同学参加测试，则甲、乙两位同学分到同一组的概率是 【分析】画树状图，共有 12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有 4 种，再由概率公式 求解即可 【解答】解：画树状图如图： 共有 12 种等可能的结果，甲、乙两位同学分到同一组的结果有 4 种， 甲、乙两位同学分到同一组的概率为， 故答案为： 16（4 分） 在综合实践课上， 老师要求同学用正方形纸片剪出正三角形且正三角形的顶点都在正方形边上 小 红利用两张边长为 2 的正方形纸片，按要求剪出了一个面积最大的正三角形和一个面积最

26、小的正三角 形则这两个正三角形的边长分别是 22，2 【分析】设DEF 为正方形 ABCD 的一个内接正三角形，由于正三角形的三个顶点必落在正方形的三条 边上，所以令 F、G 两点在正方形的一组对边上，作 FG 边上的高为 EK，垂足为 K，连接 KA，KD，可 证 E、K、D、G 四点共圆，则KDEKGE60，同理KAE60，可证KAD 也是一个正三角 形，则 K 必为一个定点，再分别求边长的最大值与最小值 【解答】解：如图，设DEF 为正方形 ABCD 的一个内接正三角形， 作正DEF 的高 EK，连接 KA，KD， EKGEDG90， E、K、D、G 四点共圆， KDEKGE60， 同理

27、KAE60， KAD 是一个正三角形， 则 K 必为一个定点， 正三角形面积取决于它的边长， 当 FGAB，边长 FG 最小，面积也最小，此时边长等于正方形边长为 2， 当 FG 过 B 点时，即 F与点 B 重合时，边长最大，面积也最大， 此时作 KHBC 于 H， 由等边三角形的性质可知， K 为 FG 的中点， KHCD， KH 为三角形 FCG的中位线， CG2HK2（EHEK）2（22sin60）42， FG22， 故答案为：22，2 三、解答题三、解答题:本大题本大题 9 小题小题,共共 98 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演

28、算步骤 17 （12 分） （1）有三个不等式 2x+31，5x15，3（x1）6，请在其中任选两个不等式，组成一 个不等式组，并求出它的解集； （2）小红在计算 a（1+a）（a1）2时，解答过程如下： a（1+a）（a1）2 a+a2（a21）第一步 a+a2a21第二步 a1第三步 小红的解答从第 一 步开始出错，请写出正确的解答过程 【分析】 （1）根据题意，挑选两个不等式，组成不等式组然后解之即可 （2）应用完全平方公式错误 【解答】 （1）解：第一种组合：， 解不等式，得 x2， 解不等式，得 x3 原不等式组的解集是 x3； 第二种组合：， 解不等式，得 x2， 解不等式，得 x

29、3， 原不等式组无解； 第三种组合：， 解不等式，得 x3， 解不等式，得 x3， 原不等式组无解； （任选其中一种组合即可） ； （2）一， 解：a（1+a）（a1）2 a+a2（a22a+1） a+a2a2+2a1 3a1 故答案为一 18 （10 分）2020 年我国进行了第七次全国人口普查，小星要了解我省城镇及乡村人口变化情况，根据贵 州省历次人口普查结果，绘制了如下的统计图表请利用统计图表提供的信息回答下列问题： 贵州省历次人口普查城镇人口统计表 年份 1953 1961 1982 1990 2000 2010 2020 城镇人口（万 人） 110 204 540 635 845 1

30、175 2050 城镇化率 7% 12% 19% 20% 24% a 53% （1）这七次人口普查乡村人口数的中位数是 2300 万人； （2）城镇化率是一个国家或地区城镇人口占其总人口的百分率，是衡量城镇化水平的一个指标根据统 计图表提供的信息，我省 2010 年的城镇化率 a 是 34% （结果精确到 1%） ；假设未来几年我省城乡 总人口数与 2020 年相同，城镇化率要达到 60%，则需从乡村迁入城镇的人口数量是 271 万人（结果 保留整数） ； （3）根据贵州省历次人口普查统计图表，用一句话描述我省城镇化的趋势 【分析】 （1）根据中位数的定义即可解答 （2）用 2010 年的城镇

31、人口数除以 2010 年的人口总数可得 2010 年的城镇化率 a，用 2020 我省城乡总人 口数乘以 60%减去现有城镇人口数即可解答 （3）根据表格中的城镇化率即可解答 【解答】解： （1）这七次人口普查乡村人口数从小到大排列为：1391，1511，1818，2300，2315，2616， 2680， 中位数是第四个数 2300， 故答案为：2300； （2）1175（2300+1175）100%34%， （2050+1818）60%2050271（万人） ， 故答案为：34%，271； （3）随着年份的增加，城镇化率越来越高 19 （10 分）如图，在矩形 ABCD 中，点 M 在 D

32、C 上，AMAB，且 BNAM，垂足为 N （1）求证：ABNMAD； （2）若 AD2，AN4，求四边形 BCMN 的面积 【分析】 （1）利用矩形的对边平行和四个角都是直角的性质得到两队相等的角，利用 AAS 证得两三角形 全等即可； （2） 利用全等三角形的性质求得 ADBN2， AN4， 从而利用勾股定理求得 AB 的长， 利用 S四边形BCMN S矩形ABCDSABNSMAD求得答案即可 【解答】解： （1）在矩形 ABCD 中，D90，DCAB， BANAMD， BNAM， BNA90， 在MAD 和ABN 中， ， ABNMAD（AAS） ； （2）ABNMAD， BNAD， A

33、D2， BN2， 又AN4， 在 RtABN 中，AB2， S矩形ABCD224，SABNSMAD244， S四边形BCMNS矩形ABCDSABNSMAD48 20 （10 分）如图，一次函数 ykx2k（k0）的图象与反比例函数 y（m10）的图象交于点 C， 与 x 轴交于点 A，过点 C 作 CBy 轴，垂足为 B，若 SABC3 （1）求点 A 的坐标及 m 的值； （2）若 AB2，求一次函数的表达式 【分析】 （1）令 y0，则 kx2k0，所以 x2，得到 A（2，0） ，设 C（a，b） ，因为 BCy 轴，所以 B（0，b） ，BCa，因为ABC 的面积为 3，列出方程得到

34、ab6，所以 m16，所以 m5； （2）因为 AB2，在直角三角形 AOB 中，利用勾股定理列出方程，得到 b2+48，得到 b2，从而 C（3，2） ，将 C 坐标代入到一次函数中即可求解 【解答】解： （1）令 y0，则 kx2k0， x2， A（2，0） ， 设 C（a，b） ， CBy 轴， B（0，b） ， BCa， SABC3， ， ab6， m1ab6， m5， 即 A（2，0） ，m5； （2）在 RtAOB 中，AB2OA2+OB2， ， b2+48， b24， b2， b0， b2， a3， C（3，2） ， 将 C 代入到直线解析式中得 k， 一次函数的表达式为 21

35、（10 分）随着科学技术的不断进步，无人机被广泛应用到实际生活中，小星利用无人机来测量广场 B， C 两点之间的距离如图所示，小星站在广场的 B 处遥控无人机，无人机在 A 处距离地面的飞行高度是 41.6m，此时从无人机测得广场 C 处的俯角为 63，他抬头仰视无人机时，仰角为 ，若小星的身高 BE 1.6m，EA50m（点 A，E，B，C 在同一平面内） （1）求仰角 的正弦值； （2）求 B，C 两点之间的距离（结果精确到 1m） （sin630.89，cos630.45，tan631.96，sin270.45，cos270.89，tan270.51） 【分析】 （1）如图，过 A 点作

36、 ADBC 于 D，过 E 点作 EFAD 于 F，利用四边形 BDFE 为矩形得到 EFBD，DFBE1.6m，则 AF40m，然后根据正切的定义求解； （2）先利用勾股定理计算出 EF30m，再在 RtACD 中利用正切的定义计算出 CD，然后计算 BD+CD 即可 【解答】解： （1）如图，过 A 点作 ADBC 于 D，过 E 点作 EFAD 于 F， EBDFDBDFE90， 四边形 BDFE 为矩形， EFBD，DFBE1.6m， AFADDF41.61.640（m） ， 在 RtAEF 中，sinAEF， 即 sin 答：仰角 的正弦值为； （2）在 RtAEF 中，EF30（m

37、） ， 在 RtACD 中，ACD63，AD41.6， tanACD， CD21.22（m） ， BCBD+CD30+21.2251（m） 答：B，C 两点之间的距离约为 51m 22 （10 分）为庆祝“中国共产党的百年华诞” ，某校请广告公司为其制作“童心向党”文艺活动的展板、 宣传册和横幅， 其中制作宣传册的数量是展板数量的 5 倍， 广告公司制作每件产品所需时间和利润如表： 产品 展板 宣传册 横幅 制作一件产品所需时间 （小时） 1 制作一件产品所获利润 （元） 20 3 10 （1）若制作三种产品共计需要 25 小时，所获利润为 450 元，求制作展板、宣传册和横幅的数量； （2）

38、若广告公司所获利润为 700 元，且三种产品均有制作，求制作三种产品总量的最小值 【分析】 （1）设制作展板数量为 x 件，横幅数量为 y 件，则宣传册数量为 5x 件，根据题意列出二元一次 方程组即可； （2）根据三种产品的利润之和等于 700 列出函数关系式，然后根据一次函数的性质求出最小值 【解答】解： （1）设制作展板数量为 x 件，横幅数量为 y 件，则宣传册数量为 5x 件， 由题意得：， 解得：， 答：制作展板数量 10 件，宣传册数量 50 件，横幅数量 10 件； （2）设制作种产品总量为 w 件，展板数量 m 件，则宣传册数量 5m 件，横幅数量（w6m）件， 由题意得：2

39、0m+35m+10（w6m）700， 解得：wm+70， w 是 m 的一次函数， k， w 随 m 的增加而增加， 三种产品均有制作，且 w，m 均为正整数， 当 m2 时，w 有最小值，则 wmin75， 答：制作三种产品总量的最小值为 75 件 23 （12 分） 如图， 在O 中， AC 为O 的直径， AB 为O 的弦， 点 E 是的中点， 过点 E 作 AB 的垂线， 交 AB 于点 M，交O 于点 N，分别连接 EB，CN （1）EM 与 BE 的数量关系是 BEEM ； （2）求证：； （3）若 AM，MB1，求阴影部分图形的面积 【分析】 （1）证得BME 是等腰直角三角形即

40、可得到结论； （2） 根据垂径定理得到EMB90， 进而证得ABEBEN45， 得到， 根据题意得到 ，进一步得到； （3）先解直角三角形得到EAB30，从而得到EOB60，证得EOB 是等边三角形，则 OE BE，然后证得OEBOCN，然后根据扇形的面积公式和三角形面积公式求得即可 【解答】解： （1）AC 为O 的直径，点 E 是的中点， ABE45， ABEN， BME 是等腰直角三角形， BEEM， 故答案为 BEEM； （2）连接 EO，AC 是O 的直径，E 是的中点， AOE90， ABEAOE45， ENAB，垂足为点 M， EMB90 ABEBEN45， ， 点 E 是的中点

41、， ， ， ， ； （3）连接 AE，OB，ON， ENAB，垂足为点 M， AMEEMB90， BM1，由（2）得ABEBEN45， EMBM1， 又BEEM， BE， 在 RtAEM 中，EM1，AM， tanEAB， EAB30， EABEOB， EOB60， 又OEOB， EOB 是等边三角形， OEBE， 又， BECN， OEBOCN（SSS） ， CNBE 又S扇形OCN，SOCNCNCN， S阴影S扇形OCNSOCN 24 （12 分）甲秀楼是贵阳市一张靓丽的名片如图，甲秀楼的桥拱截面 OBA 可视为抛物线的一部分， 在某一时刻，桥拱内的水面宽 OA8m，桥拱顶点 B 到水面的

42、距离是 4m （1）按如图所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式； （2）一只宽为 1.2m 的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距 O 点 0.4m 时，桥下水位刚好在 OA 处，有一名身高 1.68m 的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由 （假设船底与水面齐平） （3）如图，桥拱所在的函数图象是抛物线 yax2+bx+c（a0） ，该抛物线在 x 轴下方部分与桥拱 OBA 在平静水面中的倒影组成一个新函数图象将新函数图象向右平移 m（m0）个单位长度，平移后的函 数图象在 8x9 时，y 的值随 x 值的增大而减小，结合函数图象，求 m

43、的取值范围 【分析】 （1） 根据题意结合图象可以求出函数的顶点 B （4， 4） ， 先设抛物线的顶点式 ya（x4） 2+4， 再根据图象过原点，求出 a 的值即可； （2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出 y 的值，然后和 1.68 比较即可； （3）根据倒影与桥对称，先求出倒影的解析式，再平移 m 各单位，根据二次函数的性质求出 m 的取值 范围 【解答】解： （1）如图，由题意得：水面宽 OA 是 8m，桥拱顶点 B 到水面的距离是 4m， 结合函数图象可知，顶点 B （4，4） ，点 O （0，0） ， 设二次函数的表达式为 ya（x4）2+4， 将点 O （0，

44、0）代入函数表达式， 解得：a， 二次函数的表达式为 y（x4）2+4， 即 yx2+2x （0 x8） ； （2）工人不会碰到头，理由如下： 小船距 O 点 0.4m，小船宽 1.2m，工人直立在小船中间， 由题意得：工人距 O 点距离为 0.4+1.21， 将1 代入 yx2+2x， 解得：y1.75， 1.75m1.68m， 此时工人不会碰到头； （3）抛物线 yx2+2x 在 x 轴上方的部分与桥拱在平静水面中的倒影关于 x 轴成轴对称 如图所示， 新函数图象的对称轴也是直线 x4， 此时，当 0 x4 或 x8 时，y 的值随 x 值的增大而减小， 将新函数图象向右平移 m 个单位长

45、度，可得平移后的函数图象， 如图所示， 平移不改变图形形状和大小， 平移后函数图象的对称轴是直线 x4+m， 当 mx4+m 或 x8+m 时，y 的值随 x 值的增大而减小， 当 8x9 时，y 的值随 x 值的增大而减小，结合函数图象， 得 m 的取值范围是： m8 且 4+m9，得 5m8， 8+m8，得 m0， 由题意知 m0， m0 不符合题意，舍去， 综上所述，m 的取值范围是 5m8 25 （12 分） （1）阅读理解 我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作周髀算经中汉代数学家赵 爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图” ，后人称之为“赵爽弦图”

46、根据“赵爽弦图”写出勾股定理和推理过程； （2）问题解决 勾股定理的证明方法有很多，如图是古代的一种证明方法：过正方形 ACDE 的中心 O，作 FGHP， 将它分成 4 份，所分成的四部分和以 BC 为边的正方形恰好能拼成以 AB 为边的正方形若 AC12，BC 5，求 EF 的值； （3）拓展探究 如图，以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重 复这一过程就可以得到“勾股树”的部分图形设大正方形 N 的边长为定值 n，小正方形 A，B，C，D 的边长分别为 a，b，c，d 已知123，当角 （090）变化时，探究 b 与 c 的关系式，并写出该关系

47、式及解 答过程（b 与 c 的关系式用含 n 的式子表示） 【分析】 （1）由题意得 4ADE 的面积+正方形 EFGH 的面积正方形 ABCD 是面积，即 4ab+（b a）2c2，整理即可； （2）设 EFa，FDb，则 a+b12，再由题意得 EFEF，KFFD，EKBC5，则 ab5， 由求出 a即可； （3）设正方形 E 的边长为 e，正方形 F 的边长为 f，证PMQDOEBCA，得， 则 e2cn，f2bn，再由勾股定理得：e2+f2n2，则 cn+bnn2，即可得出结论 【解答】解： （1）a2+b2c2（直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方） ，证明如下： 如图是由直角边长分别为 a，b 的四个全等的直角三角形与中间一个边长为（ba）的小正方形拼成 的一个边长为 c 的大正方形， 4ADE 的面积+正方形 EFGH 的面积正方形 ABCD 是面积， 即 4ab+（ba）2c2， 整理得：a2+b2c2； （2）由题意得：正方形 ACDE 被分成 4 个全等的四边形， 设 EFa，FDb， a+b12， 正方形 ABIJ 是由正方形 ACDE 被分成的 4 个全等的四边形和正方形 CBLM 拼成， EFEF，KFFD，EKBC5， EFKFEK， ab5， 由得：， 解得：a， EF； （3）c+bn