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黑龙江省大庆市2021年中考数学真题(解析版)

1、2021 年大庆市初中升学考试数学年大庆市初中升学考试数学试卷试卷 一选择题(本大题共一选择题(本大题共 10 小题,每小题小题,每小题 3分,共分,共 30 分在每小题给出的四个选项中,只有一分在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的,请将正确选项的序母填涂在答题卡上)项是符合题目要求的,请将正确选项的序母填涂在答题卡上) 1. 在, 1 2 ,3, 4 7 这四个数中,整数是( ) A. B. 1 2 C. 3 D. 4 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据整数分为正整数、0、负整数,由此即可求解 【详解】解:选项 A:是无理数,不符合题意; 选项 B: 1 2 是分数,不符

2、合题意; 选项 C:3是负整数,符合题意; 选项 D: 4 7 是分数,不符合题意; 故选:C 【点睛】本题考查了有理数的定义,熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键 2. 下列图形中,是中心对称图形,但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析:根据中心对称图形的定义旋转 180 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对 称图形的定义:如果一个图形沿一条直线折叠, 直线两旁的部分能够互相重合, 这个图形叫做轴对称图形, 这条直线叫做对称轴,即可判断出答案 详解:A、此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项正确; B、此图形不

3、是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; C、此图形是中心对称图形,也是轴对称图形,故此选项错误; D、此图形不中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误 故选 A 点睛:此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,关键是找出图形的对称中心与对称轴 3. 北京故宫的占地面积约为 720 000m2,将 720 000用科学记数法表示为( ). A. 72 104 B. 7.2 105 C. 7.2 106 D. 0.72 106 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时,一般形式为 a 10n,其中 1|a|10,n为整数,据此判断即可 【详解】解:将 720000 用科学记数

4、法表示为 7.2 105 故选 B 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式,其中 1|a|10,n 为整 数,表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 4. 下列说法正确的是( ) A. | |xx B. 若|1| 2x取最小值,则0 x C. 若11xy ,则| |xy D. 若|1| 0 x,则1x 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可 【详解】解:A当0 x时,|xx,故该项错误; B10 x ,当1x 时|1| 2x取最小值,故该项错误; C 11xy ,1x ,1y ,| |xy,故该项错误; D| 1|

5、 0 x 且|1| 0 x,|1| 0 x,1x,故该项正确; 故选:D 【点睛】本题考查绝对值,掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键 5. 已知0ba,则分式 a b 与 1 1 a b 的大小关系是( ) A. 1 1 aa bb B. 1 1 aa bb C. 1 1 aa bb D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将两个式子作差,利用分式的减法法则化简,即可求解 【详解】解: 111 111 a bb aaaab bbb bb b , 0ba, 1 0 11 aaab bbb b , 1 1 aa bb , 故选:A 【点睛】本题考查分式的大小比较,掌握作差法是解题的

6、关键 6. 已知反比例函数 k y x , 当0 x时,y随x的增大而减小, 那么一次的数ykxk 的图像经过第 ( ) A. 一,二,三象限 B. 一,二,四象限 C. 一,三,四象限 D. 二,三,四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性得到0k ,再利用一次函数的图象与性质即可求解 【详解】解:反比例函数 k y x ,当0 x时,y随x的增大而减小, 0k , ykxk 的图像经过第一,二,四象限, 故选:B 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质,掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题 的关键 7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成,从上面看到的几

7、何体的形状图如图所示,其中小正方形中的数 字表示在该位置的小正方块的个数,能正确表示该几何体的主视图的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同,且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数 字,从而可得出结论 【详解】由已知条件可知:主视图有 3列,每列小正方形的数目分别为 4,2,3,根据此可画出图形如下: 故选:B 【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像,是培养学生观察能力 8. 如图,F是线段CD上除端点外一点,将ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90,得到 ABE连接EF交AB于点H下列结论正确的是( ) A.

8、 120EAF B. :1: 3AE EF C. 2 AFEH EF D. :EB ADEH HF 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到EAF 是等腰直角三角形,然后根据相似三角形的判定和性质,以及平 行线分线段成比例定理即可作出判断 【详解】解:根据旋转的性质知:EAF=90 ,故 A 选项错误; 根据旋转的性质知:EAF=90 ,EA=AF,则EAF是等腰直角三角形, EF= 2AE,即 AE:EF=1:2,故 B 选项错误; 若 C 选项正确,则 22 AFAEEH EF ,即 EAEF EHEA , AEF=HEA=45 , EAFEHA, EAHEFA, 而EFA=4

9、5 ,EAH45 , EAHEFA, 假设不成立,故 C选项错误; 四边形 ABCD是正方形, CDAB,即 BHCF,AD=BC, EB:BC=EH:HF,即 EB:AD=EH:HF,故 D选项正确; 故选:D 【点睛】本题考查了旋转的性质,正方形的性质,相似三角形的判定和性质,平行线分线段成比例定理, 正确运用反证法是解题的关键 9. 小刚家 2019 年和 2020年的家庭支出如下,已知 2020年的总支出 2019年的总支出增加了 2 成,则下列 说法正确的是( ) A. 2020年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4倍; B. 2020年衣食方面的支出比 2019

10、年衣食方面的支出增加了 10%; C. 2020年总支出比 2019年总支出增加了 2%; D. 2020年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同 【答案】A 【解析】 【分析】设 2019年总支出为 a元,则 2020年总支出为 1.2a 元,根据扇形统计图中的信息逐项分析即可 【详解】解:设 2019年总支出为 a元,则 2020年总支出为 1.2a 元, A2019 年教育总支出为 0.3a,2020 年教育总支出为1.235%0.42aa,0.420.31.4aa,故该项正确; B 2019年衣食方面总支出为0.3a, 2020年衣食方面总支出为1.240%0.48aa, 0

11、.480.30.353%aaa , 故该项错误; C2020 年总支出比 2019年总支出增加了 20%,故该项错误; D2020 年其他方面的支出为1.215%0.18aa,2019 年娱乐方面的支出为 0.15a,故该项错误; 故选:A 【点睛】本题考查扇形统计图,能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键 10. 已知函数 2 11yaxax,则下列说法不正确的个数是( ) 若该函数图像与x轴只有一个交点,则 1a 方程 2 110axax 至少有一个整数根 若 1 1x a ,则 2 11yaxax的函数值都是负数 不存在实数a,使得 2 110axax 对任意实数x都成立 A. 0

12、B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于:分情况讨论一次函数和二次函数即可求解; 对于:分情况讨论 a0和 a0 时方程的根即可; 对于:已知条件中限定 a0 且 a1或 a0,分情况讨论 a1或 a0时的函数值即可; 对于:分情况讨论 a0和 a0 时函数的最大值是否小于等于 0即可 【详解】解:对于:当 a0时,函数变为1yx ,与x只有一个交点, 当 a0 时, 22 (1)4(1)0aaaD=+-=-=,1a , 故图像与x轴只有一个交点时,1a 或0a,错误; 对于:当 a0时,方程变为10 x ,有一个整数根为1x , 当 a0 时,方程 2 110axax

13、 因式分解得到:(1)(1)0axx,其中有一个根为1x ,故此时 方程至少有一个整数根,故正确; 对于:由已知条件 1 1x a 得到 a0,且 a1或 a0 当 a1时, 2 11yaxax开口向上,对称轴为 111 222 a x aa + =+,自变量离对称轴越远,其对应 的函数值越大, 1 1 11 222 a a + =+ , 1 ,1xx a =离对称轴的距离一样,将1x 代入得到0y ,此时函数最大值小于 0; 当 a0时, 2 11yaxax开口向下,自变量离对称轴越远,其对应的函数值越小, 11 22 x a =+时,函数取得最大值为 222 4(1)21(1) 444 a

14、aaaa y aaa , a0, 最大值 2 (1) 0 4 a a ,即有一部分实数x,其对应的函数值 0y ,故错误; 对于:a0时,原不等式变形为:1 0 x 对任意实数x不一定成立,故 a0 不符合; a0时,对于函数 2 11yaxax, 当a0时开口向上, 总有对应的函数值0y , 此时不存在a对 2 110axax 对任意实数x都成立; 当 a0时开口向下,此时函数的最大值为 222 4(1)21(1) 444 aaaaa aaa , a0, 最大值 2 (1) 0 4 a a ,即有一部分实数x,其对应的函数值 0y , 此时不存在 a对 2 110axax 对任意实数x都成立

15、;故正确; 综上所述,正确, 故选:C 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质,二次函数与方程之间的关系,分类讨论的思想,本题难度较大, 熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键 二填空题(本大题共二填空题(本大题共 8 小题,每小题小题,每小题 3 分,共分,共 24 分不需写出解答过程,请把答案直接填分不需写出解答过程,请把答案直接填 写在答题卡相应位置上)写在答题卡相应位置上) 11. 4 2- _ 【答案】4 【解析】 【分析】先算 4 ( 2),再开根即可 【详解】解: 4 2- 2 2 2 2 16 4 故答案是:4 【点睛】本题考查了求一个数的 4次方和对一个实数开根号,解题的关键

16、是:掌握相关的运算法则 12. 已知0 234 xyz ,则 2 xxy yz _ 【答案】 5 6 【解析】 【分析】设 234 xyz k ,再将 , ,x y z分别用k的代数式表示,再代入约去k即可求解 【详解】解:设0 234 xyz k, 则234xkykzk=, 故 22222 22 (2 )2346105 3412126 xxykkkkkk yzkkkk , 故答案为: 5 6 【点睛】本题考查了比例的性质,正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键 13. 一个圆柱形橡皮泥,底面积是 2 12cm高是5cm如果用这个橡皮泥的一半,把它捏成高为5cm的圆 锥,则这个圆锥的底面积是

17、_ 2 cm 【答案】18 【解析】 【分析】首先求出圆柱体积,根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积,根据圆锥体积计算公式列出 方程,即可求出圆锥的底面积 【详解】圆柱Sh= 2 12560cm? , 这个橡皮泥的一半体积为: 2 1 6030 2 Vcm=?, 把它捏成高为5cm的圆锥,则圆锥的高为 5cm, 故 1 30 3 Sh=, 即 1 5=30 3 Sg, 解得=18S(cm2) , 故填:18 【点睛】本题考查了圆柱体积和圆锥的体积计算公式,解题关键是理解题意,熟练掌握圆柱体积和圆锥 体积计算公式 14. 如图,3条直线两两相交最多有 3 个交点,4条直线两两相交最多有 6

18、个交点,按照这样的规律,则 20 条直线两两相交最多有_个交点 【答案】190 【解析】 【分析】根据题目中的交点个数,找出n条直线相交最多有的交点个数公式: 1 (1) 2 n n 【详解】解:2 条直线相交有 1 个交点; 3 条直线相交最多有 1 12332 2 个交点; 4 条直线相交最多有 1 123643 2 个交点; 5 条直线相交最多有 1 12341054 2 个交点; 20 条直线相交最多有 1 20 19190 2 故答案为:190 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题,解答此题的关键是找出规律,即n条直线相交最多有 1 (1) 2 n n 15. 三个数 3,1,

19、1 2aa在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则a的取值范 围为_ 【答案】32a 【解析】 【分析】 根据三个数在数轴上的位置得到3 11 2aa , 再根据三角形的三边关系得到13 1 2aa , 求解不等式组即可 【详解】解:3,1,1 2aa在数轴上从左到右依次排列, 3 11 2aa ,解得2a, 这三个数为边长能构成三角形, 13 1 2aa ,解得3a, 综上所述,a的取值范围为32a , 故答案为:32a 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系,根据题意列出不等式组是解题的关键 16. 如图, 作O的任意一条直经FC, 分别以F C 为圆心, 以

20、FO的长为半径作弧, 与O相交于点E A 和D B,顺次连接AB BC CD DE EF FA,,得到六边形ABCDEF,则O的面积与阴影区域的面积 的比值为_; 【答案】 2 3 3 【解析】 【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和,设O 的半径与等边三角形的边长 为a,分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积,即可求解 【详解】连接OE,OD,OB,OA, 由题可得:EFOFOEFAOAABOBBCOCCDOD ,EFOOFAOABOBCOCDODE为边长相等的等边三角形 可将图中阴影部分的面积转化为 ODE和OAB的面积之和,如图所示: 设O的半径与等边三角形的边长

21、为a, O 的面积为 22 Sra 等边OED与等边OAB的边长为a 2 3 4 OAB a SS OED 2 3 = 2 OEDOAB a SSS 阴 O 的面积与阴影部分的面积比为 2 2 2 3 = 33 2 Sa Sa 阴 故答案为: 2 3 3 【点睛】本题考查了图形的面积转换,等边三角形面积以及圆面积的求法,将不规则图形的面积转换成规 则图形的面积是解题关键 17. 某酒店客房都有三人间普通客房, 双人间普通客房, 收费标准为: 三人间 150 元/间, 双人间 140元/间 为 吸引游客,酒店实行团体入住五折优惠措施,一个 46 人的旅游团,优惠期间到该酒店入住,住了一些三人 间

22、普通客房和双人间普通客房,若每间客房正好住满,且一天共花去住宿费 1310元,则该旅游团住了三人 间普通客房和双人间普通客房共_间; 【答案】18 【解析】 【分析】根据客房数 相应的收费标准=1310 元列出方程并解答 【详解】解:设住了三人间普通客房 x间,则住了两人间普通客房 46 3 2 x- 间,由题意,得: 150 0.5x+140 0.5 46-3 2 x =1310, 解得:x=10, 则: 46 3 2 x- =8, 所以,这个旅游团住了三人间普通客房 10间,住了两人间普通客房 8间,共 18 间 故答案为:18 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用,弄清题意,找出合适的等

23、量关系,利用已知得出等式方程是解 题关键 18. 已知,如图 1,若AD是ABC中BAC的内角平分线,通过证明可得 = ABBD ACCD ,同理,若AE是 ABC中BAC的外角平分线,通过探究也有类似的性质请你根据上述信息,求解如下问题:如图 2, 在ABC中,2,3,BDCDAD是ABC的内角平分线,则ABC的BC边上的中线长l的取值范围 是_ 【答案】 15 22 l 【解析】 【分析】根据题意得到 2 = 3 AB AC ,反向延长中线AE至F,使得AEEF,连接CF,最后根据三角形三 边关系解题 【详解】如图,反向延长中线AE至F,使得AEEF,连接CF, 2,3,BDCDAD是AB

24、C的内角平分线, 2 = 3 AB AC DEEC AEBCEF AEEF ()ABEFEC SAS ABCF 由三角形三边关系可知, ACCFAFACCF 15AF 15 22 AE 故答案为: 15 22 l 【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识,是 重要考点,难度一般,掌握相关知识是解题关键 三解答题(本大题共三解答题(本大题共 10 小题,共小题,共 66分请在答题卡指定区域内作答,解有时应写出文字说分请在答题卡指定区域内作答,解有时应写出文字说 明,证明过程或演算步骤)明,证明过程或演算步骤) 19. 计算 2 222sin451

25、【答案】1 【解析】 【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可 【详解】解: 2 222sin451 2 2221 2 1 故答案是:1 【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则,解题的关键是:掌 握相关的运算法则 20. 先因式分解,再计算求值: 3 28xx,其中3x 【答案】222x xx,30 【解析】 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解,再代入 x 的值即可 【详解】解: 32 2824222xxx xx xx , 当3x 时,原式2 3 5 130 【点睛】本题考查因式分解,掌握提公因式法和公

26、式法是解题的关键 21. 解方程: 5 4 2332 x xx 【答案】1x 【解析】 【分析】去分母转化为整式方程,求出整式方程的解得到 x的值,经检验即可得到分式方程的解 【详解】方程两边乘23x,得:54(23)xx, 解得:1x , 检验:当1x 时,230 x 1x 是原分式方程的解 【点睛】本题考查了解分式方程,利用了转化的思想,解分式方程注意要检验 22. 小明在A点测得C点在A点的北偏西75方向,并由A点向南偏西45方向行走到达B点测得C点在 B点的北偏西45方向,继续向正西方向行走2km后到达D点,测得C点在D点的北偏东22.5方向,求 ,A C两点之间的距离 (结果保留0.

27、1km,参数数据 31.732 ) 【答案】2.3km 【解析】 【分析】根据题中给出的角度证明CDB 为等腰三角形,得到 CB=DB=2,再证明 CBA 为 30,60, 90直角三角形,最后根据 3 sinsin60 2 CB CAB AC ?= 即可求出 AC的长 【详解】解:如下图所示, 由题意可知:EAC=75 ,FAB=NBA=45 ,CBN=45 ,DB=2km,MDC=22.5 , 在 BCD中,CDB=90 -MDC=90 -22.5 =67.5 , CBD=90 -CBN=90 -45 =45 , DCB=180 -CDB-CBD=180 -67.5 -45 =67.5 ,

28、 DCB=CDB, CDB 为等腰三角形, CB=DB=2, 在 CBA中,CBA=CBN+NBA=45 +45 =90 , CBA为直角三角形, 又CAB=CAG+GAB=(90 -EAC)+GAB=(90 -75 )+45 =60 , CBA为 30,60,90直角三角形, 3 sinsin60 2 CB CAB AC ?= ,代入2CB, 4 3 2.3 3 AC =? (km), 故,A C两点之间的距离为2.3km 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形,读懂题意,将题中信息转化成已知条件,本题中得出CDB 为等腰三角形是解题的关键 23. 如图是甲,乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图,

29、乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中(圆柱形实心铁 块的下底面完全落在乙槽底面上) ,现将甲槽中的水匀速注入乙槽,甲,乙两个水槽中水的深度cmy与 注水时间minx之间的关系如图所示,根据图象解答下列问题: (1)图中折线EDC表示_槽中水的深度与注入时间之间的关系;线段AB表示 _槽中水的深度与注入时间之间的关系;铁块的高度为_cm (2)注入多长时间,甲乙两个水槽中水的深度相同?(请写出必要的计算过程) 【答案】 (1)乙,甲,16; (2)2 分钟 【解析】 【分析】 (1)根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的,水深增加的为乙槽的,并水深 16cm之后增加的 变慢,即可得到铁块的高度; (

30、2)利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式,即可求解 【详解】解: (1)图中折线EDC表示乙槽中水深度与注入时间之间的关系; 线段AB表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系; 铁块的高度为 16cm (2)设甲槽中水的深度为 111 yk xb,把0,14A,7,0B代入,可得 1 11 14 70 b kb ,解得 1 1 2 14 k b , 甲槽中水的深度为 1 214yx , 根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时,在 DE段, 设乙槽 DE段水的深度为 222 yk xb,把0,4E,4,16D代入,可得 2 22 4 416 b kb ,解得 2 2 3 4 k b , 甲槽中

31、水的深度为 2 34yx, 甲乙两个水槽中水的深度相同时,21434xx,解得2x, 故注入 2分钟时,甲乙两个水槽中水的深度相同 【点睛】本题考查一次函数的实际应用,根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键 24. 如图,在平行四边形ABCD中,3AB ,点E为线段AB的三等分点(靠近点A) ,点F为线段CD的 三等分点(靠近点C,且CEAB将BCE沿CE对折,BC边与AD边交于点G,且DCDG (1)证明:四边形AECF为矩形; (2)求四边形AECG的面积 【答案】 (1)证明见解析; (2) 7 3 4 【解析】 【分析】 (1)根据平行四边形的性质可得/AB CD,ABCD,根

32、据题意三等分点可得AECF,根据 对边平行且相等得到四边形AECF为平行四边形,再根据一个角为 90 的平行四边形是矩形即可得证; (2)根据角度关系可得B AG是等边三角形,B BC是等边三角形,利用割补法即可求出面积 【详解】解: (1)四边形 ABCD 是平行四边形, /AB CD,ABCD, 点E为线段AB的三等分点(靠近点A) ,点F 为线段CD的三等分点(靠近点C) , 1 3 AEAB, 1 3 CFCD, AECF, 四边形AECF为平行四边形, CEAB, 四边形AECF为矩形; (2)3AB ,点E为线段AB的三等分点(靠近点A) , 1AE ,2BE , 将BCE沿CE对

33、折,BC边与AD边交于点G, 24BBBE,BB , DCDG, DGCDCG , /AB CD, BDCG ,B AGDBB , B AGBB GA , B AG是等边三角形,B BC是等边三角形, 作 BHAG于 H, 33 22 B HAB, 3 2 3 2 CEBC, 1137 3 2 321 2224 AECGCEBGAB SSS 【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形,掌握上述性质定理是解题的关键 25. 某校要从甲,乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛,在最近的 8次选拔赛中,他们的成绩(成绩均 为整数,单位:分)如下: 甲:92,95,96,88,92,98,9

34、9,100 乙:100,87,92,93,9,95,97,98 由于保存不当,学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清, (1)求甲成绩的平均数和中位数; (2)求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率; (3)当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时,请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛 【答案】 (1)平均数为 95分,中位数为 95.5分; (2) 4 5 ; (3)甲 【解析】 【分析】 (1)根据平均数和中位数的定义求解即可; (2)设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a,求出乙成绩的平均数,解不等式得到 a 的范围,利用概率公式 即可求解; (3)利用方差公式求出甲和乙的方差,选方

35、差较小的即可 【详解】解: (1)甲成绩的平均数为:5 92959688929899 100 9 8 ; 甲成绩从小到大排列为:88,92,92,95,96,98,99,100 , 甲成绩的中位数为: 9596 95.5 2 ; (2)设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a, (a 为 0-9 的整数) 则乙成绩的平均数为: 8 10087929390975975 8 829aa , 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时,即 752 95 8 a , 解得8a, a的值可以为0 7这 8 个整数 P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) 84 = 105 ; (3)当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相

36、等时, 752 95 8 a ,解得8a , 此时乙的平均数也为 95, 甲的方差为: 22222222 2 1 929595959695889592959895999510095 8 s 甲 1 9014999162514.75 8 ; 乙的方差为: 22222222 2 1 100958795929593959895959597959895 8 s 乙 1 2564949 14915.5 8 , 22 ss 甲乙, 甲的成绩更稳定,故应选甲参加数学竞赛 【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差,以及概率公式,掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题 的关键 26. 如图,一次函数y kxb 的

37、图象与y轴的正半轴交于点A,与反比例函数 4 y x 的图像交于,P D两 点以AD为边作正方形ABCD,点B落在x轴的负半轴上,已知BOD的面积与AOB的面积之比为 1:4 (1)求一次函数y kxb 的表达式: (2)求点P的坐标及CPD外接圆半径的长 【答案】(1) 3 4 4 yx ;(2)点P的坐标为 4 ( ,3) 3 ;CPD外接圆半径的长为 5 13 6 【解析】 【分析】(1)过 D点作 DEy轴交 x 轴于 H点,过 A 点作 EFx轴交 DE于 E 点,过 B作 BFy轴交 EF 于 F 点,证明ABFDAE, 4 ( , )(0)D aa a ,BOD的面积与AOB的面

38、积之比为1:4得到 16 OA a =,进 而得到 16 =a a ,求出 A、D两点坐标即可求解; (2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出 P 点坐标;再求出 C点坐标,进而求出 CP 长度,Rt CPD 外接圆的半径即为 CP 的一半 【详解】解:(1)过 D 点作 DEy轴交 x轴于 H点,过 A 点作 EFx 轴交 DE于 E 点,过 B作 BFy 轴交 EF 于 F点,如下图所示: BOD与AOB有公共的底边 BO,其面积之比为 1:4, DH:OA=1:4, 设 4 ( , )(0)D aa a ,则 416 =DHOAOHAE a aa =, ABCD为正方形, AB=AD

39、,BAD=90 , BAF+EAD=90 , BAF+FBA=90 , FBA=EAD, 在 ABF和 DAE中: =90 = FE FBAEAD ABAD , ABF DAE(AAS), BFAEOAa= 又 16 OA a =, 16 =a a ,解得4a(负值舍去), (0,4)(4,1)AD,代入y kxb 中, 40 14 b kb ,解得 3 4 4 k b , 一次函数的表达式为 3 4 4 yx ; (2)联立一次函数与反比例函数解析式: 3 4 4 4 yx y x , 整理得到: 2 316160 xx , 解得 1 4 3 x , 2 4x , 点P的坐标为 4 ( ,3

40、) 3 ;D 点的坐标为(4,1) 四边形 ABCD为正方形, 2222 =435DCADAEDE=+=+= , 且 222 4100 (4)(3 1) 39 PD =-+-=, 在Rt PCD中,由勾股定理: 222 100325 25 99 PCDCPD=+=+=, 5 13 3 PC =, 又 CPD 为直角三角形,其外接圆的圆心位于斜边 PC 的中点处, CPD 外接圆的半径为 5 13 6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用,三角形全等的判定与性质,勾股定理求线段长, 本题属于综合题,解题的关键是正确求出点 A、D两点坐标 27. 如图, 已知AB是O的直径BC是O的弦

41、, 弦ED垂直AB于点F, 交BC于点G 过点C作 O 的切线交ED的延长线于点P (1)求证:PCPG; (2)判断 2 PGPD PE 是否成立?若成立,请证明该结论; (3)若G为BC中点,5OG , 5 sin 5 B ,求DE的长 【答案】 (1)见解析; (2)结论成立,见解析; (3)4 6 【解析】 【分析】 (1)连接OC,可得BOC为等腰三角形,则BOCB ,结合垂经定理和切线的性质可得 90OCPBFG,从而可得BGFPCG,即可得到结论; (2)连接 EC,CD,CO并延长CO交O于点H,连接DH,证明PCDPEC,在结合(1)中的 结论即可求解; (3)连接 OD,O

42、G,根据垂经定理的推论得出OGBG,BFGO ,在RtBOG中利用三角函数 求出O的半径,在RtOFG中利用三角函数即可求得OF长,在利用勾股定理求出FD,从而可求 DE 【详解】 (1)如图:连接OC BOC为等腰三角形 BOCB EDAB,PC切O于点C 90OCPBFG 90 ,90OCBPCGBBGF BGFPCG BGFPGC PGCPCG PCPG (2)结论成立;理由如下; 如图:连接 EC,CD,CO并延长CO交O于点H,连接DH CH为O的直径 90HDC PC切O于点C 90HCP 90 ,90HHCDPCDHCD HPCD HE EPCD PEC PCD PCPD PEP

43、C PCPG 2 PGPD PE (3)如图:连接 OD,OG, GBC中点 OGBC 90BGO 5 5,sin 5 OGB 55 sin 5 OG B OBOB 5OB 5OBOD EDAB与点 F 2EDFD 90OFG 90 ,90BOGFGOBBOG BFGO 5 sin 55 OFOF FGO OG 1OF 在Rt OFD中有 222 ODOFFD 222 51FD 2 6FD 4 6DE 【点睛】本题考查了垂经定理及推论,相似三角形的判定和性质,切线的性质,以及解直角三角形等知识, 综合性较强,解答本题需要我们熟练掌握各部分内容,将所学知识贯穿起来 28. 如图, 抛物线 2 y

44、axbxc与x轴交于除原点O和点A, 且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1 (1)求抛物线的函数表达式; (2)抛物线的对称轴上存在定点F,使得抛物线 2 yaxbxc上的任意一点G到定点F的距离与点G 到直线 2y 的距离总相等 证明上述结论并求出点F的坐标; 过点F的直线l与抛物线 2 yaxbxc交于,M N两点 证明: 当直线l绕点F旋转时, 11 MFNF 是 定值,并求出该定值; (3)点3,Cm是该抛物线上的一点,在x轴,y轴上分别找点,P Q,使四边形PQBC周长最小,直接 写出,P Q的坐标 【答案】 (1) 2 1 4 yxx; (2)2,0F; 11 1 MFNF ,证

45、明见解析(3) 6 ,0 7 P , 3 0, 10 Q 【解析】 【分析】 (1)先求出顶点B的坐标为2, 1,在设抛物线的解析式为 2 21ya x,根据抛物线过原 点,即可求出其解析式; (2)设点F坐标为2,b,点G坐标为 2 1 , 4 aaa ,利用两点间距离公式,结合题目已知列出等量 关系;设直线l的解析式为2yk x,直线l与抛物线交于点,M N,直线方程与抛物线联立得出 22 4,4 MNMN yykyyk ,在结合的结论,分别表示出,MF NF的值,即可求解; (3)先求出点C的坐标,分别作点C关于x轴的对称点 C ,点B关于y轴的对称点 B ,连接BC ,交x 轴于点P,

46、交y轴于点Q,则点,P Q即为所求 【详解】解: (1)点 B 关于x轴对称点的坐标为2,1 点B的坐标为2, 1 设抛物线的解析式为 2 21ya x 抛物点过原点 2 0021a 解得 1 4 a 抛物线解析式为: 21 21 4 yx即 2 1 4 yxx (2)设点F坐标为2,b,点G坐标为 2 1 , 4 aaa 由题意可得: 2 2 22 11 22 44 aaabaa 整理得: 2 20 2 a bab 0b 点F的坐标为2,0 设直线l的解析式为2yk x,直线l与抛物线交于点,M N 2 1 4 2 yxx yk x 2 122 4 ykyk y kk 整理得: 222 440yk yk 22 4,4 MNMN yykyyk 由得2,2 MN MFyNFy 1111 22 MN MFNFyy 整理得: 411 24 MN MNMN yy MFNFy yyy 2 2 1144 1 44 k MFNFk (3)点3,Cm在抛物线 2 1 4 yxx上, 13 93= 44 m 3 3, 4 C 如图:作点C关于x轴的对称点 C ,点B关于y轴的对称点 B 则点 3 3