1、2021 年大庆市初中升学考试数学年大庆市初中升学考试数学试卷试卷 一选择题（本大题共一选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3分，共分，共 30 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上）项是符合题目要求的，请将正确选项的序母填涂在答题卡上） 1. 在， 1 2 ，3， 4 7 这四个数中，整数是（ ） A. B. 1 2 C. 3 D. 4 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据整数分为正整数、0、负整数，由此即可求解 【详解】解：选项 A：是无理数，不符合题意； 选项 B： 1 2 是分数，不符
2、合题意； 选项 C：3是负整数，符合题意； 选项 D： 4 7 是分数，不符合题意； 故选：C 【点睛】本题考查了有理数的定义，熟练掌握整数分为正整数、0、负整数是解决本题的关键 2. 下列图形中，是中心对称图形，但不是轴对称图形的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据中心对称图形的定义旋转 180 后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对 称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠， 直线两旁的部分能够互相重合， 这个图形叫做轴对称图形， 这条直线叫做对称轴，即可判断出答案 详解：A、此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项正确； B、此图形不
3、是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C、此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项错误； D、此图形不中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误 故选 A 点睛：此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，关键是找出图形的对称中心与对称轴 3. 北京故宫的占地面积约为 720 000m2，将 720 000用科学记数法表示为( ). A. 72 104 B. 7.2 105 C. 7.2 106 D. 0.72 106 【答案】B 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a 10n，其中 1|a|10，n为整数，据此判断即可 【详解】解：将 720000 用科学记数
4、法表示为 7.2 105 故选 B 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整 数，表示时关键要正确确定 a的值以及 n的值 4. 下列说法正确的是（ ） A. | |xx B. 若|1| 2x取最小值，则0 x C. 若11xy ，则| |xy D. 若|1| 0 x，则1x 【答案】D 【解析】 【分析】根据绝对值的定义和绝对值的非负性逐一分析判定即可 【详解】解：A当0 x时，|xx，故该项错误； B10 x ，当1x 时|1| 2x取最小值，故该项错误； C 11xy ，1x ，1y ，| |xy，故该项错误； D| 1|
5、 0 x 且|1| 0 x，|1| 0 x，1x，故该项正确； 故选：D 【点睛】本题考查绝对值，掌握绝对值的定义和绝对值的非负性是解题的关键 5. 已知0ba，则分式 a b 与 1 1 a b 的大小关系是（ ） A. 1 1 aa bb B. 1 1 aa bb C. 1 1 aa bb D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】将两个式子作差，利用分式的减法法则化简，即可求解 【详解】解： 111 111 a bb aaaab bbb bb b ， 0ba， 1 0 11 aaab bbb b ， 1 1 aa bb ， 故选：A 【点睛】本题考查分式的大小比较，掌握作差法是解题的
6、关键 6. 已知反比例函数 k y x ， 当0 x时，y随x的增大而减小， 那么一次的数ykxk 的图像经过第 （ ） A. 一，二，三象限 B. 一，二，四象限 C. 一，三，四象限 D. 二，三，四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性得到0k ，再利用一次函数的图象与性质即可求解 【详解】解：反比例函数 k y x ，当0 x时，y随x的增大而减小， 0k ， ykxk 的图像经过第一，二，四象限， 故选：B 【点睛】本题考查反比例函数和一次函数的图象与性质，掌握反比例函数和一次函数的图象与性质是解题 的关键 7. 一个儿何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几
7、何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数 字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】主视图的列数与俯视图的列数相同，且每列小正方形的数目为俯视图中该列小正方数字中最大数 字，从而可得出结论 【详解】由已知条件可知：主视图有 3列，每列小正方形的数目分别为 4，2，3，根据此可画出图形如下： 故选：B 【点睛】本题考查了从不同方向观察物体和几何图像，是培养学生观察能力 8. 如图，F是线段CD上除端点外一点，将ADF绕正方形ABCD的顶点A顺时针旋转90，得到 ABE连接EF交AB于点H下列结论正确的是（ ） A.
8、 120EAF B. :1: 3AE EF C. 2 AFEH EF D. :EB ADEH HF 【答案】D 【解析】 【分析】根据旋转的性质可以得到EAF 是等腰直角三角形，然后根据相似三角形的判定和性质，以及平 行线分线段成比例定理即可作出判断 【详解】解：根据旋转的性质知：EAF=90 ，故 A 选项错误； 根据旋转的性质知：EAF=90 ，EA=AF，则EAF是等腰直角三角形， EF= 2AE，即 AE：EF=1：2，故 B 选项错误； 若 C 选项正确，则 22 AFAEEH EF ，即 EAEF EHEA ， AEF=HEA=45 ， EAFEHA， EAHEFA， 而EFA=4
9、5 ，EAH45 ， EAHEFA， 假设不成立，故 C选项错误； 四边形 ABCD是正方形， CDAB，即 BHCF，AD=BC， EB：BC=EH：HF，即 EB：AD=EH：HF，故 D选项正确； 故选：D 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理， 正确运用反证法是解题的关键 9. 小刚家 2019 年和 2020年的家庭支出如下，已知 2020年的总支出 2019年的总支出增加了 2 成，则下列 说法正确的是（ ） A. 2020年教育方面的支出是 2019 年教育方面的支出的 1.4倍； B. 2020年衣食方面的支出比 2019
10、年衣食方面的支出增加了 10%； C. 2020年总支出比 2019年总支出增加了 2%； D. 2020年其他方面的支出与 2019 年娱乐方面的支出相同 【答案】A 【解析】 【分析】设 2019年总支出为 a元，则 2020年总支出为 1.2a 元，根据扇形统计图中的信息逐项分析即可 【详解】解：设 2019年总支出为 a元，则 2020年总支出为 1.2a 元， A2019 年教育总支出为 0.3a，2020 年教育总支出为1.235%0.42aa，0.420.31.4aa，故该项正确； B 2019年衣食方面总支出为0.3a， 2020年衣食方面总支出为1.240%0.48aa， 0
11、.480.30.353%aaa ， 故该项错误； C2020 年总支出比 2019年总支出增加了 20%，故该项错误； D2020 年其他方面的支出为1.215%0.18aa，2019 年娱乐方面的支出为 0.15a，故该项错误； 故选：A 【点睛】本题考查扇形统计图，能够从扇形统计图中获取相关信息是解题的关键 10. 已知函数 2 11yaxax，则下列说法不正确的个数是（ ） 若该函数图像与x轴只有一个交点，则 1a 方程 2 110axax 至少有一个整数根 若 1 1x a ，则 2 11yaxax的函数值都是负数 不存在实数a，使得 2 110axax 对任意实数x都成立 A. 0
12、B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】对于：分情况讨论一次函数和二次函数即可求解； 对于：分情况讨论 a0和 a0 时方程的根即可； 对于：已知条件中限定 a0 且 a1或 a0，分情况讨论 a1或 a0时的函数值即可； 对于：分情况讨论 a0和 a0 时函数的最大值是否小于等于 0即可 【详解】解：对于：当 a0时，函数变为1yx ，与x只有一个交点， 当 a0 时， 22 (1)4(1)0aaaD=+-=-=，1a ， 故图像与x轴只有一个交点时，1a 或0a，错误； 对于：当 a0时，方程变为10 x ，有一个整数根为1x ， 当 a0 时，方程 2 110axax
13、 因式分解得到：(1)(1)0axx，其中有一个根为1x ，故此时 方程至少有一个整数根，故正确； 对于：由已知条件 1 1x a 得到 a0，且 a1或 a0 当 a1时， 2 11yaxax开口向上，对称轴为 111 222 a x aa + =+，自变量离对称轴越远，其对应 的函数值越大， 1 1 11 222 a a + =+ ， 1 ,1xx a =离对称轴的距离一样，将1x 代入得到0y ，此时函数最大值小于 0； 当 a0时， 2 11yaxax开口向下，自变量离对称轴越远，其对应的函数值越小， 11 22 x a =+时，函数取得最大值为 222 4(1)21(1) 444 a
14、aaaa y aaa ， a0， 最大值 2 (1) 0 4 a a ，即有一部分实数x，其对应的函数值 0y ，故错误； 对于：a0时，原不等式变形为：1 0 x 对任意实数x不一定成立，故 a0 不符合； a0时，对于函数 2 11yaxax， 当a0时开口向上， 总有对应的函数值0y ， 此时不存在a对 2 110axax 对任意实数x都成立； 当 a0时开口向下，此时函数的最大值为 222 4(1)21(1) 444 aaaaa aaa ， a0， 最大值 2 (1) 0 4 a a ，即有一部分实数x，其对应的函数值 0y ， 此时不存在 a对 2 110axax 对任意实数x都成立
15、；故正确； 综上所述，正确， 故选：C 【点睛】本题考查二次函数的图像及性质，二次函数与方程之间的关系，分类讨论的思想，本题难度较大， 熟练掌握二次函数的性质是解决本类题的关键 二填空题（本大题共二填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分不需写出解答过程，请把答案直接填分不需写出解答过程，请把答案直接填 写在答题卡相应位置上）写在答题卡相应位置上） 11. 4 2- _ 【答案】4 【解析】 【分析】先算 4 ( 2)，再开根即可 【详解】解： 4 2- 2 2 2 2 16 4 故答案是：4 【点睛】本题考查了求一个数的 4次方和对一个实数开根号，解题的关键
16、是：掌握相关的运算法则 12. 已知0 234 xyz ，则 2 xxy yz _ 【答案】 5 6 【解析】 【分析】设 234 xyz k ，再将 , ,x y z分别用k的代数式表示，再代入约去k即可求解 【详解】解：设0 234 xyz k， 则234xkykzk=， 故 22222 22 (2 )2346105 3412126 xxykkkkkk yzkkkk ， 故答案为： 5 6 【点睛】本题考查了比例的性质，正确用同一字母表示各数是解决此类题的关键 13. 一个圆柱形橡皮泥，底面积是 2 12cm高是5cm如果用这个橡皮泥的一半，把它捏成高为5cm的圆 锥，则这个圆锥的底面积是
17、_ 2 cm 【答案】18 【解析】 【分析】首先求出圆柱体积，根据题意得出圆柱体积的一半即为圆锥的体积，根据圆锥体积计算公式列出 方程，即可求出圆锥的底面积 【详解】圆柱Sh= 2 12560cm? ， 这个橡皮泥的一半体积为： 2 1 6030 2 Vcm=?， 把它捏成高为5cm的圆锥，则圆锥的高为 5cm， 故 1 30 3 Sh=， 即 1 5=30 3 Sg， 解得=18S（cm2） ， 故填：18 【点睛】本题考查了圆柱体积和圆锥的体积计算公式，解题关键是理解题意，熟练掌握圆柱体积和圆锥 体积计算公式 14. 如图，3条直线两两相交最多有 3 个交点，4条直线两两相交最多有 6
18、个交点，按照这样的规律，则 20 条直线两两相交最多有_个交点 【答案】190 【解析】 【分析】根据题目中的交点个数，找出n条直线相交最多有的交点个数公式： 1 (1) 2 n n 【详解】解：2 条直线相交有 1 个交点； 3 条直线相交最多有 1 12332 2 个交点； 4 条直线相交最多有 1 123643 2 个交点； 5 条直线相交最多有 1 12341054 2 个交点； 20 条直线相交最多有 1 20 19190 2 故答案为：190 【点睛】本题考查的是多条直线相交的交点问题，解答此题的关键是找出规律，即n条直线相交最多有 1 (1) 2 n n 15. 三个数 3，1,
19、1 2aa在数轴上从左到右依次排列，且以这三个数为边长能构成三角形，则a的取值范 围为_ 【答案】32a 【解析】 【分析】 根据三个数在数轴上的位置得到3 11 2aa ， 再根据三角形的三边关系得到13 1 2aa ， 求解不等式组即可 【详解】解：3，1,1 2aa在数轴上从左到右依次排列， 3 11 2aa ，解得2a， 这三个数为边长能构成三角形， 13 1 2aa ，解得3a， 综上所述，a的取值范围为32a ， 故答案为：32a 【点睛】本题考查不等式组的应用、三角形的三边关系，根据题意列出不等式组是解题的关键 16. 如图， 作O的任意一条直经FC， 分别以F C 为圆心， 以
20、FO的长为半径作弧， 与O相交于点E A 和D B，顺次连接AB BC CD DE EF FA,，得到六边形ABCDEF，则O的面积与阴影区域的面积 的比值为_； 【答案】 2 3 3 【解析】 【分析】可将图中阴影部分的面积转化为两个等边三角形的面积之和，设O 的半径与等边三角形的边长 为a，分别表示出圆的面积和两个等边三角形的面积，即可求解 【详解】连接OE，OD，OB，OA， 由题可得：EFOFOEFAOAABOBBCOCCDOD ,EFOOFAOABOBCOCDODE为边长相等的等边三角形 可将图中阴影部分的面积转化为 ODE和OAB的面积之和，如图所示： 设O的半径与等边三角形的边长
21、为a， O 的面积为 22 Sra 等边OED与等边OAB的边长为a 2 3 4 OAB a SS OED 2 3 = 2 OEDOAB a SSS 阴 O 的面积与阴影部分的面积比为 2 2 2 3 = 33 2 Sa Sa 阴 故答案为： 2 3 3 【点睛】本题考查了图形的面积转换，等边三角形面积以及圆面积的求法，将不规则图形的面积转换成规 则图形的面积是解题关键 17. 某酒店客房都有三人间普通客房， 双人间普通客房， 收费标准为： 三人间 150 元/间， 双人间 140元/间 为 吸引游客，酒店实行团体入住五折优惠措施，一个 46 人的旅游团，优惠期间到该酒店入住，住了一些三人 间
22、普通客房和双人间普通客房，若每间客房正好住满，且一天共花去住宿费 1310元，则该旅游团住了三人 间普通客房和双人间普通客房共_间； 【答案】18 【解析】 【分析】根据客房数 相应的收费标准=1310 元列出方程并解答 【详解】解：设住了三人间普通客房 x间，则住了两人间普通客房 46 3 2 x- 间，由题意，得： 150 0.5x+140 0.5 46-3 2 x =1310， 解得：x=10， 则： 46 3 2 x- =8， 所以，这个旅游团住了三人间普通客房 10间，住了两人间普通客房 8间，共 18 间 故答案为：18 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找出合适的等
23、量关系，利用已知得出等式方程是解 题关键 18. 已知，如图 1，若AD是ABC中BAC的内角平分线，通过证明可得 = ABBD ACCD ，同理，若AE是 ABC中BAC的外角平分线，通过探究也有类似的性质请你根据上述信息，求解如下问题：如图 2， 在ABC中，2,3,BDCDAD是ABC的内角平分线，则ABC的BC边上的中线长l的取值范围 是_ 【答案】 15 22 l 【解析】 【分析】根据题意得到 2 = 3 AB AC ，反向延长中线AE至F，使得AEEF，连接CF，最后根据三角形三 边关系解题 【详解】如图，反向延长中线AE至F，使得AEEF，连接CF， 2,3,BDCDAD是AB
24、C的内角平分线， 2 = 3 AB AC DEEC AEBCEF AEEF ()ABEFEC SAS ABCF 由三角形三边关系可知， ACCFAFACCF 15AF 15 22 AE 故答案为： 15 22 l 【点睛】本题考查角平分线的性质、中线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形三边关系等知识，是 重要考点，难度一般，掌握相关知识是解题关键 三解答题（本大题共三解答题（本大题共 10 小题，共小题，共 66分请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说分请在答题卡指定区域内作答，解有时应写出文字说 明，证明过程或演算步骤）明，证明过程或演算步骤） 19. 计算 2 222sin451
25、【答案】1 【解析】 【分析】直接利用去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算计算出结果即可 【详解】解： 2 222sin451 2 2221 2 1 故答案是：1 【点睛】本题考查了去绝对值符号、特殊角度的三角函数值、负整数的平方运算法则，解题的关键是：掌 握相关的运算法则 20. 先因式分解，再计算求值： 3 28xx，其中3x 【答案】222x xx，30 【解析】 【分析】先利用提公因式法和平方差公式进行因式分解，再代入 x 的值即可 【详解】解： 32 2824222xxx xx xx ， 当3x 时，原式2 3 5 130 【点睛】本题考查因式分解，掌握提公因式法和公
26、式法是解题的关键 21. 解方程： 5 4 2332 x xx 【答案】1x 【解析】 【分析】去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到 x的值，经检验即可得到分式方程的解 【详解】方程两边乘23x，得：54(23)xx， 解得：1x ， 检验：当1x 时，230 x 1x 是原分式方程的解 【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验 22. 小明在A点测得C点在A点的北偏西75方向，并由A点向南偏西45方向行走到达B点测得C点在 B点的北偏西45方向，继续向正西方向行走2km后到达D点，测得C点在D点的北偏东22.5方向，求 ,A C两点之间的距离 （结果保留0.
27、1km，参数数据 31.732 ） 【答案】2.3km 【解析】 【分析】根据题中给出的角度证明CDB 为等腰三角形，得到 CB=DB=2，再证明 CBA 为 30，60， 90直角三角形，最后根据 3 sinsin60 2 CB CAB AC ?= 即可求出 AC的长 【详解】解：如下图所示， 由题意可知：EAC=75 ，FAB=NBA=45 ，CBN=45 ，DB=2km，MDC=22.5 ， 在 BCD中，CDB=90 -MDC=90 -22.5 =67.5 ， CBD=90 -CBN=90 -45 =45 ， DCB=180 -CDB-CBD=180 -67.5 -45 =67.5 ，
28、 DCB=CDB， CDB 为等腰三角形， CB=DB=2， 在 CBA中，CBA=CBN+NBA=45 +45 =90 ， CBA为直角三角形， 又CAB=CAG+GAB=(90 -EAC)+GAB=(90 -75 )+45 =60 ， CBA为 30，60，90直角三角形， 3 sinsin60 2 CB CAB AC ?= ，代入2CB， 4 3 2.3 3 AC =? (km)， 故,A C两点之间的距离为2.3km 【点睛】本题考查了三角函数解直角三角形，读懂题意，将题中信息转化成已知条件，本题中得出CDB 为等腰三角形是解题的关键 23. 如图是甲，乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，
29、乙槽中有一圆柱形实心铁块立放其中（圆柱形实心铁 块的下底面完全落在乙槽底面上） ，现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲，乙两个水槽中水的深度cmy与 注水时间minx之间的关系如图所示，根据图象解答下列问题： （1）图中折线EDC表示_槽中水的深度与注入时间之间的关系；线段AB表示 _槽中水的深度与注入时间之间的关系；铁块的高度为_cm （2）注入多长时间，甲乙两个水槽中水的深度相同？（请写出必要的计算过程） 【答案】 （1）乙，甲，16； （2）2 分钟 【解析】 【分析】 （1）根据图象分析可知水深减少的图象为甲槽的，水深增加的为乙槽的，并水深 16cm之后增加的 变慢，即可得到铁块的高度； （
30、2）利用待定系数法求出两个水槽中水深与时间的解析式，即可求解 【详解】解： （1）图中折线EDC表示乙槽中水深度与注入时间之间的关系； 线段AB表示甲槽中水的深度与放出时间之间的关系； 铁块的高度为 16cm （2）设甲槽中水的深度为 111 yk xb，把0,14A，7,0B代入，可得 1 11 14 70 b kb ，解得 1 1 2 14 k b ， 甲槽中水的深度为 1 214yx ， 根据图象可知乙槽和甲槽水深相同时，在 DE段， 设乙槽 DE段水的深度为 222 yk xb，把0,4E，4,16D代入，可得 2 22 4 416 b kb ，解得 2 2 3 4 k b ， 甲槽中
31、水的深度为 2 34yx， 甲乙两个水槽中水的深度相同时，21434xx，解得2x， 故注入 2分钟时，甲乙两个水槽中水的深度相同 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，根据题意理解每段函数对应的实际情况是解题的关键 24. 如图，在平行四边形ABCD中，3AB ，点E为线段AB的三等分点（靠近点A） ，点F为线段CD的 三等分点（靠近点C，且CEAB将BCE沿CE对折，BC边与AD边交于点G，且DCDG （1）证明：四边形AECF为矩形； （2）求四边形AECG的面积 【答案】 （1）证明见解析； （2） 7 3 4 【解析】 【分析】 （1）根据平行四边形的性质可得/AB CD，ABCD，根
32、据题意三等分点可得AECF，根据 对边平行且相等得到四边形AECF为平行四边形，再根据一个角为 90 的平行四边形是矩形即可得证； （2）根据角度关系可得B AG是等边三角形，B BC是等边三角形，利用割补法即可求出面积 【详解】解： （1）四边形 ABCD 是平行四边形， /AB CD，ABCD， 点E为线段AB的三等分点（靠近点A） ，点F 为线段CD的三等分点（靠近点C） ， 1 3 AEAB， 1 3 CFCD， AECF， 四边形AECF为平行四边形， CEAB， 四边形AECF为矩形； （2）3AB ，点E为线段AB的三等分点（靠近点A） ， 1AE ，2BE ， 将BCE沿CE对
33、折，BC边与AD边交于点G， 24BBBE，BB ， DCDG， DGCDCG ， /AB CD， BDCG ，B AGDBB ， B AGBB GA ， B AG是等边三角形，B BC是等边三角形， 作 BHAG于 H， 33 22 B HAB， 3 2 3 2 CEBC， 1137 3 2 321 2224 AECGCEBGAB SSS 【点睛】本题考查矩形的判定、割补法求面积、解直角三角形，掌握上述性质定理是解题的关键 25. 某校要从甲，乙两名学生中挑选一名学生参加数学竞赛，在最近的 8次选拔赛中，他们的成绩（成绩均 为整数，单位：分）如下： 甲：92，95，96，88，92，98，9
34、9，100 乙：100，87，92，93，9，95，97，98 由于保存不当，学生乙有一次成绩的个位数字模糊不清， （1）求甲成绩的平均数和中位数； （2）求事件“甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数”的概率； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相等时，请用方差大小说明应选哪个学生参加数学竞赛 【答案】 （1）平均数为 95分，中位数为 95.5分； （2） 4 5 ； （3）甲 【解析】 【分析】 （1）根据平均数和中位数的定义求解即可； （2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a，求出乙成绩的平均数，解不等式得到 a 的范围，利用概率公式 即可求解； （3）利用方差公式求出甲和乙的方差，选方
35、差较小的即可 【详解】解： （1）甲成绩的平均数为：5 92959688929899 100 9 8 ； 甲成绩从小到大排列为：88，92，92，95，96，98，99，100 ， 甲成绩的中位数为： 9596 95.5 2 ； （2）设乙成绩模糊不清的分数个位数为 a， （a 为 0-9 的整数） 则乙成绩的平均数为： 8 10087929390975975 8 829aa ， 当甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数时，即 752 95 8 a ， 解得8a， a的值可以为0 7这 8 个整数 P(甲成绩的平均数大于乙成绩的平均数) 84 = 105 ； （3）当甲成绩的平均数与乙成绩的平均数相
36、等时， 752 95 8 a ，解得8a ， 此时乙的平均数也为 95， 甲的方差为： 22222222 2 1 929595959695889592959895999510095 8 s 甲 1 9014999162514.75 8 ； 乙的方差为： 22222222 2 1 100958795929593959895959597959895 8 s 乙 1 2564949 14915.5 8 ， 22 ss 甲乙， 甲的成绩更稳定，故应选甲参加数学竞赛 【点睛】本题考查求平均数、中位数和方差，以及概率公式，掌握求平均数、中位数和方差的公式是解题 的关键 26. 如图，一次函数y kxb 的
37、图象与y轴的正半轴交于点A，与反比例函数 4 y x 的图像交于,P D两 点以AD为边作正方形ABCD，点B落在x轴的负半轴上，已知BOD的面积与AOB的面积之比为 1:4 （1）求一次函数y kxb 的表达式： （2）求点P的坐标及CPD外接圆半径的长 【答案】(1) 3 4 4 yx ；(2)点P的坐标为 4 ( ,3) 3 ；CPD外接圆半径的长为 5 13 6 【解析】 【分析】(1)过 D点作 DEy轴交 x 轴于 H点，过 A 点作 EFx轴交 DE于 E 点，过 B作 BFy轴交 EF 于 F 点，证明ABFDAE， 4 ( , )(0)D aa a ，BOD的面积与AOB的面
38、积之比为1:4得到 16 OA a =，进 而得到 16 =a a ，求出 A、D两点坐标即可求解； (2)联立一次函数与反比例函数解析式即可求出 P 点坐标；再求出 C点坐标，进而求出 CP 长度，Rt CPD 外接圆的半径即为 CP 的一半 【详解】解：(1)过 D 点作 DEy轴交 x轴于 H点，过 A 点作 EFx 轴交 DE于 E 点，过 B作 BFy 轴交 EF 于 F点，如下图所示： BOD与AOB有公共的底边 BO，其面积之比为 1:4， DH:OA=1:4， 设 4 ( , )(0)D aa a ，则 416 =DHOAOHAE a aa =， ABCD为正方形， AB=AD
39、，BAD=90 ， BAF+EAD=90 ， BAF+FBA=90 ， FBA=EAD， 在 ABF和 DAE中： =90 = FE FBAEAD ABAD , ABF DAE(AAS)， BFAEOAa= 又 16 OA a =， 16 =a a ，解得4a(负值舍去)， (0,4)(4,1)AD，代入y kxb 中， 40 14 b kb ，解得 3 4 4 k b ， 一次函数的表达式为 3 4 4 yx ； (2)联立一次函数与反比例函数解析式： 3 4 4 4 yx y x ， 整理得到： 2 316160 xx ， 解得 1 4 3 x ， 2 4x ， 点P的坐标为 4 ( ,3
40、) 3 ；D 点的坐标为（4,1） 四边形 ABCD为正方形， 2222 =435DCADAEDE=+=+= ， 且 222 4100 (4)(3 1) 39 PD =-+-=， 在Rt PCD中，由勾股定理： 222 100325 25 99 PCDCPD=+=+=， 5 13 3 PC =， 又 CPD 为直角三角形，其外接圆的圆心位于斜边 PC 的中点处， CPD 外接圆的半径为 5 13 6 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合应用，三角形全等的判定与性质，勾股定理求线段长， 本题属于综合题，解题的关键是正确求出点 A、D两点坐标 27. 如图， 已知AB是O的直径BC是O的弦
41、， 弦ED垂直AB于点F， 交BC于点G 过点C作 O 的切线交ED的延长线于点P （1）求证：PCPG； （2）判断 2 PGPD PE 是否成立？若成立，请证明该结论； （3）若G为BC中点，5OG ， 5 sin 5 B ，求DE的长 【答案】 （1）见解析； （2）结论成立，见解析； （3）4 6 【解析】 【分析】 （1）连接OC，可得BOC为等腰三角形，则BOCB ，结合垂经定理和切线的性质可得 90OCPBFG，从而可得BGFPCG，即可得到结论； （2）连接 EC，CD，CO并延长CO交O于点H，连接DH，证明PCDPEC，在结合（1）中的 结论即可求解； （3）连接 OD，O
42、G，根据垂经定理的推论得出OGBG，BFGO ，在RtBOG中利用三角函数 求出O的半径，在RtOFG中利用三角函数即可求得OF长，在利用勾股定理求出FD，从而可求 DE 【详解】 （1）如图：连接OC BOC为等腰三角形 BOCB EDAB，PC切O于点C 90OCPBFG 90 ,90OCBPCGBBGF BGFPCG BGFPGC PGCPCG PCPG （2）结论成立；理由如下； 如图：连接 EC，CD，CO并延长CO交O于点H，连接DH CH为O的直径 90HDC PC切O于点C 90HCP 90 ,90HHCDPCDHCD HPCD HE EPCD PEC PCD PCPD PEP
43、C PCPG 2 PGPD PE （3）如图：连接 OD，OG， GBC中点 OGBC 90BGO 5 5,sin 5 OGB 55 sin 5 OG B OBOB 5OB 5OBOD EDAB与点 F 2EDFD 90OFG 90 ,90BOGFGOBBOG BFGO 5 sin 55 OFOF FGO OG 1OF 在Rt OFD中有 222 ODOFFD 222 51FD 2 6FD 4 6DE 【点睛】本题考查了垂经定理及推论，相似三角形的判定和性质，切线的性质，以及解直角三角形等知识， 综合性较强，解答本题需要我们熟练掌握各部分内容，将所学知识贯穿起来 28. 如图， 抛物线 2 y
44、axbxc与x轴交于除原点O和点A， 且其顶点B关于x轴的对称点坐标为2,1 （1）求抛物线的函数表达式； （2）抛物线的对称轴上存在定点F，使得抛物线 2 yaxbxc上的任意一点G到定点F的距离与点G 到直线 2y 的距离总相等 证明上述结论并求出点F的坐标； 过点F的直线l与抛物线 2 yaxbxc交于,M N两点 证明： 当直线l绕点F旋转时， 11 MFNF 是 定值，并求出该定值； （3）点3,Cm是该抛物线上的一点，在x轴，y轴上分别找点,P Q，使四边形PQBC周长最小，直接 写出,P Q的坐标 【答案】 （1） 2 1 4 yxx； （2）2,0F； 11 1 MFNF ，证
45、明见解析（3） 6 ,0 7 P ， 3 0, 10 Q 【解析】 【分析】 （1）先求出顶点B的坐标为2, 1，在设抛物线的解析式为 2 21ya x，根据抛物线过原 点，即可求出其解析式； （2）设点F坐标为2,b，点G坐标为 2 1 , 4 aaa ，利用两点间距离公式，结合题目已知列出等量 关系；设直线l的解析式为2yk x，直线l与抛物线交于点,M N，直线方程与抛物线联立得出 22 4,4 MNMN yykyyk ，在结合的结论，分别表示出,MF NF的值，即可求解； （3）先求出点C的坐标，分别作点C关于x轴的对称点 C ，点B关于y轴的对称点 B ，连接BC ，交x 轴于点P，
46、交y轴于点Q，则点,P Q即为所求 【详解】解： （1）点 B 关于x轴对称点的坐标为2,1 点B的坐标为2, 1 设抛物线的解析式为 2 21ya x 抛物点过原点 2 0021a 解得 1 4 a 抛物线解析式为： 21 21 4 yx即 2 1 4 yxx （2）设点F坐标为2,b，点G坐标为 2 1 , 4 aaa 由题意可得： 2 2 22 11 22 44 aaabaa 整理得： 2 20 2 a bab 0b 点F的坐标为2,0 设直线l的解析式为2yk x，直线l与抛物线交于点,M N 2 1 4 2 yxx yk x 2 122 4 ykyk y kk 整理得： 222 440yk yk 22 4,4 MNMN yykyyk 由得2,2 MN MFyNFy 1111 22 MN MFNFyy 整理得： 411 24 MN MNMN yy MFNFy yyy 2 2 1144 1 44 k MFNFk （3）点3,Cm在抛物线 2 1 4 yxx上， 13 93= 44 m 3 3, 4 C 如图：作点C关于x轴的对称点 C ，点B关于y轴的对称点 B 则点 3 3