1、2021 年江苏省南京市鼓楼区三校联考中考数学二模试卷年江苏省南京市鼓楼区三校联考中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）算式 20.5 的值最小时， “”中填入的运算符号是（ ） A+ B C D 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a6 Ca3a2a D （a2）3
2、a8 3 （2 分）为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查下列抽取学生的方法最合适 的是（ ） A随机抽取该校一个班级的学生 B随机抽取该校一个年级的学生 C随机抽取该校一部分男生 D分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取 10%的学生 4 （2 分）估计的运算结果介于（ ） A2 与 3 之间 B3 与 4 之间 C4 与 5 之间 D5 与 6 之间 5 （2 分）如图，矩形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，连接 DE，若 CD3，DE5，则 AD 的长 是（ ） A6 B7 C8 D10 6 （2 分）如图，OAOBOCOD，BOC+AOD1
3、80若 BC4，AD6，则 OA 的长为（ ） A B2 C D4 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应的位置上 ）答题卡相应的位置上 ） 7 （2 分）4 相反数是 ；4 的平方根是 8 （2 分）分解因式：m4m3 9 （2 分）将 61000 用科学记数法表示为 10 （2 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 11 （2 分）设 x1、x2是方程 x2mx+m10 的两个根若 x1+x23，则 x1x2 12 （2 分） 将一个半径为
4、3 的圆形纸片， 沿着两条半径剪开形成两个扇形， 若其中的一个扇形的面积是 6， 则另一个扇形的圆心角的度数是 13 （2 分）如图，菱形 ABCD 中，M 是 AB 边的中点，O 为对角线交点若 MO5，则菱形 ABCD 的周长 为 14 （2 分）如图，点 P 是反比例函数 y（x0）上一点，P 与坐标轴的交点分别为 O、A、B（O 是 坐标原点） 若点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，3） ，则 k 15 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O 的切线，且 ADBC，直线 CO 交 AD 于点 E若 E44，则B 16 （2 分）如图，A 为 y 轴负半轴上一
5、点，M、N 是函数 y的图象上的两个动点，且 AMAN， 若 MN 的最小值为 10，则点 A 的坐标为 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤）x 12x 17 （6 分）解不等式1，并把它的解集在数轴上表示出来 18 （6 分）先化简再求值：其中 x3 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边上的点，且 AEBFCGDH求证： （1）AHEBEF； （2）四边形 EFGH 是正方形 2
6、0 （8 分）某单位随机安排甲、乙两人到 A、B、C 三个社区进行新冠疫苗接种 （1）甲在 A 社区接种疫苗的概率是 ； （2）求甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率 21 （8 分）2020 年 11 月 1 日，南京市正式施行南京市生活垃圾管理条例 ，垃圾分类正式实施，某校为 了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取 40 名学生进行了相关知识测试， 获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息a七 年级 40 名学生成绩整理后按分数分组如下：50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x 100，并绘制出
7、频数分布直方图 b七年级学生成绩在 70 x80 这一组的具体得分如下：74，78，70，76，79，77，71，75，72，73， 71，74，79 c七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 73.8 n 88 127 八 73.8 75 84 99.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 n ； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属年级排在前 20 名，由表中数据可知该学生是 年级的学生 （填“七”或“八” ） （3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理 由 22 （
8、8 分）某地区为了缓解交通拥堵问题，决定快速修建一条道路，如果平均每天的修建费 y（万元）与 修建天数 x（天）之间在 50 x120 时，具有一次函数的关系，如下表所示 x 50 80 100 120 y 40 34 30 26 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若每天的修建费用只能是 32 万元，那么几天可以完成修建任务？修建道路的总费用是多少？ 23 （9 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，以 AD 为对角线作正方形 APDQ，AP、DP 与 BC 分别交于 M、 N （1）BAM ； （2）若 AB4，求 MN 的长 （参考数据：1.73，结果精确到 0.1，可以直接
9、利用（1）的结论） 24 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC4，O 是 AC 上一点，CO，O 过点 C 与 BC 交 于点 E （1）求弦 CE 的长 （2）求证：AE 是O 的切线 25 （6 分）已知：AOB求作：一点 P，使得点 P 在AOB 内部，且到 OA 的距离是到 OB 的距离的 2 倍 （要求：尺规作图，写作法，保留作图痕迹） 26 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx22mx+1 图象与 y 轴的交点为 A，将点 A 向右平移 4 个单 位长度得到点 B （1）直接写出点 A 与点 B 的坐标； （2）若函数 yx22mx+1 的图象与线段 AB 恰
10、有一个公共点，求 m 的取值范围 27 （12 分） 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形 ABCD 中，ACBD，垂足为 P，则 AB2+CD2 AD2+BC2 （填“” 、 “”或 “” ） 【翻折一下】 （2）若将图 1 中的ABC 沿直线 AC 翻折（如图 2 所示） ，其它条件不变， （1）中的结论还成立吗？请 说明理由 【旋转一下】 （3）若 ADBC， （1）中的其它条件不变（如图 3 所示） ，将APD 绕点 P 按逆时针方向旋转 度（0 90）后得到图 4，求证：AB2+CD2AD2+BC2 【平移一下】 （4）若将图 1 中的ABC 沿直线 BD 平移，使得 B 和 D 重
11、合，得到DEF（如图 5 所示） ，连接 AF、 CE，则有 AD2+DE2CD2+DF2利用该结论，解决问题：如图 6，在 RtABC 中，ACB90，D 是 ABC 内一点，若 DC1，DA2，且 DB3，则 AB 的最大值为 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 12 分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题分。在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题 目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上）目要求的，请将正确选项的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1 （2 分）算式 2
12、0.5 的值最小时， “”中填入的运算符号是（ ） A+ B C D 【解答】解：2+0.51.5，20.52.5，20.51，20.54， 42.51.51， 算式 20.5 的值最小时， “”中填入的运算符号是 故选：D 2 （2 分）下列运算正确的是（ ） Aa2+a3a5 Ba2a3a6 Ca3a2a D （a2）3a8 【解答】解：A、a2+a3a5，不是同类项无法合并，故此选项错误； B、a2a3a5，故此选项错误； C、a3a2a，故此选项正确； D、 （a2）3a6，故此选项错误； 故选：C 3 （2 分）为了了解某初中学校学生的视力情况，需要抽取部分学生进行调查下列抽取学生的
13、方法最合适 的是（ ） A随机抽取该校一个班级的学生 B随机抽取该校一个年级的学生 C随机抽取该校一部分男生 D分别从该校初一、初二、初三年级中各班随机抽取 10%的学生 【解答】解：因为要了解初中的视力情况范围较大、难度较大，所以应采取抽样调查的方法比较合适， 本题考查的是调查方法的选择，正确选择调查方式要根据全面调查的优缺点再结合实际情况去分析， 故只有 D 符合实际并具有普遍性， 故选：D 4 （2 分）估计的运算结果介于（ ） A2 与 3 之间 B3 与 4 之间 C4 与 5 之间 D5 与 6 之间 【解答】解：原式+ + 2+， 23， 42+5， 故选：C 5 （2 分）如图
14、，矩形 ABCD 中，AE 平分BAD 交 BC 于点 E，连接 DE，若 CD3，DE5，则 AD 的长 是（ ） A6 B7 C8 D10 【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， C90，ABCD，ADBC，ADBC， ED5，CD3， EC2DE2CD225916， CE4， ADBC， AEBDAE； AE 平分BAD， BAEDAE， BAEAEB， BEABCD3， BCBE+EC7， AD7， 故选：B 6 （2 分）如图，OAOBOCOD，BOC+AOD180若 BC4，AD6，则 OA 的长为（ ） A B2 C D4 【解答】解：过 O 作 OFBC 于 F，OEAD 于
15、E， AEOOFB90， A+AOE90， OAOBOCOD， BFCFBC42，AEDEAD63，AOEDOE，BOFCOF， BOC+AOD180， AOE+BOF90， ABOF90AOE， 在AOE 和OBF 中， ， AOEOBF（AAS） ， OEBF2， 在 RtAOE 中，AEO90，OE2，AE3， OA， 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 2 分，共分，共 20 分分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在不需写出解答过程，请把答案直接填写在 答题卡相应的位置上 ）答题卡相应的位置上 ） 7 （2 分）4 相反数是 4 ；4
16、的平方根是 2 【解答】解：4 的相反数是4； 4 的平方根是2； 故答案为：4；2 8 （2 分）分解因式：m4m3 m（1+2m） （12m） 【解答】解：原式m（14m2） m（1+2m） （12m） 故答案为：m（1+2m） （12m） 9 （2 分）将 61000 用科学记数法表示为 6.1104 【解答】解：610006.1104 故答案为：6.1104 10 （2 分）使式子有意义的 x 的取值范围是 x4 【解答】解：由题意得，x40， 解得，x4， 故答案为：x4 11 （2 分）设 x1、x2是方程 x2mx+m10 的两个根若 x1+x23，则 x1x2 2 【解答】解：
17、根据题意得 x1+x2m，x1x2m1， x1+x23， m3， x1x2312 故答案为 2 12 （2 分） 将一个半径为 3 的圆形纸片， 沿着两条半径剪开形成两个扇形， 若其中的一个扇形的面积是 6， 则另一个扇形的圆心角的度数是 120 【解答】解：一个扇形的面积是 6，半径为 3， 6， 解得 n240， 另一个扇形的圆心角的度数是 360240120， 故答案为 120 13 （2 分）如图，菱形 ABCD 中，M 是 AB 边的中点，O 为对角线交点若 MO5，则菱形 ABCD 的周长 为 40 【解答】解：四边形 ABCD 为菱形， ACBD，ABBCCDDA， AOB 为直
18、角三角形 MO5，M 是 AB 边的中点， AB2OM10 C菱形ABCD4AB41040 故答案为：40 14 （2 分）如图，点 P 是反比例函数 y（x0）上一点，P 与坐标轴的交点分别为 O、A、B（O 是 坐标原点） 若点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，3） ，则 k 3 【解答】解：作 PMx 轴于 M，PNy 轴于 N， 点 A 的坐标为（4，0） ，点 B 的坐标为（0，3） ， OA4，OB3， OMOA2，ONOB， P（2，） ， 点 P 是反比例函数 y（x0）上一点， k23， 故答案为 3 15 （2 分）如图，O 是ABC 的外接圆，AD 是O
19、的切线，且 ADBC，直线 CO 交 AD 于点 E若 E44，则B 67 【解答】解：连接 AO， AD 是O 的切线， AOAE， EAO90， E44， AOCE+EAO134， B67， 故答案为：67 16 （2 分）如图，A 为 y 轴负半轴上一点，M、N 是函数 y的图象上的两个动点，且 AMAN， 若 MN 的最小值为 10，则点 A 的坐标为 （0，） 【解答】解：取 MN 的中点为 B， AMAN， AB， MN 的最小值为 10， AB 最小值为 5， ABMN 时，AB 最小， y的图象与 x、y 轴交于 C、D 两点， C(0，3)，D(4，0)， 在 RtCOD 中
20、，由勾股定理得：CD， sinOCD， 在 RtABC 中，sinBCA， ， OC3， OA， ， 故答案为：A(0，) 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 11 小题，共小题，共 88 分分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤）或演算步骤）x 12x 17 （6 分）解不等式1，并把它的解集在数轴上表示出来 【解答】解：去分母，得 3x34x6 移项，得 3x4x6+3 合并，得x3 解得 x3 在数轴上表示为： 18 （6 分）先化简再求值：其中 x3 【解答】解：原式（） ， 当 x3 时，
21、原式 19 （8 分）如图，在正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是各边上的点，且 AEBFCGDH求证： （1）AHEBEF； （2）四边形 EFGH 是正方形 【解答】证明： （1）四边形 ABCD 为正方形， ABBCCDDA，AB90， 又AEBFDHCG， AHBECFDG， AHEBEF（SAS） ； （2）在正方形 ABCD 中，ABBCCDAD， AEBFCGDH， AHDGCFBE， ABCD90， AEHDHGCGFBFE（SAS） ， EFEHHGGF，EHAHGD， 四边形 EFGH 是菱形， EHAHGD，HGD+GHD90， EHA+GHD90， EHG90，
22、 四边形 EFGH 是正方形 20 （8 分）某单位随机安排甲、乙两人到 A、B、C 三个社区进行新冠疫苗接种 （1）甲在 A 社区接种疫苗的概率是 ； （2）求甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率 【解答】解： （1）甲在 A 社区接种疫苗的概率是， 故答案为：； （2）画树状图如图： 共有 9 个等可能的结果，甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的结果有 6 个， 甲、乙两人不在同一个社区接种疫苗的概率为 21 （8 分）2020 年 11 月 1 日，南京市正式施行南京市生活垃圾管理条例 ，垃圾分类正式实施，某校为 了调查学生对垃圾分类知识的了解情况，从七、八两个年级各随机抽取 40 名学
23、生进行了相关知识测试， 获得了他们的成绩（百分制） ，并对数据（成绩）进行了整理、描述和分析下面给出了部分信息a七 年级 40 名学生成绩整理后按分数分组如下：50 x60，60 x70，70 x80，80 x90，90 x 100，并绘制出频数分布直方图 b七年级学生成绩在 70 x80 这一组的具体得分如下：74，78，70，76，79，77，71，75，72，73， 71，74，79 c七、八两个年级成绩的平均分、中位数、众数和方差如下 年级 平均数 中位数 众数 方差 七 73.8 n 88 127 八 73.8 75 84 99.4 根据以上信息，回答下列问题： （1）表中 n 73
24、.5 ； （2）在此次测试中，某学生的成绩是 74 分，在他所属年级排在前 20 名，由表中数据可知该学生是 七 年级的学生 （填“七”或“八” ） （3）根据以上信息，你认为七、八两个年级中，哪个年级学生了解垃圾分类知识的情况较好，请说明理 由 【解答】解： （1）将七年级学生成绩在 70 x80 这一组的具体得分重新排列为： 70，71，71，72，73，74，74，75，76，77，78，79，79， 所以七年级成绩的中位数 n73.5， 故答案为：73.5； （2） 七年级的中位数是 73.5 分， 八年级是 75 分， 该学生的成绩是 74 分， 在他所属年级排在前 20 名， 由表
25、中数据可知该学生是七年级； 故答案为：七； （3） 从平均数上看， 七、 八年级的平均分相等， 但从中位数上看， 八年级的中位数大于七年级的中位数， 说明 75 分以上八年级得分高的人数相对较多， 并且由八年级方差小于七年级可以看出八年级成绩较稳定， 综上所述，八年级的总体水平较好 22 （8 分）某地区为了缓解交通拥堵问题，决定快速修建一条道路，如果平均每天的修建费 y（万元）与 修建天数 x（天）之间在 50 x120 时，具有一次函数的关系，如下表所示 x 50 80 100 120 y 40 34 30 26 （1）求 y 关于 x 的函数解析式； （2）若每天的修建费用只能是 32
26、万元，那么几天可以完成修建任务？修建道路的总费用是多少？ 【解答】解： （1）设 y 与 x 之间的函数关系式为 ykx+b（k0） ，由题意，得 ， 解得， ； （2）把 y32 代入，得，可解得 x90， 32902880（万元） 所以 90 天可以完成修建任务，总费用是 2880 万元 23 （9 分）如图，在正六边形 ABCDEF 中，以 AD 为对角线作正方形 APDQ，AP、DP 与 BC 分别交于 M、 N （1）BAM 15 ； （2）若 AB4，求 MN 的长 （参考数据：1.73，结果精确到 0.1，可以直接利用（1）的结论） 【解答】解： （1）在正六边形 ABCDEF
27、中，DAB60， 在正方形 AQDP 中，DAP45， BAMDABDAP604515， 故答案为：15 （2）连接 BE 交 AD 于点 O，连接 OP 交 BC 于 H 在正六边形 ABCDEF 中，CDBCAB4，BAFABCCCDE120， AO、BO 平分BAF、ABC，OAOB， BAOABOCBO12060， ABO 是等边三角形， BCAD，AOBOAB4， AD2AO8， 在正方形 APDQ 中，APDP，APD90， AODO， POAD4，POAD，APODPOAPD45， ADBC， MHPAOP90， BHO90， sinOBH， OBH60，BO4， OH4sin6
28、02， PHMHOP OH4 2， MN2MH8 41.1 24 （9 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC4，O 是 AC 上一点，CO，O 过点 C 与 BC 交 于点 E （1）求弦 CE 的长 （2）求证：AE 是O 的切线 【解答】 （1）解：过 O 作 OFBC， 在 RtABC 中，AC2AB2+BC2， AC4， OFAB， OFCABC， ， ， OF1， 在 RtOFC 中，CF2OC2OF2， CF， OE2CF2； （2）证明：连接 OE， CE2， BEBCCE2， 在 RtABE 中，AE2AB2+BE2， AE2， OEOCAC OC4， AE2+OE2A
29、O2， AEO90， OEAE，E 在O 上， AE 是O 的切线 25 （6 分）已知：AOB求作：一点 P，使得点 P 在AOB 内部，且到 OA 的距离是到 OB 的距离的 2 倍 （要求：尺规作图，写作法，保留作图痕迹） 【解答】作法：在 OB 上依次截取 OMMQQD， 以 O 为圆心，OD 为半径画弧，交 OA 于 C 点， 连接 CD，过点 Q 作 QPOA 交 CD 于 P 点， 则 P 点即为所求 26 （8 分）在平面直角坐标系中，二次函数 yx22mx+1 图象与 y 轴的交点为 A，将点 A 向右平移 4 个单 位长度得到点 B （1）直接写出点 A 与点 B 的坐标；
30、 （2）若函数 yx22mx+1 的图象与线段 AB 恰有一个公共点，求 m 的取值范围 【解答】解： （1）把 x0 代入 yx22mx+1 得，y1， A（0，1） ， 将点 A 向右平移 4 个单位长度得到点 B， B（4，1） ； （2）直线 AB 解析式为 y1，该二次函数图象经过定点 A（0，1） ， 当 m0 时，抛物线解析式为 yx2+1，顶点恰是 A 点，与线段 AB 仅有一个交点 A 点； 当 m0 时，如图 1，对称轴为直线 xm0，恰与线段 AB 仅有一个交点 A 点； 当 m0，在 x0 范围内，y 会先随 x 增大而减小，再随 x 增大而增大， 如图 2，当 m2
31、时，对称轴为直线 x2，此时抛物线恰好与线段 AB 有两个交点分别是 A 点和 B 点， 因此当 m2 时，抛物线恰好与线段 AB 有一个交点， 综上所述，m0 或 m2 27 （12 分） 【神奇的变换】 （1）如图，在四边形 ABCD 中，ACBD，垂足为 P，则 AB2+CD2 AD2+BC2 （填“” 、 “” 或“” ） 【翻折一下】 （2）若将图 1 中的ABC 沿直线 AC 翻折（如图 2 所示） ，其它条件不变， （1）中的结论还成立吗？请 说明理由 【旋转一下】 （3）若 ADBC， （1）中的其它条件不变（如图 3 所示） ，将APD 绕点 P 按逆时针方向旋转 度（0 9
32、0）后得到图 4，求证：AB2+CD2AD2+BC2 【平移一下】 （4）若将图 1 中的ABC 沿直线 BD 平移，使得 B 和 D 重合，得到DEF（如图 5 所示） ，连接 AF、 CE，则有 AD2+DE2CD2+DF2利用该结论，解决问题：如图 6，在 RtABC 中，ACB90，D 是 ABC 内一点，若 DC1，DA2，且 DB3，则 AB 的最大值为 1+2 【解答】解： （1）BPAC， APBBPC90， 在 RtAPD 中，AD2AP2+DP2，在 RtAPB 中，AB2AP2+PB2， 在 RtCPD 中，CD2PD2+PC 2， 在 RtCPB 中，BC2CP2+BP
33、2， AB2+CD2AP2+PB2+PD2+PC2，AD2+BC2AP2+DP2+CP2+BP2， AB2+CD2AD2+BC2， 故答案为：； （2）成立，理由如下： BPAC， APBBPC90， 在 RtAPD 中，AD2AP2+DP2，在 RtAPB 中，AB2AP2+PB2， 在 RtCPD 中，CD2PD2+PC 2， 在 RtCPB 中，BC2CP2+BP2， AB2+CD2AP2+PB2+PD2+PC2，AD2+BC2AP2+DP2+CP2+BP2， AB2+CD2AD2+BC2； （3）如图 4，连接 BD，AC 交于点 F， APDBPC90， APD+APBBPC+APB
34、， APCDPB， 在APC 和DPB 中， ， APCDPB（SAS） ， CAPBDP， PDA+PAD90， PDB+ADB+PAD90PAC+ADB+PAD， AFDAPD90， AB2+CD2AF2+BF2+DF2+CF2，AD2+BC2AF2+DF2+BF2+CF2， AB2+CD2AD2+BC2； （4）如图 6，将BDC 沿着 CA 向上平移，使得 C 与 A 重合，连接 DB，BC， ABCB，ABBC， 四边形 ACBB是平行四边形， ACB90， 四边形 ACBB是矩形， ABBC， 由结论可得：AD2+DB2CD2+BD2， 4+91+BD2， BD， CD+CBDB， AB1+2， AB 的最大值为 1+2， 故答案为：1+2