1、 2021 年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试 数学数学 （考试时间：（考试时间：120 分钟分钟 满分：满分：120分）分） 第第卷卷 一、选择题（共一、选择题（共 12小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 36 分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合分在每小题给出的四个选项中只有一项是符合 要求的）要求的） 1. 在实数 3， 1 2 ，0，2中，最大的数为（ ） A. 3 B. 1 2 C. 0 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小，两 个
2、正数比较大小，绝对值大数就大，据此判断即可 【详解】根据有理数的比较大小方法，可得： 1 203 2 -2 【点睛】 本题考查用不等式表示数轴上的数的范围，体现了数与形的结合，要注意是实心点还是空心圆圈 16. 若长度分别为 3，4， a的三条线段能组成一个三角形， 则整数 a的值可以是_ （写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行求解即可 【详解】解：由题意知：43a4+3，即 1a7， 整数 a 可取 2、3、4、5、6 中的一个， 故答案为：5（答案不唯一） 【点睛】本题考查三角形的三边关系，能根据三角形的
3、三边关系求出第三边 a 的取值范围是解答的关键 17. 在 x 轴，y轴上分别截取OAOB，再分别以点 A，B 为圆心，以大于 1 2 AB长为半径画弧，两弧交于 点 P，若点 P 的坐标为,2a，则 a的值是_ 【答案】2 或2 【解析】 【分析】分 P 点在第一象限和第二象限分类讨论，由尺规作图痕迹可知，P 为AOB 的角平分线，由此得 到横坐标与纵坐标相等或互为相反数 【详解】解：当 P 点位于第一象限时，如下图所示： 由尺规作图痕迹可知，OP为AOB角平分线，此时 P 点横坐标与纵坐标相等， 故 a=2； 当 P 点位于第二象限时，如下图所示： 由尺规作图痕迹可知，OP为AOB角平分线
4、，此时 P 点横坐标与纵坐标互为相反数， 故 a=-2； a的值是 2或-2 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图，属于基础题，本题要注意考虑 P点在第一象限和第二象限这两 种情况 18. 如图，一次函数2y x 与反比例数0 k yk x 的图像交于 A，B两点，点 M在以2,0C为圆心， 半径为 1的C上，N 是AM的中点，已知ON长的最大值为 3 2 ，则 k的值是_ 【答案】 32 25 【解析】 【分析】根据题意得出ON是ABM的中位线，所以ON取到最大值时，BM也取到最大值，就转化为研 究BM也取到最大值时k的值，根据,B C M三点共线时，BM取得最大值，解出B的坐标代入反比例函
5、数 即可求解 【详解】解：连接BM，如下图： 在ABM中， ,O N分别是,AB AM的中点， ON是ABM的中位线， 1 2 ONBM， 已知ON长的最大值为 3 2 ， 此时的3BM ， 显然当,B C M三点共线时，取到最大值：3BM ， 1 3BMBCCMBC ， 2BC， 设 ( ,2 )B tt，由两点间的距离公式： 22 (2)42BCtt， 22 (2)44tt， 解得： 12 4 ,0 5 tt（取舍） ， 4 8 ( , ) 5 5 B， 将 4 8 (, ) 5 5 B代入0 k yk x ， 解得： 32 25 k ， 故答案是： 32 25 【点睛】本题考查了一次函数
6、、反比例函数、三角形的中位线、圆，研究动点问题中线段最大值问题，解 题的关键是：根据中位线的性质，利用转化思想，研究BM取最大值时k的值 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 小题，共小题，共 66分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤 ）分解答应写岀文字说明、证明过程或演算步骤 ） 19. 计算：391 【答案】1 【解析】 【分析】根据绝对值的定义及算术平方根的定义即可解决 【详解】原式331 1 【点睛】本题考查了绝对值的定义、算术平方根的定义及实数的运算，关键是掌握绝对值和算术平方根的 定义 20. 解分式方程： 12 3xx 【答案】3x 【解析】 【分析】两边同乘以 x(
7、x+3)，转化为一元一次方程求解即可 【详解】解：去分母得： 32xx 解得3x 检验：将3x 代入原方程的分母，不为 0 3x 为原方程的解 【点睛】本题考查了分式方程的解法，熟练掌握分式方程的求解方法是解题的关键 21. 如图，有一池塘，要测池塘两端 A、B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接 到达点 A 和 B，连接AC并延长到点 D，使CDCA，连接BC并延长到点 E，使CECB，连接DE， 那么量出DE的长就是 A、B的距离，为什么？请结合解题过程，完成本题的证明 证明：在DEC和ABC中， _ _ _ CD CE DECABC SAS _ 【答案】CA，
8、DCEACB，AB，EDAB 【解析】 【分析】根据证明步骤填写缺少的部分，从证明三角形全等的过程分析，利用了“边角边”，缺少角相等， 填上一对对顶角，最后证明结论，依题意是要证明EDAB 【详解】证明：在DEC和ABC CDCA DCEACB CEAB DECABCSAS EDAB 【点睛】本题考查了三角形全等的证明过程，“边角边”两边夹角证明三角形全等，熟悉三角形全等的证 明方法是解题的关键 22. 如今，柳州螺蛳粉已经成为名副其实的“国民小吃”，螺蛳粉小镇对 A、B两种品牌的螺蛳粉举行展销 活动若购买 20箱 A 品牌螺蛳粉和 30箱 B 品牌螺蛳粉共需要 4400 元，购买 10 箱
9、A品牌螺蛳粉和 40箱 B 品牌螺蛳粉则需要 4200 元 （1）求 A、B 品牌螺蛳粉每箱售价各为多少元？ （2）小李计划购买 A、B品牌螺蛳粉共 100箱，预算总费用不超过 9200元，则 A 品牌螺蛳粉最多购买多少 箱？ 【答案】 （1）A 品牌螺蛳粉每箱售价为 100元，B品牌螺蛳粉每箱售价为 80元； （2）60 箱 【解析】 【分析】 （1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元，根据两种购买方式建立方 程组，解方程组即可得； （2）设购买A品牌螺蛳粉为a箱，从而可得购买B品牌螺蛳粉为100a箱，再根据“预算总费用不超 过 9200元”建立不等式，解不等式，结合a
10、为正整数即可得 【详解】解： （1）设A品牌螺蛳粉每箱售价为x元，B品牌螺蛳粉每箱售价为y元， 由题意得： 20304400 10404200 xy xy ， 解得 100 80 x y ， 答：A品牌螺蛳粉每箱售价为 100 元，B品牌螺蛳粉每箱售价为 80元； （2）设购买A品牌螺蛳粉为a箱，则购买B品牌螺蛳粉为100a箱， 由题意得：10080 1009200aa， 解得60a， 答：A品牌螺蛳粉最多购买 60 箱 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，正确建立方程组和不等式是解题关 键 23. 为迎接中国共产党建党 100 周年，某校开展了以“不忘初心，缅怀先烈
11、”为主题的读书活动，学校政教 处对本校七年级学生五月份“阅读该主题相关书籍的读书量”（下面简称“读书量”）进行了随机抽样调 查，并对所有随机抽取学生的“读书量”（单位：本）进行了统计，如下图所示 （1）补全下面图 1 的统计图； （2）本次所抽取学生五月份“读书量”的众数为_； （3）已知该校七年级有 1200 名学生，请你估计该校七年级学生中，五月份“读书量”不少于 4本的学生人 数 【答案】 （1）见解析； （2）3本； （3）360人 【解析】 【分析】 （1）求出抽取的总人数，即可算出读书量为 4本的人数，从而能够将条形图补充完整； （2）从补全的条形图中即可解决； （3）求出样本中读
12、书量不少于 4本的人数占抽取人数的百分比，从而估计出总体中读书量不少于 4本的人 数占总体的百分比，进而问题可解 【详解】 （1）读书量 1本的人数为 5人，占抽取人数的 10%， 抽取人数为： 5 10%50（人） 读书量为 4本的人数为： 50-（5+10+20+5）=50-40=10（人） 图 1 补充完整如下： （2）读书量为 3 本的人数最多， 抽取学生五月份读书量的众数为 3 本 故答案为：3本 （3）样本中读书量不少于 4本的人数的百分比为： 105 100%30% 50 ， 1200 30%360（人） 答：估计七年级学生中读书量不少于 4本的学生人数为 360人 【点睛】本题
13、考查了条形统计图、扇形统计图、简单随机抽样、用样本估计总体等知识点，从不同的统计 图中提取相对应的信息是解题的基础，熟知用样本估计总体的数学思想方法是关键 24. 在一次海上救援中，两艘专业救助船,A B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的 正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西 30 方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助 船A相距 120 海里 （1）求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； （2） 若救助船 A，B分别以 40 海里/小时、 30海里/小时的速度同时出发， 匀速直线前往事故渔船P处搜救， 试通过计算判断哪艘船先到达 【答案】 （1）收到
14、求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60 2海里； （2）救助船B先到达 【解析】 【分析】(1)如图，作PCAB于C，在PAC中先求出 PC的长，继而在 PBC中求出 BP 的长即可； (2)根据“时间=路程速度”分别求出救助船 A和救助船 B所需的时间，进行比较即可. 【详解】(1)如图，作PCAB于C， 则90PCAPCB ， 由题意得：=120PA海里，=30A，=45BPC， 1 60 2 PCPA海里，BCP是等腰直角三角形， 60BCPC海里， 22 60 2PBPCBC 海里， 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为60 2海里； (2)120PA海里， 60
15、 2PB 海里，救助船,A B分别以 40 海里/小时、30 海里/小时的速度同时出发， 救助船A所用的时间为 120 =3 40 (小时)， 救助船B所用的时间为 60 2 2 2 30 (小时)， 3 2 2 ， 救助船B先到达 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用， 涉及了含 30 度角的直角三角形的性质， 等腰直角三角形的判定， 勾股定理的应用等，熟练正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 25. 如图，四边形ABCD中，/,1,5AD BC ADAB ADABDC，以 A 为圆心，AD为半径作 圆，延长CD交A于点 F，延长DA交A于点 E，连结BF，交DE于点 G （1）求证
16、：BC为A的切线； （2）求cosEDF的值； （3）求线段BG的长 【答案】 （1）见解析； （2） 2 5 5 ； （3） 10 3 【解析】 【分析】 （1）根据平行线的性质，证明ABC=90 即可； （2）根据平行线的性质，得EDF=BCD，过点 D作 DHBC，垂足为 H，在直角三角形 CDH 中，根据 三角函数的定义计算即可； （3）过 A 作AJFC于点 J，证明FGDFBC，后利用勾股定理计算即可 【详解】 （1）证明：,ADBC ADAB， 90CBABAD 1ABAD CB是A的切线 （2）过 D作DHBC于 H, ,ABBC DHBC ABDH 四边形ABHD为平行四边形
17、 1,1,DHABBHADEDFC 在RtDHC中，90 ,1,5DHCDHDC 22 5 12HCCDDH , 3BCBHHC, 22 coscos5 55 HC EDFC DC （3）过 A 作AJFC于点 J, FJJD 在Rt AJD中，90 ,1AJDAD 22 cos155 55 JDADADJ 4 25 5 FDJD :()4:9FD FCFDFDDC EDBC FGDFBC 4 9 GDFD BCFC 4 3 GD ， 1 3 AGGDAD Rt GAB中， 1 90 ,1 3 GABAGAB 22 110 1 93 BGAGAB. 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，三角
18、形相似，勾股定理，熟练掌握切线的判定，灵活运用勾 股定理，垂径定理，三角形相似是解题的关键. 26. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线： 2 yaxbxc交 x 轴于1,0 , (3,0)AB两点，与 y 轴交 于点 3 0, 2 C （1）求抛物线的函数解析式； （2）如图 1，点 D为第四象限抛物线上一点，连接OD，过点 B作BEOD，垂足为 E，若2BEOE， 求点 D的坐标； （3）如图 2，点 M 为第四象限抛物线上一动点，连接AM，交BC于点 N，连接BM，记BMN的面积 为 1 S，ABN的面程为 2 S，求 1 2 S S 的最大值 【答案】 （1） 2 13 22 yxx
19、； （2）1, 2D； （3） 9 16 【解析】 【分析】 （1）利用待定系数法求解抛物线的函数解析式即可； （2）先根据2BEOE和勾股定理求得 3 5 5 OE ， 6 5 5 BE ，过点 E 做TF平行于OB交 y 轴于 T， 易证ETOOEB，利用相似三角形的性质求得 3 5 TE ， 6 55 BE OT ，进而求得点 E 坐标，求得直 线 OE的解析式，和抛物线联立方程组，解之即可求得点 D 坐标； （3）延长BC于至点 F，使AFy轴，过 A点作AHBF于点 H，作MTy轴交BF于点 T，过 M 点 作MDBF于点 D，证明AFHMTD，利用相似三角形的性质和三角形的面积公式
20、可得 1 2 SMDMT SAHAF ，利用待定系数法求出直线 BC的解析式，进而可求得 AF，设 2 13 , 22 Mxxx ，则 2 2 1313139 2222228 MTxxxx ，根据二次函数求最值的方法求的 MT的最大值， 进而 可求得 1 2 S S 的最大值 【详解】解： （1）依题意，设(1)(3)ya xx， 代入 3 0, 2 C 得： 3 1 ( 3) 2 a ，解得： 1 2 a 22 1113 (1)(3)(1)2 2222 yxxxxx； （2）由2BEOE， 设OE=x，则2BEx， BEOD， RtOEB 中，OB=3，由勾股定理得： 222 OEBEOB，
21、 即 22 49xx ，解得： 12 3 53 5 , 55 xx （舍） ， 3 5 5 OE ， 6 5 5 BE ， 过点 E做TF平行于OB交 y轴于 T， ETOOEB， OTOETE EBOBOE ， 2 OEOB TE ， 即 45 3 25 TE ，解得： 3 5 TE ， 6 55 BE OT ， 36 , 55 E ， 直线OE的解析式为 2yx ， OE的延长线交抛物线于点 D， 2 2 13 22 yx yxx ，解得： 12 1,3xx （舍） ， 当1x 时， 2y ， 1, 2D ； （3）如图所示，延长BC于至点 F，使AFy轴，过 A 点作AHBF于点 H 作
22、MTy轴交BF于点 T，过 M 点作MDBF于点 D， AFMT， AFHMTD ， ,AHBF MDBF， 90AHFMDT， AFHMTD， AHAF MDMT ， 1 1 2 NMSBD， 2 1 2 SNB AH， 1 2 SMDMT SAHAF ， 设直线BC解析式为y kxb ，将 B，C两点代入得 3 2 3 03 2 b k 解得： 3 2 1 2 b k ， 直线BC的解析式为 13 22 yx， 当1x时， 13 ( 1)2 22 y ， ( 1, 2)F ， 2AF ， 设 2 13 , 22 Mxxx ， 2 2 1313139 2222228 MTxxxx ， 1 0 2 a ， max 9 8 MT ， 1max 2 max 9 9 8 216 SMDMTMT SAHAFAF 【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求函数的解析式、二次函数的图象与性质、相 似三角形的判定与性质、坐标与图形、解一元二次方程、三角形的面积、勾股定理、求函数的最值等知识， 解答的关键是结合图象， 添加合适的辅助线，运用相似三角形的性质和数形结合法进行推理、 探究和计算