1、2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷年内蒙古通辽市中考数学试卷 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括 10 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代 表正确答案的字母用表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑）铅笔涂黑） 1 （3 分）|2|的倒数是（ ） A2 B C2 D 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x3x5 B2x3x31 Cx3x4x7 D （2xy2）36x3y6 3 （3 分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班 50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表，
2、其中有两个数据被遮盖 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A平均数，方差 B中位数，方差 C中位数，众数 D平均数，众数 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k3）xk+10 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 5 （3 分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方 体的个数不可能是（ ） A3 B4 C5 D6 6 （3 分）随着互联网技术
3、的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从 2018 年到 2020 年，我国快递业务 量由 507 亿件增加到 833.6 亿件，设我国从 2018 年到 2020 年快递业务量的年平均增长率为 x，则可列方 程为（ ） A507（1+2x）833.6 B5072（1+x）833.6 C507（1+x）2833.6 D507+507（1+x）+507（1+x）2833.6 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） ABDEBAC BBADB CDEDC DAEAC 8 （3 分）定义：一次函数 yax+b 的特征数为a，b，若一次函数
4、y2x+m 的图象向上平移 3 个单位长 度后与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，且点 A，B 关于原点对称，则一次函数 y2x+m 的 特征数是（ ） A2，3 B2，3 C2，3 D2，3 9 （3 分）如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于 M，N 两点，当 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为（ ） A B C或 D或 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，动点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 ABC
5、的路 径运动，点 Q 沿 ADC 的路径运动，点 P，Q 的运动速度相同，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也随之停 止运动，连接 PQ设点 P 的运动路程为 x，PQ2为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 二、填空题（本题包括二、填空题（本题包括 7 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 21 分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11 （3 分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 用科学记数法表 示为 12 （3 分）如图所示，电路连接完好，且各元件
6、工作正常随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，能让两个 小灯泡同时发光的概率是 13 （3 分）一副三角板如图所示摆放，且 ABCD，则1 的度数为 14 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一 托，折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿 长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则可列方程组 为 15 （3 分）若关于 x 的不等式组，有且只有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB2，点 C 是O
7、上的一个动点，且ACB60，若点 M，N 分 别是 AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 17 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，A2A3B3，An1AnBn都是斜边在 x 轴上的等腰直角三角形， 点 A1，A2，A3，An都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例函数 y（x0）的图象上， 则点 Bn的坐标为 （用含有正整数 n 的式子表示） 三、解答题（本题包括三、解答题（本题包括 9 道小题，共道小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答 的文字说明、证明过程或计算步骤
8、）的文字说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）计算： （） 1+（3）02cos30+|3 | 19 （6 分）先化简，再求值： （+x1），其中 x 满足 x2x20 20 （6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转 动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中 指针所指数字分别记为 x，y请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率 21 （7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行为测量其宽度，小明在南岸边 B 处测得对 岸边 A 处一棵大树位于北
9、偏东 60方向， 他以 1.5m/s 的速度沿着河岸向东步行 40s 后到达 C 处， 此时测 得大树位于北偏东 45方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：1.732） 22 （7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩 （得分取整数，满分为 100 分） ，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图 其中 A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取 名学生，a 的值为 ； （2）在扇形统计图中，n ，E 组所占比例为 %； （3）补全频数分布直方图； （4）若全校共
10、有 1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80 分以上的学生人数 23 （8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售 价比乙种消毒液的零售价多 6 元，该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种 消毒液 （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙 种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元/桶、15 元/桶的批发价求甲种 消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少
11、元？ 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线 AC，点 P 是射线 AC 上的动点，连接 OP，过点 B 作 BDOP，交O 于点 D，连接 PD （1）求证：PD 是O 的切线； （2）当四边形 POBD 是平行四边形时，求APO 的度数 25 （10 分）已知AOB 和MON 都是等腰直角三角形（OAOMOA） ，AOBMON90 （1）如图 1，连接 AM，BN，求证：AMBN； （2）将MON 绕点 O 顺时针旋转 如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，求证：AM2+BM22OM2； 当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OA4，OM3，请直接写出线段
12、AM 的长 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（3，0） ，B（1，0）两点，交 y 轴于点 C，动点 P 在 抛物线的对称轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）当以 P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及PBC 的周长； （3）若点 Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以 A，C，P，Q 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年内蒙古通辽市中考数学试卷年内蒙古通辽市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本题包括一、选择题（本题包括
13、10 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代分，每小题只有一个正确答案，请在答题卡上将代 表正确答案的字母用表正确答案的字母用 2B 铅笔涂黑）铅笔涂黑） 1 （3 分）|2|的倒数是（ ） A2 B C2 D 【解答】解：|2|的倒数是， 故选：B 2 （3 分）下列计算正确的是（ ） Ax2+x3x5 B2x3x31 Cx3x4x7 D （2xy2）36x3y6 【解答】解：Ax2+x3，不是同类项，不能合并，故本选项不合题意； B.2x3x3x3，故本选项不合题意； Cx3x4x7，故本选项符合题意； D （2xy2）38x3y
14、6，故本选项不合题意； 故选：C 3 （3 分）为迎接中国共产党建党一百周年，某班 50 名同学进行了党史知识竞赛，测试成绩统计如下表， 其中有两个数据被遮盖 成绩/分 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 人数 1 2 3 5 6 8 10 12 下列关于成绩的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） A平均数，方差 B中位数，方差 C中位数，众数 D平均数，众数 【解答】解：由表格数据可知，成绩为 24 分、92 分的人数为 50（12+10+8+6+5+3+2+1）3（人） ， 成绩为 100 分的，出现次数最多，因此成绩的众数是 100， 成绩从小到大排列后处在第
15、 25、26 位的两个数都是 98 分，因此中位数是 98， 因此中位数和众数与被遮盖的数据无关， 故选：C 4 （3 分）关于 x 的一元二次方程 x2（k3）xk+10 的根的情况，下列说法正确的是（ ） A有两个不相等的实数根 B有两个相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【解答】解：（k3）24（k+1） k26k+94+4k k22k+5 （k1）2+4， （k1）20， （k1）2+40，即0， 方程总有两个不相等的实数根 故选：A 5 （3 分）如图，是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方 体的个数不可能是（ ） A3 B4 C5 D6 【
16、解答】解：根据主视图与左视图，第一行的正方体有 1（只有一边有）或 2（左右都有）个，第二行的 正方体可能有 2（左边有）或 3（左右都有）个， 1+23，1+34，2+24，2+35， 不可能有 6 个 故选：D 6 （3 分）随着互联网技术的发展，我国快递业务量逐年增加，据统计从 2018 年到 2020 年，我国快递业务 量由 507 亿件增加到 833.6 亿件，设我国从 2018 年到 2020 年快递业务量的年平均增长率为 x，则可列方 程为（ ） A507（1+2x）833.6 B5072（1+x）833.6 C507（1+x）2833.6 D507+507（1+x）+507（1
17、+x）2833.6 【解答】解：设我国 2018 年至 2020 年快递业务收入的年平均增长率为 x， 由题意得：507（1+x）2833.6， 故选：C 7 （3 分）如图，在 RtABC 中，ACB90，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（ ） ABDEBAC BBADB CDEDC DAEAC 【解答】解：根据尺规作图的痕迹可得，DEAB，AD 是BAC 的平分线， C90， DEDC，B+BDEB+BAC90， BDEBAC， 在 RtAED 和 RtACD 中， ， RtAEDRtACD（HL） ， AEAC， DE 不是 AB 的垂直平分线，故不能证明BADB， 综上所述：A
18、，C，D 不符合题意，B 符合题意， 故选：B 8 （3 分）定义：一次函数 yax+b 的特征数为a，b，若一次函数 y2x+m 的图象向上平移 3 个单位长 度后与反比例函数 y的图象交于 A，B 两点，且点 A，B 关于原点对称，则一次函数 y2x+m 的 特征数是（ ） A2，3 B2，3 C2，3 D2，3 【解答】解：将一次函数 y2x+m 向上平移 3 个单位长度后得到 y2x+m+3， 设 A（x1，0） ，B（x2，0） ， 联立， 2x2（m+3）x30， x1和 x2是方程的两根， ， 又A，B 两点关于原点对称， x1+x20， ， m3， 根据定义，一次函数 y2x+
19、m 的特征数是2，3， 故选：D 9 （3 分）如图，已知 ADBC，ABBC，AB3，点 E 为射线 BC 上一个动点，连接 AE，将ABE 沿 AE 折叠，点 B 落在点 B处，过点 B作 AD 的垂线，分别交 AD，BC 于 M，N 两点，当 B为线段 MN 的三等分点时，BE 的长为（ ） A B C或 D或 【解答】解：当 MBMN 时，如图： RtAMB中，ABAB3，MBAB1， AM2， ADBC，ABBC，MNAD， 四边形 ABNM 是矩形， BNAM2，MNAB3， 设 BEx，则 BEx，EN2x， RtBEN 中，BNMNMB2，EN2+BN2BE2， （2x）2+2
20、2x2， 解得 x， BE 的长为； 当 NBMN 时，如图： NBMN1， MB2， 设 BEy， 同可得 y， BE 的长为， 综上所述，BE 的长为或 故选：D 10 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，AB4，BC3，动点 P，Q 同时从点 A 出发，点 P 沿 ABC 的路 径运动，点 Q 沿 ADC 的路径运动，点 P，Q 的运动速度相同，当点 P 到达点 C 时，点 Q 也随之停 止运动，连接 PQ设点 P 的运动路程为 x，PQ2为 y，则 y 关于 x 的函数图象大致是（ ） A B C D 【解答】解：在 RtAPQ 中，QAP90，APAQx， PQ22x2 当 0 x
21、3 时，APAQx， yPQ22x2； 当 3x4 时，DPx3，APx， yPQ232+3218； 当 4x7 时，CP7x，CQ7x， yPQ2CP2+CQ22x228x+98 故选：C 二、填空题（本题包括二、填空题（本题包括 7 道小题，每小题道小题，每小题 3 分，共分，共 21 分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上）分。将答案直接填在答题卡对应题的横线上） 11 （3 分）冠状病毒是一类病毒的总称，其最大直径约为 0.00000012 米，数据 0.00000012 用科学记数法表 示为 1.210 7 【解答】解：0.000000121.210 7 故答案为：1.210 7 1
22、2 （3 分）如图所示，电路连接完好，且各元件工作正常随机闭合开关 S1，S2，S3中的两个，能让两个 小灯泡同时发光的概率是 【解答】解：把开关 S1，S2，S3分别记为 A、B、C， 画树状图如图： 共有 6 种等可能的结果，能让两个小灯泡同时发光的结果有 2 种， 能让两个小灯泡同时发光的概率为， 故答案为： 13 （3 分）一副三角板如图所示摆放，且 ABCD，则1 的度数为 75 【解答】解：如图，A45，C30， ABCD， 2C30， 12+A30+4575， 故答案为：75 14 （3 分）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题： “一条竿子一条索，索比竿子长一 托，
23、折回索子却量竿，却比竿子短一托 ”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿 长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺，竿长 y 尺，则可列方程组为 【解答】解：设绳索长 x 尺，竿长 y 尺， 依题意得： 故答案为： 15 （3 分）若关于 x 的不等式组，有且只有 2 个整数解，则 a 的取值范围是 1a1 【解答】解：解不等式 3x21，得：x1， 解不等式 2xa5，得：x， 不等式组只有 2 个整数解， 23， 解得1a1， 故答案为：1a1 16 （3 分）如图，AB 是O 的弦，AB2，点 C 是O 上的一个动点，且ACB60，若点 M
24、，N 分 别是 AB，BC 的中点，则图中阴影部分面积的最大值是 【解答】解：连接 OA、OB、OM，如图， ACB60， AOB120， OAOB， OABOBA30， AMBMAB， OMAB， tan30， OM1， OA2OM2， 点 M、N 分别是 AB、BC 的中点， MNAC，MNAC， MBNABC， （）2， 当ABC 的面积最大时，MBN 的面积最大， C、O、M 在一条直线时，ABC 的面积最大， ABC 的面积最大值为：（2+1）3， MBN 的面积最大值为：， S弓形S扇形OABSAOB， 此时，S阴影+， 故答案为： 17 （3 分）如图，OA1B1，A1A2B2，
25、A2A3B3，An1AnBn都是斜边在 x 轴上的等腰直角三角形， 点 A1，A2，A3，An都在 x 轴上，点 B1，B2，B3，Bn都在反比例函数 y（x0）的图象上， 则点 Bn的坐标为 （+，+） （用含有正整数 n 的式子表示） 【解答】解：过 B1作 B1M1x 轴于 M1， 易知 M1（1，0）是 OA1的中点， A1（2，0） 可得 B1的坐标为（1，1） ， B1O 的解析式为：yx， P1OA1P2， A1B2的表达式一次项系数相等， 将 A1（2，0）代入 yx+b， b2， A1B2的表达式是 yx2， 与 y（x0）联立，解得 B2（1+，1+） 仿上，A2（2，0）
26、 B3（+，+） ， 依此类推，点 Bn的坐标为（+，+） ， 故答案为（+，+） 三、解答题（本题包括三、解答题（本题包括 9 道小题，共道小题，共 69 分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上写出各题解答 的文字说明、证明过程或计算步骤）的文字说明、证明过程或计算步骤） 18 （5 分）计算： （） 1+（3）02cos30+|3 | 【解答】解：原式2+12+2 19 （6 分）先化简，再求值： （+x1），其中 x 满足 x2x20 【解答】解：原式 x（x+1） x2+x， 解方程 x2x20，得 x12，x21， x
27、+10， x1， 当 x2 时，原式22+26 20 （6 分）如图，甲、乙两个转盘均被分成 3 个面积相等的扇形，每个扇形中都标有相应的数字，同时转 动两个转盘（当指针指在边界线上时视为无效，需重新转动转盘） ，当转盘停止后，把甲、乙两个转盘中 指针所指数字分别记为 x，y请用树状图或列表法求点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率 【解答】解：画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的结果有 4 种， 点（x，y）落在平面直角坐标系第一象限内的概率为 21 （7 分）如图，一段河流自西向东，河岸笔直，且两岸平行为测量其宽度，小明在南岸边 B
28、处测得对 岸边 A 处一棵大树位于北偏东 60方向， 他以 1.5m/s 的速度沿着河岸向东步行 40s 后到达 C 处， 此时测 得大树位于北偏东 45方向，试计算此段河面的宽度（结果取整数，参考数据：1.732） 【解答】解：如图，作 ADBC 于 D 由题意可知：BC1.54060（m） ，ABD906030，ACD904545， 在 RtACD 中，tanACDtan451， ADCD， 在 RtABD 中，tanABDtan30， BD， BCBDCDAD60（m） ， AD30（+1）82（m） ， 答：此段河面的宽度约 82m 22 （7 分）暑期将至，某校组织学生进行“防溺水”
29、安全知识竞赛，老师从中随机抽取了部分学生的成绩 （得分取整数，满分为 100 分） ，整理后绘制成如图所示的不完整的扇形统计图和频数分布直方图 其中 A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15请根据以上信息，解答下列问题： （1）本次共抽取 150 名学生，a 的值为 12 ； （2）在扇形统计图中，n 144 ，E 组所占比例为 4 %； （3）补全频数分布直方图； （4）若全校共有 1500 名学生，请根据抽样调查的结果，估计成绩在 80 分以上的学生人数 【解答】解： （1）A 组的频数 a 比 B 组的频数 b 小 15，A 组的频频率比 B 组的频率小 18%8%10%， 因此
30、调查人数为：15（18%8%）150（人） ， a1508%12（人） ， 故答案为：150，12； （2）36036040%144，即 n144， “E 组”所占的百分比为 18%18%30%40%4%， 故答案为：144，4； （3）ba+1527（人） ， “C 组”频数为：15030%45（人） ， “E 组”频数为：1504%6（人） ， 补全频数分布直方图如图所示： （4）1500660（人） ， 答：估计成绩在 80 分以上的学生人数大约为 660 人 23 （8 分）为做好新冠疫情的防控工作，某单位需购买甲、乙两种消毒液，经了解每桶甲种消毒液的零售 价比乙种消毒液的零售价多 6
31、 元，该单位以零售价分别用 900 元和 720 元采购了相同桶数的甲、乙两种 消毒液 （1）求甲、乙两种消毒液的零售价分别是每桶多少元？ （2）由于疫情防控进入常态化，该单位需再次购买两种消毒液共 300 桶，且甲种消毒液的桶数不少于乙 种消毒液桶数的由于购买量大，甲、乙两种消毒液分别获得了 20 元/桶、15 元/桶的批发价求甲种 消毒液购买多少桶时，所需资金总额最少？最少总金额是多少元？ 【解答】解： （1）设乙种消毒液的零售价为 x 元/桶，则甲种消毒液的零售价为（x+6）元/桶， 依题意得：， 解得：x24， 经检验，x24 是原方程的解，且符合题意， x+630 答：甲种消毒液的零
32、售价为 30 元/桶，乙种消毒液的零售价为 24 元/桶 （2）设购买甲种消毒液 m 桶，则购买乙种消毒液（300m）桶， 依题意得：m（300m） ， 解得：m75 设所需资金总额为 w 元，则 w20m+15（300m）5m+4500， 50， w 随 m 的增大而增大， 当 m75 时，w 取得最小值，最小值575+45004875 答：当甲种消毒液购买 75 桶时，所需资金总额最少，最少总金额是 4875 元 24 （8 分）如图，AB 是O 的直径，过点 A 作O 的切线 AC，点 P 是射线 AC 上的动点，连接 OP，过点 B 作 BDOP，交O 于点 D，连接 PD （1）求证
33、：PD 是O 的切线； （2）当四边形 POBD 是平行四边形时，求APO 的度数 【解答】 （1）证明：连接 OD， PA 切O 于 A， PAAB， 即PAO90， OPBD， DBOAOP，BDODOP， ODOB， BDODBO， DOPAOP， 在AOP 和DOP 中 ， AOPDOP（SAS） ， PDOPAO， PAO90， PDO90， 即 ODPD， OD 过 O， PD 是O 的切线； （2）解： 由（1）知：AOPDOP， PAPD， 四边形 POBD 是平行四边形， PDOB， OBOA， PAOA， PAO90， APOAOP45 25 （10 分）已知AOB 和MO
34、N 都是等腰直角三角形（OAOMOA） ，AOBMON90 （1）如图 1，连接 AM，BN，求证：AMBN； （2）将MON 绕点 O 顺时针旋转 如图 2，当点 M 恰好在 AB 边上时，求证：AM2+BM22OM2； 当点 A，M，N 在同一条直线上时，若 OA4，OM3，请直接写出线段 AM 的长 【解答】 （1）证明：AOBMON90， AOB+AONMON+AON， 即AOMBON， AOB 和MON 都是等腰直角三角形， OAOB，OMON， AOMBON（SAS） ， AMBN； （2）证明：连接 BN， AOBMON90， AOBBOMMONBOM， 即AOMBON， AOB
35、 和MON 都是等腰直角三角形， OAOB，OMON， AOMBON（SAS） ， MAONBO45，AMBN， MBN90， MN2+BN2MN2， MON 都是等腰直角三角形， MN22ON2， AM2+BM22OM2； 解：如图 3，当点 N 在线段 AM 上时，连接 BN，设 BNx， 由（1）可知AOMBON，可得 AMBN 且 AMBN， 在 RtABN 中，AN2+BN2AB2， AOB 和MON 都是等腰直角三角形，OA4，OM3， MN3，AB4， （x3）2+x2（4）2， 解得：x， AMBN， 如图 4，当点，M 在线段 AN 上时，连接 BN，设 BNx， 由（1）可
36、知AOMBON，可得 AMBN 且 AMBN， 在 RtABN 中，AN2+BN2AB2， AOB 和MON 都是等腰直角三角形，OA4，OM3， MN3，AB4， （x+3）2+x2（4）2， 解得：x， AMBN， 综上所述，线段 AM 的长为或 26 （12 分）如图，抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（3，0） ，B（1，0）两点，交 y 轴于点 C，动点 P 在 抛物线的对称轴上 （1）求抛物线的解析式； （2）当以 P，B，C 为顶点的三角形周长最小时，求点 P 的坐标及PBC 的周长； （3）若点 Q 是平面直角坐标系内的任意一点，是否存在点 Q，使得以 A，C，P，Q
37、 为顶点的四边形是 菱形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yax2+bx+3 交 x 轴于 A（3，0） ，B（1，0）两点， ， 解得：， 该抛物线的解析式为 yx2+2x+3； （2）在 yx2+2x+3 中，令 x0，得 y3， C（0，3） ， PBC 的周长为：PB+PC+BC，BC 是定值， 当 PB+PC 最小时，PBC 的周长最小 如图 1，点 A、B 关于对称轴 l 对称，连接 AC 交 l 于点 P，则点 P 为所求的点 APBP， PBC 周长的最小值是：PB+PC+BCAC+BC A（3，0） ，B（1，
38、0） ，C（0，3） ， AC3，BC PBC 周长的最小值是：3+ 抛物线对称轴为直线 x1， 设直线 AC 的解析式为 ykx+c，将 A（3，0） ，C（0，3）代入，得： ， 解得：， 直线 AC 的解析式为 yx+3， P（1，2） ； （3）存在 设 P（1，t） ， 以 AC 为边时，如图 2， 四边形 ACPQ 是菱形， CPCA， 12+（3t）232+32， 解得：t3， P1（1，3） ，P2（1，3+） ， Q1（4，） ，Q2（4，） ， 以 AC 为对角线时，如图 3， 四边形 ACPQ 是菱形， CPPA， 12+（3t）2（13）2+t2， 解得：t1， P3（1，1） ，Q3（2，2） ， 综上所述，符合条件的点 Q 的坐标为：Q1（4，） ，Q2（4，） ，Q3（2，2）