1、2021 年河南省郑州市巩义市中考数学适应性试卷年河南省郑州市巩义市中考数学适应性试卷 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 2 （3 分）改革开放是促进我国经济腾飞的法宝，对我国经济社会发展意义重大2020 年，我国国内生产 总值超过 101 万亿元人民币，迈上百万亿元新台阶数据“101 万亿”用科学记数法表示为（ ） A101109 B1.01109 C1.011014 D0.10110
2、15 3 （3 分）下列对于几何体三视图的说法，错误的是（ ） A长方体的主视图可能为正方形 B圆锥的左视图是三角形 C球的俯视图可能为椭圆 D左视图反映物体的高和宽 4 （3 分）下列解分式方程0 的步骤中，错误的是（ ） A找最简公分母：2x B去分母：x+20 C计算方程的根：x2 D验根：当 x2 时，方程0 成立 5 （3 分） 已知一组数据： 1， 5， 2， 4， 2， x 若该组数据的平均数是 1， 则其众数与中位数分别是 （ ） A2；0.5 B2；2 C1；2 D1：5 6 （3 分）如图所示，在正五边形 ABCDE 中，过顶点 A 作 AFCD，垂足为点 F，连接对角线
3、AC，则 CAF 的度数是（ ） A16 B18 C24 D28 7 （3 分）某同学现有一装有若干个黄球的袋子为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了 40 个绿球（所有球除颜色外其余均相同） ，摇匀后随机抓取 60 个，其中绿球共计 10 个，则袋子中黄球 的数量约为（ ） A200 个 B220 个 C240 个 D280 个 8 （3 分）如图所示，在O 中，线段 AB 是直径，点 D 是弧 AB 上一点，延长 AB 至点 C，使得 AB2BC， 连接 AD，OD，CD若C30，则ADO 的余弦值是（ ） A B C D 9 （3 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知动点
4、A 在双曲线 y（k0）的第一象限分支上，连接 OA，以 OA 为边，构造正方形 OABC，设正方形 OABC 的面积为 S，若 S4，则实数 k 的值是（ ） A B2 C D4 10 （3 分）如表是二次函数 yx2+bx+c（b，c 均为整数）的自变量 x 与因变量 y 的部分对应值 自变量 x 4.83 3.08 2.67 1.86 0.45 0.07 1.33 因变量 y 7.0089 0.1664 0.5511 0.9804 1.4025 3.2849 10.0889 给出下列判断，其中错误的是（ ） A该抛物线的对称轴是直线 x2 B该二次函数的最小值为1 C当 x14.29、x
5、20.11 时，y1y2 D当 x3x40 时， （x3x4） （y3y4）0 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分共 15 分）分） 11 （3 分）化简： 12 （3 分）不等式组的解集是 13 （3 分）如图所示，在ABCD 中，AB9，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E 在 AB 的延长线上，且 BE 3连接 OE 交 BC 于点 F，则 14 （3 分）如图所示，在矩形 ABCD 中，扇形 ABE 的弧 AE 与扇形 CDF 的弧 CF 相切于点 O，且点在矩形 的中心上若 AB，则图中阴影部分的面积是 15 （3 分）点 P 是等边三角形 ABC 内部一点，过点 P
6、 作三边的垂线，分别记为 PH1，PH2，PH3，设ABC 的边长为 a若 PH11，PH23，PH35，则 a ；若 a2，则 PH1+PH2+PH3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 8 个小题，满分个小题，满分 75 分解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）分解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 16 （8 分）先化简，再求值：，其中，a2b 17 （9 分）全国政协十三届四次会议和十三届全国人大四次会议相继于 2021 年 3 月 4 日、5 日在北京召开 某校党支部为了解在校生收看两会的总时长 t（单位：小时）的情况，从在校生中随机抽取了 n 名学生进
7、行调查，并完成调查问卷（有关两会的基本知识测试，共分 4 个部分，分别为“两会常识、民生部分、 科技部分、政治部分” ，各部分满分 25 分）校党支部回收所有问卷后，进行整理、统计，绘制了如表 1 所示的频数分布表（不完整） 表 1：受调查者收看两会的总时长统计表 总时长 t/ 小时 频数 频率 0t0.5 7 0.14 0.5t1 a 0.28 1t2 12 2t3 9 b t3 c 表 2：甲、乙、丙三位学生的问卷成绩 甲 乙 丙 两会常识（权重： 20%） 24 22 25 民生部分（权重： 30%） 20 24 19 科技部分（权重： 25%） 17 18 21 政治部分（权重： 25
8、%） 23 19 20 总分 20.85 20.10 （1）本次抽样调查的样本容量是 ；表 1 中 a ，b ，c ； （2）从受调查者中随机抽取一人，求抽到的受调查者收看两会的总时长 t 在“2t3”范围内的概率 （3）该校党支部欲从收看两会的总时长 t 在“t3”的范围内的受调查者中，选取问卷成绩较好的一人 作为学生代表，在校周会上进行发言经过初步筛选后，有甲、乙、丙三位学生入选，各自对应的问卷 成绩如表 2 所示（不完整） 根据表 2，请你判断甲、乙、丙三位学生中，哪位学生可以作为学生代表进 行发言，并说明理由 18 （9 分）如图所示，在ABC 中，ACB 的平分线交 AB 于点 D已
9、知点 E 是 AC 上一点，且满足 CE DE设 AD2a，BD3a（a0） （1）尺规作图：在图中确定点 E 的位置（要求保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）的条件下，若 BC10，求 DE 的长 19 （9 分）2020 年 12 月 29 日至 2021 年 1 月 7 日，我国解放军在南海聚集了一系列新型水面舰艇并展开 了相关的军事演习如图所示，我军某舰队正在南海某海域进行“海上交会”训练：主舰队 P 从点 A 以 平均航速 32nmile/h，沿北偏东 30的方向出发同时，补给舰 Q 从海岛 B 以平均航速 20nmile/h，沿西 偏北 80的方向出发已知主舰队 P 与补给舰
10、Q 同时出发，经过 0.5h 后，P，Q 在点 C 处相遇完成“海 上交会” 求点 A，B 间的直线距离（结果精确到 0.01nmile参考数据：sin400.64，cos400.77， tan400.84，8.06） 20 （9 分）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律类似地，反比例函数图 象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平 移规律进行了验证： 步骤：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数 y的图象； 步骤：在此平面直角坐标系中，画出函数 y的图象； 步骤： 比较反比例函数 y与函数 y的图象， 初步得出结论
11、： 反比例函数图象遵循 “左加右减” 的平移规律 （1）完成步骤（要求：画函数图象时，应列表、描点、连线） （2）根据图象，回答下列问题： 函数 y的图象是由反比例函数 y的图象向 平移 个单位长度后得到的 函数 y的图象的对称中心是 （填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数 21 （10 分） 厨余垃圾无公害化、 高效化处理是破解 “日益严重的垃圾包围城市的困境” 的重要手段之一 某 科研团队在自然界中找到了两种“吞噬细菌甲，乙” ，并进行实验室繁殖通过研究，科研人员发现：等数 量的吞噬细菌甲、乙分解单位体积内的厨余垃圾的速率 v（单位
12、：mol/min）与环境温度 T（单位：） 存在如图所示的函数关系，分段函数 C2对应吞噬细菌甲、分段函数 C1对应噬细菌乙（C1与 C2的图象 中，曲线部分是双曲线，其余均是直线） （1）根据图中给出的数据，求函数 C1，C2的函数解析式； （2）在测试中，科研人员又发现：若噬细菌甲、乙共存，则总分解速率 v 将会发生改变，对应的函数曲 线为 C3，其中，线段 OD 是AOC 的角平分线，求线段 OD 对应的函数解析式 22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+6（a0）过点 A（2，0） ，B（3，0） ，与 y 轴 的交点为 C （1）求抛物线的解析式； （2）若
13、点 C 关于 x 轴的对称点为点 D，该抛物线上是否存在点 P，使得以点 A，B，D，P 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）试画出函数 y|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|x6 的根的个数 23 （11 分） 【模型构建】如图所示，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，DEF 的顶点 E，F 分别在 AB，BC 上（可与点 A，B，C 重合） ，且满足EDF45DEF 的高线 DG 交线段于点 G（可与 E，F 重合） ， 设k （1）求 k 的值 【模型拓展】在【模型构建】的基础上，将条件“长为 1 的正
14、方形 ABCD”改为“长 AB8、宽 AD6 的矩形 ABCD” （其他条件不变） （2）判断 k 的值是否改变若改变，请求出 k 的取值范围；若不改变，请证明 【深入探究】在【模型构建】的基础上，设DEF 的面积为 S （3）求 S 的最小值； 当 S 取到最小值时，直接写出 DG 与 GB 的数量关系 2021 年河南省郑州市巩义市中考数学适应性试卷年河南省郑州市巩义市中考数学适应性试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（每小题一、选择题（每小题 3 分，共分，共 30 分分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的
15、） 1 （3 分）2021 的相反数是（ ） A2021 B2021 C D 【解答】解：2021 的相反数是：2021 故选：B 2 （3 分）改革开放是促进我国经济腾飞的法宝，对我国经济社会发展意义重大2020 年，我国国内生产 总值超过 101 万亿元人民币，迈上百万亿元新台阶数据“101 万亿”用科学记数法表示为（ ） A101109 B1.01109 C1.011014 D0.1011015 【解答】解：101 万亿1010000000000001.011014 故选：C 3 （3 分）下列对于几何体三视图的说法，错误的是（ ） A长方体的主视图可能为正方形 B圆锥的左视图是三角形
16、C球的俯视图可能为椭圆 D左视图反映物体的高和宽 【解答】解：A、长方体的主视图可能为正方形是正确的，不符合题意； B、圆锥的左视图是三角形是正确的，不符合题意； C、球的俯视图为圆，原来的说法错误，符合题意； D、左视图反映物体的高和宽是正确的，不符合题意 故选：C 4 （3 分）下列解分式方程0 的步骤中，错误的是（ ） A找最简公分母：2x B去分母：x+20 C计算方程的根：x2 D验根：当 x2 时，方程0 成立 【解答】解：分式方程变形得：0， 最简公分母为 x2， 去分母得：x20， 解得：x2， 检验：当 x2 时，x20， x2 是增根，分式方程无解 错误的是验根 故选：D
17、5 （3 分） 已知一组数据： 1， 5， 2， 4， 2， x 若该组数据的平均数是 1， 则其众数与中位数分别是 （ ） A2；0.5 B2；2 C1；2 D1：5 【解答】解：1，5，2，4，2，x 的平均数是 1， 1+52+4+2+x16， 解得 x2， 所以这组数据为2、2、1、2、4、5， 则这组数据的众数为2，中位数为0.5， 故选：A 6 （3 分）如图所示，在正五边形 ABCDE 中，过顶点 A 作 AFCD，垂足为点 F，连接对角线 AC，则 CAF 的度数是（ ） A16 B18 C24 D28 【解答】解：五边形 ABCDE 是正五边形， BBCD108，BABC，
18、BCABAC36， ACFBCDBCA72， AFCD， AFC90， CAF90ACF18， 故选：B 7 （3 分）某同学现有一装有若干个黄球的袋子为了估计袋子中黄球的数量，该同学向这袋黄球中放入了 40 个绿球（所有球除颜色外其余均相同） ，摇匀后随机抓取 60 个，其中绿球共计 10 个，则袋子中黄球 的数量约为（ ） A200 个 B220 个 C240 个 D280 个 【解答】解：袋子中求的总个数约为 40240（个） ， 则黄球的个数为 24040200（个） ， 故选：A 8 （3 分）如图所示，在O 中，线段 AB 是直径，点 D 是弧 AB 上一点，延长 AB 至点 C，
19、使得 AB2BC， 连接 AD，OD，CD若C30，则ADO 的余弦值是（ ） A B C D 【解答】解：过点 O 作 ODCD 于 D ODC90，C30， OC2OD， AB2BC，OAOB， OC2OA2OD， D 与 D重合， DOC903060， OAOD， OADODA30， cosADO， 故选：C 9 （3 分）如图所示，在平面直角坐标系中，已知动点 A 在双曲线 y（k0）的第一象限分支上，连接 OA，以 OA 为边，构造正方形 OABC，设正方形 OABC 的面积为 S，若 S4，则实数 k 的值是（ ） A B2 C D4 【解答】解：设点 A 的坐标为（a，） ， O
20、A, SOA2a2+, （a）2a2+2k0, a2+2k, Sa2+4， 2k4， k2 故选：B 10 （3 分）如表是二次函数 yx2+bx+c（b，c 均为整数）的自变量 x 与因变量 y 的部分对应值 自变量 x 4.83 3.08 2.67 1.86 0.45 0.07 1.33 因变量 y 7.0089 0.1664 0.5511 0.9804 1.4025 3.2849 10.0889 给出下列判断，其中错误的是（ ） A该抛物线的对称轴是直线 x2 B该二次函数的最小值为1 C当 x14.29、x20.11 时，y1y2 D当 x3x40 时， （x3x4） （y3y4）0
21、【 解 答 】 解 ： 将 （ 0.07 ， 3.2849 ） 和 （ 1.33 ， 10.0889 ） 代 入 二 次 函 数 y x2+bx+c 中 得 ： ， 解得：， 二次函数的解析式为：yx2+4x+3（x+2）21， 该抛物线的对称轴是直线 x2，二次函数的最小值为1， 故选项 A 和 B 正确，不符合题意； |4.29+2|2.29，|2+0.11|1.89，且 2.291.89， 该抛物线的对称轴是直线 x2，且开口向上， y1y2， 故选项 C 正确，不符合题意； 当 x2 时，y 随 x 的增大而增大， 当 x3x40 时，y3y4， （x3x4） （y3y4）0， 故选项
22、 D 错误，符合题意； 故选：D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 3 分共分共 15 分）分） 11 （3 分）化简： 3 【解答】解：3， 故答案为：3 12 （3 分）不等式组的解集是 x 【解答】解：解不等式 12x0，得：x， 解不等式 3x14，得：x， 则不等式组的解集为 x， 故答案为：x 13 （3 分）如图所示，在ABCD 中，AB9，对角线 AC，BD 交于点 O，点 E 在 AB 的延长线上，且 BE 3连接 OE 交 BC 于点 F，则 【解答】解：如图，过 O 作 OGAB 交 BC 于 G， 四边形 ABCD 是平行四边形， 点 O 是 AC 的中点， OG
23、是ABC 的中位线， OGAB，BGBC， OGAB， OGFEBF， ， 设 GF3a，则 BF2a， BGBF+GF5a， BC2BG10a，CFBCBF8a， OBF 边 BF 上的高等于OCF 边 CF 上的高， 故答案为： 14 （3 分）如图所示，在矩形 ABCD 中，扇形 ABE 的弧 AE 与扇形 CDF 的弧 CF 相切于点 O，且点在矩形 的中心上若 AB，则图中阴影部分的面积是 2 【解答】解：连接 BD， 扇形 ABE 的弧 AE 与扇形 CDF 的弧 CF 相切于点 O， 点 B、O、D 三点在同一条直线上，BD2AB2， AD， 图中阴影部分的面积S矩形ABCDS扇
24、形ABES扇形CDF2， 故答案为：2 15 （3 分）点 P 是等边三角形 ABC 内部一点，过点 P 作三边的垂线，分别记为 PH1，PH2，PH3，设ABC 的边长为 a若 PH11，PH23，PH35，则 a 6 ；若 a2，则 PH1+PH2+PH3 3 【解答】解：连结 PA，PB，PC，设ABC 的 BC 边上的高为 h，则 hABsin60a， SABCaaa2， SABCSABP+SBCP+SACP， a2， 解得 a6； 当 a2时， SABCSABP+SBCP+SACP， （2）2+， PH1+PH2+PH33 故答案为：6；3 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共
25、8 个小题，满分个小题，满分 75 分解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤）分解答时，应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤） 16 （8 分）先化简，再求值：，其中，a2b 【解答】解：原式 ， a2b， a+b2， 原式1 17 （9 分）全国政协十三届四次会议和十三届全国人大四次会议相继于 2021 年 3 月 4 日、5 日在北京召开 某校党支部为了解在校生收看两会的总时长 t（单位：小时）的情况，从在校生中随机抽取了 n 名学生进 行调查，并完成调查问卷（有关两会的基本知识测试，共分 4 个部分，分别为“两会常识、民生部分、 科技部分、政治部分” ，各部分满分 25 分）校
26、党支部回收所有问卷后，进行整理、统计，绘制了如表 1 所示的频数分布表（不完整） 表 1：受调查者收看两会的总时长统计表 总时长 t/ 小时 频数 频率 0t0.5 7 0.14 0.5t1 a 0.28 1t2 12 2t3 9 b t3 c 表 2：甲、乙、丙三位学生的问卷成绩 甲 乙 丙 两会常识（权重： 20%） 24 22 25 民生部分（权重： 30%） 20 24 19 科技部分（权重： 25%） 17 18 21 政治部分（权重： 25%） 23 19 20 总分 20.85 20.10 （1）本次抽样调查的样本容量是 50 ；表 1 中 a 14 ，b 0.18 ，c 0.1
27、6 ； （2）从受调查者中随机抽取一人，求抽到的受调查者收看两会的总时长 t 在“2t3”范围内的概率 （3）该校党支部欲从收看两会的总时长 t 在“t3”的范围内的受调查者中，选取问卷成绩较好的一人 作为学生代表，在校周会上进行发言经过初步筛选后，有甲、乙、丙三位学生入选，各自对应的问卷 成绩如表 2 所示（不完整） 根据表 2，请你判断甲、乙、丙三位学生中，哪位学生可以作为学生代表进 行发言，并说明理由 【解答】解： （1）70.1450（人） ， a500.2814（人） ， b9500.18， c（50714129）508500.16， 故答案为：50，14，0.18，0.16； （2
28、）从受调查的 50 人中随机抽取 1 人，共有 50 种等可能出现的结果，其中学习时长为“2t3” 的有 9 种， 抽到的受调查者收看两会的总时长 t 在“2t3”范围内的概率为； （3）选择乙， 甲的总分为：2420%+2030%+1725%+2325%20.8（分） ， 20.8520.820.10， 选择乙去比较好， 答：甲、乙、丙三位学生中，选择乙同学作为学生代表比较合适 18 （9 分）如图所示，在ABC 中，ACB 的平分线交 AB 于点 D已知点 E 是 AC 上一点，且满足 CE DE设 AD2a，BD3a（a0） （1）尺规作图：在图中确定点 E 的位置（要求保留作图痕迹，不
29、写作法） （2）在（1）的条件下，若 BC10，求 DE 的长 【解答】解： （1）如图，点 E 为所作； （2）CEDE， EDCECD， CD 平分ACB， ACDBCD， BCDEDC， DEBC， ADEABC， ，即， DE4 19 （9 分）2020 年 12 月 29 日至 2021 年 1 月 7 日，我国解放军在南海聚集了一系列新型水面舰艇并展开 了相关的军事演习如图所示，我军某舰队正在南海某海域进行“海上交会”训练：主舰队 P 从点 A 以 平均航速 32nmile/h，沿北偏东 30的方向出发同时，补给舰 Q 从海岛 B 以平均航速 20nmile/h，沿西 偏北 80的
30、方向出发已知主舰队 P 与补给舰 Q 同时出发，经过 0.5h 后，P，Q 在点 C 处相遇完成“海 上交会” 求点 A，B 间的直线距离（结果精确到 0.01nmile参考数据：sin400.64，cos400.77， tan400.84，8.06） 【解答】解：如图，过点 B 作 BDAC，垂足为 D，连接 AB， 由题意得，AC320.516（nmile） ，BC200.510（nmile） ，30，80， C30+（9080）40， 在 RtBCD 中， CDBCcosC100.777.7（nmile） ， BDBCsinC100.646.4（nmile） ， ADACCD167.78
31、.3（nmile） ， 在 RtADB 中， AB10.48（nmile） ， 答：点 A，B 间的直线距离约为 10.48nmile 20 （9 分）我们知道，一次函数和二次函数图象都遵循“左加右减”的平移规律类似地，反比例函数图 象的平移规律是不是也是“左加右减”呢？答案是肯定的下面，数学兴趣小组对反比例函数图象的平 移规律进行了验证： 步骤：如图所示，在平面直角坐标系中，已知反比例函数 y的图象； 步骤：在此平面直角坐标系中，画出函数 y的图象； 步骤： 比较反比例函数 y与函数 y的图象， 初步得出结论： 反比例函数图象遵循 “左加右减” 的平移规律 （1）完成步骤（要求：画函数图象时
32、，应列表、描点、连线） （2）根据图象，回答下列问题： 函数 y的图象是由反比例函数 y的图象向 右 平移 2 个单位长度后得到的 函数 y的图象的对称中心是 （2，0） （填点的坐标） （3）类比延伸：利用题中的平面直角坐标系，在不解方程的情况下，判断方程的根的个数 【解答】解： （1）列表： x 2 1 0 1 3 4 5 y 1 2 2 1 描点、连线（如图所示） ， （2）函数 y的图象是由反比例函数 y的图象向右平移 2 个单位长度后得到的 函数 y的图象的对称中心是（2，0） ， 故答案为右，2， ； （2，0） ； （3）由题意可知，反比例函数的图象也遵循“上加下减”的平移规律，
33、 如图所示，画出函数 y的图象， 方程的根的个数即函数 y与函数 y的图象交点的个数， 由图象可知，函数 y与函数 y的图象只有一个交点， 方程的根的个数为 1 21 （10 分） 厨余垃圾无公害化、 高效化处理是破解 “日益严重的垃圾包围城市的困境” 的重要手段之一 某 科研团队在自然界中找到了两种“吞噬细菌甲，乙” ，并进行实验室繁殖通过研究，科研人员发现：等数 量的吞噬细菌甲、乙分解单位体积内的厨余垃圾的速率 v（单位：mol/min）与环境温度 T（单位：） 存在如图所示的函数关系，分段函数 C2对应吞噬细菌甲、分段函数 C1对应噬细菌乙（C1与 C2的图象 中，曲线部分是双曲线，其余
34、均是直线） （1）根据图中给出的数据，求函数 C1，C2的函数解析式； （2）在测试中，科研人员又发现：若噬细菌甲、乙共存，则总分解速率 v 将会发生改变，对应的函数曲 线为 C3，其中，线段 OD 是AOC 的角平分线，求线段 OD 对应的函数解析式 【解答】解： （1）设线段 OA 的函数解析式为 vOAk1T（0T5)，线段 OB 的函数解析式为 vOBk2T （0T10),C1中双曲线的解析式为 v 曲线（T5)， 把点（5，10） ， （10，10）分别代入上式， 得：， 解得： C1：v吞噬细菌乙，C2：v吞噬细菌甲 (2)在 C1中，当 T5 时，v5，故 C(5，5)， 在 C
35、2中，A（5，10） ， 设 D（5，a)，则 AD10a，CDa5， OA，OC 设AOD 的边 OA 上的高为 h1，OCD 的边 OC 上的高为 h2， 线段 OD 是AOC 的平分线， h1h2， 又SAODOAh15AD，SOCDOCh25CD， h1，h2 ， ， 解得：a 经检验，a是所列方程的解， D（5，） ， 设线段 OD 的函数解析式为 vCDk4T（0T5） ， 把点 D 的坐标代入 vCD得：5k4， 解得：k4， vCDT（0T5） 22 （10 分）在平面直角坐标系中，已知抛物线 yax2+bx+6（a0）过点 A（2，0） ，B（3，0） ，与 y 轴 的交点为
36、 C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 C 关于 x 轴的对称点为点 D，该抛物线上是否存在点 P，使得以点 A，B，D，P 为顶点的四边 形是平行四边形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由； （3）试画出函数 y|ax2+bx+c|的大致图象，并直接写出方程|ax2+bx+c|x6 的根的个数 【解答】解： （1）设抛物线的表达式为 ya（xx1） （xx2）a（x3） （x+2）a（x2x6）ax2 6ax6a， 即6a6，解得 a1， 故抛物线的表达式为 yx2+x+6； （2）存在，理由： 对于 yx2+x+6，令 x0，则 y6，故点 C（0，6） ， 点 C 关
37、于 x 轴的对称点为点 D，则点 D（0，6） ， 当 AB 是边时， ABDP 且 ABDP5， 故点 P 的坐标为（5，6）或） （5，6） ， 当 x5 时，yx2+x+6146， 当 x5 时，yx2+x+6246， 故两个点 P 均不在抛物线上； 当 AB 是对角线时，设点 P 的坐标为（x，y） ， 由中点坐标公式得：（32）（0+x）且（0+0）（6+y） ，解得， 故点 P 的坐标为（1，6） ， 当 x1 时，yx2+x+66，故点 P 在抛物线上； 综上，点 P 的坐标为（1，6） ； （3）函数 y|ax2+bx+c|的大致图象如下， 设 yx+6，则方程|ax2+bx+
38、c|x6 的根即为函数 y 和 y的交点， 从图象看，交点的个数为 3 个， 故方程|ax2+bx+c|x6 的根的个数为 3 23 （11 分） 【模型构建】如图所示，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，DEF 的顶点 E，F 分别在 AB，BC 上（可与点 A，B，C 重合） ，且满足EDF45DEF 的高线 DG 交线段于点 G（可与 E，F 重合） ， 设k （1）求 k 的值 【模型拓展】在【模型构建】的基础上，将条件“长为 1 的正方形 ABCD”改为“长 AB8、宽 AD6 的矩形 ABCD” （其他条件不变） （2）判断 k 的值是否改变若改变，请求出 k 的取值范围；若不改
39、变，请证明 【深入探究】在【模型构建】的基础上，设DEF 的面积为 S （3）求 S 的最小值； 当 S 取到最小值时，直接写出 DG 与 GB 的数量关系 【解答】解： （1）如图 1 所示，把DAE，DCF 分别沿 DE，DF 翻折， 在正方形 ABCD 中，ADCDABDCB90，ADCD， ADE+CDFADCEDF904545， 翻折后，AD，CD 重合 设重合线为 DG，则DGEDGF90， DGEF，且 E，G，F 三点共线，则 G在 EF 上 又DGEF， DG与 DG 重合， DGDGAD k1 （2）k 的值发生改变 如图 2 所示，当点 G 与点 E 重合时，DG 取最小
40、值， DEF90 又EDF45， DFE45， DEF 是等腰直角三角形，则 DEEF AB90， ADE+AED90， AED+BEF90， ADEBEF， ADEBEF（AAS） ， ADBE6， AEABBE862， 在 RtADE 中，由勾股定理，得 DE2， kmin 如图 3 所示，当点 F 与点 C 重合时，DG 取最大值， EDC45， ABDF，则AEDEDC45， DAE 是等腰直角三角形，则 ADAE6， BEABAE862， 在 RtEBC 中，由勾股定理得： CE2 DGCBBCD90， BCE+DCGDCG+CDG， BCECDG， DGCCBE， ，即 DG， k
41、max， k （3）如图 1，设 BEm，BFn， 由（1）知 EFAE+CF， BEF 的周长为 BE+BF+EFBE+BF+AE+CFAB+BC2， ，即， 一元二次方程 ax2+bx+c0（a0）有求根公式： x1，x2， x1+x2+， x1x2 则 m，n 是关于 x 的方程 x2+（EF2）x+22EF0 的两个实数根， ， 解得：22EF1 SDGEFEF， 当 EF22 时，S 取最小值1 如图 4，由（2）知，S 取到最小值时，EF22， AE+CFEF22， 设 AEn，则 EB1x，CF22x， BFBCCF1（22x）x+32， BE2+BF2EF2， （1x）2+（x+32）2（22）2， 解得：x1x21， AE1， CF22x22（1）1， EGFG1， EBF90， GBEF1， DG1， GB（1）DG