1、2021 年辽宁省朝阳市建平县中考数学毕业试卷年辽宁省朝阳市建平县中考数学毕业试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得 0 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列四个运算中，只有一个是正确的这个正确运算的序
2、号是（ ） 30+3 13； ；a8a4a4；（2a2）38a5 A B C D 3 （3 分）如图，已知直线 mn，将一块含 45角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中斜边 AC 与直线 m 交于点 D若225，则1 的度数为（ ） A25 B45 C70 D75 4 （3 分）若一组数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A9，3 B4，5 C4，4 D5，3 5 （3 分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A掷一枚硬币，正面朝上 B购买一张彩票，一定中奖 C任意画一个三角形，它的内角和等于 180 D掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定
3、大于 7 6 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表： x 1 0 2 4 y 1 2 2 6 下列结论错误的是（ ） A该函数有最大值 B该函数图象的对称轴为直线 x1 C当 x2 时，函数值 y 随 x 增大而减小 D方程 ax2+bx+c0 有一个根大于 3 7 （3 分）如图，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，点 M，N 分别是 AC，BD 的中点，连接 EM，MF，FN，NE，要使四边形 EMFN 为正方形，则需添加的条件是（ ） AABCD，ABCD BABCD，ADBC CABCD，ACBD D
4、ABCD，ADBC 8 （3 分）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A（1，0） ，D（0，2） ，点 B 在第一象限，BDx 轴， 若函数 y的图象经过矩形 ABCD 的对角线的交点，则 k 的值为（ ） A4 B5 C8 D10 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，CD6，E 为 AD 上一点，将ABE 沿 BE 折叠，点 A 恰好落 在对角线 BD 上的点 F 处，则折线 BE 的长为（ ） A B C D 10 （3 分）如图，顶点坐标为（1，n）的抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2） ， （0， 3） 之间 （含端点
5、） ， 则下列结论： 3a+b0； 1a； 对于任意实数 m， a+bm （am+b） 总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，分只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上， 不必写出解答过程不必写出解答过程.不填、填错，一律得不填、填错，一律得 0 分）分） 11 （3 分）地球半径大约是 6370km，用科学记数法表示为 m 12
6、（3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，ACOB，BAO20，则BOC 的度数为 13 （3 分）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上，ABCF，FACB90，E45，A60，AC10，则 CD 的长度 是 14（3 分） 已知二次函数 yx2+ （m2） x+1， 当 x1 时， y 随 x 的增大而增大， 则 m 的取值范围是 15 （3 分）如图，一次函数 yx+2 与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限交于点 A，与 y 轴交 于点 M，与 x 轴交于点 N，若 AM：MN1：2，则 k 16 （3 分）如图，四边
7、形 OAA1B1是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1为边作第二个正方形 OA1A2B2，连 接 AA2，得到AA1A2；再以对角线 OA2为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到A1A2A3；再 以对角线 OA3为边作第四个正方形 OA3A4B4，连接 A2A4，得到A2A3A4，则AnAn+1An+2的面积等 于 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题，满分小题，满分 72 分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 17 （6 分）计算： （）06tan30+（） 2+|1 | 18（4 分） 在平面
8、直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB2C2，并求出线段 AB 扫过的面 积 19 （6 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选 修其中 1 门某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1） 和图（2） ） ： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数） ； （2）在该班团支部 4 人中，
9、有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班班主任要从 他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概 率是多少？ 20 （8 分）如图，将ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CEDC，连接 AE，交 BC 于点 F （1）求证：BFBC； （2）若AFC2D，连接 AC，BE，求证：四边形 ABEC 是矩形 21 （8 分）如图 1 是一把折叠椅子，图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，AB 表示地面所在的直线， 其中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管， EG 表示座板平面， EGAB， 交 AC 于点 F
10、， 且， AB 长 60cm， DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长 24cm， （1）求座板 EG 的长； （2）求此时椅子的最大高度（即点 D 到直线 AB 的距离） （结果保留根号） 22 （8 分）如图，菱形 ABCD，AB4，以 AB 为直径作O，交 AC 于点 E，过点 E 作 EFAD 于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）连接 OF，若BAD60，求 OF 的长 23 （10 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件
11、玩具 （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在 40 元的基础上上涨 x 元（x0） ，请你分别用含 x 的代数式来 表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 W（元） ，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 40+x 销售量 y（件） 销售玩具获得利润 W（元） （2）在（1）问的条件下，若商场获得 10000 元销售利润，则该玩具销售单价应定为多少元？ （3）在（1）问的条件下，若商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大 利润是多少？ 24 （10 分）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，直线 CE 与 直
12、线 AD 交于点 H，直线 CF 交直线 AB 于点 G，连接 EF，GH （1）如图 1，当 DFBE 时，求证：FC 平分DFE； （2）如图 2，将图 1 中的GCH 绕点 C 逆时针旋转，其他条件不变， （1）的结论是否成立？说明理由； （3）当CGH 是等腰三角形时，直接写出 AG 的长 25 （12 分）如图 1，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，若点 E 为第二象限抛物线上一动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求 此时 E 点的坐标；
13、（3）如图 2，在 x 轴上是否存在一点 D 使得ACD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年辽宁省朝阳市建平县中考数学毕业试卷年辽宁省朝阳市建平县中考数学毕业试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的， 请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过一个，一律得请将正确的选项代号填入答题纸对应的表格内，不填、填错或填入的代号超过
14、一个，一律得 0 分）分） 1 （3 分）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； B不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； C既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； D是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意 故选：A 2 （3 分）下列四个运算中，只有一个是正确的这个正确运算的序号是（ ） 30+3 13； ；a8a4a4；（2a2）38a5 A B C D 【解答】解：30+3 11+ ，故此选项错误； ，不是同类二次根式，无法合并，故此选项错误； a8
15、a4a4，正确； （2a2）38a6，故此选项错误； 故选：C 3 （3 分）如图，已知直线 mn，将一块含 45角的直角三角板 ABC，按如图所示方式放置，其中斜边 AC 与直线 m 交于点 D若225，则1 的度数为（ ） A25 B45 C70 D75 【解答】解：如图所示：设 BC 与直线 m 交于点 E， 则BED2+C25+4570， 又mn， 1BED70， 故选：C 4 （3 分）若一组数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5则这组数据的中位数和众数分别是（ ） A9，3 B4，5 C4，4 D5，3 【解答】解：数据 4，9，5，m，3 的平均数是 5， 4+9+5+m+35
16、5， 解得 m4， 则这组数据为 3、4、4、5、9， 这组数据的众数为 4，中位数为 4， 故选：C 5 （3 分）下列事件中，是必然事件的是（ ） A掷一枚硬币，正面朝上 B购买一张彩票，一定中奖 C任意画一个三角形，它的内角和等于 180 D掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于 7 【解答】解：A掷一枚硬币，正面朝上是随机事件； B购买一张彩票，一定中奖是随机事件； C任意画一个三角形，它的内角和等于 180是必然事件； D掷两枚质地均匀的正方体骰子，点数之和一定大于 7 是随机事件； 故选：C 6 （3 分）已知二次函数 yax2+bx+c 的 y 与 x 的部分对应值如表：
17、x 1 0 2 4 y 1 2 2 6 下列结论错误的是（ ） A该函数有最大值 B该函数图象的对称轴为直线 x1 C当 x2 时，函数值 y 随 x 增大而减小 D方程 ax2+bx+c0 有一个根大于 3 【解答】解： 依题意， 已知点（1，1） ， （0，2） （2，2）在 yax2+bx+c 上，则有，解得 故，二次函数解析式为：yx2+2x+2 选项 A，a0，该函数有最大值，选项正确 选项 B，对称轴 x1，选项正确 选项 C，a0，函数先增大后减小，对称轴 x1， 当 x2 时，函数值 y 随 x 增大而减小选项正确 选项 D，x2+2x+20 可解得方程两根 x1，21，两根均
18、不大于 3，选项错误 故选：D 7 （3 分）如图，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线，点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，点 M，N 分别是 AC，BD 的中点，连接 EM，MF，FN，NE，要使四边形 EMFN 为正方形，则需添加的条件是（ ） AABCD，ABCD BABCD，ADBC CABCD，ACBD DABCD，ADBC 【解答】解：点 E，F 分别是 AD，BC 的中点，点 M，N 分别是 AC，BD 的中点， EN、NF、FM、ME 分别是ABD、BCD、ABC、ACD 的中位线， ENABFM，MECDNF，ENABFM，MECDNF， 四边形 EMFN 为平行四
19、边形， 当 ABCD 时，ENFMMENF， 平行四边形 EMFN 是菱形； 当 ABCD 时，ENME， 则MEN90， 菱形 EMFN 是正方形； 故选：A 8 （3 分）在平面直角坐标系中，矩形 ABCD 的顶点 A（1，0） ，D（0，2） ，点 B 在第一象限，BDx 轴， 若函数 y的图象经过矩形 ABCD 的对角线的交点，则 k 的值为（ ） A4 B5 C8 D10 【解答】解：BDx 轴，D（0，2） ， B、D 两点纵坐标相同，都为 2， 可设 B（x，2） ， 矩形 ABCD 的对角线的交点为 E， E 为 BD 中点，DAB90 E（x，2） ， DAB90， AD2+
20、AB2BD2， A（1，0） ，D（0，2） ，B（x，2） ， 12+22+（x1）2+22x2， 解得 x5， E（，2） 反比例函数 y（k0，x0）的图象经过点 E， k25， 故选：B 9 （3 分）如图，在矩形 ABCD 中，BC8，CD6，E 为 AD 上一点，将ABE 沿 BE 折叠，点 A 恰好落 在对角线 BD 上的点 F 处，则折线 BE 的长为（ ） A B C D 【解答】解：在 RtBCD 中，利用勾股定理得 BD10， 设 AEx，则 EFx，DE8x， 在 RtDEF 中，BFAB6，DF1064 则（8x）2x2+42，解得 x3， 在 RtABE 中，BE
21、故选：C 10 （3 分）如图，顶点坐标为（1，n）的抛物线 yax2+bx+c 经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2） ， （0， 3） 之间 （含端点） ， 则下列结论： 3a+b0； 1a； 对于任意实数 m， a+bm （am+b） 总成立；关于 x 的方程 ax2+bx+cn1 有两个不相等的实数根其中结论正确的个数为（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【解答】解：抛物线 yax2+bx+c 的顶点坐标为（1，n） ，经过点 A（1，0） ，与 y 轴的交点在（0，2） ， （0，3）之间（含端点） ， ab+c0，与 x 轴的另一个交点（3，0） ，1，即
22、 2a+b0，2c3， 2a+b0，a0， 3a+b0，因此不正确； ab+c0，2a+b0，2c3， 23a3，即，1a；因此正确； 当 x1 时，ya+b+c 的值最大，因此正确； 抛物线与 x 轴有两个不同的交点， 结论正确； 综上所述，正确的有， 故选：C 二、 填空题 （本大题共二、 填空题 （本大题共 6 小题， 每小题小题， 每小题 3 分， 共分， 共 18 分只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上，分只需要将结果直接填写在答题纸对应题号处的横线上， 不必写出解答过程不必写出解答过程.不填、填错，一律得不填、填错，一律得 0 分）分） 11 （3 分）地球半径大约是 6
23、370km，用科学记数法表示为 6.37106 m 【解答】解：将 6370km 用科学记数法表示为 6.37106m 故答案为：6.37106 12 （3 分）如图，点 A，B，C 在O 上，ACOB，BAO20，则BOC 的度数为 40 【解答】解：OAOB， BAOB20， ACOB， CABB20， OAC40， OAOC， COAC40， BOCC40， 故答案为 40 13 （3 分）三角板是我们学习数学的好帮手将一对直角三角板如图放置，点 C 在 FD 的延长线上，点 B 在 ED 上， ABCF， FACB90， E45， A60， AC10， 则 CD 的长度是 155 【解
24、答】解：过点 B 作 BMFD 于点 M， 在ACB 中，ACB90，A60，AC10， ABC30，BC10tan6010 ， ABCF， BMBCsin305， CMBCcos3015， 在EFD 中，F90，E45， EDF45， MDBM5 ， CDCMMD155 故答案是：155 14 （3 分）已知二次函数 yx2+（m2）x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取值范围是 m 0 【解答】解：抛物线的对称轴为直线 xm+1， 当 x12 时，y 的值随 x 值的增大而增大， m+11， 解得 m0 故 m 的取值范围是 m0 故答案为：m0 15 （3 分）如图
25、，一次函数 yx+2 与反比例函数 y（k0）的图象在第一象限交于点 A，与 y 轴交 于点 M，与 x 轴交于点 N，若 AM：MN1：2，则 k 4 【解答】解：过点 A 作 ADx 轴， 由题意可得：MOAD， 则NOMNDA， AM：MN1：2， ， 一次函数 yx+2，与 y 轴交点为； （0，2） ， MO2， AD3， y3 时，3x+2， 解得：x， A（，3） ，将 A 点代入 y（k0）得： 3， 解得：k4 故答案为：4 16 （3 分）如图，四边形 OAA1B1是边长为 1 的正方形，以对角线 OA1为边作第二个正方形 OA1A2B2，连 接 AA2，得到AA1A2；再
26、以对角线 OA2为边作第三个正方形 OA2A3B3，连接 A1A3，得到A1A2A3；再 以对角线 OA3为边作第四个正方形 OA3A4B4，连接 A2A4，得到A2A3A4，则AnAn+1An+2的面积等 于 2n 1 【解答】解：设AA1A2、A1A2A3、A2A3A4的面积分别为 S1、S2、S3， 四边形 OAA1B1是正方形， OAAA1A1B11， S1， OAA190， OA1212+122， OA2A2A32， S2， 同理可求：S3，S44， Sn2n 2， AnAn+1An+2的面积 Sn+12n 1， 故答案为：2n 1 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 9 小题
27、，满分小题，满分 72 分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程）分，解答题应写出必要的步骤、文字说明，或证明过程） 17 （6 分）计算： （）06tan30+（） 2+|1 | 【解答】解：原式12+4+14 18（4 分） 在平面直角坐标系中， ABC 的位置如图所示 （每个小方格都是边长为 1 个单位长度的正方形） （1）将ABC 沿 x 轴向左平移 6 个单位，画出平移后得到的A1B1C1； （2）将ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90，画出旋转后得到的AB2C2，并求出线段 AB 扫过的面 积 【解答】解： （1）如图 ，A1B1C1为所作； （2）如图，AB2C2为所作；
28、 AB3， 所以线段 AB 扫过的面积 19 （6 分）某中学开设的体育选修课有篮球、足球、排球、羽毛球、乒乓球，学生可以根据自己的爱好选 修其中 1 门某班班主任对全班同学的选课情况进行了调查统计，制成了两幅不完整的统计图（图（1） 和图（2） ） ： （1）请你求出该班的总人数，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数） ； （2）在该班团支部 4 人中，有 1 人选修排球，2 人选修羽毛球，1 人选修乒乓球如果该班班主任要从 他们 4 人中任选 2 人作为学生会候选人，那么选出的两人中恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概 率是多少？ 【解答】解： （1）该班的总人数为 1224
29、%50（人） ， 足球科目人数为 5014%7（人） ， 补全图形如下： （2）设排球为 A，羽毛球为 B，乒乓球为 C画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的占 4 种， 所以恰好有 1 人选修排球、1 人选修羽毛球的概率， 20 （8 分）如图，将ABCD 的边 DC 延长到点 E，使 CEDC，连接 AE，交 BC 于点 F （1）求证：BFBC； （2）若AFC2D，连接 AC，BE，求证：四边形 ABEC 是矩形 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， CEDC， ABEC， 四边形 ABEC 是平行
30、四边形， BFBC； （2）由（1）知，四边形 ABEC 是平行四边形， FAFE，FBFC 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD 又AFC2ADC， AFC2ABC AFCABC+BAF， ABCBAF， FAFB， FAFEFBFC， AEBC， 四边形 ABEC 是矩形 21 （8 分）如图 1 是一把折叠椅子，图 2 是椅子完全打开支稳后的侧面示意图，AB 表示地面所在的直线， 其中 AD 和 BC 表示两根较粗的钢管， EG 表示座板平面， EGAB， 交 AC 于点 F， 且， AB 长 60cm， DAB60，ABC75，FG 长 24cm，CD 长 24cm， （1）求座
31、板 EG 的长； （2）求此时椅子的最大高度（即点 D 到直线 AB 的距离） （结果保留根号） 【解答】解（1）， ， EGAB， CFECAB， ， EF6015， EGEF+FG15+2439， 答：座板 EG 长 39cm； （2）作 BHAC 于点 H，DMAB 于点 M， 在 RtABH 中，AHABcosCAB6030， BHABsinCAB6030， 在 RtCBH 中，BCH180CABCBA180607545， CH， ADAH+CH+CD30+2454+， 在 RtADM 中，DMADsinDAM（54+）+45， 答：此时椅子的最大高度为（+45）cm 22 （8 分）
32、如图，菱形 ABCD，AB4，以 AB 为直径作O，交 AC 于点 E，过点 E 作 EFAD 于点 F （1）求证：EF 是O 的切线； （2）连接 OF，若BAD60，求 OF 的长 【解答】 （1）证明：连接 OE， 四边形 ABCD 是菱形， CADCAB， OAOE， OEACAB， CADOEA， OEAD， EFAD， AFE90， CAD+AEF90， OEA+AEF90，即OEF90， 又OE 是O 半径， EF 是O 的切线； （2）解：连接 BE， AB 是O 的直径， AEB90 BAD60， CADCAB30， 在 RtABE 中， 在 RtAEF 中， 在 RtOE
33、F 中，OE2， 23 （10 分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是 30 元，根据市场调查：在一段时间内，销售单 价是 40 元时，销售量是 600 件，而销售单价每涨 1 元，就会少售出 10 件玩具 （1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为在 40 元的基础上上涨 x 元（x0） ，请你分别用含 x 的代数式来 表示销售量 y 件和销售该品牌玩具获得利润 W（元） ，并把结果填写在表格中： 销售单价（元） 40+x 销售量 y（件） 60010 x 销售玩具获得利润 W（元） 10 x2+500 x+6000 （2）在（1）问的条件下，若商场获得 10000 元销售利润，则该玩具销售
34、单价应定为多少元？ （3）在（1）问的条件下，若商场要完成不少于 540 件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大 利润是多少？ 【解答】解： （1）由题意得，销售量为：y60010 x， 销售玩具获得利润为：W（40+x30） （60010 x）10 x2+500 x+6000； 故答案为：60010 x，10 x2+500 x+6000； （2）由题意得：10 x2+500 x+600010000， 解得：x110，x240 该玩具销售单价应定为 50 元或 80 元； 答：玩具销售单价为 50 元或 80 元时，可获得 10000 元销售利润； （3）销售单价为在 40 元的基础上上
35、涨 x， 根据题意得：60010 x540，解得 x6， 故 0 x6， W10 x2+500 x+600010（x25）2+12250， a100，对称轴 x25， 当 0 x6 时，y 随 x 增大而增大， 当 x6（元）时，W最大值8640（元） ， 答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为 8640 元 24 （10 分）已知正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在边 AB，AD 上，且ECF45，直线 CE 与 直线 AD 交于点 H，直线 CF 交直线 AB 于点 G，连接 EF，GH （1）如图 1，当 DFBE 时，求证：FC 平分DFE； （2）如图 2，将图 1 中
36、的GCH 绕点 C 逆时针旋转，其他条件不变， （1）的结论是否成立？说明理由； （3）当CGH 是等腰三角形时，直接写出 AG 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是正方形， CDCB，BDDCB90， 又 DFBE， CDFCBE（SAS） ， DCFBCE（90ECF）22.5，CFCE， DFC9022.567.5，CFECEF（180ECF）67.5， DFCCFE， FC 平分DFE； （2）成立， 理由如下：如图 2，延长 AD 到 M，使 DMBE， 四边形 ABCD 是正方形， CBCD，CDABDCB90， DCF+ECB90ECF45， CDM180CDA90B
37、， DMCBEC（SAS） ， CMCE，MCDECB， DCF+MCD45， 即MCEECF45 又 CFCF， MCFECF（SAS） ， MFCEFC， FC 平分DFE； （3）若 CGCH，如图 3，连接 AC， CHCG，CDCB， RtCDHRtCBG（HL） ， DHBG， AGAH， 又CGCH，ACAC， CAGCAH（SSS） ， ACGACH22.5， 四边形 ABCD 是正方形， ACCD4，CAB45， CABACG+AGC， AGCACG22.5， ACAG4； 若 CGGH 时，如图 4， CGGH， GCHGHC45， CGH90， CGB+AGH90， 又C
38、GB+BCG90， BCGAGH， 又CGGH，BGAH90， CGBGHA（AAS） ， AGBC4； 若 GHCH 时，如图 5， CHGH， GCHHGC45， CHG90， CHD+AHG90， 又CHD+DCH90， DCHAHG， 又CHGH，DGAH90， CDHHAG（AAS） ， CDAH4，AGDH， AGDHAD+AH8， 综上所述：AE 的长为 4 或或 8 25 （12 分）如图 1，已知抛物线 yax2+bx+3（a0）与 x 轴交于点 A（1，0）和点 B（3，0） ，与 y 轴 交于点 C （1）求抛物线的表达式； （2）如图 1，若点 E 为第二象限抛物线上一
39、动点，连接 BE，CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求 此时 E 点的坐标； （3）如图 2，在 x 轴上是否存在一点 D 使得ACD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的点 D 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）将点 A（1，0） ，B（3，0）代入 yax2+bx+3， 得， 解得， 抛物线表达式为 yx22x+3； （2）如图 1，过点 E 作 EFx 轴于点 F， 设 E（a，a22a+3） （3a0） ， EFa22a+3，BFa+3，OFa， ， 当时，S四边形BOCE最大，且最大值为； 当时， 此时，点 E 坐标为； （3）如图 2，连接 AC， 当
40、 CACD 时，此时 CO 为底边的垂直平分线， 满足条件的点 D1，与点 A 关于 y 轴对称， 点 D1坐标为（1，0） ； 当 ADAC 时，在 RtACO 中， OA1，OC3， 由勾股定理得，AC， 以点 A 为圆心，AC 的长为半径作弧，交 x 轴于两点 D2，D3，即为满足条件的点， 此时它们的坐标分别为，； 当 DADC 时，线段 AC 的垂直平分线与 x 轴的交点 D4，即为满足条件的点， 设垂直 AC 的垂直平分线交 y 轴于点 P，过 AC 中点 Q， AOCBOCPQCPQA90，D4POCPQ， ACOOD4P， D4AQCAO， ， 即， D4A5， OD4D4AOA4， 点 D4的坐标为（4，0） ； 综上所述，存在符合条件的点 D，其坐标为 D1（1，0）或或或 D4（4，0）