1、2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1（2021）（ ） A2021 B2021 C D 2 “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记录数据 10909 用科学 记数法可表示为（ ） A0.10909105 B1.0909104 C10.909103 D109.09102 3因式分解：14y2（ ） A （12y）
2、（1+2y） B （2y） （2+y） C （12y） （2+y） D （2y） （1+2y） 4如图，设点 P 是直线 l 外一点，PQl，点 T 是直线 l 上的一个动点，连结 PT，则（ ） APT2PQ BPT2PQ CPTPQ DPTPQ 5下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 6某景点今年四月接待游客 25 万人次，五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年四月到五月接待游客人 次的增长率为 x（x0） ，则（ ） A60.5（1x）25 B25（1x）60.5 C60.5（1+x）25 D25（1+x）60.5 7某轨道列车共有 3 节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机
3、会均等某天甲、乙两位乘客同时乘同一列 轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ） A B C D 8在“探索函数 yax2+bx+c 的系数 a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： A（0，2） ，B（1，0） ，C（3，1） ，D（2，3） ，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 a 的值 最大为（ ） A B C D 9已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧；过 点 E 作 EPAB 于点 P，则 AP：AB（ ） A1： B1：2 C1： D1： 10 已知 y1和 y2均是以 x 为自变量
4、的函数， 当 xm 时， 函数值分别是 M1和 M2， 若存在实数 m， 使得 M1+M2 0，则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性质 P 的是（ ） Ay1x2+2x 和 y2x1 By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1和 y2x1 Dy1和 y2x+1 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）计算：sin30 12 （4 分）计算：2a+3a 13 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，点 P 是O 外一点，T 为切点，连结 OT 14 （4 分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克
5、数如下表所示 甲种糖果 乙种糖果 单价（元/千克） 30 20 千克数 2 3 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的 单价，则这 5 千克什锦糖果的单价为 元/千克 15 （4 分）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1） ，AC，AD（1，1） ，点 C（1，3） ，点 D（4，4） （5，2） ， 则BAC DAE（填“” 、 “” 、 “”中的一个） 16 （4 分）如图是一张矩形纸片 ABCD，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在 BC 边上，使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF，则DAF 度 三
6、、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 （6 分）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由，得 2+x1， 所以 x3 由，得 1x2， 所以x1， 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 18 （8 分） 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况， 对该年级全部 360 名学生进行一分钟跳绳次数的测试， 并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数
7、表 组别（次） 频数 100130 48 130160 96 160190 a 190220 72 （1）求 a 的值； （2）把频数直方图补充完整； （3）求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 19 （8 分）在ADAE， ABEACD， FBFC 这三个条件中选择其中一个， 并完成问题的解答 问题：如图，在ABC 中，ABCACB（不与点 A，点 B 重合） ，点 E 在 AC 边上（不与点 A，点 C 重合） ，连接 BE，BE 与 CD 相交于点 F若 ，求证：BECD 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 20 （10 分）在直角坐标系
8、中，设函数 y1（k1是常数，k10，x0）与函数 y2k2x（k2是常数，k2 0）的图象交于点 A，点 A 关于 y 轴的对称点为点 B （1）若点 B 的坐标为（1，2） ， 求 k1，k2的值； 当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （2）若点 B 在函数 y3（k3是常数，k30）的图象上，求 k1+k3的值 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D，C45 （1）求证：ABBD； （2）若 AE3，求ABC 的面积 22 （12 分）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）
9、和（2，1）两点，求函数的表达式； （2）已知 ab1，当 xp，q（p，q 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，求证：P+Q 6 23 （12 分）如图，锐角三角形 ABC 内接于O，BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，连接 BG （1）求证：ABGAFC （2）已知 ABa，ACAFb，求线段 FG 的长（用含 a，b 的代数式表示） （3）已知点 E 在线段 AF 上（不与点 A，点 F 重合） ，点 D 在线段 AE 上（不与点 A，点 E 重合） ，ABD CBE2GEGD 2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试
10、题解析 一、选择题：本大题有一、选择题：本大题有 10 个小题，每小题个小题，每小题 3 分，共分，共 30 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1（2021）（ ） A2021 B2021 C D 【分析】直接利用相反数的概念：只有符号不同的两个数互为相反数，即可得出答案 【解答】解：（2021）2021 故选：B 2 “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记录数据 10909 用科学 记数法可表示为（ ） A0.10909105 B1.0909104 C10.909103 D
11、109.09102 【分析】 用科学记数法表示较大的数时， 一般形式为 a10n， 其中 1|a|10， n 为整数， 据此判断即可 【解答】解：109091.0909104 故选：B 3因式分解：14y2（ ） A （12y） （1+2y） B （2y） （2+y） C （12y） （2+y） D （2y） （1+2y） 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解：14y2 1（2y)7 （12y） （2+2y） 故选：A 4如图，设点 P 是直线 l 外一点，PQl，点 T 是直线 l 上的一个动点，连结 PT，则（ ） APT2PQ BPT2PQ CPTPQ DPTPQ 【分
12、析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论 【解答】解：PQl，点 T 是直线 l 上的一个动点， PTPQ， 故选：C 5下列计算正确的是（ ） A2 B2 C2 D2 【分析】求出2，2，再逐个判断即可 【解答】解：A4； B7； C7； D4； 故选：A 6某景点今年四月接待游客 25 万人次，五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年四月到五月接待游客人 次的增长率为 x（x0） ，则（ ） A60.5（1x）25 B25（1x）60.5 C60.5（1+x）25 D25（1+x）60.5 【分析】依题意可知四月份接待游客 25 万，则五月份接待游客人次为：25（1+x） ，进而得出
13、答案 【解答】解：设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为 x（x0） ，则 25（1+x）60.8 故选：D 7某轨道列车共有 3 节车厢，设乘客从任意一节车厢上车的机会均等某天甲、乙两位乘客同时乘同一列 轨道列车，则甲和乙从同一节车厢上车的概率是（ ） A B C D 【分析】画树状图，共有 9 种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3 种，再由概率公式求 解即可 【解答】解：把 3 节车厢分别记为 A、B、C， 画树状图如图： 共有 9 种等可能的结果，甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3 种， 甲和乙从同一节车厢上车的概率为， 故选：C 8在“探索函数 yax2+bx+c
14、的系数 a，b，c 与图象的关系”活动中，老师给出了直角坐标系中的四个点： A（0，2） ，B（1，0） ，C（3，1） ，D（2，3） ，发现这些图象对应的函数表达式各不相同，其中 a 的值 最大为（ ） A B C D 【分析】比较任意三个点组成的二次函数，比较开口方向，开口向下，则 a0，只需把开口向上的二次 函数解析式求出即可 【解答】解：由图象知，A、B、D 组成的点开口向上； A、B、C 组成的二次函数开口向上； B、C、D 三点组成的二次函数开口向下； A、D、C 三点组成的二次函数开口向下； 即只需比较 A、B、D 组成的二次函数和 A、B 设 A、B、C 组成的二次函数为 y
15、1a1x7+b1x+c1， 把 A（4，2） ，0） ，5）代入上式得， ， 解得 a1； 设 A、B、D 组成的二次函数为 yax2+bx+c， 把 A（0，4） ，0） ，3）代入上式得， ， 解得 a， 即 a 最大的值为， 故选：A 9已知线段 AB，按如下步骤作图：作射线 AC，使 ACAB；以点 A 为圆心，AB 长为半径作弧；过 点 E 作 EPAB 于点 P，则 AP：AB（ ） A1： B1：2 C1： D1： 【分析】直接利用基本作图方法得出 APPE,再结合等腰直角三角形的性质表示出 AE,AP 的长，即可得 出答案 【解答】解：ACAB， CAB90, AD 平分BAC
16、, EAB9045, EPAB, APE90, EAPAEP45, APPE, 设 APPEx, 故 AEABx, AP：ABx:x1: 故选：D 10 已知 y1和 y2均是以 x 为自变量的函数， 当 xm 时， 函数值分别是 M1和 M2， 若存在实数 m， 使得 M1+M2 0，则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性质 P 的是（ ） Ay1x2+2x 和 y2x1 By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1和 y2x1 Dy1和 y2x+1 【分析】根据题干信息可知，直接令 y1+y20，若方程有解，则具有性质 P，若无解，则不具有性质 P 【解答】 解： A
17、令 y1+y24， 则 x2+2xx30， 解得 x， 即函数 y1和 y6具有性质 P， 符合题意； B 令 y1+y27， 则 x2+2xx+80， 整理得， x2+x+80， 方程无解1和 y7不具有有性质 P， 不符合题意； C令 y1+y26，则，整理得，x2+x+60，方程无解1和 y3不具有有性质 P，不符合题意； D令 y1+y26，则，整理得，x2x+80，方程无解1和 y6不具有有性质 P，不符合题意； 故选：A 二、填空题：本大题有二、填空题：本大题有 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分。分。 11 （4 分）计算：sin30 【分析】根据 si
18、n30直接解答即可 【解答】解：sin30 12 （4 分）计算：2a+3a 5a 【分析】根据合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变求 解 【解答】解：2a+3a5a，故答案为 5a 13 （4 分）如图，已知O 的半径为 1，点 P 是O 外一点，T 为切点，连结 OT 【分析】根据圆的切线性质可得出OPT 为直角三角形，再利用勾股定理求得 PT 长度 【解答】解：PT 是O 的切线，T 为切点， OTPT， 在 RtOPT 中，OT1， PT， 故：PT 14 （4 分）现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示 甲种糖果 乙种糖果 单价（元/千克）
19、 30 20 千克数 2 3 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果，若商家用加权平均数来确定什锦糖果的 单价，则这 5 千克什锦糖果的单价为 24 元/千克 【分析】将两种糖果的总价算出，用它们的和除以混合后的总重量即可 【解答】解：这 5 千克什锦糖果的单价为： （302+202）524（元/千克） 故答案为：24 15 （4 分）如图，在直角坐标系中，以点 A（3，1） ，AC，AD（1，1） ，点 C（1，3） ，点 D（4，4） （5，2） ， 则BAC DAE（填“” 、 “” 、 “”中的一个） 【分析】在直角坐标系中构造直角三角形，根据三角形边之间的
20、关系推出角之间的关系 【解答】解：连接 DE， 由上图可知 AB2，BC2， ABC 是等腰直角三角形， BAC45， 又AE， 同理可得 DE， AD， 则在ADE 中，有 AE2+DE2AD7， ADE 是等腰直角三角形， DAE45， BACDAE， 故答案为： 16 （4 分）如图是一张矩形纸片 ABCD，点 M 是对角线 AC 的中点，点 E 在 BC 边上，使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处，连接 DF，则DAF 18 度 【分析】连接 DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得AMD 和MCD 为等腰三角形，DAF MDA,MCDMDC；由折叠可知 DFDC,可得DFCDC
21、F；由 MFAB,ABCD,DFDC,可得 FMFD,进而得到FMDFDM；利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和，可得DFC 2FMD；最后在MDC 中，利用三角形的内角和定理列出方程，结论可得 【解答】解：连接 DM,如图： 四边形 ABCD 是矩形， ADC90 M 是 AC 的中点， DMAMCM, FADMDA,MDCMCD DC,DF 关 DE 对称， DFDC, DFCDCF MFAB,ABCD, MFFD FMDFDM DFCFMD+FDM, DFC2FMD DMCFAD+ADM, DMC2FAD 设FADx,则DFC8x, MCDMDC4x DMC+MCD+MDC180
22、, 2x+3x+4x180 x18 故答案为：18 三、解答题：本大题有三、解答题：本大题有 7 个小题，共个小题，共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 （6 分）以下是圆圆解不等式组的解答过程： 解：由，得 2+x1， 所以 x3 由，得 1x2， 所以x1， 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，请写出正确的解答过程 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解：圆圆的解答过程有错误， 正确过程如下：
23、由得 2+2x7， 2x3， x， 由得 1x7， x1， x1， 不等式组的解集为 x4 18 （8 分） 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况， 对该年级全部 360 名学生进行一分钟跳绳次数的测试， 并把测得数据分成四组（每一组不含前一个边界值，含后一个边界值） 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数表 组别（次） 频数 100130 48 130160 96 160190 a 190220 72 （1）求 a 的值； （2）把频数直方图补充完整； （3）求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 【分析】 （1）用 360 减去第 1、2、4 组的
24、频数和即可； （2）根据以上所求结果即可补全图形； （3）用第 4 组的频数除以该年级的总人数即可得出答案 【解答】解： （1）a360（48+96+72）144； （2）补全频数分布直方图如下： （3） 该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为100%20% 19 （8 分）在ADAE， ABEACD， FBFC 这三个条件中选择其中一个， 并完成问题的解答 问题：如图，在ABC 中，ABCACB（不与点 A，点 B 重合） ，点 E 在 AC 边上（不与点 A，点 C 重合） ，连接 BE，BE 与 CD 相交于点 F若 ADAE（ABEACD 或FBFC）
25、，求证： BECD 注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分 【分析】若选择条件，利用ABCACB 得到 ABAC，则可根据“SAS”可判断ABEACD， 从而得到 BECD； 选择条件，利用ABCACB 得到 ABAC，则可根据“ASA”可判断ABEACD，从而得到 BECD； 选择条件， 利用ABCACB 得到 ABAC， 再证明ABEACD， 则可根据 “ASA” 可判断ABE ACD，从而得到 BECD 【解答】证明：选择条件的证明为： ABCACB， ABAC， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（SAS） ， BECD； 选择条件的证明为： ABCACB， ABAC，
26、 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（ASA） ， BECD； 选择条件的证明为： ABCACB， ABAC， FBFC， FBCFCB， ABCFBCACBFCB， 即ABEACD， 在ABE 和ACD 中， ， ABEACD（ASA） ， BECD 故答案为ADAE（ABEACD 或FBFC） 20 （10 分）在直角坐标系中，设函数 y1（k1是常数，k10，x0）与函数 y2k2x（k2是常数，k2 0）的图象交于点 A，点 A 关于 y 轴的对称点为点 B （1）若点 B 的坐标为（1，2） ， 求 k1，k2的值； 当 y1y2时，直接写出 x 的取值范围； （2）若点 B
27、 在函数 y3（k3是常数，k30）的图象上，求 k1+k3的值 【分析】 （1）由题意得，点 A 的坐标是（1，2） ，分别代入 y1（k1是常数，k10，x0） ，y2 k2x（k2是常数，k20）即可求得 k1，k2的值； 根据图象即可求得； （2）设点 A 的坐标是（x0，y） ，则点 B 的坐标是（x0，y） ，根据待定系数法即可求得 k1x0y，k3 x0y，即可求得 k1+k30 【解答】解： （1）由题意得，点 A 的坐标是（1， 函数 y1（k1是常数，k14，x0）与函数 y2k8x（k2是常数，k27）的图象交于点 A， 2，2k2， k72，k24； 由图象可知，当 y
28、1y2时，x 的取值范围是 x2； （2）设点 A 的坐标是（x0，y） ，则点 B 的坐标是（x0，y） ， k5x0y，k3x7y， k1+k35 21 （10 分）如图，在ABC 中，ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D，C45 （1）求证：ABBD； （2）若 AE3，求ABC 的面积 【分析】 （1）计算出ADB 和BAC，利用等角对等边即可证明； （2）利用锐角三角函数求出 BC 即可计算ABC 的面积 【解答】 （1）证明：BD 平分ABC，ABC60， DBCABC30， ADBDBC+C75， BAC180ABCC75， BACADB， ABBD； （2）解：由题意得
29、，BE3， BC3+， SABCBCAE 22 （12 分）在直角坐标系中，设函数 yax2+bx+1（a，b 是常数，a0） （1）若该函数的图象经过（1，0）和（2，1）两点，求函数的表达式； （2）已知 ab1，当 xp，q（p，q 是实数，pq）时，该函数对应的函数值分别为 P，求证：P+Q 6 【分析】 （1）考查使用待定系数法求二次函数解析式，属于基础题，将两点坐标代入，解二元一次方程 组即可； （2）已知 ab1,则 yx2+x+1容易得到 P+Qp2+p+1+q2+q+1，利用 p+q2，即 p2q 代入对代 数式 P+Q 进行化简，并配方得出 P+Q2(q1)2+66最后注意
30、利用 pq 条件判断 q1，得证 【解答】解： （1）由题意，得, 解得, 所以，该函数表达式为 yx62x+1 并且该函数图象的顶点坐标为（2,0） （2）由题意，得 Pp2+p+5,Qq2+q+1, 所以P+Qp4+p+1+q2+q+5 p2+q2+8 (2q)2+q3+4 2(q8)2+63， 由条件 pq，知 q1P+Q6 23 （12 分）如图，锐角三角形 ABC 内接于O，BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，连接 BG （1）求证：ABGAFC （2）已知 ABa，ACAFb，求线段 FG 的长（用含 a，b 的代数式表示） （3）已知点 E 在线段 AF 上（不与点 A，点
31、F 重合） ，点 D 在线段 AE 上（不与点 A，点 E 重合） ，ABD CBE2GEGD 【分析】(1)根据BAC 的平分线 AG 交O 于点 G，知BACFAC，由圆周角定理知GC，即 可证ABCAFC； (2)由（1）知，由 ACAF 得 AGAB，即可计算 FG 的长度； (3)先证DGBBGE，得出线段比例关系，即可得证 BG2GEGD 【解答】 （1）证明：AG 平分BAC， BAGFAC， 又GC， ABCAFC； （2）解：由（1）知，ABCAFC， ， ACAFb， ABAGa， FGAGAFab； （3）证明：CAGCBG，BAGCAG， BAGCBG， ABDCBE， BDGBAG+ABDCBG+CBEEBG， 又DGBBGE， DGBBGE， ， BG2GEGD