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2021年浙江省杭州市中考数学真题试卷(含答案详解)

1、2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 一、选择题:本大题有一、选择题:本大题有 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1(2021)( ) A2021 B2021 C D 2 “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记录数据 10909 用科学 记数法可表示为( ) A0.10909105 B1.0909104 C10.909103 D109.09102 3因式分解:14y2( ) A (12y)

2、(1+2y) B (2y) (2+y) C (12y) (2+y) D (2y) (1+2y) 4如图,设点 P 是直线 l 外一点,PQl,点 T 是直线 l 上的一个动点,连结 PT,则( ) APT2PQ BPT2PQ CPTPQ DPTPQ 5下列计算正确的是( ) A2 B2 C2 D2 6某景点今年四月接待游客 25 万人次,五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年四月到五月接待游客人 次的增长率为 x(x0) ,则( ) A60.5(1x)25 B25(1x)60.5 C60.5(1+x)25 D25(1+x)60.5 7某轨道列车共有 3 节车厢,设乘客从任意一节车厢上车的机

3、会均等某天甲、乙两位乘客同时乘同一列 轨道列车,则甲和乙从同一节车厢上车的概率是( ) A B C D 8在“探索函数 yax2+bx+c 的系数 a,b,c 与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的四个点: A(0,2) ,B(1,0) ,C(3,1) ,D(2,3) ,发现这些图象对应的函数表达式各不相同,其中 a 的值 最大为( ) A B C D 9已知线段 AB,按如下步骤作图:作射线 AC,使 ACAB;以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧;过 点 E 作 EPAB 于点 P,则 AP:AB( ) A1: B1:2 C1: D1: 10 已知 y1和 y2均是以 x 为自变量

4、的函数, 当 xm 时, 函数值分别是 M1和 M2, 若存在实数 m, 使得 M1+M2 0,则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性质 P 的是( ) Ay1x2+2x 和 y2x1 By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1和 y2x1 Dy1和 y2x+1 二、填空题:本大题有二、填空题:本大题有 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分。分。 11 (4 分)计算:sin30 12 (4 分)计算:2a+3a 13 (4 分)如图,已知O 的半径为 1,点 P 是O 外一点,T 为切点,连结 OT 14 (4 分)现有甲、乙两种糖果的单价与千克

5、数如下表所示 甲种糖果 乙种糖果 单价(元/千克) 30 20 千克数 2 3 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果,若商家用加权平均数来确定什锦糖果的 单价,则这 5 千克什锦糖果的单价为 元/千克 15 (4 分)如图,在直角坐标系中,以点 A(3,1) ,AC,AD(1,1) ,点 C(1,3) ,点 D(4,4) (5,2) , 则BAC DAE(填“” 、 “” 、 “”中的一个) 16 (4 分)如图是一张矩形纸片 ABCD,点 M 是对角线 AC 的中点,点 E 在 BC 边上,使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处,连接 DF,则DAF 度 三

6、、解答题:本大题有三、解答题:本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 (6 分)以下是圆圆解不等式组的解答过程: 解:由,得 2+x1, 所以 x3 由,得 1x2, 所以x1, 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程 18 (8 分) 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况, 对该年级全部 360 名学生进行一分钟跳绳次数的测试, 并把测得数据分成四组(每一组不含前一个边界值,含后一个边界值) 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数

7、表 组别(次) 频数 100130 48 130160 96 160190 a 190220 72 (1)求 a 的值; (2)把频数直方图补充完整; (3)求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 19 (8 分)在ADAE, ABEACD, FBFC 这三个条件中选择其中一个, 并完成问题的解答 问题:如图,在ABC 中,ABCACB(不与点 A,点 B 重合) ,点 E 在 AC 边上(不与点 A,点 C 重合) ,连接 BE,BE 与 CD 相交于点 F若 ,求证:BECD 注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分 20 (10 分)在直角坐标系

8、中,设函数 y1(k1是常数,k10,x0)与函数 y2k2x(k2是常数,k2 0)的图象交于点 A,点 A 关于 y 轴的对称点为点 B (1)若点 B 的坐标为(1,2) , 求 k1,k2的值; 当 y1y2时,直接写出 x 的取值范围; (2)若点 B 在函数 y3(k3是常数,k30)的图象上,求 k1+k3的值 21 (10 分)如图,在ABC 中,ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D,C45 (1)求证:ABBD; (2)若 AE3,求ABC 的面积 22 (12 分)在直角坐标系中,设函数 yax2+bx+1(a,b 是常数,a0) (1)若该函数的图象经过(1,0)

9、和(2,1)两点,求函数的表达式; (2)已知 ab1,当 xp,q(p,q 是实数,pq)时,该函数对应的函数值分别为 P,求证:P+Q 6 23 (12 分)如图,锐角三角形 ABC 内接于O,BAC 的平分线 AG 交O 于点 G,连接 BG (1)求证:ABGAFC (2)已知 ABa,ACAFb,求线段 FG 的长(用含 a,b 的代数式表示) (3)已知点 E 在线段 AF 上(不与点 A,点 F 重合) ,点 D 在线段 AE 上(不与点 A,点 E 重合) ,ABD CBE2GEGD 2021 年浙江省杭州市中考数学试卷年浙江省杭州市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试

10、题解析 一、选择题:本大题有一、选择题:本大题有 10 个小题,每小题个小题,每小题 3 分,共分,共 30 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的题目要求的. 1(2021)( ) A2021 B2021 C D 【分析】直接利用相反数的概念:只有符号不同的两个数互为相反数,即可得出答案 【解答】解:(2021)2021 故选:B 2 “奋斗者”号载人潜水器此前在马里亚纳海沟创造了 10909 米的我国载人深潜记录数据 10909 用科学 记数法可表示为( ) A0.10909105 B1.0909104 C10.909103 D

11、109.09102 【分析】 用科学记数法表示较大的数时, 一般形式为 a10n, 其中 1|a|10, n 为整数, 据此判断即可 【解答】解:109091.0909104 故选:B 3因式分解:14y2( ) A (12y) (1+2y) B (2y) (2+y) C (12y) (2+y) D (2y) (1+2y) 【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案 【解答】解:14y2 1(2y)7 (12y) (2+2y) 故选:A 4如图,设点 P 是直线 l 外一点,PQl,点 T 是直线 l 上的一个动点,连结 PT,则( ) APT2PQ BPT2PQ CPTPQ DPTPQ 【分

12、析】根据垂线的性质“垂线段最短”即可得到结论 【解答】解:PQl,点 T 是直线 l 上的一个动点, PTPQ, 故选:C 5下列计算正确的是( ) A2 B2 C2 D2 【分析】求出2,2,再逐个判断即可 【解答】解:A4; B7; C7; D4; 故选:A 6某景点今年四月接待游客 25 万人次,五月接待游客 60.5 万人次设该景点今年四月到五月接待游客人 次的增长率为 x(x0) ,则( ) A60.5(1x)25 B25(1x)60.5 C60.5(1+x)25 D25(1+x)60.5 【分析】依题意可知四月份接待游客 25 万,则五月份接待游客人次为:25(1+x) ,进而得出

13、答案 【解答】解:设该景点今年四月到五月接待游客人次的增长率为 x(x0) ,则 25(1+x)60.8 故选:D 7某轨道列车共有 3 节车厢,设乘客从任意一节车厢上车的机会均等某天甲、乙两位乘客同时乘同一列 轨道列车,则甲和乙从同一节车厢上车的概率是( ) A B C D 【分析】画树状图,共有 9 种等可能的结果,甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3 种,再由概率公式求 解即可 【解答】解:把 3 节车厢分别记为 A、B、C, 画树状图如图: 共有 9 种等可能的结果,甲和乙从同一节车厢上车的结果有 3 种, 甲和乙从同一节车厢上车的概率为, 故选:C 8在“探索函数 yax2+bx+c

14、的系数 a,b,c 与图象的关系”活动中,老师给出了直角坐标系中的四个点: A(0,2) ,B(1,0) ,C(3,1) ,D(2,3) ,发现这些图象对应的函数表达式各不相同,其中 a 的值 最大为( ) A B C D 【分析】比较任意三个点组成的二次函数,比较开口方向,开口向下,则 a0,只需把开口向上的二次 函数解析式求出即可 【解答】解:由图象知,A、B、D 组成的点开口向上; A、B、C 组成的二次函数开口向上; B、C、D 三点组成的二次函数开口向下; A、D、C 三点组成的二次函数开口向下; 即只需比较 A、B、D 组成的二次函数和 A、B 设 A、B、C 组成的二次函数为 y

15、1a1x7+b1x+c1, 把 A(4,2) ,0) ,5)代入上式得, , 解得 a1; 设 A、B、D 组成的二次函数为 yax2+bx+c, 把 A(0,4) ,0) ,3)代入上式得, , 解得 a, 即 a 最大的值为, 故选:A 9已知线段 AB,按如下步骤作图:作射线 AC,使 ACAB;以点 A 为圆心,AB 长为半径作弧;过 点 E 作 EPAB 于点 P,则 AP:AB( ) A1: B1:2 C1: D1: 【分析】直接利用基本作图方法得出 APPE,再结合等腰直角三角形的性质表示出 AE,AP 的长,即可得 出答案 【解答】解:ACAB, CAB90, AD 平分BAC

16、, EAB9045, EPAB, APE90, EAPAEP45, APPE, 设 APPEx, 故 AEABx, AP:ABx:x1: 故选:D 10 已知 y1和 y2均是以 x 为自变量的函数, 当 xm 时, 函数值分别是 M1和 M2, 若存在实数 m, 使得 M1+M2 0,则称函数 y1和 y2具有性质 P以下函数 y1和 y2具有性质 P 的是( ) Ay1x2+2x 和 y2x1 By1x2+2x 和 y2x+1 Cy1和 y2x1 Dy1和 y2x+1 【分析】根据题干信息可知,直接令 y1+y20,若方程有解,则具有性质 P,若无解,则不具有性质 P 【解答】 解: A

17、令 y1+y24, 则 x2+2xx30, 解得 x, 即函数 y1和 y6具有性质 P, 符合题意; B 令 y1+y27, 则 x2+2xx+80, 整理得, x2+x+80, 方程无解1和 y7不具有有性质 P, 不符合题意; C令 y1+y26,则,整理得,x2+x+60,方程无解1和 y3不具有有性质 P,不符合题意; D令 y1+y26,则,整理得,x2x+80,方程无解1和 y6不具有有性质 P,不符合题意; 故选:A 二、填空题:本大题有二、填空题:本大题有 6 个小题,每小题个小题,每小题 4 分,共分,共 24 分。分。 11 (4 分)计算:sin30 【分析】根据 si

18、n30直接解答即可 【解答】解:sin30 12 (4 分)计算:2a+3a 5a 【分析】根据合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变求 解 【解答】解:2a+3a5a,故答案为 5a 13 (4 分)如图,已知O 的半径为 1,点 P 是O 外一点,T 为切点,连结 OT 【分析】根据圆的切线性质可得出OPT 为直角三角形,再利用勾股定理求得 PT 长度 【解答】解:PT 是O 的切线,T 为切点, OTPT, 在 RtOPT 中,OT1, PT, 故:PT 14 (4 分)现有甲、乙两种糖果的单价与千克数如下表所示 甲种糖果 乙种糖果 单价(元/千克)

19、 30 20 千克数 2 3 将这 2 千克甲种糖果和 3 千克乙种糖果混合成 5 千克什锦糖果,若商家用加权平均数来确定什锦糖果的 单价,则这 5 千克什锦糖果的单价为 24 元/千克 【分析】将两种糖果的总价算出,用它们的和除以混合后的总重量即可 【解答】解:这 5 千克什锦糖果的单价为: (302+202)524(元/千克) 故答案为:24 15 (4 分)如图,在直角坐标系中,以点 A(3,1) ,AC,AD(1,1) ,点 C(1,3) ,点 D(4,4) (5,2) , 则BAC DAE(填“” 、 “” 、 “”中的一个) 【分析】在直角坐标系中构造直角三角形,根据三角形边之间的

20、关系推出角之间的关系 【解答】解:连接 DE, 由上图可知 AB2,BC2, ABC 是等腰直角三角形, BAC45, 又AE, 同理可得 DE, AD, 则在ADE 中,有 AE2+DE2AD7, ADE 是等腰直角三角形, DAE45, BACDAE, 故答案为: 16 (4 分)如图是一张矩形纸片 ABCD,点 M 是对角线 AC 的中点,点 E 在 BC 边上,使点 C 落在对角线 AC 上的点 F 处,连接 DF,则DAF 18 度 【分析】连接 DM,利用斜边上的中线等于斜边的一半可得AMD 和MCD 为等腰三角形,DAF MDA,MCDMDC;由折叠可知 DFDC,可得DFCDC

21、F;由 MFAB,ABCD,DFDC,可得 FMFD,进而得到FMDFDM;利用三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和,可得DFC 2FMD;最后在MDC 中,利用三角形的内角和定理列出方程,结论可得 【解答】解:连接 DM,如图: 四边形 ABCD 是矩形, ADC90 M 是 AC 的中点, DMAMCM, FADMDA,MDCMCD DC,DF 关 DE 对称, DFDC, DFCDCF MFAB,ABCD, MFFD FMDFDM DFCFMD+FDM, DFC2FMD DMCFAD+ADM, DMC2FAD 设FADx,则DFC8x, MCDMDC4x DMC+MCD+MDC180

22、, 2x+3x+4x180 x18 故答案为:18 三、解答题:本大题有三、解答题:本大题有 7 个小题,共个小题,共 66 分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤。 17 (6 分)以下是圆圆解不等式组的解答过程: 解:由,得 2+x1, 所以 x3 由,得 1x2, 所以x1, 所以 x1 所以原不等式组的解是 x1 圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,请写出正确的解答过程 【分析】分别求出每一个不等式的解集,根据口诀:同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小 无解了确定不等式组的解集 【解答】解:圆圆的解答过程有错误, 正确过程如下:

23、由得 2+2x7, 2x3, x, 由得 1x7, x1, x1, 不等式组的解集为 x4 18 (8 分) 为了解某校某年级学生一分钟跳绳情况, 对该年级全部 360 名学生进行一分钟跳绳次数的测试, 并把测得数据分成四组(每一组不含前一个边界值,含后一个边界值) 某校某年级 360 名学生一分钟跳绳次数的频数表 组别(次) 频数 100130 48 130160 96 160190 a 190220 72 (1)求 a 的值; (2)把频数直方图补充完整; (3)求该年级一分钟跳绳次数在 190 次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比 【分析】 (1)用 360 减去第 1、2、4 组的

24、频数和即可; (2)根据以上所求结果即可补全图形; (3)用第 4 组的频数除以该年级的总人数即可得出答案 【解答】解: (1)a360(48+96+72)144; (2)补全频数分布直方图如下: (3) 该年级一分钟跳绳次数在190次以上的学生数占该年级全部学生数的百分比为100%20% 19 (8 分)在ADAE, ABEACD, FBFC 这三个条件中选择其中一个, 并完成问题的解答 问题:如图,在ABC 中,ABCACB(不与点 A,点 B 重合) ,点 E 在 AC 边上(不与点 A,点 C 重合) ,连接 BE,BE 与 CD 相交于点 F若 ADAE(ABEACD 或FBFC)

25、,求证: BECD 注:如果选择多个条件分别作答,按第一个解答计分 【分析】若选择条件,利用ABCACB 得到 ABAC,则可根据“SAS”可判断ABEACD, 从而得到 BECD; 选择条件,利用ABCACB 得到 ABAC,则可根据“ASA”可判断ABEACD,从而得到 BECD; 选择条件, 利用ABCACB 得到 ABAC, 再证明ABEACD, 则可根据 “ASA” 可判断ABE ACD,从而得到 BECD 【解答】证明:选择条件的证明为: ABCACB, ABAC, 在ABE 和ACD 中, , ABEACD(SAS) , BECD; 选择条件的证明为: ABCACB, ABAC,

26、 在ABE 和ACD 中, , ABEACD(ASA) , BECD; 选择条件的证明为: ABCACB, ABAC, FBFC, FBCFCB, ABCFBCACBFCB, 即ABEACD, 在ABE 和ACD 中, , ABEACD(ASA) , BECD 故答案为ADAE(ABEACD 或FBFC) 20 (10 分)在直角坐标系中,设函数 y1(k1是常数,k10,x0)与函数 y2k2x(k2是常数,k2 0)的图象交于点 A,点 A 关于 y 轴的对称点为点 B (1)若点 B 的坐标为(1,2) , 求 k1,k2的值; 当 y1y2时,直接写出 x 的取值范围; (2)若点 B

27、 在函数 y3(k3是常数,k30)的图象上,求 k1+k3的值 【分析】 (1)由题意得,点 A 的坐标是(1,2) ,分别代入 y1(k1是常数,k10,x0) ,y2 k2x(k2是常数,k20)即可求得 k1,k2的值; 根据图象即可求得; (2)设点 A 的坐标是(x0,y) ,则点 B 的坐标是(x0,y) ,根据待定系数法即可求得 k1x0y,k3 x0y,即可求得 k1+k30 【解答】解: (1)由题意得,点 A 的坐标是(1, 函数 y1(k1是常数,k14,x0)与函数 y2k8x(k2是常数,k27)的图象交于点 A, 2,2k2, k72,k24; 由图象可知,当 y

28、1y2时,x 的取值范围是 x2; (2)设点 A 的坐标是(x0,y) ,则点 B 的坐标是(x0,y) , k5x0y,k3x7y, k1+k35 21 (10 分)如图,在ABC 中,ABC 的平分线 BD 交 AC 边于点 D,C45 (1)求证:ABBD; (2)若 AE3,求ABC 的面积 【分析】 (1)计算出ADB 和BAC,利用等角对等边即可证明; (2)利用锐角三角函数求出 BC 即可计算ABC 的面积 【解答】 (1)证明:BD 平分ABC,ABC60, DBCABC30, ADBDBC+C75, BAC180ABCC75, BACADB, ABBD; (2)解:由题意得

29、,BE3, BC3+, SABCBCAE 22 (12 分)在直角坐标系中,设函数 yax2+bx+1(a,b 是常数,a0) (1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式; (2)已知 ab1,当 xp,q(p,q 是实数,pq)时,该函数对应的函数值分别为 P,求证:P+Q 6 【分析】 (1)考查使用待定系数法求二次函数解析式,属于基础题,将两点坐标代入,解二元一次方程 组即可; (2)已知 ab1,则 yx2+x+1容易得到 P+Qp2+p+1+q2+q+1,利用 p+q2,即 p2q 代入对代 数式 P+Q 进行化简,并配方得出 P+Q2(q1)2+66最后注意

30、利用 pq 条件判断 q1,得证 【解答】解: (1)由题意,得, 解得, 所以,该函数表达式为 yx62x+1 并且该函数图象的顶点坐标为(2,0) (2)由题意,得 Pp2+p+5,Qq2+q+1, 所以P+Qp4+p+1+q2+q+5 p2+q2+8 (2q)2+q3+4 2(q8)2+63, 由条件 pq,知 q1P+Q6 23 (12 分)如图,锐角三角形 ABC 内接于O,BAC 的平分线 AG 交O 于点 G,连接 BG (1)求证:ABGAFC (2)已知 ABa,ACAFb,求线段 FG 的长(用含 a,b 的代数式表示) (3)已知点 E 在线段 AF 上(不与点 A,点

31、F 重合) ,点 D 在线段 AE 上(不与点 A,点 E 重合) ,ABD CBE2GEGD 【分析】(1)根据BAC 的平分线 AG 交O 于点 G,知BACFAC,由圆周角定理知GC,即 可证ABCAFC; (2)由(1)知,由 ACAF 得 AGAB,即可计算 FG 的长度; (3)先证DGBBGE,得出线段比例关系,即可得证 BG2GEGD 【解答】 (1)证明:AG 平分BAC, BAGFAC, 又GC, ABCAFC; (2)解:由(1)知,ABCAFC, , ACAFb, ABAGa, FGAGAFab; (3)证明:CAGCBG,BAGCAG, BAGCBG, ABDCBE, BDGBAG+ABDCBG+CBEEBG, 又DGBBGE, DGBBGE, , BG2GEGD