1、2021 年四川省资阳市中考数学试卷年四川省资阳市中考数学试卷 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题意合题意 12 的相反数是（ ） A2 B2 C D 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2 aa3 C （3a）26a2 Da6+a2a3 3如图是由 6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数， 则这个几何体的主视图是（ ） A B C D 4如图，已知直线 mn，140，
2、则3 的度数为（ ） A80 B70 C60 D50 5 15名学生演讲赛的成绩各不相同， 若某选手想知道自己能否进入前8名， 则他不仅要知道自己的成绩 （ ） A平均数 B众数 C方差 D中位数 6若 a，b，c2，b，c 的大小关系为（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 7下列命题正确的是（ ） A每个内角都相等的多边形是正多边形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C过线段中点的直线是线段的垂直平分线 D三角形的中位线将三角形的面积分成 1：2 两部分 8如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直角三角形和一个小 正方形 EFGH 组成，恰好拼
3、成一个大正方形 ABCD连结 EG 并延长交 BC 于点 M若 AB，则 GM 的长为（ ） A B C D 9一对变量满足如图的函数关系设计以下问题情境： 小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，在原地停留了 2 分钟，然后以 1000 米/分的速度 匀速骑回家设所用时间为 x 分钟； 有一个容积为 1.5 升的开口空瓶，小张以 0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水设所用时间为 x 秒，瓶内水的体积为 y 升； 在矩形 ABCD 中，AB2，BC1.5，ABP 的面积为 y 其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ） A
4、3 B2 C1 D0 10已知 A、B 两点的坐标分别为（3，4） 、 （0，2） ，线段 AB 上有一动点 M（m，n） ，过点 M 作 x 轴 的平行线交抛物线 ya（x1）2+2 于 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）两点若 x1mx2，则 a 的取值范围 为（ ） A4a B4a Ca0 Da0 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11中国共产党自 1921 年诞生以来，仅用了 100 年时间，党员人数从建党之初的 50 余名发展到如今约 92000000 名 12将 2 本艺术类、4 本文学类、6 本
5、科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的 概率为 13若 x2+x10，则 3x 14如图，在矩形 ABCD 中，AB2cmcm 以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 cm2 15将一张圆形纸片（圆心为点 O）沿直径 MN 对折后，按图 1 分成六等份折叠得到图 2，再将AOB 展 开得到如图 3 的一个六角星若CDE75，则OBA 的度数为 16如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，交 CD 于点 GFHCD 于点 H，连结 CF有下列结论： AFCF2EFFG；FG：EG4：5；cosGFH 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8
6、 个小题，共个小题，共 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （9 分）先化简，再求值： （），其中 x30 18 （10 分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随 机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注） 、B（关注较多） 、C（关注较少） （不关注）四类，现将调 查结果绘制成如图所示的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求 C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （2）若 D 类职工中有 3 名女士和 2 名男士，现从中任意抽取 2 人进行随访，请用树
7、状图或列表法求出 恰好抽到一名女士和一名男士的概率 19 （10 分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予 奖励现要购买甲、乙两种奖品，2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70 元 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 20 （10 分）如图，已知直线 ykx+b（k0）与双曲线 y（m，3） 、B（3，n）两点 （1）求直线 AB 的解析式； （2）连结 AO 并延长交双曲线于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D，连结 AD 21 （11 分）如图，在AB
8、C 中，ABAC，DEAC 交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AC6，tanE，求 AF 的长 22 （11 分）资阳市为实现 5G 网络全覆盖，20202025 年拟建设 5G 基站七千个如图，在坡度为 i1： 2.4 的斜坡 CB 上有一建成的基站塔 AB， 然后她沿坡面 CB 行走 13 米到达 D 处， 在 D 处测得塔顶 A 的仰 角为 53 （点 A、B、C、D 均在同一平面内） （参考数据：sin53，cos53，tan53） （1）求 D 处的竖直高度； （2）求基站塔 AB 的高 23 （12 分）已知，在ABC 中，
9、BAC90 （1）如图 1，已知点 D 在 BC 边上，DAE90，连结 CE试探究 BD 与 CE 的关系； （2）如图 2，已知点 D 在 BC 下方，DAE90，连结 CE若 BDAD，AB2，AD 交 BC 于 点 F，求 AF 的长； （3）如图 3，已知点 D 在 BC 下方，连结 AD、BD、CD若CBD30，AB26，AD24+，求 sinBCD 的值 24 （13 分）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B（1，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一点，BP 与
10、AC 相交于点 E，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 CD 方向平移，且 DD2CD，点 M 是平移后所得抛物 线上位于 D左侧的一点，连结 CN当DN+CN 的值最小时 2021 年四川省资阳市中考数学试卷年四川省资阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题： （本大题共一、选择题： （本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符分）在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符 合题意合题意 12 的相反数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据相反数的表示方法：
11、一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号 【解答】解：2 的相反数是2 故选：A 2下列计算正确的是（ ） Aa2+a22a4 Ba2 aa3 C （3a）26a2 Da6+a2a3 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂乘法，幂的乘方与积的乘方逐项进行计算即可 【解答】解：A.a2+a23a2，因此选项 A 不正确； B.a2aa7+1a3，因此选项 B 正确； C.（4a）29a4，因此选项 C 不正确； D.a6与 a2不是同类项，不能合并计算； 故选：B 3如图是由 6 个相同的小立方体堆成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小立方体的个数， 则这个几何体的主视图是（ ） A B
12、 C D 【分析】由俯视图中相应位置上摆放的小立方体的个数，可得出主视图形状，进而得出答案 【解答】解：主视图看到的是两列，其中左边的一列为 3 个正方形， 因此选项 C 中的图形符合题意， 故选：C 4如图，已知直线 mn，140，则3 的度数为（ ） A80 B70 C60 D50 【分析】由两直线平行，同位角相等得到440，在根据三角形的外角性质即可得解 【解答】解：如图， 直线 mn，140， 4740， 32+2，230， 330+4070， 故选：B 5 15名学生演讲赛的成绩各不相同， 若某选手想知道自己能否进入前8名， 则他不仅要知道自己的成绩 （ ） A平均数 B众数 C方差
13、 D中位数 【分析】15 人成绩的中位数是第 8 名的成绩参赛选手要想知道自己是否能进入前 8 名，只需要了解自 己的成绩以及全部成绩的中位数，比较即可 【解答】解：由于总共有 15 个人，且他们的成绩互不相同，要判断是否进入前 8 名 故选：D 6若 a，b，c2，b，c 的大小关系为（ ） Abca Bbac Cacb Dabc 【分析】根据算术平方根、立方根的意义估算出 a、b 的近似值，再进行比较即可 【解答】解：， 12， 即 1a3， 又26， 2b3， acb， 故选：C 7下列命题正确的是（ ） A每个内角都相等的多边形是正多边形 B对角线互相平分的四边形是平行四边形 C过线段
14、中点的直线是线段的垂直平分线 D三角形的中位线将三角形的面积分成 1：2 两部分 【分析】利用正多边形的定义、平行四边形的判定、垂直平分线的定义和三角形中位线定理进行判断即 可选出正确答案 【解答】解：A、每条边，故错误； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题； C、过线段中点，故错误； D、三角形的中位线将三角形的面积分成 1：3 两部分，是假命题 （DE 是ABC 的中位线， DEBC，DE， ADEABC，相似比为 1:7， SADE：SABC1:4， SADE：S四边形DECB4：3 ） 故选：B 8如图是中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图的示意图，它是由四个全等的直
15、角三角形和一个小 正方形 EFGH 组成，恰好拼成一个大正方形 ABCD连结 EG 并延长交 BC 于点 M若 AB，则 GM 的长为（ ） A B C D 【分析】由大正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一个小正方形 EFGH 组成，在直角三角形 AEB 中使用勾股定理可求出 BFAEGCDH2，过点 M 作 MNFC 于点 N，由三角形 EFG 为等腰直角 三角形可证得三角形 GNM 也为等腰直角三角形， 设 GNNMa， 则 NCGCGN2a， 由 tanFCB ，可解得 a进而可得 GM 【解答】解：由图可知AEB90，EF1， 大正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形和一
16、个小正方形 EFGH 组成， 故 AEBFGCDH，设 AEx， 则在 RtAEB 中，有 AB2AE4+BE2， 即 13x2+(2+x)2，解得：x2 过点 M 作 MNFC 于点 N，如图所示 四边形 EFGH 为正方形，EG 为对角线， EFG 为等腰直角三角形， EGFNGM45， 故GNM 为等腰直角三角形 设 GNNMa，则 NCGCGN5a， tanFCB， 解得：a GM 故选：D 9一对变量满足如图的函数关系设计以下问题情境： 小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，在原地停留了 2 分钟，然后以 1000 米/分的速度 匀速骑回家设所用时间为 x 分钟
17、； 有一个容积为 1.5 升的开口空瓶，小张以 0.6 升/秒的速度匀速向这个空瓶注水，注满后停止，再以 1 升/秒的速度匀速倒空瓶中的水设所用时间为 x 秒，瓶内水的体积为 y 升； 在矩形 ABCD 中，AB2，BC1.5，ABP 的面积为 y 其中，符合图中函数关系的情境个数为（ ） A3 B2 C1 D0 【分析】根据下面的情境，分别计算判断即可 【解答】解：小明从家骑车以 600 米/分的速度匀速骑了 2.5 分钟，离家的距离6005.51500（米） 1.4（千米） ， 原地停留4.53.52（分） ， 返回需要的时间150010007.5（分） ，4.3+1.53（分） ， 故符
18、合题意； 1.57.62.4（秒） ，2.5+64.5（秒） ，5.5+1.66（秒） ， 故符合题意； 根据勾股定理得：AC7.5, 当点 P 在 AC 上运动时，y 随 x 增大而增大，y, 当点 P 在 CD 上运动时，y 不变， 当点 P 在 AD 上运动时，y 随 x 增大而减小， 故符合题意； 故选：A 10已知 A、B 两点的坐标分别为（3，4） 、 （0，2） ，线段 AB 上有一动点 M（m，n） ，过点 M 作 x 轴 的平行线交抛物线 ya（x1）2+2 于 P（x1，y1） 、Q（x2，y2）两点若 x1mx2，则 a 的取值范围 为（ ） A4a B4a Ca0 Da
19、0 【分析】如图，由题意，抛物线的开口向下，a0求出抛物线经过点 A 时 a 的值即可 【解答】解：如图，由题意，a0 当抛物线 ya（x1）5+2 经过点 A(3,5)时, a, 观察图象可知，当抛物线与线段 AB 没有交点或经过点 A 时, a0 故选：C 二、填空题： （本大题共二、填空题： （本大题共 6 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 24 分）分） 11中国共产党自 1921 年诞生以来，仅用了 100 年时间，党员人数从建党之初的 50 余名发展到如今约 92000000 名 9.2107 【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为
20、整数确定 n 的值时，要看把 原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值10 时，n 是正数；当原数的绝对值1 时，n 是负数 【解答】解：920000009.2108 故答案为：9.2107 12将 2 本艺术类、4 本文学类、6 本科技类的书籍混在一起若小陈从中随机抽取一本，则抽中文学类的 概率为 【分析】用文学类书籍的数量除以书籍的总数量即可 【解答】解：一共有 2+4+812 本书籍，其中文学类有 4 本， 小陈从中随机抽取一本，抽中文学类的概率为， 故答案为： 13若 x2+x10，则 3x 3 【分析】根据公因式法可以先将所求式子化简，然后
21、根据 x2+x10，可以得到 x的值，然后代入 化简后的式子即可解答本题 【解答】解：3x2（x） ， x2+x50， x+10， x7， 当 x1 时， 故答案为：6 14如图，在矩形 ABCD 中，AB2cmcm 以点 B 为圆心，AB 长为半径画弧，则图中阴影部分的面积为 (2) cm2 【分析】连接 BE首先证明EBC30，根据 S阴S矩形ABCDSEBCS扇形AEB计算即可 【解答】解：如图，连接 BE 四边形 ABCD 是矩形， ADBCcm，CDAB， 在 RtBCE 中， AEBE2cm，BC， EC6cm， EBC30， ABEBEC60, S阴S矩形ABCDSBECS扇形A
22、EB, 21 8, (2)cm 故答案为:(6) 15将一张圆形纸片（圆心为点 O）沿直径 MN 对折后，按图 1 分成六等份折叠得到图 2，再将AOB 展 开得到如图 3 的一个六角星若CDE75，则OBA 的度数为 135 【分析】根据翻折可以知道OABDCE，且CDE75，CDCE，求出AOB 和OAB 的度 数即可求OBA 的度数 【解答】解：由题知，AOB， 有翻折知OABDCE， CDE75， DCE180757530， OABDCE， OBA180AOBOAB1803015135， 故答案为：135 16如图，在菱形 ABCD 中，BAD120，交 CD 于点 GFHCD 于点
23、H，连结 CF有下列结论： AFCF2EFFG；FG：EG4：5；cosGFH 【分析】 由菱形ABCD的对称性可判断正确， 利用CFGEFC,可得CF2EFGF,从而判断正确， 设 ADCDBCm,RtCDE 中，CECDcos60CDm,BEm,可得, 设 AF2n，则 CFAF2n,EF3n,可得 FGn,EGEFFGn,从而 FG:EG(n):（n)4:5, 可判断正确，设 CEt,RtCDE 中，CD2tAD,DEt,RtBDE 中，BD2DE2t,可求出 DF BDt,RtDFH 中，FHDFt,RtADE 中，AE t,即可得 EFAEt,FGEFt,RtFHG 中，cosGFH
24、, 即可判断正确， 【解答】解：菱形 ABCD， 对角线 BD 所在直线是菱形 ABCD 的对称轴，沿直线 BD 对折， AFCF,故正确， FADFCD, ADBC, FADFEC, FCDFEC, 又CFGEFC, CFGEFC, , CF2EFGF, AF2EFGF,故正确， 菱形 ABCD 中，BAD120， BCD120，DCE60，ADCDBC, 设 ADCDBCm, DEBC， DEC90， RtCDE 中，CECDcos60m, BEm, ADBE, , 设 AF2n，则 CFAF2n, 又 CF7FGEF, (2n)2FG8n, FGn, EGEFFGn, FG:EG(n):
25、（,故正确， 设 CEt, RtCDE 中，CD3tADt, RtBDE 中，BD2DE3t, ADBE, , DFBDt, RtDFH 中，FHt, RtADE 中，AEt, EFAEt, FG:EG4:8, FGEFt, RtFHG 中，cosGFH， 故答案为： 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 8 个小题，共个小题，共 86 分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 17 （9 分）先化简，再求值： （），其中 x30 【分析】首先将分式的分子与分母进行分解因式进而化简，再将 x 的值代入求出答案 【解答】解：原式
26、（） , x30, x7, 此时，原式 18 （10 分）目前，全国各地正在有序推进新冠疫苗接种工作某单位为了解职工对疫苗接种的关注度，随 机抽取了部分职工进行问卷调查（实时关注） 、B（关注较多） 、C（关注较少） （不关注）四类，现将调 查结果绘制成如图所示的统计图 请根据图中信息，解答下列问题： （1）求 C 类职工所对应扇形的圆心角度数，并补全条形统计图； （2）若 D 类职工中有 3 名女士和 2 名男士，现从中任意抽取 2 人进行随访，请用树状图或列表法求出 恰好抽到一名女士和一名男士的概率 【分析】 （1）由 B 类的人数和所占百分比求出调查的总人数，即可解决问题； （2）画树状
27、图，共有 20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有 12 种，再由概率公式 求解即可 【解答】解： （1）调查的职工人数为：15075%200（人） ， C 类职工所对应扇形的圆心角度数为：36027， A 类的人数为 20015015530（人） ， 补全条形统计图如下： （2）画树状图如图： 共有 20 种等可能的结果，恰好抽到一名女士和一名男士的结果有 12 种， 恰好抽到一名女士和一名男士的概率为 19 （10 分）我市某中学计划举行以“奋斗百年路，启航新征程”为主题的知识竞赛，并对获奖的同学给予 奖励现要购买甲、乙两种奖品，2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70
28、元 （1）求甲、乙两种奖品的单价； （2）根据颁奖计划，该中学需甲、乙两种奖品共 60 件，且甲种奖品的数量不少于乙种奖品数量的 【分析】 （1）设甲种奖品的单价为 x 元/件，乙种奖品的单价为 y 元/件，根据“购买 1 件甲种奖品和 2 件 乙种奖品共需 40 元，购买 2 件甲种奖品和 3 件乙种奖品共需 70 元” ，即可得出关于 x，y 的二元一次方 程组，解之即可得出结论； （2）设购买甲种奖品 m 件，则购买乙种奖品（60m）件，设购买两种奖品的总费用为 w，由甲种奖品 的数量不少于乙种奖品数量的，可得出关于 m 的一元一次不等式，解之可得出 m 的取值范围，再由总 价单价数量，
29、可得出 w 关于 m 的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题 【解答】解： （1）设甲种奖品的单价为 x 元/件，乙种奖品的单价为 y 元/件， 依题意，得：， 解得， 答：甲种奖品的单价为 20 元/件，乙种奖品的单价为 10 元/件 （2）设购买甲种奖品 m 件，则购买乙种奖品（60m）件， 购买乙种奖品的件数不超过甲种奖品件数的 2 倍， m(60m)， m20 依题意，得：w20m+10（60m）10m+600， 100， w 随 m 值的增大而增大， 当学习购买 20 件甲种奖品、40 件乙种奖品时，最小费用是 800 元 20 （10 分）如图，已知直线 ykx+b（k0
30、）与双曲线 y（m，3） 、B（3，n）两点 （1）求直线 AB 的解析式； （2）连结 AO 并延长交双曲线于点 C，连结 BC 交 x 轴于点 D，连结 AD 【分析】(1)由反比例函数解析式求得 A、B 点的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线 AB 的解析式； （2）根据反比例函数的对称性求得 C 的坐标，即可根据待定系数法求得直线 BC 的解析式，从而求得 D 的坐标，利用三角形面积公式求得 SACDSAOD+SCOD3,根据勾股定理求得 CD、BD 的长,即可根据 同高三角形面积的比等于底边的比求得ABD 的面积 【解答】解： （1）直线 ykx+b（k0）与双曲线 y相交于 A（
31、m、B（6 3m3n7, mn2, A(2,5),2), 把 A(2,7),2)代入 ykx+b 得, 解得, 直线 AB 的解析式为 yx+5； (2)AC 经过原点 O, A、C 关于原点对称， A(6,3), C(2,4), 设直线 CB 的解析式为 ymx+n, ,解得, 直线 BC 为 yx1, 令 y0,则 x4, D(1,0), SACDSAOD+SCOD8233, BC52, CDBCBD8, , SABDSACD3 21 （11 分）如图，在ABC 中，ABAC，DEAC 交 BA 的延长线于点 E，交 AC 于点 F （1）求证：DE 是O 的切线； （2）若 AC6，ta
32、nE，求 AF 的长 【分析】 （1）由等腰三角形的性质可得ABCACBOBDODB，可证 ODAC，可得 OD DE，可得结论； （2）由锐角三角函数可求 DE4，在直角三角形 ODE 中，由勾股定理可求 OE5，通过证明AEF OED，可得，即可求解 【解答】证明： （1）如图，连接 OD， ABAC， ABCACB， OBOD， OBDODB， ODBACB， ACOD， DFCODF， DEAC， DFCODF90， ODDE， DE 是O 的切线； （2）AC6AB， AOOB3OD， ODDE，tanE， ， DE4， OE5， AEOEOA2， ACOD， AEFOED， ， ，
33、 AF 22 （11 分）资阳市为实现 5G 网络全覆盖，20202025 年拟建设 5G 基站七千个如图，在坡度为 i1： 2.4 的斜坡 CB 上有一建成的基站塔 AB， 然后她沿坡面 CB 行走 13 米到达 D 处， 在 D 处测得塔顶 A 的仰 角为 53 （点 A、B、C、D 均在同一平面内） （参考数据：sin53，cos53，tan53） （1）求 D 处的竖直高度； （2）求基站塔 AB 的高 【分析】 （1）通过作垂线，利用斜坡 CB 的坡度为 i1：2.4，CD13，由勾股定理可求出答案； （2）设出 DE 的长，根据坡度表示 BE，进而表示出 CF，由于ACF 是等腰直
34、角三角形，可表示 BE， 在ADE 中由锐角三角函数可列方程求出 DE，进而求出 AB 【解答】解： （1）如图，过点 C，交 AB 的延长线于点 E、F，垂足为 M， 斜坡 CB 的坡度为 i1：2.5， ， 即， 设 DM5k，则 CM12k， 在 RtCDM 中，CD13， CM4+DM2CD2， 即（3k）2+（12k）2137， 解得 k1， DM5，CM12， 答：D 处的竖直高度为 8 米； （2）斜坡 CB 的坡度为 i1：2.7， 设 DE12a 米，则 BE5a 米， 又ACF45， AFCF（12+12a）米， AEAFEF12+12a5（6+12a）米， 在 RtADE
35、 中，DE12a， tanADEtan53， ， 解得 m， DE12a21（米） ，AE7+12a28（米） ， BE5a（米） ， ABAEBE28（米） ， 答：基站塔 AB 的高为米 23 （12 分）已知，在ABC 中，BAC90 （1）如图 1，已知点 D 在 BC 边上，DAE90，连结 CE试探究 BD 与 CE 的关系； （2）如图 2，已知点 D 在 BC 下方，DAE90，连结 CE若 BDAD，AB2，AD 交 BC 于 点 F，求 AF 的长； （3）如图 3，已知点 D 在 BC 下方，连结 AD、BD、CD若CBD30，AB26，AD24+，求 sinBCD 的值
36、 【分析】 （1）证明BADCAE（SAS） ，进而求解； （2）证明四边形 ADHE 为正方形，则 BHBD+DH2+68,CHHECE624,在 RtBCH 中， tanCBH,在 RtBDF 中，DFBDtanCBH21，进而求解； （3）由 DE22AD2DH2+EH2，得到（3x）2+（+x）22（4+） ，求出 BDx1，在 Rt BCD 中，CBD30，BC2，BD1，用解直角三角形的方法，即可求解 【解答】解： （1）EAC+CADEAD90，BAD+DAC90， BADCAE， ABAC，ADAE， BADCAE（SAS） ， ACEABD45,BDCE， BCEACB+AC
37、E45+4590， BDCE 且 BDCE； （2）延长 BD 和 CE 交于点 H， 由（1）知 BDCE，即H90， 而ADH90，DAE90, 故四边形 ADHE 为矩形， 而 ADAE， 故四边形 ADHE 为正方形， 在 RtACE 中,AE， 则 BHBD+DH8+68,CHHECE724, 在 RtBCH 中，tanCBH, 在 RtBDF 中，DFBDtanCBH2， 故 AFADDF617； （3）作DAE90，使 ADAE，延长 EC 和 BD 交于点 H， 由（1）BDCE 且 BDCE，即H90， 由作图知，ADE 为等腰直角三角形， 设 CEBDx， 在 RtBHC
38、中，HBC30AB， 则 CHBC， 则 DHBHx3x,EHCH+CEx+， 则 DE72AD2DH7+EH2， 即（3x）7+（+x）27（4+） ， 解得 x5（舍去）或 1， 即 BDx4， 过点 D 作 DNBC 于点 N， 在 RtBCD 中，CBD30，BD1， 则 NDBD1， 则 CNCBBN2, 则 tanBCD， 则 sinBCD 24 （13 分）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，且 B（1，0） ，C（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，点 P 是抛物线上位于直线 AC 上方的一点，BP 与 AC 相交于点
39、E，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 D 是抛物线的顶点，将抛物线沿 CD 方向平移，且 DD2CD，点 M 是平移后所得抛物 线上位于 D左侧的一点，连结 CN当DN+CN 的值最小时 【分析】 （1）利用待定系数法，把问题转化为方程组解决 (2)如图1中， 过点B作BTy轴交AC于T,过点P作PQOC交AC于Q 设P(m,m2+2m+3),求出BT,PQ, 利用平行线分线段成比例定理构建方程求解即可 （3）如图 2 中，连接 AD,过点 N 作 NJAD 于 J,过点 C 作 CTAD 于 T证明 ADx 轴，由 OD 3,推出 sinODA,推出 NJNDsinODADN,可得 D
40、N+CNCN+NJ,根据 CN+NJCT,可得结论 【解答】解： （1）yx2+bx+c 经过 B（1，6） ，3） ， , 解得, 抛物线的解析式为 yx2+2x+7 (2)如图 1 中，过点 B 作 BTy 轴交 AC 于 T 设 P(m,m2+2m+3), 对于抛物线 yx2+5x+3，令 y0， A(2,0), C(0,8), 直线 AC 的解析式为 yx+3, B(1,2), T(1,4), BT3, PQOC, Q(m,m+3), PQm2+2m+3(m+3)m3+3m, PQBT, , m2+3m4, 解得 m1 或 2， P(4,4)或（2 （3）如图 8 中，连接 AD,过点 C 作 CTAD 于 T 抛物线 yx2+2x+6(x1)2+3, 顶点 D(1,4), C(8,3), 直线 CD 的解析式为 yx+3,CD, DD2CD, DD2,CD3, D(4,6), A(3,2), ADx 轴， OD3, sinODA, CTAD, CT3, NJAD, NJNDsinODADN, DN+CNCN+NJ, CN+NJCT, DN+CN7, DN+CN 的最小值为 8