1、专题复习二 二次函数图象与系数的关系(1)系数 a 决定抛物线的开口方向和大小，a0 时，开口向上；a0 时，图象与 y 轴交点在 x 轴上方；c=0 时，图象过原点；c0,b0.(2)OA=OB，且 OB=|c|=-c，ax 2+bx+c=0 有一根为 x=c.ac 2+bc+c=0.ac+b+1=0.17.对于二次函数 y=ax2+bx+c，如果当 x 取任意整数时，函数值 y 都是整数，那么我们把该函数的图象叫做整点抛物线(例如：y=x 2+2x+2)(1)请你写出一个二次项系数的绝对值小于 1 的整点抛物线的函数表达式： y= x2+ x 1.(不必证明)(2)请探索：是否存在二次项系
2、数的绝对值小于 的整点抛物线？若存在，请写出其中一条2抛物线的表达式；若不存在，请说明理由【答案】(1)y= x2+ x1(2)假设存在符合条件的抛物线，则对于抛物线 y=ax2+bx+c，当 x=0 时，y=c;当 x=1 时,y=a+b+c.由整点抛物线定义知：c 为整数，a+b+c 为整数，a+b 必为整数.又当 x=2 时，y=4a+2b+c=2a+2（a+b）+c 是整数， 2a 必为整数.|a| .不存在二次项系数的绝对21值小于 的整点抛物线.21（第 18 题）18.【攀枝花】二次函数 y=ax2+bx+c(a0) 的图象如图所示，则下列命题中，正确的是(D).A.abcB.一
3、次函数 y=ax+c 的图象不经过第四象限C.m(am+b)+ba(m 是任意实数)D.3b+2c0【解析】由二次函数的图象可知 a0，c0；由 x=-1 得- =-1，故 b0，b=2a ，则a2bac，故 A 错误.a0，c0，一次函数 y=ax+c 的图象经过第一、三、四象限，故B 错误.当 x=-1 时，y 最小，即 a-b+c 最小，故 a-b+cam 2+bm+c，即 m(am+b)+ba，故C 错误.由图象可知当 x=1 时 y0,即 a+b+c0，b=2a，a= b. b+b+c0.3b+2c0，故1D 正确.故选 D.19.【杭州】在平面直角坐标系中，设二次函数 y1=(x+
4、a)(x-a-1)，其中 a0.(1)若函数 y1 的图象经过点(1 ，-2)，求函数 y1 的表达式.(2)若一次函数 y2=ax+b 的图象与 y1 的图象经过 x 轴上同一点，探究实数 a，b 满足的表达式.(3)已知点 P(x0，m) 和点 Q(1， n)在函数 y1 的图象上，若 mn，求 x0 的取值范围.【答案】(1)函数 y1 的图象经过点(1 ，-2)，得(a+1)(-a)=-2，解得 a1=-2，a 2=1.当 a1=-2 时，y1=(x-2)(x+2-1)=x2-x-2；当 a2=1 时，y1=(x+1)(x-2)=x 2-x-2.综上所述，函数 y1 的表达式为y=x2
5、-x-2.(2)当 y=0 时，(x+a)(x-a-1)=0，解得 x1=-a，x 2=a+1.y 1 的图象与 x 轴的交点是(-a，0)，(a+1，0).当 y2=ax+b 经过(-a， 0)时，-a 2+b=0，即 b=a2；当 y2=ax+b 经过(a+1，0)时，a2+a+b=0，即 b=-a2-a.(3)由题意知，函数 y1 的对称轴为直线 x= .当点 P 在对称轴的左侧(含顶点) 时，y 随 x 的增大而减小，(1，n)与(0 ，n) 关于对称轴对称，由 mn，得 0x 0 ；当点 P 在对称轴21的右侧时，y 随 x 的增大而增大，由 mn，得 x 01.综上所述，m n，所
6、求 x0 的取值21范围 0x 01.20.如图所示，二次函数 y=ax2+2ax-3a(a0) 图象的顶点为 H，与 x 轴交于 A，B 两点( 点 B在点 A 右侧)，点 H，B 关于直线 l:y= x+ 对称3(1)求 A，B 两点坐标，并证明点 A 在直线 l 上.(2)求二次函数的表达式.(3)过点 B 作直线 BKAH 交直线 l 于点 K,M,N 分别为直线 AH 和直线 l 上的两个动点，连结 HN,NM,MK，求 HN+NM+MK 的最小值(第 20 题) 图 1 图 2（第 20 题答图）【答案】(1)由题意得 ax2+2ax-3a=0(a0) ，解得 x1=-3,x2=1
7、.点 A 的坐标为(-3,0), 点 B 的坐标为(1,0).直线 y= x+ ,当 x=-3 时,y= (-3)+ =0,点 A 在直线 l 上.33(2)点 H，B 关于过点 A 的直线 y= x+ 对称,AH=AB=4.AH=BH ，ABH 为正三角形.如答图 1 所示，过顶点 H 作 HCAB 于点 C，则 AC= AB=2,HC=2 ,顶点213H(-1,2 )，代入二次函数表达式,解得 a=- .二次函数表达式为 y=- x2- x+323.2(3)易求得直线 AH 的函数表达式为 y= x+3 ，直线 BK 的函数表达式为 y= x- .33由 ,解得 ,即 K(3,2 ).BK=4.点 H，B 关于直线 AK 对称,3xy32yxHN+MN 的最小值是 MB.如答图 2 所示，过点 K 作直线 AH 的对称点 Q,连结 QK,交直线AH 于点 E，则 QM=MK,QE=EK=KD=2 ,则 QK=4 ,AEQK.BM+MK 的最小值是3BQ,即 BQ 的长是 HN+NM+MK 的最小值.BKAH,BKQ=HEQ=90.由勾股定理可求得 QB=8. HN+NM+MK 和的最小值为 8.