1、1.4 二次函数的应用(2)与二次函数有关的实际问题有以下几类：面积问题；销售问题；增长率问题；勾股定理求距离问题等，列函数表达式时要注意正确应用等量关系.1.一个小球被抛出后，如果距离地面的高度 h(m)和运动时间 t(s)的函数表达式为 h=-5t2+10t+1，那么小球到达最高点时距离地面的高度是(D).A.1m B.3m C.5m D.6m2.烟花厂为春节特别设计了一种新型礼炮，这种礼炮的升空高度 h(m)关于飞行时间 t(s)的函数表达式为 h=- t2+12t+30.若这种礼炮在上升到最高点引爆，则从点火升空到引爆需3要的时间为(B).A.3s B.4s C.5s D.6s3.如图
2、所示，假设篱笆(虚线部分)的长度为 16m，则所围成矩形 ABCD 的最大面积是(C).A.60m2 B.63m2 C.64m2 D.66m2（第 3 题） （第 4 题） （第 5 题）4.如图所示，ABC 是直角三角形，A=90，AB=8cm，AC=6cm.点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同时点 Q 从点 A 出发，沿 AC 方向以 1cm/s 的速度向点 C 运动，其中一个动点到达终点时另一个动点也停止运动，则APQ 的最大面积是(C).A.0cm2 B.8cm2 C.16cm2 D.24cm25.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙(墙足够
3、长)，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留 1m 宽的门.已知计划中的材料可建墙体(不包括门)，总长为 27m，则能建成的饲养室面积最大为 75 m 2.6.用长度一定的不锈钢材料设计成外观为矩形的框架(如图 1，2 所示的一种)设竖档 AB=x(m)，请根据图案解答下列问题(题中的不锈钢材料总长度均指各图中所有黑线的长度和，所有横档和竖档分别与 AD，AB 平行)：(1)在图 1 中，如果不锈钢材料总长度为 12m，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积为3m2？(2)在图 2 中，如果不锈钢材料总长度为 12m，当 x 为多少时，矩形框架 ABCD 的面积 S 最大？最大面积是多
4、少？(第 6 题)【答案】(1)由题意得 BC 的长为（4-x）(m)，x（4-x）=3，即 x2-4x+3=0，解得x1=1，x 2=3.当 x=1 或 3 时，矩形框架 ABCD 的面积为 3m2.(2)由题意得 AD=（12-4x）3=4- x，S=x(4- x)=- x2+4x=- （x- ） 2+3.当 x=343434时，矩形框架 ABCD 的面积最大，最大面积是 3m2.27.A，B 两个水管同时开始向一个空容器内注水如图所示为 A，B 两个水管各自注水量y（m 3）与注水时间 x（h）之间的函数图象，已知 B 水管的注水速度是 1m3/h，1h 后，A 水管的注水量随时间的变化
5、是一段抛物线，其顶点是（1，2） ，且注水 9h，容器刚好注满请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）直接写出 A,B 注水量 y（m 3）与注水时间 x（h）之间的函数表达式，并注明自变量的取值范围.（2）求容器的容量.（3）根据图象，求当 yAy B时 x 的取值范围(第 7 题)【答案】(1)y A= .yB=x(0x9).91280xx(2)容器的总容量是：x=9 时，f(x)=x+ (x-1)2+2=9+10=19(m3).81(3)当 x= (x-1)2+2 时，解得 x1=5-2 ,x2=5+2 ,利用图象可得，当 yAyB时，x 的取81值范围是 x5+2 或 0x5-2 .
6、8.一同学推铅球，铅球高度 y(m)关于时间 x(s)的函数表达式为 y=ax2+bx(a0).若铅球在第 7 秒与第 14 秒时的高度相等，则在(C)时铅球最高.A.第 7 秒 B.第 8 秒 C.第 10.5 秒 D.第 21 秒9.在 17 月份，某地的蔬菜批发市场指导菜农生产和销售某种蔬菜，并向他们提供了这种蔬菜每千克售价与每千克成本的信息如图所示，则出售该种蔬菜每千克利润最大的月份可能是(C).A.1 月份 B.2 月份 C.5 月份 D.7 月份【解析】设 x 月份出售时，每千克售价为 y1元，每千克成本为 y2元.设直线表达式为y1=kx+b， ,解得 .y 1=- x+7.设抛
7、物线表达式为 y2=a(x-6)365bk732k2+1，4=a(3-6) 2+1，解得 a= .y 2= (x-6)2+1.y=y 1-y2，y=- x+7- x-62+1=- 131x2+310x-6=- (x-5)2+ .当 x=5 时，y 有最大值，即当 5 月份出售时，每千克收益最大.37（第 9 题） (第 10 题) (第 11 题)10.某公园草坪的防护栏由 100 段形状相同的抛物线形构件组成，为了牢固起见，每段护栏下每隔 0.4m 需要加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5m(如图所示)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 160m 11.如图所示，线段
8、AB 的长为 2，C 为线段 AB 上一个动点，分别以 AC，BC 为斜边在 AB 的同侧作两个等腰直角三角形ACD 和BCE，那么 DE 长的最小值是 1 12.科技馆是少年儿童节假日游玩的乐园.如图所示，图中点的横坐标 x 表示科技馆从8：30 开门后经过的时间(min)，纵坐标 y 表示到达科技馆的总人数.图中曲线对应的函数表达式为 y=ax2(0x30),b(x-90) 2+n(30x90),10：00 之后来的游客较少可忽略不计.(1)请写出图中曲线对应的函数表达式.(2)为保证科技馆内游客的游玩质量，馆内人数不得超过 684 人，后来的人需在馆外休息区等待.从 10：30 开始到
9、12：00 馆内陆续有人离馆，平均每分钟离馆 4 人，直到馆内人数减少到 624 人时，馆外等待的游客方可全部进入.请问：馆外游客最多等待多少分钟？（第 12 题）【答案】(1)由图象可知 300=a302，解得 a= ，由 n=700，b(30-90) 2+700=300，解得 b=-31，91y= .9037901322xx(2)由题意得- (x-90)2+700=684，解得 x=78 或 x=102(舍去). =15（min）.462815+30+(90-78)=57(min)，馆外游客最多等待 57min.13.课本中有一个例题：有一个窗户形状如图 1 所示，上部是一个半圆，下部是一
10、个矩形，如果制作窗框的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大值约为 1.05m2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形（如图 2 所示） ，材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题：(1)若 AB 为 1m，求此时窗户的透光面积.(2)与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明.图 1 图 2 图 3（第 13 题）【答案】(1)由已知可得 AD= = (m)，则 S=1 = (m2)，即此时窗户2164545的透光面积为 m2.45(2)设 AB
11、=x(m)，则 AD=（3- x）(m)，3- x0,0 x ，设窗户面积为 S，由已47771知得 S=ABAD=x（3- x）=- x2+3x=- （x- ） 2+ ，当 x= 时，且 x= 在 0x6967的范围内，S 最大值 = . m1.05m 2，与课本中的例题比较，现在窗户透光面积71279的最大值变大.(第 14 题)14.【衢州】某农场拟建三间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙(墙长 50m)，中间用两道墙隔开(如图所示).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为 48m，则这三间矩形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 144 m2.（第 15 题）15.【潍坊】工人师傅用一块长 1
12、0dm、宽 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形(厚度不计).(1)在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；当长方体底面积为 12dm2时，裁掉的正方形边长为多少？(2)若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的 5 倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低？最低为多少？【答案】(第 15 题答图)(1)如答图所示.设裁掉的正方形的边长为 x(dm).由题意得(10-2x)(6-2x)=12 ，即 x2-8x+12=0，解得 x=2 或 x=6(舍去).裁掉的正
13、方形的边长为 2dm，底面积为 12dm2.(2)长不大于宽的 5 倍，10-2x 5(6-2x) ，解得 0x 2.5.设总费用为 w 元，由题意可知w=20.5 2x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=8x 2-96x+240=8(x-6)2-48，对称轴为直线 x=6，开口向上，当 0x2.5 时，w 随 x 的增大而减小.当 x=2.5 时，w 有最小值，最小值为50 元.当裁掉边长为 2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为 50 元.16.如图 1 所示，为美化校园环境，某校计划在一块长为 60m、宽 40m 的长方形空地上修建一个长方形花圃，并将花圃四周余下的空地
14、修建成同样宽的通道，设通道宽为 a(m).(1)用含 a 的式子表示花圃的面积.(2)如果通道所占面积是整个长方形空地面积的 ，求出此时通道的宽 .83(3)已知某园林公司修建通道、花圃的造价 y1(元)，y2(元) 与修建面积 x(m2)之间的函数关系如图 2 所示，如果学校决定由该公司承建此项目，并要求修建的通道的宽度不少于 2m 且不超过 10m，那么通道宽为多少时，修建的通道和花圃的总造价最低？最低总造价为多少元？图 1 图 2（第 16 题）【答案】(1)花圃的面积为(40-2a)(60-2a)m 2.(2)由题意得 6040-(40-2a)(60-2a)= 6040，解得 a1=5
15、，a 2=45(舍去). 通道的宽为835m.(3)设修建的道路和花圃的总造价为 y(元).设 y1 的函数表达式为 y1=k1x,把点（1200，48000）代入，得 480001200k 1,解得 k1=40.y 1=40x.当 0x800 时，设 y2=mx,把点(800,48000)代入，得 48000=800m,解得 m=60,当 x800 时，设 y2=nx+6,把点(800,48000),(1200,62000)代入，得 ,解得 .y 2=bn2068435.x 花圃 =(40-2a)(60-2a)=4a2-200a+2400；x 通道 =6040-(40-2a)(60-2a)=-8023506x4a2+200a，y1=40(-4a 2+200a)(2a10)，当 2a10 时， 800x 花圃2016，y=y1+y2=40(-4a 2+200a)+35(4a2-200a+2400)+20000=-20a2+1000a+104000=-20(a-25)2+116500.当 a=2 时，y 有最小值，最小值为 105920.当通道宽为 2m 时，修建的通道和花圃的总造价最低，最低总造价为 105920 元.