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上海市2021年中考数学真题(解析版)

1、 上海市上海市 2021 年中考数学试题年中考数学试题 一、选择题一、选择题 1. 下列实数中,有理数是( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 【答案】C 【解析】 【分析】先化简二次根式,再根据有理数的定义选择即可 【详解】解: A、 12 = 22 2是无理数,故 1 2 是无理数 B、 13 = 33 3是无理数,故 1 3 是无理数 C、 11 = 42 为有理数 D、 15 = 55 5是无理数,故 1 5 是无理数 故选:C 【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键 2. 下列单项式中, 23 a b的同类项是(

2、 ) A. 32 a b B. 23 2a b C. 2 a b D. 3 ab 【答案】B 【解析】 【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项 【详解】a的指数是 3,b 的指数是 2,与 23 a b中 a的指数是 2,b 的指数是 3不一致, 32 a b不是 23 a b的同类项,不符合题意; a的指数是 2,b 的指数是 3,与 23 a b中 a的指数是 2,b 的指数是 3一致, 23 2a b是 23 a b的同类项,符合题意; a的指数是 2,b 的指数是 1,与 23 a b中 a的指数是 2,b 的指数是 3不一致, 2 a b不是 23 a b的同类项,不符合题意

3、; a的指数是 1,b 的指数是 3,与 23 a b中 a的指数是 2,b 的指数是 3不一致, 3 ab不是 23 a b的同类项,不符合题意; 故选 B 【点睛】本题考查了同类项,正确理解同类项的定义是解题的关键 3. 将抛物线 2 (0)yaxbxc a向下平移两个单位,以下说法错误的是( ) A. 开口方向不变 B. 对称轴不变 C. y随 x 的变化情况不变 D. 与 y 轴的交点不变 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的平移特点即可求解 【详解】将抛物线 2 (0)yaxbxc a向下平移两个单位,开口方向不变、对称轴不变、故 y随 x 的变 化情况不变;与 y轴的交点改

4、变 故选 D 【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象,解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点 4. 商店准备一种包装袋来包装大米, 经市场调查以后, 做出如下统计图, 请问选择什么样的包装最合适 ( ) A. 2kg/包 B. 3kg/包 C. 4kg/包 D. 5kg/包 【答案】A 【解析】 【分析】选择人数最多的包装是最合适的 【详解】由图可知,选择 1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多, 选择在 1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适 故选:A 【点睛】本题较简单,从图中找到选择人数最多的包装的范围,再逐项分析即可 5. 如图,已知平行四边形 ABCD 中,,

5、ABa ADb,E为AB中点,求 1 2 ab( ) A. EC B. CE C. ED D. DE 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解 【详解】四边形 ABCD是平行四边形,E为AB中点, 11 22 abABBCEBBCEC 故选 A 【点睛】此题主要考查向量的表示,解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则 6. 如图,已知长方形ABCD中,4,3ABAD,圆 B的半径为 1,圆 A与圆 B内切,则点 ,C D与圆 A 的位置关系是( ) A. 点 C在圆 A外,点 D在圆 A内 B. 点 C在圆 A外,点 D在圆 A外 C. 点 C在圆 A上,点 D在

6、圆 A内 D. 点 C在圆 A内,点 D在圆 A外 【答案】C 【解析】 【分析】根据内切得出圆 A 的半径,再判断点 D、点 E 到圆心的距离即可 【详解】 圆 A与圆 B内切,4AB ,圆 B 的半径为 1 圆 A的半径为 5 3AD5 点 D在圆 A内 在 RtABC中, 2222 435ACABBC 点 C在圆 A上 故选:C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理,熟练掌握点与圆的位置关系是关键 二、填空题二、填空题 7. 计算: 72= xx_ 【答案】 5 x 【解析】 【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可 详解】 72= xx 5 x, 故答案为: 5

7、x 【点睛】本题考查了同底数幂的除法,熟练掌握运算的法则是解题的关键 8. 已知 6 ( )f x x ,那么( 3)f_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】直接利用已知的公式将 x的值代入求出答案 【详解】解: 6 ( )f x x , 6 ( 3)2 3 3 f= , 故答案为:2 3 【点睛】本题主要考查了函数值,正确把已知代入是解题关键 9. 已知43x,则x_ 【答案】5 【解析】 【分析】方程两边同平方,化为一元一次方程,进而即可求解 【详解】解:43x, 两边同平方,得49x, 解得:x=5, 经检验,x=5是方程的解, x=5, 故答案是:5 【点睛】本题主要考查解根式方程,把

8、根式方程化为整式方程,是解题的关键 10. 不等式2120 x解集是_ 【答案】6x 【解析】 【分析】根据不等式的性质即可求解 【详解】2120 x 212x 6x 故答案为:6x 【点睛】此题主要考查不等式的求解,解题的关键是熟知不等式的性质 11. 70的余角是_ 【答案】20 【解析】 【分析】根据余角的定义即可求解 【详解】70余角是 90 -70=20 故答案为:20 【点睛】此题主要考查余角的求解,解题的关键是熟知余角的定义与性质 12. 若一元二次方程 2 230 xxc无解,则 c 的取值范围为_ 【答案】 9 8 c 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到

9、2 34 2c 0,然后求出 c 的取值范围 【详解】解:关于 x 的一元二次方程 2 230 xxc无解, 2a,3b,cc, 2 2 434 20bacc , 解得 9 8 c , c的取值范围是 9 8 c 故答案为: 9 8 c 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0)的根的判别式=b2-4ac:当0,方程有两个不相 等的实数根;当=0,方程有两个相等的实数根;当0,方程没有实数根 13. 有数据1,2,3,5,8,13,21,34,从这些数据中取一个数据,得到偶数的概率为_ 【答案】 3 8 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可 【详解】根据概率公式,得偶数的概

10、率为 3 8 , 故答案为: 3 8 【点睛】本题考查了概率计算,熟练掌握概率计算公式是解题的关键 14. 已知函数y kx 经过二、 四象限, 且函数不经过( 1,1), 请写出一个符合条件的函数解析式_ 【答案】2yx (0k 且1k 即可) 【解析】 【分析】正比例函数经过二、四象限,得到 k0,又不经过(-1,1),得到 k-1,由此即可求解 【详解】解:正比例函数y kx 经过二、四象限, k0, 当y kx 经过( 1,1)时,k=-1, 由题意函数不经过( 1,1),说明 k-1, 故可以写的函数解析式为:2yx (本题答案不唯一,只要0k 且1k 即可) 【点睛】本题考查了正比

11、例函数的图像和性质,属于基础题,y kx(k0)当 0k 时经过第二、四象限;当 0k 时经过第一、三象限 15. 某人购进一批苹果到集贸市场零售,已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示,成本为 5元/千 克,现以 8 元/千克卖出,赚_元 【答案】 33 5 k 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数关系式,求出当售价为 8元/千克时的卖出的苹果数量再利用利润=(售 价-进价)销售量,求出利润 【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为510ymxnx,将(5,4k) , (10,k)代入关 系式: 54 10 mnk mnk ,解得 3 5 7 mk nk 3 7510 5 ykx

12、kx 令8x ,则 11 5 yk 利润= 1133 85 55 kk 【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题利润=(售价-进价)销售量 16. 如图,已知 1 2 ABD BCD S S ,则 BOC BCD S S _ 【答案】 2 3 【解析】 【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比,得出 1 2 AD BC ,再根据AODCOB 得出 1 2 ODAD OBBC ,再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可 【详解】解:作 AEBC,CFBD 1 2 ABD BCD S S ABD和BCD等高,高均为 AE 1 1 2 1 2 2 ABD BCD AD A

13、E SAD SBC BC AE ADBC AODCOB 1 2 ODAD OBBC BOC和DOC等高,高均为 CF 1 2 2 1 1 2 BOC DOC OBCF SOB SOD ODCF BOC BCD S S 2 3 故答案为: 2 3 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比,熟练掌握三角形的 面积的特点是解题的关键 17. 六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为 1,求中间正六边形的面积 _ 【答案】 3 3 2 【解析】 【分析】由六个带30角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为 1,可以得到中间正六边 形的

14、边长为 1,做辅助线以后,得到ABC、CDE、AEF为以 1为边长的等腰三角形,ACE 为等边三 角形,再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长,求出面积之和即可 【详解】解:如图所示,连接 AC、AE、CE,作 BGAC、DICE、FHAE,AICE, 在正六边形 ABCDEF 中, 直角三角板的最短边为 1, 正六边形 ABCDEF 为 1, ABC、CDE、AEF 为以 1 为边长的等腰三角形,ACE为等边三角形, ABC=CDE =EFA =120,AB=BC= CD=DE= EF=FA=1, BAG=BCG =DCE=DEC=FAE =FEA=30, BG=DI= FH= 1 2

15、, 由勾股定理得:AG =CG = CI = EI = EH = AH = 3 2 , AC =AE = CE = 3, 由勾股定理得:AI= 3 2 , S= 11133 3 333 22222 , 故答案为: 3 3 2 【点睛】本题主要考查了含 30 度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质,关键在 于知识点:在直角三角形中,30 度角所对的直角边等于斜边的一半的应用 18. 定义: 在平面内, 一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离, 在平面内有一个正方形, 边长为 2,中心为 O,在正方形外有一点,2P OP ,当正方形绕着点 O 旋转时,则点 P到正

16、方形的最短距 离 d的取值范围为_ 【答案】2 21d 【解析】 【分析】先确定正方形的中心 O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值,然后结合旋转的条件即可求 解 【详解】解:如图 1,设AD的中点为 E,连接 OA,OE,则 AE=OE=1,AEO=90, 2OA 点 O与正方形ABCD边上的所有点的连线中, OE最小,等于 1,OA最大,等于 2 2OP , 点 P与正方形ABCD边上的所有点的连线中, 如图 2 所示,当点 E落在OP上时,最大值 PE=PO-EO=2-1=1; 如图 3 所示,当点 A落在OP上时,最小值 22PAPOAO 当正方形 ABCD绕中心 O旋转时,点 P

17、 到正方形的距离 d的取值范围是2 21d 故答案为:2 21d 【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点,准确理解新定义的含义和熟知正方形的 性质是解题的关键 三、解答题三、解答题 19. 计算: 1 1 2 9|12 | 28 【答案】2 【解析】 【分析】根据分指数运算法则,绝对值化简,负整指数运算法则,化最简二次根式,合并同类二次根式以 及同类项即可 【详解】解: 1 1 2 9|12 | 28 , = 1 9122 2 2 , =3 2 12 , =2 【点睛】本题考查实数混合运算,分指数运算法则,绝对值符号化简,负整指数运算法则,化最简二次根 式,合并同类二次根式与

18、同类项,掌握实数混合运算法则与运算顺序,分指数运算法则,绝对值符号化简, 负整指数运算法则,化最简二次根式,合并同类二次根式与同类项是解题关键 20. 解方程组: 22 3 40 xy xy 【答案】 2 1 x y 和 6 3 x y 【解析】 【分析】由第一个方程得到3xy,再代入第二个方程中,解一元二次方程方程即可求出y,再回代第 一个方程中即可求出x 【详解】解:由题意: 22 3(1) 40(2) xy xy , 由方程(1)得到:3xy,再代入方程(2)中: 得到: 22 (3)40yy-=, 进一步整理为:32yy-=或32yy-=-, 解得 1 1y , 2 3y , 再回代方

19、程(1)中,解得对应的 1 2x , 2 6x , 故方程组的解为: 2 1 x y 和 6 3 x y 【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法,熟练掌握代入消元法,运算过程中细心即 可 21. 已知在ABD中, ,8,4ACBD BCCD , 4 cos 5 ABC,BF为AD边上的中线 (1)求AC的长; (2)求tanFBD的值 【答案】 (1)6AC ; (2) 3 10 【解析】 【分析】 (1)在 RtABC中,利用三角函数即可求出 AB,故可得到 AC 的长; (2)过点 F作 FGBD,利用中位线的性质得到 FG,CG,再根据正切的定义即可求解 【详解】 (1)

20、ACBD, 4 cos 5 ABC cos 4 5 ABC BC AB AB=10 AC= 22 6ABBC-= ; (2)过点 F作 FGBD, BF为AD边上的中线 F是 AD 中点 FGBD,ACBD /FG AC FG是ACD的中位线 FG= 1 = 2 AC3 CG= 1 =2 2 CD 在 RtBFG中,tanFBD= 33 8210 FG BG 【点睛】此题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟知三角函数的定义 22. 现在5G手机非常流行,某公司第一季度总共生产 80 万部5G手机,三个月生产情况如下图 (1)求三月份共生产了多少部手机? (2)5G手机速度很快, 比4G下载速度

21、每秒多95MB, 下载一部1000MB的电影,5G比4G要快 190秒, 求5G手机的下载速度 【答案】 (1)36 万部; (2)100MB/秒 【解析】 【分析】 (1)根据扇形统计图求出 3 月份的百分比,再利用 80 万3 月份的百分比求出三月份共生产的手 机数; (2)设5G手机的下载速度为 xMB/秒,则4G下载速度为95xMB/秒,根据下载一部1000MB的电 影,5G比4G要快 190 秒列方程求解 【详解】 (1)3 月份的百分比=1 30% 25%45% 三月份共生产的手机数=80 45%=36(万部) 答:三月份共生产了 36 万部手机 (2)设5G手机的下载速度为 xM

22、B/秒,则4G下载速度为95xMB/秒, 由题意可知: 10001000 190 95xx 解得:100 x 检验:当100 x 时,950 xx 100 x 是原分式方程的解 答:5G手机的下载速度为 100MB/秒 【点睛】本题考查实际问题与分式方程求解分式方程时,需要检验最简公分母是否为 0 23. 已知: 在圆 O 内, 弦AD与弦BC交于点 ,G ADCB M N 分别是CB和AD的中点, 联结,MN OG (1)求证:OGMN; (2)联结,AC AM CN,当/CNOG时,求证:四边形ACNM为矩形 【答案】 (1)见解析; (2)见解析 【解析】 【分析】 (1)连结 ,OM

23、ON,由 M、N分别是CB和AD的中点,可得 OMBC,ONAD,由AB CD , 可得OMON,可证Rt EOPRt FOP HL,MGNGMGONGO,根据等腰三角形三 线合一性质OGMN; (2)设 OG 交 MN 于 E,由Rt EOPRt FOP,可得MGNG,可得CMNANM, 11 22 CMCBADAN,可证CMNANM可得AMCN,由 CNOG,可得 90AMNCNM,由+=180AMNCNM可得 AMCN,可证ACNM是平行四边形,再由 90AMN可证四边形 ACNM 是矩形 【详解】证明: (1)连结 ,OM ON, M、N分别是CB和AD的中点, OM,ON 为弦心距,

24、 OMBC,ONAD, 90GMOGNO, 在O中,ABCD, OMON, 在 RtOMG和 RtONG 中, OMON OGOG , Rt GOMRt GON HL, MGNGMGONGO, OGMN; (2)设 OG 交 MN 于 E, Rt GOMRt GON HL, MGNG, GMNGNM,即CMNANM, 11 22 CMCBADAN, 在CMN 和ANM中 CMAN CMNANM MNNM , CMNANM, ,AMCNAMNCNM , CNOG, 90CNMGEM, 90AMNCNM, +90 +90 =180AMNCNM, AMCN, ACNM是平行四边形, 90AMN, 四

25、边形 ACNM是矩形 【点睛】本题考查垂径定理,三角形全等判定与性质,等腰三角形判定与性质,平行线判定与性质,矩形 的判定,掌握垂径定理,三角形全等判定与性质,等腰三角形判定与性质,平行线判定与性质,矩形的判 定是解题关键 24. 已知抛物线 2 (0)yaxc a过点 (3,0),(1,4)PQ (1)求抛物线的解析式; (2) 点 A 在直线PQ上且在第一象限内, 过 A 作ABx轴于 B, 以AB斜边在其左侧作等腰直角ABC 若 A与 Q 重合,求 C到抛物线对称轴的距离; 若 C落在抛物线上,求 C的坐标 【答案】 (1) 2 19 22 yx ; (2)1;点 C的坐标是 5 2,

26、2 【解析】 【分析】(1)将(3,0)(1,4)PQ、两点分别代入 2 yaxc,得 90, 4, ac ac ,解方程组即可; (2)根据 AB=4,斜边上的高为 2,Q的横坐标为 1,计算点 C 的横坐标为-1,即到 y轴的距离为 1;根据直 线 PQ的解析式, 设点 A (m, -2m+6) ,三角形 ABC是等腰直角三角形, 用含有 m的代数式表示点 C 的坐标, 代入抛物线解析式求解即可. 【详解】 (1)将(3,0)(1,4)PQ、两点分别代入 2 yaxc,得 90, 4, ac ac 解得 19 , 22 ac 所以抛物线的解析式是 2 19 22 yx (2)如图 2,抛物

27、线的对称轴是 y 轴,当点 A 与点(1,4)Q重合时,4AB , 作CHAB于 H ABC等腰直角三角形, CBH和CAH也是等腰直角三角形, 2CHAHBH, 点 C到抛物线的对称轴的距离等于 1 如图 3,设直线 PQ的解析式为 y=kx+b,由(3,0)(1,4)PQ、,得 30, 4, kb kb 解得 2, 6, k b 直线PQ的解析式为26yx , 设( , 26)A mm, 26ABm, 所以3CHBHAHm 所以3,(3)23 CC ymxmmm 将点(23,3)Cmm代入 2 19 22 yx , 得 2 19 3(23) 22 mm 整理,得 2 2730mm 因式分解

28、,得(21)(3)0mm 解得 1 2 m ,或3m(与点 B 重合,舍去) 当 1 2 m 时, 15 231 32,33 22 mm 所以点 C 的坐标是 5 2, 2 【点评】本题考查了抛物线解析式的确定,一次函数解析式的确定,等腰直角三角形的性质,一元二次方 程的解法,熟练掌握待定系数法,灵活用解析式表示点的坐标,熟练解一元二次方程是解题的关键 25. 如图,在梯形ABCD中, / /,90 ,ADBCABCADCD O 是对角线AC的中点,联结BO并延 长交边CD或边AD于 E (1)当点 E在边CD上时, 求证:DACOBC; 若BECD,求 AD BC 的值; (2)若2,3DE

29、OE,求CD的长 【答案】 (1)见解析; 2 3 ; (2)1 19 或3 19 【解析】 【分析】 (1)根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导, DACDCAOBCOCB,由此可得DACOBC; 若BECD, 那么在Rt BCE中, 由234 可得23430 , 作D HB C于 H 设 2A D C Dm,那么2BHADm根据30所对直角边是斜边的一半可知CHm,由此可得 AD BC 的值 (2)当点 E 在AD上时,可得四边形ABCE是矩形,设ADCDx,在Rt ACE和Rt DCEV中, 根据 22 CECE,列方程 2222 6(2)2xx求解即可

30、 当点 E 在CD上时,设ADCDx,由DACOBC,得 DCAC OCBC ,所以 2xOC mBC ,所以 2 OCx BCm ;由EOCECB得 EOECOC ECEBCB ,所以 32 23 xOC xmCB ,解出 x的值即可 【详解】 (1)由ADCD,得12 由/ /ADBC,得13 因为BO是RtABC斜边上的中线,所以OBOC所以34 所以1234 所以DACOBC 若BECD,那么在Rt BCE中,由234 可得23430 作DHBC于 H设2ADCDm,那么2BHADm 在RtDCH中,60 ,2DCHDCm,所以CHm 所以3BCBHCHm 所以 22 33 ADm B

31、Cm (2)如图 5,当点 E 在AD上时,由/ /,ADBC O是AC的中点,可得OBOE, 所以四边形ABCE是平行四边形 又因为90ABC,所以四边形ABCE是矩形, 设ADCDx,已知2DE ,所以2AEx=- 已知3OE ,所以6AC 在Rt ACE和Rt DCEV中,根据 22 CECE,列方程 2222 6(2)2xx 解得119x ,或119x ( 舍去负值) 如图 6,当点 E在CD上时,设ADCDx,已知2DE ,所以2CEx 设OBOCm,已知3OE ,那么3EBm 一方面,由DACOBC,得 DCAC OCBC ,所以 2xOC mBC ,所以 2 OCx BCm , 另一方面,由24BEC ,是公共角,得EOCECB 所以 EOECOC ECEBCB ,所以 32 23 xOC xmCB 等量代换,得 32 232 xx xmm 由 3 22 x xm ,得 2 2 6 xx m 将 2 2 6 xx m 代入 32 23 x xm ,整理,得 2 6100 xx 解得319x ,或319x (舍去负值) 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质,斜边上的中线,勾股定理等,能够运用相似三角形边的 关系列方程是解题的关键