1、1.4 二次函数的应用(1)运用二次函数求实际问题中的最值，首先应确定函数表达式及自变量的取值范围，然后利用配方法或公式法求出最值，特别要注意的是，最值所对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.1.进入夏季后，某电器商场为减少库存，对电热取暖器连续进行两次降价.若设平均每次降价的百分率是 x，降价后的价格为 y 元，原价为 a 元，则 y 关于 x 的二次函数表达式为(D).A.y=2a(x-1) B.y=2a(1-x) C.y=a(1-x2) D.y=a(1-x)22.小明参加学校运动会的跳高比赛，二次函数 h=3.15t4.5t 2(t 的单位：s；h 的单位：m)可以描述他跳跃时重心高
2、度的变化，则他起跳后到重心最高时所用的时间是(C).A.0.25s B.0.3s C.0.35s D.0.7s3.如图所示为一个长 8m、宽 6m 的矩形小花园，根据需要将它的长缩短 x(m)，宽增加 x(m)，要使修改后的小花园面积达到最大，则 x 应为(A). A.1m B.1.5m C.2m D.2.5m(第 3 题) (第 6 题)4.某产品的进货价格为 90 元，按 100 元一个售出时，能售 500 个；如果这种商品每涨价 1元，其销售量就减少 10 个.为了获得最大利润，其定价应为(B).A.130 元 B.120 元 C.110 元 D.100 元5.某种商品每件进价为 20
3、元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元(20x30，且 x 为整数)出售，可卖出(30-x)件.若要使利润最大，则每件的售价应为 25 元6.如图所示，济南某大桥有一段呈抛物线的拱梁，抛物线的表达式为 y=ax2+bx.小强骑自行车从拱梁一端 O 沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面 OC，小强骑自行车行驶 10s 和 26s 拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面 OC 共需 36 s7.甲、乙两人分别站在相距 6m 的 A，B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面 1m 的 C 处发出一球，乙在离地面 1.5m 的 D 处成功击球，球飞行过程中的最高点
4、H 与甲的水平距离 AE 为 4m.现以点 A 为原点，直线 AB 为 x 轴，建立平面直角坐标系(如图所示).求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的函数表达式及飞行的最大高度.（第 7 题）【答案】由题意得 C(0，1)，D(6，1.5)，抛物线的对称轴为直线 x=4.设抛物线的函数表达式为 y=ax2+bx+1(a0)，根据题意得 ,解得 .1635.142ba3241a羽毛球飞行的路线所在的抛物线的函数表达式为 y=- x2+ x+1.y=- x2+ x+1=-441(x-4)2+ ，飞行的最大高度为 m.413538.某商品的进价为每件 50 元，售价为每件 60 元，每个月可卖出 200
5、件.如果每件商品的售价上涨 1 元，那么每个月少卖 10 件(每件售价不能高于 72 元)，设每件商品的售价上涨 x元(x 为正整数)，每个月的销售利润为 y 元(1)求 y 关于 x 的二次函数表达式，并直接写出自变量 x 的取值范围(2)每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】(1)y=（60-50+x） （200-10x）=（10+x） （200-10x）=-10x 2+100x+2000(0x12且 x 为正整数).(2)y=-10x2+100x+2000=-10（x 2-10x）+2000=-10（x-5） 2+2250.当 x=5 时，最大月利
6、润 y=2250 元，这时售价为 60+5=65（元）.9.某种正方形合金板材的成本 y(元)与它的面积成正比，设边长为 x(cm).当 x=3 时，y=18，那么当成本为 72 元时，边长为(A).A.6cm B.12cm C.24cm D.36cm10.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润 y(万元)与销售量 x(辆)之间分别满足：y1=-x 2+10x，y 2=2x，若该公司在甲、乙两地共销售 15 辆该品牌的汽车，则能获得的最大利润为(D).A.30 万元 B.40 万元 C.45 万元 D.46 万元11.如图所示，一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛
7、物线关于 y 轴对称，ABx 轴，AB=4cm，最低点 C 在 x 轴上，高 CH=1cm，BD=2cm.右轮廓线 DFE 所在抛物线的二次函数的表达式为 y= （x-3） 2 41(第 11 题) （第 12题）12.某水产养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查.调查发现这种水产品的每千克售价 y1(元)与销售月份 x(月)满足关系式y=- x+36，而其每千克成本 y2(元)与销售月份 x(月)满足的函数关系如图所示.“五一”83之前， 4 月份出售这种水产品每千克的利润最大.13.甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如
8、图所示，甲在 O点正上方 1m 的 P 处发出一球，羽毛球飞行的高度 y(m)与水平距离 x(m)之间满足函数表达式 y=a(x-4)2+h，已知点 O 与球网的水平距离为 5m，球网的高度为 1.55m.(1)当 a=- 时，求 h 的值.通过计算判断此球能否过网.41(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点 O 的水平距离为 7m，离地面的高度为 m 的 Q 处512时，乙扣球成功，求 a 的值.（第 13 题）【答案】(1)当 a=- 时，y=- (x-4)2+h，将点 P(0，1)代入，得- 16+h=1，解得241 241h= .把 x=5 代入 y=- (x-4)2+ ，得 y=-
9、(5-4)35 352+ =1.625，1.6251.55，此球能过网.(2)把(0，1)，(7， )代入 y=a(x-4)2+h，得 ,解得 .a=- .51251296ha51ha14.某超市销售一种商品，成本每千克 40 元，规定每千克售价不低于成本，且不高于 80 元.经市场调查，每天的销售量 y(千克)与每千克售价 x(元)满足一次函数关系，部分数据如下表所示：售价 x(元/千克) 50 60 70销售量 y(千克) 100 80 60(1)求 y 关于 x 的函数表达式.(2)设商品每天的总利润为 W(元)，求 W 关于 x 的函数表达式(利润=收入-成本).(3)试说明(2)中总
10、利润 W 随售价 x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少.【答案】(1)设 y 关于 x 的函数表达式为 y=kx+b.由题意得 ,解得 .80615bk20bky 关于 x 的函数表达式为 y=-2x+200.(2)W=(x-40)(-2x+200)=-2x2+280x-8000.(3)W=-2x 2+280x-8000=-2(x-70)2+1800，40x80，当 40x70 时，W 随 x 的增大而增大；当 70x80 时，W 随 x 的增大而减小；当 x=70 时，W 取得最大值，此时W=1800，即售价为 70 元时获得最大利润，最大利润是 1800
11、 元.15.为了顺应市场需求，某市电子玩具制造公司技术部研制开发一种新产品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程.如图所示的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润 s(万元)与销售时间 t(月)之间的关系(即前 t 个月的利润总和 s 和 t 之间的关系).根据图象提供的信息，解答下列问题：(1)根据图象，求累积利润 s(万元)关于时间 t(月)的二次函数的表达式(第 15 题)(2)截止到几月末，公司累积利润可达到 6 万元？(3)第 9 个月公司所获利润是多少万元？【答案】(1)由图象可知抛物线顶点坐标为（2，-2） ，与 x 轴交点为（0，0） ， （4，0）.可设函数表达
12、式为 s=a(t-2)2-2.将（0，0）代入得 4a-2=0，解得 a= .s= （t-2） 2-2.21(2)当累积利润达到 6 万元时，s= （t-2） 2-2=6，解得 t=6 或-2（舍去）.截止到 6 月1末公司累积利润可达到 6 万元.(3)当 t=9 时，s= （t-2） 2-2= （9-2） 2-2=22.5（万元） ；当 t=8 时，s= （t-2） 2-2=1 1（8-2） 2-2=16(万元）.22.5-16=6.5(万元)，第 9 个月公司所获利润是 6.5 万元.116.【临沂】足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力
13、，足球距离地面的高度 h(单位：m)与足球被踢出后经过的时间 t(单位：s)之间的关系如下表所示：t 0 1 2 3 4 5 6 7 h 0 8 14 18 20 20 18 14 下列结论：足球距离地面的最大高度为 20m；足球飞行路线的对称轴是直线 t= ；29足球被踢出 9s 时落地；足球被踢出 1.5s 时，距离地面的高度是 11m.其中结论正确的个数是(B).A.1 B.2 C.3 D.417.【盘锦】端午节前夕，三位同学到某超市调研一种进价为 80 元的粽子礼盒的销售情况，请根据小梅提供的信息，解答小慧和小杰提出的问题.(价格取正整数)小梅：每盒定价 100 元，每天能卖出 410
14、 盒，而且这种粽子礼盒的售价每上涨 1 元，其销售量减少 10 盒.小慧：照你所说，如果要实现每天 8580 元的销售利润，并且薄利多销，那么该如何定价？小杰：8580 元的销售利润是不是最大呢？如果不是，又该怎样定价才会使每天的销售利润最大？每天的最大销售利润是多少？(第 17 题)【答案】小慧：设定价为 x 元，利润为 y 元，则销售量为 410-10(x-100)=1410-10x，由题意得 y=(x-80)(1410-10x)=-10x2+2210x-112800，当 y=8580 时，-10x 2+2210x-112800=8580，整理得 x2-221x+12138=0，解得 x=
15、102 或 x=119.当 x=102 时，销量为1410-1020=390，当 x=119 时，销量为 1410-1190=220，若要达到 8580 元的利润，且薄利多销，此时的定价应为 102 元.小杰：y=-10x 2+2210x-112800=-10(x- )212+ ，价格取整数，即 x 为整数，当 x=110 或 x=111 时，y 取得最大值，最大值为186059300，每天 8580 元的销售利润不是最大的，当定价为 110 元或 111 元时，每天的销售利润最大，最大销售利润为 9300 元.18.某海域内有一艘渔船发生故障，海事救援船接到求救信号后，立即从港口出发，沿直线
16、匀速前往救援，与故障渔船会合后立即将其拖回.如图所示折线段 O|A|B 表示救援船在整个航行过程中离港口的距离 y(海里)随航行时间 x(min)的变化规律.抛物线 y=ax2+k 表示故障渔船在漂移过程中离港口的距离 y(海里)随漂移时间 x(min)的变化规律.已知救援船返程速度是前往速度的 .根据图象提供的信息，解答下列问题：32(1)救援船行驶了 16 海里与故障渔船会合(2)求该救援船的前往速度(3)若该故障渔船在发出求救信号后 40min 内得不到营救就会有危险，请问:救援船的前往速度每小时至少是多少海里，才能保证故障渔船的安全?(第 18 题)【答案】 (1)16(2)设救援船的前往速度为每分钟 v 海里，则返程速度为每分钟 v 海里，由题意得 =32v16-16，解得 v= .经检验 v= 是原方程的解.该救援船的前往速度为每分钟 0.5 海v321621里.(3)由(2)知 t=16 =32，则 A（32，16） ，将 A（32，16） ，C（0，12）代入 y=ax2+k，得,解得 .y= x2+12，把 x=40 代入，得ka201361256ay= 402+12= ， = .救援船的前往速度每小时至少是 海里.564730898219