1、1.3 二次函数的性质对于二次函数 y=ax2+bx+c，a0 时，当 x- 时，y 随 x 的增大而减小，当 x-ab2时，y 随 x 的增大而增大，当 x=- 时，y 有最小值 ；a0 时，当 x-ab2 c42ab2时，y 随 x 的增大而增大，当 x- 时，y 随 x 的增大而减小，当 x=- 时，y 有最大ab2值 .abc421.抛物线 y=2x2，y=-2x 2，y= x2共有的性质是(B).1A.开口向下 B.对称轴都是 y 轴C.都有最低点 D.y 随 x 的增大而减小2.二次函数 y=2x2-x-1 的顶点坐标是(C).A.(0，-1) B.(2，-1) C.（ ，- ）
2、D.（- ， ）418941893.由二次函数 y=6(x-2)2+1，可知(C).A.图象的开口向下 B.图象的对称轴为直线 x=-2C.函数的最小值为 1 D.当 x2 时，y 随 x 的增大而增大4.已知函数 y=ax2-2ax-1(a 是常数，a0)，下列结论中，正确的是(D).A.当 a=1 时，函数图象过点(-1，1)B.当 a=-2 时，函数图象与 x 轴没有交点C.若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而减小D.若 a0，则当 x1 时，y 随 x 的增大而增大5.如果抛物线 y= x2+(m-3)x-m+2 的对称轴是 y 轴，那么 m 的值是 3 6.已知 A(0，3
3、)，B(2，3)是抛物线 y=-x2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 (1,4) .7.已知点 A(2，m)与 B(n，4)关于抛物线 y=x2+6x 的对称轴对称，那么 m+n 的值为 -4 (第 8 题)8.如图所示，已知抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x=1，点 A，B 均在抛物线上，且 AB与 x 轴平行，若点 A 的坐标为(0, )，则点 B 的坐标为 （2， ） 3239.已知抛物线 y=x2-x-1(1)求该抛物线的顶点坐标、对称轴(2)抛物线 y=x2-x-1 与 x 轴的交点为(m，0)，求代数式 m2+ 的值1【答案】(1)y=x 2-x-1=x2-x+
4、 -1- =(x- )2- .4145抛物线顶点坐标是( ，- )，对称轴是直线 x=12.5(2)把（m,0）代入得 m2m1=0,m =1.m 2+ =(m )2+2=3.1（第 10 题）10.如图所示，已知抛物线 y=-x2+mx+3 与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 B 的坐标为(3，0)，抛物线与直线 y=- x+3 交于 C，D 两点，连结 BD，AD.3(1)求 m 的值.(2)抛物线上有一点 P，满足 SABP =4SABD ，求点 P 的坐标.【答案】(1)抛物线 y=-x2+mx+3 过点 B(3，0)，0=-9+3m+3，解得 m=2.(2)由 得
5、 , .D( ，- ).322xy301yx492749S ABP =4SABD ， AB|yP|=4 AB .|y P|=9，y P=9.2当 y=9 时，-x 2+2x+3=9，此方程无实数解；当 y=-9 时，-x 2+2x+3=-9，x 1=1+ ，x 2=1-3，13P(1+ ，-9)或 P(1- ，-9).1311.已知二次函数 y=2x2-9x-34，当自变量 x 取两个不同的值 x1，x 2时，函数值相等，则当自变量 x 取 x1+x2时的函数值应当与(B)时的函数值相等.A.x=1 B.x=0 C.x= D.x=4149(第 12 题)12.如图所示，抛物线 y1=a(x+2
6、)2-3 与 y2= (x-3)2+1 交于点 A(1，3)，过点 A 作 x 轴1的平行线，分别交两条抛物线于点 B，C.给出下列无论 x 取何值，y 2的值总是正数；a=1；当 x=0 时，y 2-y1=4；2AB=3AC.其中正确的结论是(D).A. B. C. D.13.已知二次函数 y=ax2-(a+1)x-2，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，当 x1 时，y 随 x的增大而减小，则实数 a 的值为 1 （第 14 题）14.如图所示，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的顶点 A 在 x 轴正半轴上，顶点 C 的坐标为(4，3)，D 是抛物线 y=-x2+6x 上一点，且在
7、 x 轴上方，则BCD 面积的最大值为 15 .（第 15 题）15.如图所示，在平面直角坐标系中，已知直线 y=- x+4 与 y 轴交于点 A，与 x 轴交于点21B，点 C 的坐标为(-2，0).(1)求经过 A，B，C 三点的抛物线的函数表达式.(2)如果 M 为抛物线的顶点，连结 AM，BM，求四边形 AOBM 的面积.【答案】(1)当 x=0 时，y=- x+4=4，则 A(0，4)，当 y=0 时，- x+4=0，解得 x=8，则2121B(8，0).设抛物线的函数表达式为 y=a(x+2)(x-8)，把 A(0，4)代入，得 a2(-8)=4，解得 a=- .41抛物线的函数表
8、达式为 y=- (x+2)(x-8)，即 y=- x2+ x+4.3（第 15 题答图）(2)y=- x2+ x+4=- (x-3)2+ ，M(3， ).413415425如答图所示,作 MDx 轴于点 D.S 四边形 AOBM=S 梯形 AODM+SBDM = (4+ )3+ (8-3) =31.116.如图所示，二次函数 y= x2+bx+c 的图象交 x 轴于 A，D 两点，并经过点 B，若点 A 的1坐标是(2，0)，点 B 的坐标是(8，6)(第 16 题)(1)求该二次函数的表达式(2)求函数图象的顶点坐标及点 D 的坐标(3)该二次函数的对称轴交 x 轴于点 C.连结 BC，并延
9、长 BC 交抛物线于点 E，连结 BD，DE，求BDE 的面积【答案】(1)y= x2+bx+c 的图象过点 A（2，0） ，B（8，6） ， ，解1 68212cb得 .二次函数表达式为 y= x2-4x+6.64cb1(2)y= x2-4x+6= （x-4） 2-2，函数图象的顶点坐标为（4，-2）.点 A，D 是1y= x2+bx+c 与 x 轴的两个交点，点 A 的坐标为（2，0） ，对称轴为直线 x=4，点 D 的坐标为（6，0）.(3)由题意得点 C 的坐标为（4，0）.设 BC 所在直线的函数表达式为 y=kx+b.,解得.BC 所在直线的函数表达式为 y= x-6.点 E 是
10、y= x-6 与 y= x2-684bk 232314x+6 的交点， x-6= x2-4x+6，解得 x1=3，x 2=8（舍去）.当 x=3 时，y=- ，点 E31的坐标为(3，- ).S BDE =S=SCDB +SCDE = 26+ 2 = .31517.【株洲】已知二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象经过点 A(-1，2)，B(2，5)，顶点坐标为(m，n)，则下列说法中，错误的是(B).A.c3 B.m C.n2 D.b11（第 18 题）18.【泰州】二次函数 y=x2-2x-3 的图象如图所示，若线段 AB 在 x 轴上，且 AB 为 2 个单3位，以 AB 为边作等
11、边ABC，使点 C 落在该函数 y 轴右侧的图象上，则点 C 的坐标为 (2,-3)或(1+ ,3) .719.【江西】已知抛物线 C1：y=ax 2-4ax-5(a0).(1)当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴.(2)试说明无论 a 为何值，抛物线 C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标.将抛物线 C1沿这两个定点所在的直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2的函数表达式.(3)若(2)中抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值.（第 19 题）【答案】(1)当 a=1 时，抛物线的函数表达式为 y=x2-4x-5=(x-2)2-9，对称轴为直线x=2
12、.当 y=0 时，x 2-4x-5=0，解得 x=-1 或 x=5.抛物线与 x 轴的交点坐标为(-1，0)或(5，0).(2)抛物线 C1 的表达式为 y=ax2-4ax-5，整理得 y=ax(x-4)-5.当 ax(x-4)=0 时，y=-5，抛物线 C1一定经过两个定点(0，-5)，(4，-5).这两个点的连线为直线 y=-5，将抛物线 C1沿直线 y=-5 翻折，得到抛物线 C2，开口方向变了，但是对称轴没变，抛物线 C2 的表达式为 y=-ax2+4ax-5.(3)抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，则 x=2 时，y=2 或-2；当 y=2 时，2=-4a+8a-5，解得 a
13、= ；当 y=-2 时，-2=-4a+8a-5，解得 a= ，a= 或 .474374320.如图所示，抛物线 y=ax2+bx+c 的顶点为点 M(-2，-4)，它与 x 轴交于 A，B 两点，且点A 的坐标为(-6，0)，与 y 轴交于点 C(1)求该抛物线的二次函数表达式(2)求ABC 的面积(3)抛物线第三象限的图象上是否存在一点 P，使APC 的面积最大？若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由(第 20 题)【答案】(1)设此抛物线的函数表达式为 y=a（x+2） 2-4.函数图象经过点 A（-6，0） ，0=a（-6+2） 2-4，解得 a= .此抛物线的函数表达式为 y
14、= （x+2） 2-4，即4141y= x2+x-3.41(2)点 C 是函数 y= x2+x-3 的图象与 y 轴的交点，点 C 的坐标是（0，-3）.当 y=0 时，x2+x-3=0，解得 x1=-6，x 2=2.点 B 的坐标是（2，0）.S ABC= |AB|OC|= 83=12.1(3)假设存在这样的点，如答图所示，过点 P 作 PEx 轴于点 E，交 AC 于点 F.（第 20 题答图）设 E（x，0） ，则 P(x， x2+x-3).设直线 AC 的函数表达式为 y=kx+b.直线 AC 过点 A（-416，0） ，C（0，-3） ， ,解得 .直线 AC 的函数表达式为 y=- x-3.306bk321bk 21点 F 的坐标为(x，- x-3).|PF|=- x-3-( x2+x-3)=- x2- x.S APC =SAPF +SCPF2143= |PF|AE|+ |PF|OE|= |PF|OA|= -( x2- x)6=- x2- x=- （x+3） 2+21149.当 x=-3 时，S APC 有最大值 ，此时点 P 的坐标是(-3，- ).427427415