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2021年山东省泰安市中考数学真题试卷(含答案详解)

1、2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 一、 选择题 (本大题共一、 选择题 (本大题共 12 小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确的选项选出来,小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确的选项选出来, 每小题选对得每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分) 1下列各数:4,2.8,0,|4|,其中比3 小的数是( ) A4 B|4| C0 D2.8 2下列运算正确的是( ) A2x2+3x35x5 B (2x)36x3 C (x+y)2x2+y2 D

2、(3x+2) (23x)49x2 3如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的 个数,则这个几何体的左视图是( ) A B C D 4如图,直线 mn,三角尺的直角顶点在直线 m 上,且三角尺的直角被直线 m 平分,若160,则 下列结论错误的是( ) A275 B345 C4105 D5130 5为了落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位 数分别为( ) A7h,7h B8h,7.5h C7h,7.5h

3、 D8h,8h 6如图,在ABC 中,AB6,以点 A 为圆心,3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D,与 AC,AB 分别交于 点 E 和点 G,点 F 是优弧 GE 上一点,CDE18,则GFE 的度数是( ) A50 B48 C45 D36 7已知关于 x 的一元二次方程 kx2(2k1)x+k20 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 ( ) Ak Bk Ck且 k0 Dk且 k0 8 将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过 ( ) A (2,2) B (1,1) C (0,6) D (1,3) 9如图,四边形 AB

4、CD 是O 的内接四边形,B90,BCD120,AB2,CD1,则 AD 的长 为( ) A22 B3 C4 D2 10如图,在平行四边形 ABCD 中,E 是 BD 的中点,则下列四个结论: AMCN; 若 MDAM,A90,则 BMCM; 若 MD2AM,则 SMNCSBNE; 若 ABMN,则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 11如图,为了测量某建筑物 BC 的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端 B 在同一水平线上的 A 点出发,沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处,再从 D 处沿水平方向继续前行若干米后至点 E

5、 处,在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60, 建筑物底端 B 的俯角为 45, 点 A、 B、 C、 D、 E 在同一平面内, 斜坡 AD 的坡度 i1:2.4根据小颖的测量数据,计算出建筑物 BC 的高度约为(参考数据:1.732) ( ) A136.6 米 B86.7 米 C186.7 米 D86.6 米 12如图,在矩形 ABCD 中,AB5,BC5,点 P 在线段 BC 上运动(含 B、C 两点) ,连接 AP,以点 A 为中心,将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ,连接 DQ,则线段 DQ 的最小值为( ) A B C D3 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6

6、小题,满分小题,满分 18 分。只要求填写最后结果,每小题填对得分。只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分)分) 13 (3 分)2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着 陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3.2 亿千米用科学记数法可以表示为 千米 14 (3 分) 九章算术中记载: “今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五 十问甲、乙持钱各几何?”其大意是: “今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给 甲,则甲的钱数为 50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为 50问

7、甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数 为 x,乙的钱数为 y,根据题意,可列方程组为 15 (3 分)如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象,图象过点(3,0) ,对称轴为直线 x1,有下列四个结 论:abc0;ab+c0;y 的最大值为 3;方程 ax2+bx+c+10 有实数根其中正确的为 (将所有正确结论的序号都填入) 16(3分) 若ABC为直角三角形, ACBC4, 以BC为直径画半圆如图所示, 则阴影部分的面积为 17 (3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠(ADAB) ,使 AB 落在 AD 上,AE 为折痕,然后将矩形纸片展 开铺在一个平面上,E 点不动,将 BE 边折起,

8、使点 B 落在 AE 上的点 G 处,连接 DE,若 DEEF,CE 2,则 AD 的长为 18 (3 分)如图,点 B1在直线 l:yx 上,点 B1的横坐标为 2,过点 B1作 B1A1l,交 x 轴于点 A1,以 A1B1为边,向右作正方形 A1B1B2C1,延长 B2C1交 x 轴于点 A2;以 A2B2为边,向右作正方形 A2B2B3C2, 延长 B3C2交 x 轴于点 A3;以 A3B3为边,向右作正方形 A3B3B4C3,延长 B4C3交 x 轴于点 A4;照这 个规律进行下去,则第 n 个正方形 AnBnBn+1n的边长为 (结果用含正整数 n 的 代数式表示) 三、解答题(本

9、大题共三、解答题(本大题共 7 小题,满分小题,满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤) 19 (10 分) (1)先化简,再求值:,其中 a+3; (2)解不等式:1 20 (10 分)为庆祝中国共产党成立 100 周年,落实教育部关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟 党走”主题教育活动的通知要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制 成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)本次共调查了 名学生;C 组所在扇形的圆心角为 度; (2)该校共有学生 1600 人,若 90

10、 分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少? (3)若 E 组 14 名学生中有 4 人满分,设这 4 名学生为 E1,E2,E3,E4,从其中抽取 2 名学生代表学 校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰好抽到 E1,E2 的概率 竞赛成绩统计表(成绩满分 100 分) 组别 分数 人数 A 组 75x 80 4 B 组 80 x 85 C 组 85x 90 10 D 组 90 x 95 E 组 95x 100 14 合计 21 (10 分)如图,点 P 为函数 yx+1 与函数 y (x0)图象的交点,点 P 的纵坐标为 4,PBx 轴, 垂足为点 B (1)求 m 的值; (2)

11、点 M 是函数 y(x0)图象上一动点,过点 M 作 MDBP 于点 D,若 tanPMD,求点 M 的坐标 22 (10 分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划 每天生产疫苗 16 万剂,但受某些因素影响,有 10 名工人不能按时到厂为了应对疫情,回厂的工人加 班生产,由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗 15 万剂 (1)求该厂当前参加生产的工人有多少人? (2)生产 4 天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为 10 小时若上级分配给该厂共 760 万剂的生产任务,问该厂共需

12、要多少天才能完成任务? 23 (11 分)四边形 ABCD 为矩形,E 是 AB 延长线上的一点 (1)若 ACEC,如图 1,求证:四边形 BECD 为平行四边形; (2)若 ABAD,点 F 是 AB 上的点,AFBE,EGAC 于点 G,如图 2,求证:DGF 是等腰直角三 角形 24 (13 分)二次函数 yax2+bx+4(a0)的图象经过点 A(4,0) ,B(1,0) ,与 y 轴交于点 C,点 P 为第二象限内抛物线上一点,连接 BP、AC,交于点 Q,过点 P 作 PDx 轴于点 D (1)求二次函数的表达式; (2)连接 BC,当DPB2BCO 时,求直线 BP 的表达式;

13、 (3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点 P 的坐标,如没有请说明理由 25 (14 分)如图 1,O 为半圆的圆心,C、D 为半圆上的两点,且连接 AC 并延长,与 BD 的延 长线相交于点 E (1)求证:CDED; (2)AD 与 OC,BC 分别交于点 F,H 若 CFCH,如图 2,求证:CFAFFOAH; 若圆的半径为 2,BD1,如图 3,求 AC 的值 2021 年山东省泰安市中考数学试卷年山东省泰安市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、 选择题 (本大题共一、 选择题 (本大题共 12 小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请

14、把正确的选项选出来,小题, 在每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的, 请把正确的选项选出来, 每小题选对得每小题选对得 4 分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分)分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分) 1下列各数:4,2.8,0,|4|,其中比3 小的数是( ) A4 B|4| C0 D2.8 【分析】 有理数大小比较的法则: 正数都大于 0; 负数都小于 0; 正数大于一切负数; 两个负数, 绝对值大的其值反而小,据此判断即可 【解答】解:|4|4, 432.80|4|, 其中比3 小的数是4 故选:A 2下列运算正确的是( ) A2x2+3x35x5 B (2x)36

15、x3 C (x+y)2x2+y2 D (3x+2) (23x)49x2 【分析】根据合并同类项,积的乘方,完全平方公式,平方差公式计算即可 【解答】解:A 选项,2x2与 3x3不是同类项,不能合并,故该选项计算错误,不符合题意; B 选项,原式8x3,故该选项计算错误,不符合题意; C 选项,原式x2+2xy+y2,故该选项计算错误,不符合题意; D 选项,原式22(3x)249x2,故该选项计算正确,符合题意; 故选:D 3如图是由若干个同样大小的小正方体所搭几何体的俯视图,小正方形中的数字表示在该位置小正方体的 个数,则这个几何体的左视图是( ) A B C D 【分析】根据从左边看得到

16、的图形是左视图,可得答案 【解答】解:从左边看从左到右第一列是两个小正方形,第二列有 4 个个小正方形,第三列有 3 个小正 方形, 故选:B 4如图,直线 mn,三角尺的直角顶点在直线 m 上,且三角尺的直角被直线 m 平分,若160,则 下列结论错误的是( ) A275 B345 C4105 D5130 【分析】利用平行线的性质、直角的定义、三角形外角的性质即可解决问题 【解答】解:如图, 三角尺的直角被直线 m 平分, 6745, 41+645+60105, mn, 3745,2180475, 5180318045135, 故选项 A、B、C 正确, 故选:D 5为了落实“作业、睡眠、手

17、机、读物、体质”等五项管理要求,了解学生的睡眠状况,调查了一个班 50 名学生每天的睡眠时间,绘成睡眠时间频数分布直方图如图所示,则所调查学生睡眠时间的众数,中位 数分别为( ) A7h,7h B8h,7.5h C7h,7.5h D8h,8h 【分析】直接利用众数以及中位数的概念分别分析求出即可 【解答】解:7h 出现了 19 次,出现的次数最多, 所调查学生睡眠时间的众数是 7h; 共有 50 名学生,中位数是第 25、26 个数的平均数, 所调查学生睡眠时间的中位数是7.5(h) 故选:C 6如图,在ABC 中,AB6,以点 A 为圆心,3 为半径的圆与边 BC 相切于点 D,与 AC,A

18、B 分别交于 点 E 和点 G,点 F 是优弧 GE 上一点,CDE18,则GFE 的度数是( ) A50 B48 C45 D36 【分析】连接 AD,根据切线的性质得到 ADBC,根据垂直的定义得到ADBADC90,根据直角三 角形的性质得到B30,根据三角形的内角和定理得到GAD60,根据等腰三角形的性质得到 AEDADE72,根据圆周角定理即可得到结论。 【解答】解:连接 AD, BC 与A 相切于点 D, ADBC, ADBADC90, AB6,AGAD3, ADAB, B30, GAD60, CDE18, ADE901872, ADAE, AEDADE72, DAE180ADEAED

19、180727236, BACBAD+CAD60+3696, GFEGAE9648, 故选:B 7已知关于 x 的一元二次方程 kx2(2k1)x+k20 有两个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是 ( ) Ak Bk Ck且 k0 Dk且 k0 【分析】利用一元二次方程的定义和判别式的意义得到 k0 且(2k1)24k (k2)0,然后 其出两个不等式的公共部分即可 【解答】解:根据题意得 k0 且(2k1)24k (k2)0, 解得 k且 k0 故选:C 8 将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位, 再向下平移 2 个单位得到的抛物线必定经过 ( ) A (2,2) B (

20、1,1) C (0,6) D (1,3) 【分析】直接将原函数写成顶点式,再利用二次函数平移规律:左加右减,上加下减,进而得出平移后 解析式,再把各选项的点代入判断即可 【解答】解:yx22x+3 (x2+2x)+3 (x+1)21+3 (x+1)2+4, 将抛物线 yx22x+3 的图象向右平移 1 个单位,再向下平移 2 个单位, 得到的抛物线解析式为:yx2+2, 当 x2 时,y(2)2+24+22,故(2,2)不在此抛物线上,故 A 选项不合题意; 当 x1 时,y(1)2+21+21,故(1,1)在此抛物线上,故 B 选项符合题意; 当 x0 时,y02+20+22,故(0,6)不

21、在此抛物线上,故 A 选项不合题意; 当 x1 时,y12+21+21,故(1,3)不在此抛物线上,故 A 选项不合题意; 故选:B 9如图,四边形 ABCD 是O 的内接四边形,B90,BCD120,AB2,CD1,则 AD 的长 为( ) A22 B3 C4 D2 【分析】延长 AD、BC 交于 E,先利用直角三角形的性质求得 AE 的长,然后再求得 DE 的长,从而求得 答案 【解答】解:延长 AD、BC 交于 E, BCD120, A60, B90, ADC90,E30, 在 RtABE 中,AE2AB4, 在 RtCDE 中,DE, ADAEDE4, 故选:C 10如图,在平行四边形

22、 ABCD 中,E 是 BD 的中点,则下列四个结论: AMCN; 若 MDAM,A90,则 BMCM; 若 MD2AM,则 SMNCSBNE; 若 ABMN,则MFN 与DFC 全等 其中正确结论的个数为( ) A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【分析】根据平行四边形的性质,证明MDBNBD,从而判断正确;若 MDAM,A90, 则平行四边形 ABCD 为矩形, 通过证明BAMCDM 可以判断; 过点 M 作 MGBC, 交 BC 于 G, 过点 E 作 EHBC,交 BC 于 H,通过三角形面积公式可以判断;若 ABMN 则四边形 MNCD 是等腰 梯形,通过证明MNCDCN 和MF

23、NDFC 即可判断 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, ADBC,ADBC, ADBCBD, E 是 BD 的中点, BEDE, 在MDB 和NBD 中, , MDBNBD(ASA) , DMBN, AMCN, 故正确; 若 MDAM,A90, 则平行四边形 ABCD 为矩形, DA90, 在BAM 和CDM 中, , BAMCDM(SAS) , BMCM, 故正确; 过点 M 作 MGBC,交 BC 于 G,过点 E 作 EHBC,交 BC 于 H, 由可知四边形 MBCD 是平行四边形,E 为 BD 中点, MG2EH, 又MD2AM,BNMD,AMNC, SANCNCMGBN2

24、EHBNEHSBNE, 故正确; ABMN,ABDC, MNDC, 四边形 MNCD 是等腰梯形, MNCDCN, 在MNC 和DCN 中, , MNCDCN(SAS) , NMCCDN, 在MFN 和DFC 中, , MFNDFC(AAS) , 故正确 正确的个数是 4 个, 故选:D 11如图,为了测量某建筑物 BC 的高度,小颖采用了如下的方法:先从与建筑物底端 B 在同一水平线上的 A 点出发,沿斜坡 AD 行走 130 米至坡顶 D 处,再从 D 处沿水平方向继续前行若干米后至点 E 处,在 E 点测得该建筑物顶端 C 的仰角为 60, 建筑物底端 B 的俯角为 45, 点 A、 B

25、、 C、 D、 E 在同一平面内, 斜坡 AD 的坡度 i1:2.4根据小颖的测量数据,计算出建筑物 BC 的高度约为(参考数据:1.732) ( ) A136.6 米 B86.7 米 C186.7 米 D86.6 米 【分析】作 DHAB 于 H,延长 DE 交 BC 于 F则四边形 DHBF 是矩形,在 RtADH 中求出 DH,再 在 RtEFB 中求出 EF,在 RtEFC 中求出 CF 即可解决问题 【解答】解:如图作 DHAB 于 H,延长 DE 交 BC 于 F 在 RtADH 中,AD130 米,DH:AH1:2.4, DH50(米) , 四边形 DHBF 是矩形, BFDH5

26、0(米) , 在 RtEFB 中,BEF45, EFBF50 米, 在 RtEFC 中,FCEFtan60, CF5086.6(米) , BCBF+CF136.6(米) 故选:A 12如图,在矩形 ABCD 中,AB5,BC5,点 P 在线段 BC 上运动(含 B、C 两点) ,连接 AP,以点 A 为中心,将线段 AP 逆时针旋转 60到 AQ,连接 DQ,则线段 DQ 的最小值为( ) A B C D3 【分析】如图,以 AB 为边向右作等边ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DHQE 于 H利用全 等三角形的性质证明AFQ90,推出AEF60,推出点 Q 的运动轨迹是

27、射线 FE,求出 DH,可得结论 【解答】解:如图,以 AB 为边向右作等边ABF,作射线 FQ 交 AD 于点 E,过点 D 作 DHQE 于 H 四边形 ABCD 是矩形, ABPBAE90, ABF,APQ 都是等边三角形, BAFPAQ60,BAFA,PAQA, BAPFAQ, 在BAP 和FAQ 中, , BAPFAQ(SAS), ABPAFQ90, FAE906030, AEF903060, ABAF5,AEAFcos30, 点 Q 的运动轨迹是射线 FE, ADBC5, DEADAE, DHEF,DEHAEF60, DHDEsin60, 根据垂线段最短可知,当点 Q 与 H 重合

28、时,DQ 的值最小,最小值为, 故选:A 二、填空题(本大题共二、填空题(本大题共 6 小题,满分小题,满分 18 分。只要求填写最后结果,每小题填对得分。只要求填写最后结果,每小题填对得 4 分)分) 13 (3 分)2021 年 5 月 15 日 7 时 18 分,天问一号着陆巡视器成功着陆于火星,我国首次火星探测任务着 陆火星取得圆满成功探测器距离地球约 3.2 亿千米数据 3.2 亿千米用科学记数法可以表示为 3.2 108 千米 【分析】把一个大于 10 的数写成科学记数法形式:a10n,其中 1a10,n 为正整数,n 的值比这个 数的位数少 1 【解答】解:3.2 亿320000

29、0003.2108, 故答案为:3.2108 14 (3 分) 九章算术中记载: “今有甲乙二人持钱不知其数,甲得乙半而钱五十,乙得甲太半而钱亦五 十问甲、乙持钱各几何?”其大意是: “今有甲乙二人,不知其钱包里有多少钱,若乙把其一半的钱给 甲,则甲的钱数为 50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为 50问甲、乙各有多少钱?”设甲的钱数 为 x,乙的钱数为 y,根据题意,可列方程组为 【分析】根据乙把其一半的钱给甲,则甲的钱数为 50;而甲把其的钱给乙,则乙的钱数也为 50 和题 目中所设的未知数,可以列出相应的方程组,从而可以解答本题 【解答】解:由题意可得, , 故答案为: 15 (3 分)

30、如图是抛物线 yax2+bx+c 的部分图象,图象过点(3,0) ,对称轴为直线 x1,有下列四个结 论:abc0;ab+c0;y 的最大值为 3;方程 ax2+bx+c+10 有实数根其中正确的为 (将所有正确结论的序号都填入) 【分析】由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系,由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系,然后根据 对称轴判定 b 与 0 的关系;当 x1 时,yab+c;然后由图象确定当 y1 时,x 的值有 2 个 【解答】解:抛物线开口向下, a0, 对称轴 x1, b2a0, 抛物线与 y 轴的交点在 y 轴正半轴, c0, abc0,故错误; 抛物线与 x

31、轴的交点(3,0) ,对称轴为直线 x1, 抛物线 x 轴的另一个交点在(1,0) , 当 x1 时,yab+c0,即正确; 由图象无法判断 y 的最大值,故错误; 方程 ax2+bx+c+10,可看作二次函数 yax2+bx+c 与 y1 的交点个数, 由图象可知,必然有 2 个交点,即方程 ax2+bx+c+10 有 2 个不想等的实数根 故正确 故答案为: 16(3分) 若ABC为直角三角形, ACBC4, 以BC为直径画半圆如图所示, 则阴影部分的面积为 4 【分析】连接 CD构建直径所对的圆周角BDC90,然后利用等腰直角ABC 的性质:斜边上的 中线是斜边的一半、中线与垂线重合,求

32、得 CDBDAD,从而求得弦 BD 与 CD 所对的弓形的面积相 等,所以图中阴影部分的面积直角三角形 ABC 的面积直角三角形 BCD 的面积 【解答】解:连接 CD BC 是直径, BDC90,即 CDAB; 又ABC 为等腰直角三角形, CD 是斜边 AB 的垂直平分线, CDBDAD, , S弓形BDS弓形CD, S阴影SRtABCSRtBCD; ABC 为等腰直角三角形,CD 是斜边 AB 的垂直平分线, SRtABC2SRtBCD; 又 SRtABC448, S阴影4; 故答案为:4 17 (3 分)如图,将矩形纸片 ABCD 折叠(ADAB) ,使 AB 落在 AD 上,AE 为

33、折痕,然后将矩形纸片展 开铺在一个平面上,E 点不动,将 BE 边折起,使点 B 落在 AE 上的点 G 处,连接 DE,若 DEEF,CE 2,则 AD 的长为 4+2 【分析】 证明 RtEBFRtEBD (HL) ,推出 BFDB,再证明 DBECBF2,想办法求出 AB, 可得结论。 【解答】解:由翻折的性质可知,EBEB,BABEEBD90, 在 RtEBF 和 RtEBD 中, , RtEBFRtEBD(HL), BFDB, 四边形 ABCD 是矩形, CCDBEBD90, 四边形 ECDB是矩形, DBEC2, BFEC2, 由翻折的性质可知,BFFG2,FAG45,AGFBAG

34、F90, AGFG2, AF2 ABAB2+2, ADAB+DB4+2, 故答案为:4+2。 18 (3 分)如图,点 B1在直线 l:yx 上,点 B1的横坐标为 2,过点 B1作 B1A1l,交 x 轴于点 A1,以 A1B1为边,向右作正方形 A1B1B2C1,延长 B2C1交 x 轴于点 A2;以 A2B2为边,向右作正方形 A2B2B3C2, 延长 B3C2交 x 轴于点 A3;以 A3B3为边,向右作正方形 A3B3B4C3,延长 B4C3交 x 轴于点 A4;照这 个规律进行下去,则第 n 个正方形 AnBnBn+1n的边长为 (结果用含正整数 n 的代数 式表示) 【分析】 设

35、直线 yx 与 x 轴夹角为 , 过 B1作 B1Hx 轴于 H, 由点 B1的横坐标为 2, 点 B1在直线 l: yx 上, 可得 OH2, B1H1, OB1, tan,RtA1B1O 中, 求得 A1B1 OB1tan,即第 1 个正方形边长是,在 RtA2B2O 中,求得第 2 个正方形边长是, 在 RtA3B3O 中,求得第 3 个正方形边长是()2,在 RtA4B4O 中,求得第 4 个正 方形边长是()3,.观察规律即可得:第 n 个正方形边长是()n 1 【解答】解:设直线 yx 与 x 轴夹角为 ,过 B1作 B1Hx 轴于 H,如图: 点 B1的横坐标为 2,点 B1在直

36、线 l:yx 上,令 x2 得 y1, OH2,B1H1,OB1, tan, RtA1B1O 中,A1B1OB1tan,即第 1 个正方形边长是, OB2OB1+B1B2+3, RtA2B2O 中,A2B2OB2tan3,即第 2 个正方形边长是, OB3OB2+B2B33+, RtA3B3O 中, A3B3OB3tan, 即第 3 个正方形边长是 () 2, OB4OB3+B3B4+, RtA4B4O 中, A4B4OB4tan, 即第 4 个正方形边长是 ()3, . 观察规律可知:第 n 个正方形边长是()n 1, 故答案为:()n 1 三、解答题(本大题共三、解答题(本大题共 7 小题

37、,满分小题,满分 78 分分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤)解答应写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤) 19 (10 分) (1)先化简,再求值:,其中 a+3; (2)解不等式:1 【分析】 (1)分式的混合运算,注意先算乘除,然后算加减,有小括号先算小括号里面的,然后代入求 值; (2)解一元一次不等式,按照去分母,去括号,移项,合并同类项,系数化 1 的步骤进行计算求解 【解答】解: (1)原式 , 当 a+3 时,原式; (2)去分母,得:8(7x1)2(3x2) , 去括号,得:87x+16x4, 移项,得:7x6x418, 合并同类项,得:13x13, 系数化

38、1,得:x1 20 (10 分)为庆祝中国共产党成立 100 周年,落实教育部关于在中小学组织开展“从小学党史,永远跟 党走”主题教育活动的通知要求,某学校举行党史知识竞赛,随机调查了部分学生的竞赛成绩,绘制 成两幅不完整的统计图表根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)本次共调查了 50 名学生;C 组所在扇形的圆心角为 72 度; (2)该校共有学生 1600 人,若 90 分以上为优秀,估计该校优秀学生人数为多少? (3)若 E 组 14 名学生中有 4 人满分,设这 4 名学生为 E1,E2,E3,E4,从其中抽取 2 名学生代表学 校参加上一级比赛,请用列表或画树状图的方法求恰

39、好抽到 E1,E2 的概率 竞赛成绩统计表(成绩满分 100 分) 组别 分数 人数 A 组 75x 80 4 B 组 80 x 85 C 组 85x 90 10 D 组 90 x 95 E 组 95x 100 14 合计 【分析】 (1)用 A 组人数除以它所占的百分比得到本次共调查的总人数;用 360乘以 C 组人数所占的 百分比得到 C 组的圆心角的度数; (2)先计算出 D 组的人数,然后用 1600 乘以样本中 D 组和 E 组人数所占的百分比即可; (3)画树状图展示所有 12 种等可能的结果,找出恰好抽到 E1,E2 的结果数,然后根据概率公式求解。 【解答】解: (1)本次共调

40、查的学生1428%50(人) ; C 组的圆心角为 36072, 故答案为 50;72; (2)B 组的人数为 5012%16(人) , 则 D 组的人数为 504611416(人) , 则优秀的人数为 1600960(人) ; (3)画树状图为: 共有 12 种等可能的结果,其中恰好抽到 E1,E2 的结果数为 2, 所以恰好抽到 E1,E2 的概率 21 (10 分)如图,点 P 为函数 yx+1 与函数 y (x0)图象的交点,点 P 的纵坐标为 4,PBx 轴, 垂足为点 B (1)求 m 的值; (2)点 M 是函数 y(x0)图象上一动点,过点 M 作 MDBP 于点 D,若 ta

41、nPMD,求点 M 的坐标 【分析】 (1)根据点 P 为函数 yx+1 图象的点,点 P 的纵坐标为 4,可以求得点 P 的坐标,进而求得 m 的值; (2)设点 M 的坐标(x,y) ,分两种情况:点 M 在点 P 右侧,点 M 在点 P 左侧,根据 tanPMD得 ,根据点 P 的坐标求出 x、y 的值,即可得出答案 【解答】解:点 P 为函数 yx+1 图象的点,点 P 的纵坐标为 4, 4x+1,解得:x6, 点 P(6,4) , 点 P 为函数 yx+1 与函数 y(x0)图象的交点, 4, m24; (2)设点 M 的坐标(x,y) , tanPMD, , 点 M 在点 P 右侧

42、,如图, 点 P(6,4) , PD4y,DMx6, , xym24, y, 2(4)x6,解得:x6 或 8, 点 M 在点 P 右侧, x8, y3, 点 M 的坐标为(8,3) ; 点 M 在点 P 左侧, 点 P(6,4) , PDy4,DM6x, , xym24, y, 2(4)x6,解得:x6 或 8, 点 M 在点 P 左侧, 此种情况不存在; 点 M 的坐标为(8,3) 22 (10 分)接种疫苗是阻断新冠病毒传播的有效途径,针对疫苗急需问题,某制药厂紧急批量生产,计划 每天生产疫苗 16 万剂,但受某些因素影响,有 10 名工人不能按时到厂为了应对疫情,回厂的工人加 班生产,

43、由原来每天工作 8 小时增加到 10 小时,每人每小时完成的工作量不变,这样每天只能生产疫苗 15 万剂 (1)求该厂当前参加生产的工人有多少人? (2)生产 4 天后,未到的工人同时到岗加入生产,每天生产时间仍为 10 小时若上级分配给该厂共 760 万剂的生产任务,问该厂共需要多少天才能完成任务? 【分析】 (1)设当前参加生产的工人有 x 人,根据每人每小时完成的工作量不变,即可得出关于 x 的分 式方程,解之经检验后即可得出结论; (2) 利用每人每小时完成的工作量工作总量工作时间参与工作的人数,即可求出每人每小时完成 的工作量,设还需要生产 y 天才能完成任务,根据工作总量工作效率工

44、作时间工作人数,即可得 出关于 y 的方程求解 【解答】解: (1)设当前参加生产的工人有 x 人,由题意可得: , 解得:x30, 经检验:x30 是原分式方程的解,且符合题意, 当前参加生产的工人有 30 人; (2)每人每小时完成的数量为:168400.05(万剂) , 设还需要生产 y 天才能完成任务,由题意可得: 415+(30+10)100.05y760, 解得:y35, 35+439(天) , 该厂共需要 39 天才能完成任务 23 (11 分)四边形 ABCD 为矩形,E 是 AB 延长线上的一点 (1)若 ACEC,如图 1,求证:四边形 BECD 为平行四边形; (2)若

45、ABAD,点 F 是 AB 上的点,AFBE,EGAC 于点 G,如图 2,求证:DGF 是等腰直角三 角形 【分析】 (1)先根据四边形 ABCD 为矩形,CBAE,ACEC 得出 ABBE 即可; (2)由 ABAD 得出矩形 ABCD 是正方形,得出EGAE45,然后证明EGFAGD,再得 出DGF90,GFGD,DGAFGE,从而得出结论 【解答】证明: (1)四边形 ABCD 为矩形, ABCD,ABCD,CBAE, 又ACEC, ABBE, BECD,BECD, 四边形 BECD 为平行四边形; (2)ABAD, 矩形 ABCD 是正方形, EGAC, EGAE45, GEGA,

46、又AFBE, ABFE, FEAD, 在EGF 和AGD 中, , EGFAGD(SAS), GFGD,DGAFGE, DGFDGA+AGFEGF+AGFAGE90, DGF 是等腰直角三角形 24 (13 分)二次函数 yax2+bx+4(a0)的图象经过点 A(4,0) ,B(1,0) ,与 y 轴交于点 C,点 P 为第二象限内抛物线上一点,连接 BP、AC,交于点 Q,过点 P 作 PDx 轴于点 D (1)求二次函数的表达式; (2)连接 BC,当DPB2BCO 时,求直线 BP 的表达式; (3)请判断:是否有最大值,如有请求出有最大值时点 P 的坐标,如没有请说明理由 【分析】

47、(1)利用待定系数法即可求出答案; (2)设 BP 与 y 轴交于点 E,设 OEa,则 CE4a,BE4a,运用勾股定理可求得 a,得出 E(0,),再利用待定系数法即可求出答案; (3)设 PD 与 AC 交于点 N,过点 B 作 y 轴的平行线与 AC 相交于点 M,利用待定系数法求出直线 AC 表达式,再利用 BMPN,可得PNQBMQ,进而得出,设 P(a0,a023a0+4)(4 a00),则 N(a0,a0+4),从而得到,利用二次函数的性质即可求得答案 【解答】解: (1)二次函数 yax2+bx+4(a0)的图象经过点 A(4,0) ,B(1,0) , , 解得:, 该二次函数的表达式为 yx23x+4; (2)如图,设 BP 与 y 轴交于点 E, PDy 轴, DPBOEB, DPB2BCO, OEB2BCO, ECBEBC, BECE, 设 OEa,则 CE4a, BE4a, 在 RtBOE 中,由勾股定理得:BE2OE2+OB2, (4a)2a2+12, 解得:a, E(0,), 设 BE 所在直线表达式为 ykx+e(k0), , 解得:, 直线 BP 的表达式为 yx+; (3)有最大值 如图,设 PD 与 AC 交于点 N, 过点 B 作 y 轴的平行线与 AC 相交于点 M, 设直线