1、2021 年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 （3 分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A B C D 2 （3 分）下列选项中，对的说法错误的是（ ） A的相反数是 B的倒数是 C的绝对值是 D是有理数 3 （3 分）某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元这一数据用科学记数法表示为（ ） A213103元 B2.13104元
2、 C2.13105元 D0.213106元 4 （3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A圆锥 B三棱锥 C三棱柱 D圆柱 5 （3 分）一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖） ，那么被 遮盖的两个数据依次是（ ） 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 81 79 80 82 80 A78， B78，2 C80， D80，2 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa 2+a2a0 B （a3）2a5 C （ab）2ab2 Daa2a3 7 （3 分）如图，ABC 内接于O，A50E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交O 于点 D，
3、连 接 BD，则D 的大小为（ ） A55 B65 C60 D75 8 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（1，n） ，其部分图象如图所示以下结论错误的 是（ ） Aabc0 B4acb20 C3a+c0 D关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 无实数根 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：9 10 （3 分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 1000 棵树由于青年志愿者的支援，每 天比原计划多种 25%，结果提前 5 天完成任务，则该村原计划每天种树 棵 11
4、 （3 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、 CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 12 （3 分）如图，正方形 OBCD 的边长为 2，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 OBCD 绕点 O 逆时针旋转 30至正方形 OBCD的位置，BC与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐 标为 13 （3 分）如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、AC 于点 E、D，DF 是圆的切线， 过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G若 AF 的长为 2，则 FG 的
5、长为 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB5，BC8，点 P 是射线 BC 上一动点，连接 AP， 将ABP 沿 AP 折叠，当点 B 的对应点 B落在线段 BC 的垂直平分线上时，则 BP 的长等 于 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，四边形 ABCD 求作：点 P，使点 P 在四边形 ABCD 内部，PAPB，并且点 P 到BCD 两边的距离相等 （尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹） 四、解答题（本大题共四、解答题（本大
6、题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）化简：（1+） ； （2）解不等式组： 17 （6 分）某校有 2000 名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 150 名 学生进行抽样调查整理样本数据，得到图表： 某校 150 名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家车 正正正正正正 30 其它 正 9 合计 150 （1）理解画线语句的含义，回答问题：如果 150 名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？ 请说明理由； （2）根据
7、抽样调查的结果，将估计出的全校 2000 名学生上学方式的情况绘制成条形统计图； （3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议如：骑车上学的学生数约占全校 的 34%，建议学校合理安排自行车停车场地请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议 18 （6 分）某中学举行“中国梦我的梦”演讲比赛九年级（1）班的小明和小刚都想参加现设计了如 下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字 1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从 袋中随机摸出一个球， 另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球 若摸出的两个球上的数字和为奇数， 则小明去；否则小刚去，这个游戏规则是否公平？并
8、说明理由 19 （6 分）图是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕” ，于 1969 年 10 月出土于武威市 的雷台汉墓，1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞 燕”雕塑某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图）最高点离地面的高度作为一次课 题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度 测量 示意 图 如图，雕塑的最高点 B 到地面的高度为 BA， 在测点 C 用仪器测得点 B 的仰角为 ， 前进一段距离到达测点 E，再用该仪 器测得点 B 的仰角为 ，且点 A，
9、B，C， D，E，F 均在同一竖直平面内，点 A， C，E 在同一条直线上 测量 数据 的度数 的度数 CE 的长度 仪器 CD（EF）的高 度 31 42 5 米 1.5 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小 数） （参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin420.67，cos420.74，tan42 0.90） 20 （8 分）如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于 A（1，a） 和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P
10、 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 21 （8 分）如图，在 RtABC 与 RtABD 中，ABCBAD90，ADBC，AC，BD 相交于点 G过 点 A 作 AEDB 交 CB 的延长线于点 E， 过点 B 作 BFCA 交 DA 的延长线于点 F， AE， BF 相交于点 H （1）求证：ABCBAD； （2）若 ABBC，四边形 AHBG 是什么特殊四边形？请说明理由 22 （10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次 函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值如表： 售价 x（元/件） 50
11、60 80 周销售量 y（件） 100 80 40 周销售利润 w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求当售价是多少元/件时，周销售利润最大； （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件， 该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元， 求 m 的值 23 （10 分） 【问题】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n 4）？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简
12、单情形入手，再逐次递 进转化，最后猜想得出结论不妨假设 n 边形的分割方案有 f（n）种 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图，图， 显然，只有 2 种不同的分割方案所以，f（4）2 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成三类： 第 1 类：如图，用点 A，E 与 B 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再把四边形 分割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（4）种不同的分割方 案 第 2 类：如图，用点 A，E 与 C 连
13、接，把五边形分割成 3 个三角形，有 1 种不同的分割方案，可视为 f（4）种分割方案 第 3 类：如图，用点 A，E 与 D 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再把四边形 分割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（4）种不同的分割方 案 所以，f（5）f（4）+f（4）+f（4）f（4）f（4）5（种） 探究三：用六边形的对角线把六边形分割成 4 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成四类： 第 1 类：如图，用 A，F 与 B 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再把五边形分 割成 3
14、 个三角形，由探究二知，有 f（5）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（5）种不同的分割方案 第 2 类：如图，用 A，F 与 C 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形再把四边形分 割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案所以，此类共有 f（4）种分割方案 第 3 类：如图，用 A，F 与 D 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形再把四边形分 割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案所以，此类共有 f（4）种分割方案 第 4 类：如图，用 A，F 与 E 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，
15、再把五边形分 割成 3 个三角形，由探究二知，有 f（5）种不同的分割方案所以，此类共有 f（5）种分割方案 所以，f（6）f（5）+f（4）+f（4）+f（5）f（5）+f（5）+f（5）+f（5）f（5）14（种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，则 f（7）与 f（6）的关系为：f（7）f （6） ，共有 种不同的分割方案 【结论】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n4）？ （直接写出 f（n）与 f（n1）之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成 7 个三角形，共有多少种不同的分割方案？（
16、应用上述结论 中的关系式求解） 24 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB21cm，AD12cm，E 是 CD 边上的一点，DE16cm，M 是 BC 边 的中点，动点 P 从点 A 出发，沿边 AB 以 1cm/s 的速度向终点 B 运动，过点 P 作 PHAE 于点 H，连接 EP，设动点 P 的运动时间是 t（s） （0t21） （1）求 t 为何值时，PMEM？ （2）设EHP 的面积为 y（cm2） ，写出 y（cm2）与（s）之间的函数关系式； （3）当 EP 平分四边形 PMEH 的面积时，求 t 的值； （4）是否存在时刻 t，使得点 B 关于 PE 的对称点 B，落在线
17、段 AE 上，若存在，求出 t 值，若不存在， 说明理由 2021 年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷年山东省青岛市李沧区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的要求的 1 （3 分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、不是中心对称图形，故 A 选项错误； B、不是中心对称图形，故 B 选项错误； C、不是中心对称图形，故 C 选项错误；
18、D、是中心对称图形，故 D 选项正确 故选：D 2 （3 分）下列选项中，对的说法错误的是（ ） A的相反数是 B的倒数是 C的绝对值是 D是有理数 【解答】解：A 选项，的相反数是，故该选项正确，不符合题意； B 选项，的倒数为，故该选项正确，不符合题意； C 选项，的绝对值是，故该选项正确，不符合题意； D 选项，是无理数，故该选项错误，符合题意； 故选：D 3 （3 分）某中学在芦山地震捐款活动中，共捐款二十一万三千元这一数据用科学记数法表示为（ ） A213103元 B2.13104元 C2.13105元 D0.213106元 【解答】解：将二十一万三千元用科学记数法表示为 2.131
19、05 故选：C 4 （3 分）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（ ） A圆锥 B三棱锥 C三棱柱 D圆柱 【解答】解：由于俯视图为圆形可得为球、圆柱、圆锥主视图和左视图为三角形可得此几何体为圆锥 故选：A 5 （3 分）一次数学测试后，某小组五名同学的成绩及数据分析如下表所示（有两个数据被遮盖） ，那么被 遮盖的两个数据依次是（ ） 甲 乙 丙 丁 戊 方差 平均成绩 81 79 80 82 80 A78， B78，2 C80， D80，2 【解答】解：根据题意得： 805（81+79+80+82）78， 则丙的得分是 78； 方差（8180）2+（7980）2+（7880）2+（80
20、80）2+（8280）22 故选：B 6 （3 分）下列运算正确的是（ ） Aa 2+a2a0 B （a3）2a5 C （ab）2ab2 Daa2a3 【解答】解：Aa 2 与 a2不是同类项，不能合并，故此运算不符合题意； B （a3）2a3 2a6，故此运算不符合题意； C （ab）2a2b2，故此运算不符合题意； Daa2a1+2a3，故此运算符合题意； 故选：D 7 （3 分）如图，ABC 内接于O，A50E 是边 BC 的中点，连接 OE 并延长，交O 于点 D，连 接 BD，则D 的大小为（ ） A55 B65 C60 D75 【解答】解：连接 CD， A50， CDB180A13
21、0， E 是边 BC 的中点， ODBC， BDCD， ODBODCBDC65， 故选：B 8 （3 分）二次函数 yax2+bx+c（a0）的顶点坐标为（1，n） ，其部分图象如图所示以下结论错误的 是（ ） Aabc0 B4acb20 C3a+c0 D关于 x 的方程 ax2+bx+cn+1 无实数根 【解答】解：A抛物线开口向下， a0， 对称轴为直线 x1， b2a0， 抛物线与 y 轴交于正半轴， c0， abc0， 故 A 正确； B抛物线与 x 轴有两个交点， b24ac0，即 4acb20， 故 B 正确； C抛物线的对称轴为直线 x1，抛物线与 x 轴的一个交点在（3，0）和
22、（2，0）之间， 抛物线与 x 轴的另一个交点在（0，0）和（1，0）之间， x1 时，y0， 即 a+b+c0， b2a， 3a+c0， 故 C 错误； D抛物线开口向下，顶点为（1，n） ， 函数有最大值 n， 抛物线 yax2+bx+c 与直线 yn+1 无交点， 一元二次方程 ax2+bx+cn+1 无实数根， 故 D 正确 故选：C 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 18 分）分） 9 （3 分）计算：9 【解答】解：原式94 34 ， 故答案为： 10 （3 分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种 1000 棵树
23、由于青年志愿者的支援，每 天比原计划多种 25%，结果提前 5 天完成任务，则该村原计划每天种树 40 棵 【解答】解：设该村原计划每天种树 x 棵，则实际每天种数（1+25%）x 棵， 依题意得：5， 解得：x40， 经检验，x40 是原方程的解，且符合题意 故答案为：40 11 （3 分）如图，D 是ABC 内一点，BDCD，AD6，BD4，CD3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、 CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 11 【解答】解：BDCD，BD4，CD3， BC5， E、F、G、H 分别是 AB、AC、CD、BD 的中点， EHFGAD，EFGHBC， 四边形 EF
24、GH 的周长EH+GH+FG+EFAD+BC， 又AD6， 四边形 EFGH 的周长6+511 故答案为：11 12 （3 分）如图，正方形 OBCD 的边长为 2，点 B 在 y 轴的正半轴上，点 D 在 x 轴的负半轴上，将正方形 OBCD 绕点 O 逆时针旋转 30至正方形 OBCD的位置，BC与 CD 相交于点 M，则点 M 的坐 标为 （2，） 【解答】解：如图，连接 OM， 将边长为 2 的正方形 OBCD 绕点 A 逆时针旋转 30得到正方形 OBCD， ODOB2，BOB30， BOD60， 在 RtODM 和 RtOBM 中， ， RtODMRtOBM（HL） ， DOMBO
25、MBOD30， DMODtanDOM2， 点 M 的坐标为（2，） ， 故答案为（2，） 13 （3 分）如图，以等边三角形 ABC 的 BC 边为直径画半圆，分别交 AB、AC 于点 E、D，DF 是圆的切线， 过点 F 作 BC 的垂线交 BC 于点 G若 AF 的长为 2，则 FG 的长为 3 【解答】解：连接 OD，作 DHFG 于 H，DMBC 于 M，如图， ABC 为等边三角形， ACABC60，ACBC， DF 是圆的切线， ODDF， ODC 为等边三角形， ODC60， AODC， ODAB， DFAB， 在 RtADF 中，AF2，A60， AD4，DFAF2， BC 为
26、O 的直径， BDC90， BDAC， ADCD4， OD4， OMOD2， 在 RtDFH 中，DFH60，DF2， FH，DHFH3， GM3， OGGMOM1， BGOBOG3， 在 RtBGF 中，FBG60，BG3， FGBG3 故答案为 3 14 （3 分）如图，在 RtABC 中，ABC90，AB5，BC8，点 P 是射线 BC 上一动点，连接 AP， 将ABP 沿 AP 折叠， 当点 B 的对应点 B落在线段 BC 的垂直平分线上时， 则 BP 的长等于 或 10 【解答】解：如图 1，当点 P 在线段 BC 上时，过 A，C 分别作 ADBC，CDAB 两线交于 D， 则四边
27、形 ABCD 是矩形， ADBC8， 过 B作 BBC 于 F，反向延长 FB交 AD 于 E， 则 ADEF， 点 B落在线段 BC 的垂直平分线上， AEBFBC4， 将ABP 沿 AP 折叠得到ABP， ABAB5，PBPB， EB3， BF2， PF4PB， PB2PF2+FB2， BP2（4BP）2+22， 解得：BP； 如图 2，当点 P 在 BC 的延长线上时， 过 A，C 分别作 ADBC，CDAB 两线交于 D， 则四边形 ABCD 是矩形， ADBC8， 过 B作 BFBC 于 F，反向延长 FB交 AD 于 E， 则 ADEF， 点 B落在线段 BC 的垂直平分线上， A
28、EBFBC4， 将ABP 沿 AP 折叠得到ABP， ABAB5，PBPB， EB3， BF8， PFPB4， PB2PF2+FB2， BP2（BP4）2+82， 解得：BP10； 综上所述，BP 的长等于或 10， 故答案为：或 10 三、作图题（本大题满分三、作图题（本大题满分 4 分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹分）请用直尺、圆规作图，不写作法，但要保留作图痕迹. 15 （4 分）已知：如图，四边形 ABCD 求作：点 P，使点 P 在四边形 ABCD 内部，PAPB，并且点 P 到BCD 两边的距离相等 （尺规作图， 不写作法，保留作图痕迹） 【解答】解：如图，点 P
29、 即为所求作 四、解答题（本大题共四、解答题（本大题共 9 小题，共小题，共 74 分）分） 16 （8 分） （1）化简：（1+） ； （2）解不等式组： 【解答】解： （1）原式 ； （2）由得：x2， 由得：x8， 不等式组的解集为 2x8 17 （6 分）某校有 2000 名学生，为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组在全校随机抽取了 150 名 学生进行抽样调查整理样本数据，得到图表： 某校 150 名学生上学方式频数分布表 方式 划记 频数 步行 正正正 15 骑车 正正正正正正正正正正 51 乘公共交通工具 正正正正正正正正正 45 乘私家车 正正正正正正 30 其它 正 9
30、 合计 150 （1）理解画线语句的含义，回答问题：如果 150 名学生全部在同一个年级抽取，这样的抽样是否合理？ 请说明理由； （2）根据抽样调查的结果，将估计出的全校 2000 名学生上学方式的情况绘制成条形统计图； （3）该校数学兴趣小组结合调查获取的信息，向学校提出了一些建议如：骑车上学的学生数约占全校 的 34%，建议学校合理安排自行车停车场地请你结合上述统计的全过程，再提出一条合理化建议 【解答】解： （1）不合理， 因为如果 150 名学生全部在同一个年级抽取，这样抽取的学生不具有随机性，比较片面，所以这样的抽 样不合理； （2）步行人数为：200010%200（人） ，骑车的人
31、数为：200034%680（人） ， 乘公共汽车人数为：200030%600（人） ，乘私家车的人数为：200020%400（人） ， 乘其它交通工具得人数为：20006%120（人） ， 条形统计图如图所示： ； （3）为了节约和保护环境请同学们尽量不要乘坐私家车（答案不唯一） 18 （6 分）某中学举行“中国梦我的梦”演讲比赛九年级（1）班的小明和小刚都想参加现设计了如 下游戏规则：把四个完全相同的乒乓球标上数字 1，2，3，4，然后放到一个不透明的袋中，一个人先从 袋中随机摸出一个球， 另一人再从剩下的三个球中随机摸出一个球 若摸出的两个球上的数字和为奇数， 则小明去；否则小刚去，这个游
32、戏规则是否公平？并说明理由 【解答】解：由题意可得，树状图如右图所示， 共有 12 种等可能的结果数，摸出的两个球上的数字和为奇数占 8 种， 摸出的两个球上的数字和为偶数的 占 4 种， 所以 P（奇数）， P（偶数）， 因为， 所以这个游戏规则不公平 19 （6 分）图是甘肃省博物馆的镇馆之宝铜奔马，又称“马踏飞燕” ，于 1969 年 10 月出土于武威市 的雷台汉墓，1983 年 10 月被国家旅游局确定为中国旅游标志在很多旅游城市的广场上都有“马踏飞 燕”雕塑某学习小组把测量本城市广场的“马踏飞燕”雕塑（图）最高点离地面的高度作为一次课 题活动，同学们制定了测量方案，并完成了实地测量
33、，测得结果如下表： 课题 测量“马踏飞燕“雕塑最高点离地面的高度 测量 示意 图 如图，雕塑的最高点 B 到地面的高度为 BA， 在测点 C 用仪器测得点 B 的仰角为 ， 前进一段距离到达测点 E，再用该仪 器测得点 B 的仰角为 ，且点 A，B，C， D，E，F 均在同一竖直平面内，点 A， C，E 在同一条直线上 测量 数据 的度数 的度数 CE 的长度 仪器 CD（EF）的高 度 31 42 5 米 1.5 米 请你根据上表中的测量数据，帮助该小组求出“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度（结果保留一位小 数） （参考数据：sin310.52，cos310.86，tan310.60，sin
34、420.67，cos420.74，tan42 0.90） 【解答】解：如图，延长 DF 与 AB 交于点 G， 设 BGx 米，在 RtBFG 中， FG， 在 RtBDG 中， DG， 由 DGFGDF 得， 5， 解得，x9， ABAG+BG1.5+910.5（米） ， 答：这座“马踏飞燕”雕塑最高点离地面的高度为 10.5 米 20 （8 分）如图，一次函数 yx+3 的图象与反比例函数 y（k0）在第一象限的图象交于 A（1，a） 和 B 两点，与 x 轴交于点 C （1）求反比例函数的解析式； （2）若点 P 在 x 轴上，且APC 的面积为 5，求点 P 的坐标 【解答】解： （1
35、）把点 A（1，a）代入 yx+3，得 a2， A（1，2） 把 A（1，2）代入反比例函数 y， k122； 反比例函数的表达式为 y； （2）一次函数 yx+3 的图象与 x 轴交于点 C， C（3，0） ， 设 P（x，0） ， PC|3x|， SAPC|3x|25， x2 或 x8， P 的坐标为（2，0）或（8，0） 21 （8 分）如图，在 RtABC 与 RtABD 中，ABCBAD90，ADBC，AC，BD 相交于点 G过 点 A 作 AEDB 交 CB 的延长线于点 E， 过点 B 作 BFCA 交 DA 的延长线于点 F， AE， BF 相交于点 H （1）求证：ABCBA
36、D； （2）若 ABBC，四边形 AHBG 是什么特殊四边形？请说明理由 【解答】 （1）证明：在ABC 和BAD 中， ， ABCBAD（SAS） ； （2）解：AHGB，BHGA， 四边形 AHBG 是平行四边形 ABCBAD， ABDBAC， GAGB， 平行四边形 AHBG 是菱形 ABBC，ABC90， ABC 是等腰直角三角形， BAG45， 又ABCBAD， ABGBAG45， AGB90， 菱形 AHBG 是正方形 22 （10 分）某商店销售一种商品，经市场调查发现：该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次 函数，其售价、周销售量、周销售利润 w（元）的三组对应值
37、如表： 售价 x（元/件） 50 60 80 周销售量 y（件） 100 80 40 周销售利润 w（元） 1000 1600 1600 注：周销售利润周销售量（售价进价） （1）求当售价是多少元/件时，周销售利润最大； （2）由于某种原因，该商品进价提高了 m 元/件（m0） ，物价部门规定该商品售价不得超过 65 元/件， 该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系若周销售最大利润是 1400 元， 求 m 的值 【解答】解： （1）该商品进价是 50100010040， 设每周获得利润 wax2+bx+c： 则有， 解得：， w2x2+280 x80002（x70）2
38、+1800， 当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元； 答：当售价是 70 元/件时，周销售利润最大，最大利润是 1800 元； （2） ）该商品的周销售量 y（件）是售价 x（元/件）的一次函数， 设 ykx+b， 则有， 解得：， 所以 y 关于 x 的函数解析式为 y2x+200， 根据题意得，w（x40m） （2x+200）2x2+（280+2m）x8000200m2（x）2+ m260m+1800， 20， 抛物线的开口向下， x65， w 随 x 的增大而增大， 当 x65 时，w最大1400， 即 14002652+（280+2m）658000200m
39、， 解得：m5 23 （10 分） 【问题】用 n 边形的对角线把 n 边形分割成（n2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n 4）？ 【探究】为了解决上面的数学问题，我们采取一般问题特殊化的策略，先从最简单情形入手，再逐次递 进转化，最后猜想得出结论不妨假设 n 边形的分割方案有 f（n）种 探究一：用四边形的对角线把四边形分割成 2 个三角形，共有多少种不同的分割方案？如图，图， 显然，只有 2 种不同的分割方案所以，f（4）2 探究二：用五边形的对角线把五边形分割成 3 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成三类： 第 1 类：如图，用点 A，E 与 B 连接，先把五
40、边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再把四边形 分割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（4）种不同的分割方 案 第 2 类：如图，用点 A，E 与 C 连接，把五边形分割成 3 个三角形，有 1 种不同的分割方案，可视为 f（4）种分割方案 第 3 类：如图，用点 A，E 与 D 连接，先把五边形分割转化成 1 个三角形和 1 个四边形，再把四边形 分割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（4）种不同的分割方 案 所以，f（5）f（4）+f（4）+f（4）f（4）f（4）5（种） 探究三：用六边形的
41、对角线把六边形分割成 4 个三角形，共有多少种不同的分割方案？不妨把分割方案 分成四类： 第 1 类：如图，用 A，F 与 B 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再把五边形分 割成 3 个三角形，由探究二知，有 f（5）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（5）种不同的分割方案 第 2 类：如图，用 A，F 与 C 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边形再把四边形分 割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案所以，此类共有 f（4）种分割方案 第 3 类：如图，用 A，F 与 D 连接，先把六边形分割转化成 2 个三角形和 1 个四边
42、形再把四边形分 割成 2 个三角形，由探究一知，有 f（4）种不同的分割方案所以，此类共有 f（4）种分割方案 第 4 类：如图，用 A，F 与 E 连接，先把六边形分割转化成 1 个三角形和 1 个五边形，再把五边形分 割成 3 个三角形，由探究二知，有 f（5）种不同的分割方案所以，此类共有 f（5）种分割方案 所以，f（6）f（5）+f（4）+f（4）+f（5）f（5）+f（5）+f（5）+f（5）f（5）14（种） 探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，则 f（7）与 f（6）的关系为：f（7）f （6） ，共有 42 种不同的分割方案 【结论】用 n 边形的对角线把
43、n 边形分割成（n2）个三角形，共有多少种不同的分割方案（n4）？ （直接写出 f（n）与 f（n1）之间的关系式，不写解答过程） 【应用】用九边形的对角线把九边形分割成 7 个三角形，共有多少种不同的分割方案？（应用上述结论 中的关系式求解） 【解答】解：探究四：用七边形的对角线把七边形分割成 5 个三角形，如图所示： 不妨把分制方案分成五类： 第 1 类：如图 1，用 A，G 与 B 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形，由探究三知， 有 f（6）种不同的分割方案，所以，此类共有 f（6）种不同的分割方案 第 2 类：如图 2，用 A，G 与 C 连接，先把七边形分割转
44、化成 2 个三角形和 1 个五边形由探究二知， 有 f（5）种不同的分割方案所以，此类共有 f（5）种分割方案 第 3 类：如图 3，用 A，G 与 D 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 2 个四边形由探究一知， 有 2f（4）种不同的分割方案所以，此类共有 2f（4）种分割方案 第 4 类：如图 4，用 A，G 与 E 连接，先把七边形分割转化成 2 个三角形和 1 个五边形由探究二知， 有 f（5）种不同的分割方案所以，此类共有 f（5）种分割方案 第 5 类：如图 5，用 A，G 与 F 连接，先把七边形分割转化成 1 个三角形和 1 个六边形由探究三知， 有 f（6）种不同的
45、分割方案所以，此类共有 f（6）种分割方案 所以，f（7）f（6）+f（5）+2f（4）+f（5）+f（6）2f（6）+2f（6）+2f（6） f（6）42（种） ； 故答案为：18，42； 【结论】 ， 由题意知：f（5）f（4） ，f（6）f（5） ，f（7）f（6） ， f（n）f（n1） ； 【应用】 根据结论得：f（8）f（7）42132 f（9）f（8）132429 则用九边形的对角线把九边形分割成 7 个三角形，共有 429 种不同的分割方案 24 （12 分）如图，矩形 ABCD 中，AB21cm，AD12cm，E 是 CD 边上的一点，DE16cm，M 是 BC 边 的中点，
46、动点 P 从点 A 出发，沿边 AB 以 1cm/s 的速度向终点 B 运动，过点 P 作 PHAE 于点 H，连接 EP，设动点 P 的运动时间是 t（s） （0t21） （1）求 t 为何值时，PMEM？ （2）设EHP 的面积为 y（cm2） ，写出 y（cm2）与（s）之间的函数关系式； （3）当 EP 平分四边形 PMEH 的面积时，求 t 的值； （4）是否存在时刻 t，使得点 B 关于 PE 的对称点 B，落在线段 AE 上，若存在，求出 t 值，若不存在， 说明理由 【解答】解： （1）M 是 BC 边的中点， CMBM6（cm） ， AB21cm，DE16cm， EC5cm，
47、 PMEM， PMB+CME90， 又BMP+BPM90， BPMEMC， 又BC90， CEMBMP， ， ， t； （2）ABCD 是矩形， D90， AE2AD2+DE2， AD12cm，DE16cm， AE20（cm） ， ABCD， DEAEAB， sinDEAsinEAB， ， ， HPt， AHt， HE20t， SEHPEHHP， y（20t）tt2+6t（0t21） ； （3）EP 平分四边形 PMEH 的面积， SEHPSEMP， t（20t）12（5+21t）6（21t）65， 解得：t， 0t21， t； （4）如图 2，连接 BE，过点 P 作 PFBE 于 F， 点 B 关于 PE 的对称点 B，落在线段 AE 上， AEPBEP， 又PHAE，PFBE， PFPHt， EC5cm，BC12cm， BE13cm， SABESAEP+SBEP， 2112（20+13）t， t