1、第 1 页，共 19 页 2021 年四川省眉山市高考数学三诊试卷（文科）年四川省眉山市高考数学三诊试卷（文科） 一、单选题（本大题共 12 小题，共 60.0 分） 1. 已知集合 = *3,2,1,0，1+， = *|2 0)的焦点，A 是 C的准线上一点，面积为43的等边 的顶点 B 恰在抛物线 C 上，则 p 等于( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 10. 2021年 3 月 20日，“沉睡三千年，一醒惊天下”的三星堆遗址向世人展示了其重大考古新发现-6 个 三星堆文化“祭祀坑”现已出土500余件重要文物.为推测文物年代， 考古学者通常用碳14测年法推算， 碳 14 测年法
2、是根据碳 14的衰变程度来计算出样品的大概年代的一种测量方法.2021年，考古专家对某 次考古的文物样本上提取的遗存材料进行碳 14年代测定， 检测出碳 14 的残留量约为初始量的68%， 已 知碳 14的半衰期(放射性物质质量衰减一半所用的时间)是 5730年， 以此推算出该文物大致年代是( )( 参考数据：log57300.510 19034.7，log57300.568 34881) A. 公元前 1400 年到公元前 1300年 B. 公元前 1300年到公元前 1200年 C. 公元前 1200年到公元前 1100年 D. 公元前 1100 年到公元前 1000年 11. 已知函数(
3、) = sin(4 6)，若将()的图象上各点的横坐标伸长到原来的 2倍，然后向右平移 ( 0)个单位长度，得到函数()的图象，且函数()的图象关于 y 轴对称，则的最小值是( ) A. 3 B. 6 C. 12 D. 24 第 3 页，共 19 页 12. 若曲线() = + 1 2在点(0,(0)处的切线方程为 = + ，则 + 的最小值为( ) A. 1 B. 1 2 C. 1 2 D. 1 二、单空题（本大题共 4 小题，共 20.0 分） 13. 若 x，y 满足约束条件 0, + 0, 2, 则 = + 2的最小值为_ 14. 计算20;320 10 = _ 15. 中国古代数学家
4、刘徽所注释的九章算术中， 称四个面均为直角三角 形的四面体为“鳖臑”，如图所示的鳖臑 ABCD中， 面 BCD， ，若 = 1， = 5，且顶点 A，B，C，D 均在球 O上，则 球 O 的表面积为_ 16. 设双曲线 C： 2 2 2 2 = 1( 0, 0)的两焦点为1，2，过双曲线 C 上一点 P 作两渐近线的垂线，垂足分别为 A，B，若3|12|2= 64| |，则双曲线 C 的离心率为 _ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 82.0 分） 17. 已知数列*+满足1= 1，= ;1+ 1( 2)，且*+ 1+为等比数列 (1)求实数的值； (2)求数列*+的前 n项和 18. 某城
5、市为改善保障性租赁住房的品质，对保障性租赁住房进行调研，随机抽取了 200名保障性租赁住 房的租赁人进行问卷调查，并对租赁房屋的品质进行满意度测评，收集整理得到如下2 2列联表： 第 4 页，共 19 页 30 岁及以下 30 岁以上 小计 满意 60 110 不满意 30 小计 (1)完成上述列联表；通过计算判断是否有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与 年龄段(“30 岁及以下”和“30岁以上”)有关系？ (2)现从满意度评分为“不满意”的人中按照表中年龄段分层抽取了 6名租赁人进行座谈.若从 6人中随 机抽取 2人给予一定的租赁优惠，求抽取的 2 人中“30岁以上”年龄
6、段至少有 1人的概率 附表及公式：2= (;)2 (:)(:)(:)(:) (2 0) 0.15 0.10 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 19. 如图，在三棱柱 111中，1平面 ABC， = 1= 4， = 2， = 60，D，E 分别是11，BC的中点 (1)判断直线1与平面 ABD 的位置关系，并证明你的结论； (2)设 F 是 BD 的中点，求四棱锥 11的体积 第 5 页，共 19 页 20. 已知 O为坐标原点，A，B分别为椭圆 C： 2 2 + 2 2 = 1(
7、 0)的右顶点和上项点， 的面积为 1，椭圆 C 的离心率为 3 2 (1)求 a，b的值； (2)若与 AB 垂直的直线交椭圆 C 于 M，N 两点，且 ，求 的面积 21. 已知() = + 2 ，其中 0 (1)当 = 1时，求()的极值； (2)若() ( 1)，求 a的值 22. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知射线 l： = 3( 0)，曲线1： = 4 2:1 = 4 2:1 (为参数).以原点 O 为极 点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2的极坐标方程为 = 8 (1)写出射线 l的极坐标方程以及曲线1的普通方程； 第 6 页，共 19 页 (2)设射线 l与1交于
8、点 M，与2交于 O，N，求|的值 23. 已知() = | + 3 2| + |1 2| (1)解不等式() 7 2 ； (2)令()的最小值为 M，正数 a，b满足 + 2 = ，求证；22+ 2 17 4 答案和解析答案和解析 1.【答案】D 【解析】解：因为集合 = *|2 9+ = *3 3+， 又集合 = *3,2,1,0，1+， 则 = *2,1,0，1+ 故选：D 先利用一元二次不等式的解法求出集合 B，再由集合交集的定义求解即可 本题考查了集合交集的运算，解题的关键是掌握集合交集的定义，属于基础题 2.【答案】A 第 7 页，共 19 页 【解析】解：2;3 2 = (2;3
9、)(;) ;22 = 32;2 2 = 3 2 故选：A 直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题 3.【答案】B 【解析】解： | | = 2| |,| + | = 3| |， ( + )2= 3 2， 2+ 2 + 2= 3 2，4 2+ 2 + 2= 3 2， = 2， cos = | | | = ; 2 2 2= 1 2，且 ,0,-， = 2 3 故选：B 根据| | = 2| |，对| + | = 3| |两边平方进行数量积的运算即可求出 = 2，然后根据向量夹角 的余弦公式即可求出cos 的值，进而可得出向量 , 的夹角 本题考查了向量数
10、量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题 4.【答案】D 【解析】解：对于 A，由雷达图可知，D类商品在新规实施前后的评价得分差最大，故选项 A 正确； 对于 B，由雷达图可知，新规实施后，H，F类商品的评价得分低于新规实施前，故选项 B 正确； 对于 C，新规实施后，除 H，F类商品外，其余 6 类商品的评价得分高于新规实施前，且增长幅度超过 H， F 评价得分下降的幅度， 则这 8 类商品评价得分的平均分高于新规实施前的平均分，故选项 C 正确； 对于 D，H，F两类商品评价得分低于新规实施前，其余 6 类商品的评价得分高于新规实施前，故选项 D错 误 故选：D 利用题中
11、雷达图给出的数据信息，对四个选项逐一分析判断即可 本题考查了雷达图的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题 第 8 页，共 19 页 5.【答案】B 【解析】解：由 C：2+ 2 2 + 2 + 1 = 0，得( 1)2+ ( + 1)2= 1， 则圆心坐标为(1,1)， 又直线 l的倾斜角为 3，直线 l的斜率为tan 3 = 3， 则直线 l的方程为 + 1 = 3( 1)，即3 3 1 = 0 故选：B 由圆的方程求得圆心坐标，再由直线的倾斜角求得斜率，利用直线方程的点斜式得答案 本题考查直线方程的求法，训练了由圆的一般方程求圆心坐标，是基础题 6.【答案
12、】B 【解析】解：根据题意，设 = = ，又由 = 150， 则= 1 2 150 = 1 4 2， 又由 ， ， ， 是 4 个全等三角形，则= = = = 1 4 2， 则有+ + + = 4= 2， 正方形= 2， 则在该模型中随机抽取一点，则该点取自于“赵爽弦图”的概率 = 2 2:2 = 1 2； 故选：B 根据题意，设 = = ，由此求出 ， ， ， 的面积和赵爽弦图的面积，由几何 概型公式计算可得答案 本题考查几何概型的计算，涉及三角形面积的计算，属于基础题 7.【答案】D 【解析】解：很具几何体的三视图转换为直观图为：四棱台； 如图所示： 第 9 页，共 19 页 所以表= 2
13、 2 + 4 4 + 2 1 2 (2 + 4) 4 + 2 1 2 (2 + 4) 25 = 44 + 125 故选：D 首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步求出几何体的表面积 本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的表面积公式，主要考查学生的运算 能力和数学思维能力，属于基础题 8.【答案】C 【解析】解： = 2;2;2 4 ， 1 2 = 2;2;2 4 ， = 2:2;2 2 ， = ， = 1，且0 0)个单位长度，得到函数() = sin(2 2 6)的图象， 函数()的图象关于 y轴对称， 2 + 6 = + 2， ， 第 11 页，共 19 页 则的
14、最小值为 6， 故选：B 由题意利用函数 = ( + )的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，得到的最小值 本题主要考查函数 = ( + )的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于中档题 12.【答案】C 【解析】解：() = + 1 2的导数为() = 1 + 1 2， 设切点为(,)，则 = 1 + 1 2， = = + 1 2 = 1， 即有 + = + 1 1 2， 0， 由() = + 1 1 2的导数为() = 1 1 2 = ;1 2 ， 当 1时，() 0，()递增； 当0 1时，() 1， = 2或 = 23 3 故答案为：2或23 3 设点(0,0)，则20 2 20
15、 2 = 22，写出双曲线的渐近线方程，由已知结合点到直线的距离公式列式， 再由隐含条件可得关于 e的方程，求解得答案 本题考查双曲线的几何性质，考查点到直线距离公式的应用，考查运算求解能力，是中档题 第 14 页，共 19 页 17.【答案】解：(1)数列*+满足1= 1，= ;1+ 1( 2)， 2= + 1，3= ( + 1) + 1， *+ 1+为等比数列， ( + 1 + 1)2= 2,( + 1) + 1 + 1-，解得 = 0或 2 当 = 0时，= 1 当 = 2时，公比 = 3:1 1:1 = 2， + 1 = 2， = 2 1 (2)当 = 0时，= 1.数列*+的前 n项
16、和= 当 = 2时，= 2 1， 数列*+的前 n 项和= 2(2;1) 2;1 = 2:1 2 【解析】(1)数列*+满足1= 1，= ;1+ 1( 2)，且*+ 1+为等比数列可得( + 1 + 1)2= 2,( + 1) + 1 + 1-，解出，然后求出通项公式即可 (2)当 = 0时，= 1.可得数列*+的前 n项和；当 = 2时，= 2 1，利用等比数列的求和公式， 即可得出数列*+的前 n 项和 本题考查了递推关系、等比数列的通项公式与求和公式，考查了计算能力，属于基础题 18.【答案】解：(1)列联表如下： 由表中的数据可得2= (;)2 (:)(:)(:)(:) = 200(6
17、030;6050)2 1109080120 = 100 33 3.0303 2.706， 所以有90%的把握认为租赁人对保障性租赁住房品质的满意程度与年龄段有关系； (2)所抽取的 6 人中，30岁及以下的有 4 人，30 岁以上的有 2 人， 所以抽取的 2人中“30 岁以上”年龄段至少有 1人的概率为1 4 2 6 2= 1 2 5 = 3 5 【解析】(1)由列联表中的数据求出2的值，对照临界表中的数据，即可判断得到答案； (2)先求出抽取的 6 人中，30岁及以下的人数，30 岁以上的人数，然后由古典概型的概率公式求解即可 本题考查了独立性检验，古典概型概率公式的运用，考查了逻辑推理能
18、力与运算能力，属于基础题 19.【答案】解：(1)1/平面 ABD，证明如下： 取 AB的中点 N，连接 EN，DN，则 = 1 2 = 1， 而/1，故四边形1为平行四边形，所以1/， 第 15 页，共 19 页 又 平面 ABD，1 平面 ABD， 1/平面 ABD； (2) 为线段 BD的中点， 点 F 到平面11的距离为点 D到平面11的距离的1 2， 而 D 为线段11的中点，则 D 到平面平面11的距离等于1到平面11的距离的1 2， 在 中， = 4， = 2， = 60， 由余弦定理，得 = 23，所以 ， 由已知有，1 ，所以 平面11， 而11/，所以11平面11， 所以1
19、到平面11的距离为 = 23， 又四边形11的面积为11= 1 2 (2 + 1) 4 = 6， ;11= 1 3 6 (1 4 23) = 3 【解析】(1)取 AB的中点 N，连接 EN，DN，易证四边形1为平行四边形，则可得1/，进而判 断1/平面 ABD； (2)由条件可知， 点 F到平面11的距离为1到平面11的距离的1 4， 而11 平面11， 可得1到 平面11的距离 = 23，再求出四边形11的面积，则四棱锥 11的体积可求 本题考查线面平行的判定以及四棱锥体积的求解，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题 20.【答案】解：(1)由椭圆的方程可知，(,0)，(0,)，
20、所以= 1 2 = 1，又 = = 1 2 2 = 3 2 ， 解得 = 2， = 1； (2)由(1)可知，椭圆 C的标准方程为 2 4 + 2= 1，且(2,0)，(0,1)， 因为= 1;0 0;2 = 1 2，所以 = 2， 设直线 MN 的方程为 = 2 + ， 联立方程组 = 2 + 2 4 + 2= 1，可得17 2 + 16 + 42 4 = 0， 则= 2562 68(42 4) 0，解得17 0， ()在 R 上单调递增， 又(0) = 0，则当 0时，() 0时，() 0，()单增， ()在 = 0处取得极小值(0) = 0； (2)() ( 1)即为 + 2 0， 第
21、17 页，共 19 页 设() = + 2 ，则() = + + 2 ，() = + + 2，(0) = 0， (0) = 1 ， 当 1时，() = + + 2 0，则()在 R上单调递增， 又(0) = 1 0，则存在0 (0,1)，使得(0) = 0， 且当 (0,0)时，() 0，()单减，则存 (0,0)，在() (0) = 0，不合题意； 当 = 1时，由(1)可知，() ( 1)恒成立； 当0 ;1+ cos(1) + 2 0， 则()在 (1,0)上单增， 又(0) = 1 0,(1) = ;1+ 1 3 1 1 2 3 0，()单增，则存在 (1,0)，() 1， = 1及
22、0 1讨论即可得出结论 本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的恒成立问题，考查分类讨论思想及运算 求解能力，属于中档题 22.【答案】解：(1)射线 l： = 3( 0)，转换为极坐标方程为 = 3 ( 0)， 曲线1： = 4 2:1 = 4 2:1 (为参数)转换为普通方程为2+ ( 2)2= 4( 0) (2)曲线1转换为极坐标方程为 = 4， 射线 l与1交于点 M， 故 = 3 = 4 ， 则 1= 23， 与2交于 O，N， 所以 = 3 = 8 ，解得2 = 43， 故| = |43 23| = 23 第 18 页，共 19 页 【解析】(1)直接利用转换关系
23、，在参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换； (2)利用极径的应用建立方程组求出结果 本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的 运算能力和数学思维能力，属于基础题 23.【答案】解：(1)() = | + 3 2| + |1 2| = 3 1 2, 1 2 ， 当 3 2时，() 7 2 3 1 2 7 2 ，解得2 1 2时，() 7 2 3 + 1 2 7 2 ，解得1 2 3 4 综上，原不等式的解集为*| 2 3 4+； 证明：(2)由(1)可知，当 4； 当 3 2 1 2时，() = + 5 2 2； 当 1 2时，()
24、= 3 + 1 2 2 故()的最小值 = 2，则 + 2 = 2，于是2 = + 2 22， 则0 1 2，当且仅当 = 1， = 1 2时取等号 下面证明22+ 2 17 4 ， 22+ 2 = 22+ 1 8 + 1 8 + 7 4 3322 1 8 1 8 + 7 4 = 3 4 + 7 4 3 4 + 7 4 2 = 17 4 当且仅当 = 1 2，即 = 1， = 1 2时取“=” 故22+ 2 17 4 【解析】(1)去绝对值写出分段函数解析式，再求解一次不等式组，取并集得答案； (2)由(1)求得 M值，代入 + 2 = ，求出 ab 的取值范围，再由均值不等式证明22+ 2 17 4 第 19 页，共 19 页 本题考查分段函数的应用，考查绝对值不等式的解法，考查均值不等式的应用，属中档题