1、2021 年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一） 一选择题（每小题一选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）的相反数是（ ） A2017 B2017 C D 2 （4 分）当 2a3 时，代数式|a3|+|2a|的值是（ ） A1 B1 C3 D3 3 （4 分）以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A了解全班同学每周体育锻炼的时间 B旅客上飞机前的安检 C学校招聘教师，对应聘人员面试 D了解全市中小学生每天的零花钱 4 （4 分）如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是 （ ） A两个外切的
2、圆 B两个内切的圆 C两个内含的圆 D一个圆 5 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 B2（a+1）2a+1 C （ab）2a2b2 Da6a3a2 6 （4 分） 如图， CF 是ABC 的外角ACM 的平分线， 且 CFAB， ACF50， 则B 的度数为 （ ） A80 B40 C60 D50 7 （4 分）把 x316x 分解因式，结果正确的是（ ） Ax（x216） Bx（x4）2 Cx（x+4）2 Dx（x+4） （x4） 8 （4 分）sin60的值等于（ ） A B C D 9 （4 分）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录 根据图中两人的对话纪录，若
3、下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ） A向北直走 700 公尺，再向西直走 100 公尺 B向北直走 100 公尺，再向东直走 700 公尺 C向北直走 300 公尺，再向西直走 400 公尺 D向北直走 400 公尺，再向东直走 300 公尺 10 （4 分）下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）若x3ya与 xby 是同类项，则 a+b 的值为 12 （4 分）如图，AB 是池塘两端，设计一方法测量 AB 的距离，取点 C，连接 AC、BC，再取
4、它们的中点 D、E，测得 DE15 米，则 AB 米 13 （4 分）方程 2x+37 的解是 14 （4 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 15（4 分） 如图， 将四个圆两两相切拼接在一起， 它们的半径均为 1cm， 则中间阴影部分的面积为 cm2 16 （4 分） 有一个正六面体骰子， 放在桌面上， 将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动， 每滚动 90算一次， 则滚动第 2021 次后，骰子朝下一面的点数是 17 （4 分）如图，AC、BD 相交于点 O，AD，请补充一个条件，使AOBDOC，你补充的条件 是 （填出一个即可） 18 （4 分）如图，点 A，B，C 是O 上
5、的三点，B75，则AOC 的大小为 度 三解答题（本题共三解答题（本题共 8 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （12 分） （1）计算：20+； （2）已知：x1，y1+，求 x2+y2xy2x+2y 的值 20 （7 分）解不等式组： 21 （9 分）列方程解应用题 福州市某楼盘准备以每平方米 10000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房 者持币观望为了加快资金周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 8100 元的均价 开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子开发商还给予以下两种优惠方案
6、以供选择： 打 9.9 折销售； 不打折，送两年物业管理费物业管理费是每平方米每月 1 元请问哪种方案更优惠？ 22 （8 分） 如图， 大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁， 一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北偏东 60 方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45方向如果海轮继 续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由 （参考数据：1.73） 23 （10 分） 某校为了选拔学生参加 “汉字听写大赛” ， 对九年级一班、 二班各 10 名学生进行汉字听写测试， 计分采用 10 分制（得分均取整数） ，成绩达到 6 分或 6 分
7、以上为及格、达到 9 分或 10 分以上为优秀这 20 位同学的成绩与统计数据如表： 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均 数 中位 数 众数 方差 及格 率 优秀 率 一 班 5 8 8 9 8 10 10 8 5 5 7.6 8 a 3.82 70% 30% 二 班 10 6 6 9 10 4 5 7 10 8 b 7.5 10 4.94 80% 40% （1）在表中，a ，b ； （2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比 二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由； （3）若从这两班获满分的同学中随意抽 1 名同学参加“
8、汉字听写大赛” ，求参赛同学恰好是一班同学的 概率 24 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC2，点 M 在 BC 上，连接 AM，作AMNAMB，点 N 在直线 AD 上，MN 交 CD 于点 E （1）求证：AMN 是等腰三角形； （2）求 BMAN 的最大值； （3）当 M 为 BC 中点时，求 ME 的长 25 （10 分）如图，AB 为O 的直径，BF 切O 于点 B，AF 交O 于点 D，点 C 在 DF 上，BC 交O 于 点 E，且BAF2CBF，CGBF 于点 G，连接 AE （1）直接写出 AE 与 BC 的位置关系； （2）求证：BCGACE； （3）若F6
9、0，GF1，求O 的半径长 26 （12 分）如图，已知抛物线 yx2x3 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C （1）直接写出 A、D、C 三点的坐标； （2）若点 M 在抛物线上，使得MAD 的面积与CAD 的面积相等，求点 M 的坐标； （3）设点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 四点为顶 点的四边形为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 2021 年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一）年湖南省永州市中考数学模拟试卷（一） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（每小题一
10、选择题（每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1 （4 分）的相反数是（ ） A2017 B2017 C D 【解答】解：的相反数为， 故选：D 2 （4 分）当 2a3 时，代数式|a3|+|2a|的值是（ ） A1 B1 C3 D3 【解答】解：2a3， a30，2a0， 原式3a+a21 故选：B 3 （4 分）以下问题，不适合用全面调查的是（ ） A了解全班同学每周体育锻炼的时间 B旅客上飞机前的安检 C学校招聘教师，对应聘人员面试 D了解全市中小学生每天的零花钱 【解答】解：A、了解全班同学每周体育锻炼的时间，数量不大，宜用全面调查，故 A 选项错误； B、旅客上飞机前的安检，意
11、义重大，宜用全面调查，故 B 选项错误； C、学校招聘教师，对应聘人员面试必须全面调查，故 C 选项错误； D、了解全市中小学生每天的零花钱，工作量大，且普查的意义不大，不适合全面调查，故 D 选项正确 故选：D 4 （4 分）如图，两个大小不同的实心球在水平面靠在一起组成如图所示的几何体，则该几何体的左视图是 （ ） A两个外切的圆 B两个内切的圆 C两个内含的圆 D一个圆 【解答】解：从左面看，为两个内切的圆，切点在水平面上， 所以，该几何体的左视图是两个内切的圆 故选：B 5 （4 分）下列运算正确的是（ ） Aa3+a3a6 B2（a+1）2a+1 C （ab）2a2b2 Da6a3a
12、2 【解答】解：A、a3+a32a3，故 A 选项错误； B、2（a+1）2a+22a+1，故 B 选项错误； C、 （ab）2a2b2，故 C 选项正确； D、a6a3a3a2，故 D 选项错误 故选：C 6 （4 分） 如图， CF 是ABC 的外角ACM 的平分线， 且 CFAB， ACF50， 则B 的度数为 （ ） A80 B40 C60 D50 【解答】解：CFAB， BFCM， CF 平分ACM，ACF50， FCMACF50， B50， 故选：D 7 （4 分）把 x316x 分解因式，结果正确的是（ ） Ax（x216） Bx（x4）2 Cx（x+4）2 Dx（x+4） （x
13、4） 【解答】解：原式x（x216）x（x+4） （x4） ， 故选：D 8 （4 分）sin60的值等于（ ） A B C D 【解答】解：sin60 故选：C 9 （4 分）如图为小杰使用手机内的通讯软件跟小智对话的纪录 根据图中两人的对话纪录，若下列有一种走法能从邮局出发走到小杰家，则此走法为何？（ ） A向北直走 700 公尺，再向西直走 100 公尺 B向北直走 100 公尺，再向东直走 700 公尺 C向北直走 300 公尺，再向西直走 400 公尺 D向北直走 400 公尺，再向东直走 300 公尺 【解答】解：依题意，OAOC400AE，ABCD300， DE400300100
14、，所以邮局出发走到小杰家的路径为， 向北直走 AB+AE700，再向西直走 DE100 公尺 故选：A 10 （4 分）下列交通标志中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A B C D 【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意 故选：A 二、填空题（每小题二、填空题（每小题 4 分，共分，共 32 分）分） 11 （4 分）若x3ya与 xby 是同类项，则 a+b 的值为 4 【解答】解：x3ya与 xby 是同
15、类项， a1，b3， a+b1+34 故答案为：4 12 （4 分）如图，AB 是池塘两端，设计一方法测量 AB 的距离，取点 C，连接 AC、BC，再取它们的中点 D、E，测得 DE15 米，则 AB 30 米 【解答】解：连接 AB， D、E 分别是 AC、BC 的中点， DEAB， 即 AB2DE， DE15 米， AB30（米） ， 故答案为：30 13 （4 分）方程 2x+37 的解是 x2 【解答】解：移项得：2x73， 合并同类项得：2x4， 化系数为 1 得：x2 故答案为：x2 14 （4 分）若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 x2 【解答】解：由题意，得 x
16、20， 解得 x2， 故答案为：x2 15 （4 分）如图，将四个圆两两相切拼接在一起，它们的半径均为 1cm，则中间阴影部分的面积为 4 cm2 【解答】解：半径为 1cm 的四个圆两两相切， 四边形是边长为 2cm 的正方形，圆的面积为 cm2， 阴影部分的面积224（cm2） ， 故答案为：4 16 （4 分） 有一个正六面体骰子， 放在桌面上， 将骰子沿如图所示的顺时针方向滚动， 每滚动 90算一次， 则滚动第 2021 次后，骰子朝下一面的点数是 2 【解答】解：观察图形知道点数三和点数四相对，点数二和点数五相对且滚动四次一循环， 202145051， 滚动第 2021 次后与第 1
17、 次相同， 朝下的数字是 5 的对面 2， 故答案为：2 17 （4 分）如图，AC、BD 相交于点 O，AD，请补充一个条件，使AOBDOC，你补充的条件 是 ABCD（答案不唯一） （填出一个即可） 【解答】解：ABCD， 理由是：在AOB 和DOC 中 AOBDOC（AAS） ， 故答案为：ABCD（答案不唯一） 18 （4 分）如图，点 A，B，C 是O 上的三点，B75，则AOC 的大小为 150 度 【解答】解：， AOC2B150， 故答案为 150 三解答题（本题共三解答题（本题共 8 小题，共小题，共 78 分）分） 19 （12 分） （1）计算：20+； （2）已知：x1
18、，y1+，求 x2+y2xy2x+2y 的值 【解答】解： （1）原式11+2121； （2）x1，y1+， xy（1）（1+）2，xy（1） （1+）121， 则原式x2+y22xy2x+2y+xy （xy）22 （xy）+xy （xy） （xy1）+xy （2）（21）1 8+21 7+2 20 （7 分）解不等式组： 【解答】解：解不等式 3x1x+1，得：x1， 解不等式 2（2x1）5x+1，得：x3， 则不等式组的解集为：3x1 21 （9 分）列方程解应用题 福州市某楼盘准备以每平方米 10000 元的均价对外销售，由于国务院有关房地产的新政策出台后，购房 者持币观望为了加快资金
19、周转，房地产开发商对价格经过两次下调后，决定以每平方米 8100 元的均价 开盘销售 （1）求平均每次下调的百分率； （2）某人准备以开盘均价购买一套 100 平方米的房子开发商还给予以下两种优惠方案以供选择： 打 9.9 折销售； 不打折，送两年物业管理费物业管理费是每平方米每月 1 元请问哪种方案更优惠？ 【解答】解： （1）设平均每次下调的百分率为 x， 依题意得：10000（1x）28100， 解得：x110%，x2190%（不合题意舍去） 答：平均每次下调的百分率为 10%； （2）第种方案： 81001000.99+110024801900+2400804300（元） ， 第种方案
20、： 8100100810000（元） ， 804300810000， 第种方案更优惠 22 （8 分） 如图， 大海中某灯塔 P 周围 10 海里范围内有暗礁， 一艘海轮在点 A 处观察灯塔 P 在北偏东 60 方向，该海轮向正东方向航行 8 海里到达点 B 处，这时观察灯塔 P 恰好在北偏东 45方向如果海轮继 续向正东方向航行，会有触礁的危险吗？试说明理由 （参考数据：1.73） 【解答】解：没有触礁的危险理由如下： 作 PCAB 于 C，如图，PAC30，PBC45，AB8， 设 BCx， 在 RtPBC 中，PBC45， PBC 为等腰直角三角形， BCPCx， 在 RtPAC 中，t
21、anPAC， AC，即 8+x，解得 x4（+1）10.92， 即 PC10.92， 10.9210， 海轮继续向正东方向航行，没有触礁的危险 23 （10 分） 某校为了选拔学生参加 “汉字听写大赛” ， 对九年级一班、 二班各 10 名学生进行汉字听写测试， 计分采用 10 分制（得分均取整数） ，成绩达到 6 分或 6 分以上为及格、达到 9 分或 10 分以上为优秀这 20 位同学的成绩与统计数据如表： 序 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平均 数 中位 数 众数 方差 及格 率 优秀 率 一 班 5 8 8 9 8 10 10 8 5 5 7.6 8 a 3.82 70
22、% 30% 二 班 10 6 6 9 10 4 5 7 10 8 b 7.5 10 4.94 80% 40% （1）在表中，a 8 ，b 7.5 ； （2）有人说二班的及格率、优秀率高于一班，所以二班的成绩比一班好，但也有人坚持认为一班成绩比 二班好，请你给出支持一班成绩好的两条理由； （3）若从这两班获满分的同学中随意抽 1 名同学参加“汉字听写大赛” ，求参赛同学恰好是一班同学的 概率 【解答】解： （1） ）数据 8 出现了 4 次，最多， 众数 a8； b7.5； 故答案为：8，7.5； （2）如一班的平均分比二班高，所以一班成绩比二班好； 一班学生得分的方差比二班小，说明一班成绩比二
23、班稳定； （3）一共有 5 名满分同学，每人每抽到的可能性相同，其中一班满分的同学有 2 位， 参赛同学恰好是一班同学的概率为 24 （10 分）如图，矩形 ABCD 中，AB3，BC2，点 M 在 BC 上，连接 AM，作AMNAMB，点 N 在直线 AD 上，MN 交 CD 于点 E （1）求证：AMN 是等腰三角形； （2）求 BMAN 的最大值； （3）当 M 为 BC 中点时，求 ME 的长 【解答】 （1）证明：四边形 ABCD 是矩形， ADBC， NAMBMA，又AMNAMB， AMNNAM， ANMN，即AMN 是等腰三角形； （2）解：作 NHAM 于 H， ANMN，NH
24、AM， AHAM， NHAABM90，AMNAMB， NAHAMB， ， ANBMAHAMAM2， 在 RtAMB 中，AM2AB2+BM29+BM2， BM2， 9+BM213， ANBM， 即当 BM2 时，BMAN 的最大值为； （3）解：M 为 BC 中点， BMCMBC1， 由（2）得，ANBMAM2， AM232+1210， AN5， DN523， 设 DEx，则 CE3x， ANBC， ，即， 解得，x，即 DE， CE， ME 25 （10 分）如图，AB 为O 的直径，BF 切O 于点 B，AF 交O 于点 D，点 C 在 DF 上，BC 交O 于 点 E，且BAF2CBF，
25、CGBF 于点 G，连接 AE （1）直接写出 AE 与 BC 的位置关系； （2）求证：BCGACE； （3）若F60，GF1，求O 的半径长 【解答】解： （1）如图 1， AB 是O 的直径， AEB90 AEBC （2）如图 1， BF 与O 相切， ABF90 CBF90ABEBAE BAF2CBF BAF2BAE BAECAE CBFCAE CGBF，AEBC， CGBAEC90 CBFCAE，CGBAEC， BCGACE （3）连接 BD，如图 2 所示 DAEDBE，DAECBF， DBECBF AB 是O 的直径， ADB90 BDAF DBCCBF，BDAF，CGBF， C
26、DCG F60，GF1，CGF90， tanFCGtan60 CG， CD AFB60，ABF90， BAF30 ADB90，BAF30， AB2BD BAECAE，AEBAEC， ABEACE ABAC 设O 的半径为 r，则 ACAB2r，BDr ADB90， ADr DCACAD2rr（2）r r2+3 O 的半径长为 2+3 26 （12 分）如图，已知抛物线 yx2x3 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C （1）直接写出 A、D、C 三点的坐标； （2）若点 M 在抛物线上，使得MAD 的面积与CAD 的面积相等，求点 M 的坐标； （3）设点
27、 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B，在抛物线上是否存在点 P，使得以 A、B、C、P 四点为顶 点的四边形为梯形？若存在，请求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由 【解答】解： （1）抛物线 yx2x3 与 x 轴的交点为 A、D（A 在 D 的右侧） ，与 y 轴的交点为 C， 当 y0 时，x2x30，解得 x， A 点坐标为（，0） ，D 点坐标为（，0） ， 当 x0，y3， C 点坐标为（0，3） ； （2）yx2x3， 对称轴为直线 x， AD 在 x 轴上，点 M 在抛物线上， 当MAD 的面积与CAD 的面积相等时，分两种情况： 点 M 在 x 轴下方时，根据抛物线的对称性
28、，可知点 M 与点 C 关于直线 x对称， C 点坐标为（0，3） ， M 点坐标为（1，3） ； 点 M 在 x 轴上方时，根据三角形的等面积法，可知 M 点到 x 轴的距离等于点 C 到 x 轴的距离 3， 当 y3 时，x2x33，解得 x13，x22， M 点坐标为（3，3）或（2，3） ， 综上所述，所求 M 点坐标为（1，3）或（3，3）或（2，3） ； （3）结论：存在，如图所示，在抛物线上有两个点 P 满足题意： 若 BCAP1，此时梯形为 ABCP1， 由点 C 关于抛物线对称轴的对称点为 B（1，3） ， 可知 BCx 轴，则 P1与 D 点重合， P1（，0） ， P1A
29、，BC101， P1ABC， 四边形 ABCP1为梯形； 若 ABCP2，此时梯形为 ABCP2， A 点坐标为（，0） ，B 点坐标为（1，3） ， 直线 AB 的解析式为 yx， 可设直线 CP2的解析式为 yx+n， 将 C 点坐标（0，3）代入，得 n3， 直线 CP2的解析式为 yx3， 点 P2在抛物线 yx2x3 上， x2x3x3， 化简得：x2x0， 解得 x10（舍去） ，x2， 点 P2横坐标为，代入直线 CP2解析式求得纵坐标为 4+， P2（，4） ， ABCP2，ABCP2， 四边形 ABCP2为梯形， 综上所述，在抛物线上存在一点 P，使得以点 A、B、C、P 四点为顶点所构成的四边形为梯形，点 P 的 坐标为（，0）或（，4+）