1、专题专题 11 图形的性质之填空题图形的性质之填空题 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一填空题（共一填空题（共 65 小题）小题） 1 （2019上海）如图，已知直线 11l2，含 30角的三角板的直角顶点 C 在 l1上，30角的顶点 A 在 l2 上，如果边 AB 与 l1的交点 D 是 AB 的中点，那么1 120 度 【答案】解：D 是斜边 AB 的中点， DADC， DCADAC30， 2DCA+DAC60， 11l2， 1+2180， 118060120 故答案为 120 【点睛】本题考查了直接三角形斜边上的中线：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半（即直 角三角形的外
2、心位于斜边的中点） 也考查了平行线的性质 2 （2019上海）在ABC 和A1B1C1中，已知CC190，ACA1C13，BC4，B1C12，点 D、 D1分别在边 AB、A1B1上，且ACDC1A1D1，那么 AD 的长是 5 3 【答案】解：如图，在ABC 和A1B1C1中，CC190，ACA1C13，BC4，B1C12， AB= 32+ 42=5， 设 ADx，则 BD5x， ACDC1A1D1， C1D1ADx，A1C1D1A，A1D1C1CDA， C1D1B1BDC， B90A，B1C1D190A1C1D1， B1C1D1B， C1B1DBCD， 11 = 11，即 5 =2， 解得
3、 x= 5 3， AD 的长为5 3， 故答案为5 3 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，证得C1B1D BCD 是解题的关键 3（2019上海） 如图， 在正边形 ABCDEF 中， 设 = ， = ， 那么向量 用向量 、 表示为 2 + 【答案】解：连接 CF 多边形 ABCDEF 是正六边形， ABCF，CF2BA， =2 ， = + ， =2 + ， 故答案为 2 + 【点睛】本题考查平面向量，正六边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握三角形法则，属于中考常 考题型 4 （2018上海）通过画出多边形的对角线，可以把多边形内角和问题转化为三角
4、形内角和问题如果从某 个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，那么该多边形的内角和是 540 度 【答案】解：从某个多边形的一个顶点出发的对角线共有 2 条，则将多边形分割为 3 个三角形 所以该多边形的内角和是 3180540 故答案为 540 【点睛】本题考查了多边形内角与外角：多边的内角和定理： （n2） 180 （n3）且 n 为整数） 此公 式推导的基本方法是从 n 边形的一个顶点出发引出（n3）条对角线，将 n 边形分割为（n2）个三角 形 5 （2017上海）我们规定：一个正 n 边形（n 为整数，n4）的最短对角线与最长对角线长度的比值叫做 这个正 n 边形的“特征值” ，
5、记为 n，那么 6 3 2 【答案】解：如图，正六边形 ABCDEF 中，对角线 BE、CF 交于点 O，连接 EC 易知 BE 是正六边形最长的对角线，EC 是正六边形的最短的对角线， OBC 是等边三角形， OBCOCBBOC60， OEOC， OECOCE， BOCOEC+OCE， OECOCE30， BCE90， BEC 是直角三角形， =cos30= 3 2 ， 6= 3 2 ， 故答案为 3 2 【点睛】本题考查正多边形与圆、等边三角形的性质、锐角三角函数等知识，解题的关键是理解题意， 学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题 6 （2019浦东新区二模）已知一个角的度数为 50
6、 度，那么这个角的补角等于 130 【答案】解：18050130 故这个角的补角等于 130 故答案为：130 【点睛】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角如 果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角其中一个角叫做另一个角的补角 7 （2019青浦区一模）对于封闭的平面图形，如果图形上或图形内的点 S 到图形上的任意一点 P 之间的线 段都在图形内或图形上，那么这样的点 S 称为“亮点” 如图，对于封闭图形 ABCDE，S1是“亮点” ，S2 不是“亮点” ，如果 ABDE，AEDC，AB2，AE1，BC60，那么该图形中所有“亮点” 组成的图形
7、的面积为 3 4 【答案】解：如图，延长 DE 交 BC 于点 M，延长 AE 交 BC 于点 N 由题意：该图形中所有“亮点”组成的图形是EMN， ABDE，AEDC， EMNB60，ENMC60， EMN，ABN 是等边三角形， ANAB2， AE1， EN1， SEMN= 3 4 12= 3 4 【点睛】本题考查平行线的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用 所学知识解决问题，属于中考常考题型 8 （2019宝山区一模）如图，四边形 ABCD 中，ABDC，点 E 在 CB 延长线上，ABDCEA，若 3AE 2BD，BE1，那么 DC 3 2 【答案】解：A
8、BDC， ABDBDC， ABDCEA， AEBBDC， EAB180AEBABE，CBD180ABDABE， EABCBD， AEBBDC， = ， 3AE2BD，BE1， CD= 3 2， 故答案为：3 2 【点睛】本题考查了平行线的性质，相似三角形的判定和性质，证得AEBBDC 是解题的关键 9 （2019青浦区二模）如图，ABC 的中线 AD、BE 相交于点 G，若 = ， = ，用 、 表示 = 1 3 1 6 【答案】解：如图，连接 DE BDCD，AEEC， DEAB，DE= 1 2AB， = = 1 2， DG= 1 3AD， = + ， = ， = 1 2 ， = + 1 2
9、 ， = 1 3 ， = 1 3 1 6 ， 故答案为： 1 3 1 6 ， 【点睛】本题考查三角形的重心，平面向量等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中 考常考题型 10 （2019嘉定区二模）各顶点都在方格纸横竖格子线的交错点上的多边形称为格点多边形，奥地利数学 家皮克（GPick，18591942 年）证明了格点多边形的面积公式：Sa+ 1 2b1，其中 a 表示多边表内 部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积如图格点多边形的面积是 6 【答案】解：a 表示多边形内部的格点数，b 表示多边形边界上的格点数，S 表示多边形的面积， a4，b6， 格点多
10、边形的面积 Sa+ 1 2b14+ 1 2 616 故答案为：6 【点睛】本题考查格点多边形面积的计算，解题的关键是根据图形正确统计出 a，b 的值 11 （2019长宁区二模）我们规定：一个多边形上任意两点间距离的最大值称为该多边形的“直径” 现有 两个全等的三角形，边长分别为 4、4、27将这两个三角形相等的边重合拼成对角线互相垂直的凸四 边形，那么这个凸四边形的“直径”为 6 或 37 【答案】解：如图 1，由题意得，ABACBDCD4，BC27， 四边形 ABDC 是菱形， ADBC，BOCO= 1 2AC= 7，AOOD， AO= 2 2= 16 7 =3， AD627 =BC， 这
11、个凸四边形的“直径”为 6； 如图 2，由题意得，ABACAD4，BCCD27， AC 垂直平分 BD， ACBD，BODO， 设 AOx，则 CO4x， 由勾股定理得，AB2AO2BC2CO2， 42x2（27）2（4x）2， 解得：x= 1 2， AO= 1 2， BO= 2 2= 37 2 ， BD2BO37， BD374AC， 这个凸四边形的“直径”为 37， 综上所述：这个凸四边形的“直径”为 6 或 37， 故答案为：6 或 37 【点睛】 本题考查了全等三角形的性质， 线段垂直平分线的判定和性质， 菱形的判定和性质， 勾股定理， 正确的作出图形是解题的关键 12 （2019黄浦区
12、二模）如图，点 O 是ABC 的重心，过点 O 作 DEAB，分别交 AC、BC 于点 D、E， 如果 = ，那么 = 1 3a （结果用 表示） 【答案】解：如图，连接 CO 并延长交 AB 于点 M， 点 O 是ABC 的重心， M 是 AB 的中点， DEAB， CDOCAM， = = 2 3， DO= 2 3AM= 2 3 1 2a= 1 3a 故答案为：1 3a 【点睛】本题考查三角形重心的概念和性质，相似三角形的判定和性质解题的关键是掌握三角形重心 的概念和性质 13 （2019金山区二模）在ABC 中，ABAC，请你再添加一个条件使得ABC 成为等边三角形，这个条 件可以是 A6
13、0 （只要写出一个即可） 【答案】解：在ABC 中，ABAC，再添加A60可得ABC 是等边三角形， 故答案为：A60 【点睛】此题主要考查了等边三角形的判定，关键是掌握等边三角形的判定方法： （1）由定义判定：三 条边都相等的三角形是等边三角形 （2）判定定理 1：三个角都相等的三角形是等边三角形 （3）判定定理 2：有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形 14 （2019奉贤区二模）在证明“勾股定理”时，可以将 4 个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一 个大正方形（如图所示） 如果小正方形的面积是 25，大正方形的面积为 49，直角三角形中较小的锐角 为 ，那么 tan 的值是 3
14、4 【答案】解：小正方形的面积是 25， EB5， ABCDEB， ABDE， 大正方形的面积为 49， AD7， DB+DE7， 设 BDx， 则 DE7x， 在 RtBDE 中：x2+（7x）252， 解得：x14，x23， 当 x4 时，7x3， 当 x3 时，7x4， 为较小的锐角， BD4，DE3， tan= 3 4， 故答案为：3 4 【点睛】此题主要考查了勾股定理和锐角三角形函数，关键是掌握勾股定理的应用 15 （2019杨浦区二模）如图，ABC 中，过重心 G 的直线平行于 BC，且交边 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，如果设 = ， = ，用 ， 表示 ，那么 = 1
15、3 1 3 【答案】解：连接 AG，延长 AG 交 BC 于 F G 是ABC 的重心，DEBC， BFCF， = = = 2 3， = ， = ， = ， BFCF， DGGE， = 2 3 ， = 2 3 ， = + = 2 3 2 3 ， = 1 2 = 1 3 1 3 ， 故答案为1 3 1 3 【点睛】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 16 （2019闵行区一模）如图，在 RtABC 中，ACB90，ACBC42，点 D、E 分别在边 AB 上， 且 AD2，DCE45，那么 DE 10 3 【答案】解：如图，将BC
16、E 绕点 C 逆时针旋转 90得到ACF，连接 DF， ACB90，ACBC42， AB8，CABABC， AD2， BD6DE+BE， 将BCE 绕点 C 逆时针旋转 90得到ACF AFCBEC AFBE，CFEC，FACABC45CAB，ACFBCE， FAD90 DCE45，ACB90， ACD+BCE45， ACD+FCA45DCE，且 CFBC，CDCD， FCDECD（SAS） DEDF， 在 RtADF 中，DF2AD2+AF2， DE24+（6DE）2， DE= 10 3 故答案为10 3 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，添加恰当的辅助线
17、构造 全等三角形是本题的关键 17 （2019松江区一模） 如图， 在直角坐标平面 xOy 中， 点 A 坐标为 （3， 2） ， AOB90， OAB30， AB 与 x 轴交于点 C，那么 AC：BC 的值为 23 3 【答案】解：如图所示：作 ADx 轴，垂足为 D，作 BEy 轴，垂足为 E A（3，2） ， OA= 32+ 22= 13， OAB30，AOB90， =3， AOB90，EOC90， EOBAOD， 又BEOADO， OEBODA， = = 3 3 ，即 3 = 3 3 ，解得：OE= 3， AC：BCSAOC：SOBCAD：OE2：3 = 23 3 ， 故答案为：23
18、 3 【点睛】 本题主要考查的是含 30的直角三角形的性质， 相似三角形的判定和性质， 证得OEBODA 是解答本题的关键 18 （2019宝山区一模）RtABC 中，C90，AB2AC，那么 sinB 1 2 【答案】解：由题意，得 sinB= = 1 2， 故答案为：1 2 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，利用锐角的正弦等于对边比斜边是解题关键 19 （2019杨浦区模拟）如图，在 RtABC 中，ACB90，点 G 是ABC 的重心，CG2，sinACG= 2 3，则 BC 长为 4 【答案】解：延长 CG 交 AB 于 D，作 DEBC 于 E， 点 G 是ABC 的重心， CG
19、2， CD3，点 D 为 AB 的中点， DCDB，又 DEBC， CEBE= 1 2BC， ACG+DCEDCE+CDE90， ACGCDE， sinACGsinCDE= 2 3， CE2， BC4 故答案为：4 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质以及锐角三角函数的定义，掌握三角形的重心是三角 形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键 20 （2019虹口区一模）如图，在ABC 中，点 G 为 ABC 的重心，过点 G 作 DEAC 分别交边 AB、BC 于点 D、E，过点 D 作 DFBC 交 AC 于点 F，如果 DF4，那么 BE 的长为
20、 8 【答案】解：连接 BG 并延长交 AC 于 H， G 为 ABC 的重心， =2， DEAC，DFBC， 四边形 DECF 是平行四边形， CEDF4， GECH， BEGCBH， = =2， BE8， 故答案为：8 【点睛】本题考查了三角形重心的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，难度适 中准确作出辅助线是解题的关键 21 （2019长宁区一模）如图，在等腰ABC 中，ABAC，AD、BE 分别是边 BC、AC 上的中线，AD 与 BE 交于点 F，若 BE6，FD3，则ABC 的面积等于 97 【答案】解：过 E 作 EGBC 于 G， AD、BE 分别是边 BC、
21、AC 上的中线， 点 F 是ABC 的重心， AD3DF9， ABAC，AD 是边 BC 上的中线， ADBC，BDCD， BE 是边 AC 上的中线， AECE， ADBC，EGBC， EGAD， EG= 1 2AD= 9 2，CG= 1 2CD， BE6， BG= 2 2= 37 2 ， BC= 4 3BG27， ABC 的面积= 1 2 927 =97， 故答案为：97 【点睛】本题考查了三角形的重心，等腰三角形的性质，三角形的面积，平行线分线段成比例定理，正 确的作出辅助线是解题的关键 22 （2019静安区一模）在中ABC，C90，AC8，BC6，G 是重心，那么 G 到斜边 AB
22、中点的 距离是 5 3 【答案】解：C90，AC8，BC6， AB= 2+ 2=10， CD 为 AB 边上的中线， CD= 1 2AB5， 点 G 是重心， DG= 1 3CD= 5 3 故答案为：5 3 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，掌握三角形的重心到顶点的距离是它到对边中点的 距离的 2 倍是解题的关键 23 （2019青浦区一模）在ABC 中，ABAC，高 AH 与中线 BD 相交于点 E，如果 BC2，BD3，那 么 AE 23 【答案】解：如图所示，连接 DH， ABAC，AHBC， H 为 BC 的中点， 又D 为 AC 的中点， DH 为ABC 的中位线， DH
23、AB，DH= 1 2AB， DEHBEA， = = 1 2 = ， 又BD3， BE2， RtBEH 中，EH= 2 2= 3， AE2EH23， 故答案为：23 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及相似三角形的性质的运用，解题时注意：等腰三角形的 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 24 （2019虹口区一模） 定义： 如果ABC 内有一点 P， 满足PACPCBPBA， 那么称点 P 为ABC 的布罗卡尔点，如图，在ABC 中，ABAC5，BC8，点 P 为ABC 的布罗卡尔点，如果 PA2， 那么 PC 16 5 【答案】解：ABAC， ACBABC， PCBPBA， A
24、CBPCBABCPBA， 即ACPCBP 在ACP 与CBP 中， = = ， ACPCBP， = ， AC5，BC8，PA2， PC= 28 5 = 16 5 故答案为16 5 【点睛】本题考查等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明ACP CBP，属于中考常考题型 25 （2019崇明区一模）已知ABC 中，ACB90，AC6，BC8，G 为ABC 的重心，那么 CG 10 3 【答案】解：ABC 中，ACB90，AC6，BC8， AB= 2+ 2=10， G 为ABC 的重心， CD 是ABC 的中线， CD= 1 2AB5， G 为ABC 的重心， CG= 2
25、3CD= 10 3 ， 故答案为：10 3 【点睛】 本题考查的是三角形的重心的概念和性质， 勾股定理， 三角形的重心是三角形三条中线的交点， 且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍 26 （2019宝山区一模）直角三角形的重心到直角顶点的距离为 4cm，那么该直角三角形的斜边长为 12cm 【答案】解：由题意得，CG4， 点 G 是ABC 的重心， CD= 3 2CG6，CD 是ABC 的中线， 在 RtACB 中，ACB90，CD 是ABC 的中线， AB2CD12（cm） ， 故答案为：12cm 【点睛】本题考查的是三角形的重心的概念和性质，直角三角形的性质，掌握三角形的重心到
26、顶点的距 离是它到对边中点的距离的 2 倍是解题的关键 27（2019杨浦区一模） 在ABC 中， ABAC5， BC8， 如果点 G 为重心， 那么GCB 的余切值为 4 【答案】解：作 ADBC 于 D， 则点 G 在 AD 上，连接 GC， ABAC，ADBC， CD= 1 2BC4， 由勾股定理得，AD= 2 2=3， G 为ABC 的重心， DG= 1 3AD1， cotGCB= =4， 故答案为：4 【点睛】本题考查的是重心的概念和性质，锐角三角函数的定义，三角形的重心是三角形三条中线的交 点，且重心到顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍 28（2019杨浦区模拟） 如图， 已
27、知等边三角形 ABC 边长为 1， ABC 的三条中位线组成A1B1C1， A1B1C1 的三条中位线组成A2B2C2，依此进行下去得到A5B5C5的周长为 3 32 【答案】解：ABC 的三条中位线组成A1B1C1， A1B1AC，B1C1AB，A1C1BC， A1B1C1的周长= 1 2ABC 的周长= 1 2 3= 3 2， 依此类推，A2B2C2的周长= 1 2A1B1C1 的周长= 1 2 3 2 = 3 4， 则A5B5C5的周长为 3 25 = 3 32， 故答案为： 3 32 【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，求出后一个三角形的 周长等于前
28、一个三角形的周长的一半是解题的关键 29 （2019静安区二模）已知ABC 中，G 是ABC 的重心，则 = 1 3 【答案】解：设ABC 边 AB 上的高为 h， G 是ABC 的重心， ABG 边 AB 上的高为1 3h， = 1 2 1 3 1 2 = 1 3 故答案为：1 3 【点睛】本题考查了三角形的重心，熟记三角形的重心到顶点的距离等于到对边中点的距离的 2 倍是解 题的关键，本知识点在很多教材上已经不做要求 30 （2019杨浦区一模）等边三角形的中位线与高之比为 1：3 【答案】解：设等边三角形的边长为 2a， 则中位线长为 a，高线的长为(2)2 2= 3a， 所以等边三角形
29、的中位线与高之比为 a：3a1：3， 故答案为：1：3 【点睛】本题考查了等边三角形的性质和三角形的中位线定理，中位线是三角形中的一条重要线段，由 于它的性质与线段的中点及平行线紧密相连，因此，它在几何图形的计算及证明中有着广泛的应用 31 （2019东台市一模）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30，则它的顶角为 60或 120 【答案】解：当高在三角形内部时，顶角是 120； 当高在三角形外部时，顶角是 60 故答案为：60或 120 【点睛】 此题主要考查等腰三角形的性质， 熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键， 本题易出现的错误是只是求出 120一种情况，把三角形简
30、单的认为是锐角三角形因此此题属于易错 题 32 （2019浦东新区二模）在四边形 ABCD 中，向量 、 满足 = 4 ，那么线段 AB 与 CD 的位置 关系是 平行 【答案】解： = 4 ， 与 是共线向量， 由于 与 没有公共点， ABCD， 故答案为：平行 【点睛】本题考查共线向量，解题的关键是熟练运用共线向量的定义，本题属于基础题型 33 （2019浦东新区二模）已知梯形的上底长为 5 厘米，下底长为 9 厘米，那么这个梯形的中位线长等于 7 厘米 【答案】解：梯形的中位线长= 1 2 （5+9）7（厘米） 故答案为：7 【点睛】本题考查的是梯形中位线的计算，梯形中位线定理：梯形的中
31、位线平行于两底，并且等于两底 和的一半 34 （2019静安区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E、F 是 AB 的三等分点，点 G 是 AD 的中点， 联结 EC、FG 交于点 M已知 = ， = ，那么向量 = 5 9 + 5 6 （用向量 ， 表示） 【答案】解：如图，延长 FG 交 CD 的延长线于 H 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCH， = =1， AFDH， 设 AEEFFBa，则 ABCD3a，AFDH2a，CH5a， EFCH， = = 1 5， CM= 5 6CE， = + = 2 3 + ， = 5 6 = 5 9 + 5 6 ， 故答案为5 9 + 5
32、 6 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会 添加常用辅助线，灵活运用平行线分线段成比例定理解决问题，属于中考常考题型 35 （2019虹口区二模）如图，ADBC，BC2AD，AC 与 BD 相交于点 O，如果 = ， = ，那么 用 、 表示向量 是 2 【答案】解：ADBC， ADOCBO， = = 1 2， = + = + +3 = + 3 = 2 ， 故答案为： 2 【点睛】本题考查平面向量，解题的关键是熟练运用平面向量的运算法则，本题属于基础题型 36 （2019虹口区二模）我们知道，四边形不具有稳定性，容易变形一个矩形发生变形后成
33、为一个平行 四边形，设这个平行四边形相邻两个内角中较小的一个内角为 ，我们把 1 的值叫做这个平行四边形 的变形度如图，矩形 ABCD 的面积为 5，如果变形后的平行四边形 A1B1C1D1的面积为 3，那么这个平 行四边形的变形度为 5 4 【答案】解：过 A1作 A1DB1C1， 设矩形的长和宽分别为 a，b，变形后的平行四边形的高为 h， ab5，3ah， b= 5 ，h= 3 ， B1D= 2 2= 4 ， 1 = 1 4 5 = 5 4， 故答案为：5 4 【点睛】 本题考查了平行四边形的性质， 矩形的性质， 三角函数的定义， 正确的理解题意是解题的关键 37 （2019嘉定区二模）
34、如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，过点 O 的线段 EF 与 AD、 BC 分别交于点 E、F，如果 AB4，BC5，OE= 3 2，那么四边形 EFCD 的周长为 12 【答案】解：四边形 ABCD 平行四边形， ABCD4，ADBC5，AOOC，OADOCF，AOECOF， OAEOCF（AAS） ， OFOE1.5，CFAE， 四边形 EFCD 的周长ED+CD+CF+OF+OE ED+AE+CD+OE+OF AD+CD+OE+OF 4+5+1.5+1.5 12 故答案为：12 【点睛】本题利用了平行四边形的性质，由已知条件先证出OAEOCF，再全等三角形的性
35、质，转 化边的关系后再求解 38 （2019松江区二模）如图，在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点设 = ， = ，用 、 表示 为 +2 【答案】解：D、E 分别是边 AB、AC 的中点， DEBC，BC2DE， = ， =2 ， = + = +2 ， 故答案为 +2 【点睛】本题考查平面向量，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考 常考题型 39 （2019长宁区二模）如图，在平行四边形 ABCD 中，点 E 是边 CD 的中点，联结 AE、BD 交于点 F， 若 = ， = ，用 、 表示 = 1 3 1 3 【答案】解：四边形 ABCD 是平行四
36、边形， ABCD，ABCD， = = ， = = ， DEDC， = 1 2 = 1 2 ， = + = 1 2 ， DEAB， EF：AFDE：AB1：2， EF= 1 3AE， = 1 3 = 1 3 + 1 6 = + = 1 2 1 3 + 1 6 = 1 3 1 3 故答案为 1 3 1 3 【点睛】本题考查平面向量，平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 40 （2019宝山区二模）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC，BD 交于 O，过点 O 的线段 EF 与 AD，BC 分别交于 E，F，若 AB4，BC5，OE1.5，那么四边形 EFC
37、D 的周长为 12 【答案】解：四边形 ABCD 平行四边形， ABCD4，ADBC5，AOOC，OADOCF，AOECOF， OAEOCF， OFOE1.5，CFAE， 四边形 EFCD 的周长ED+CD+CF+OF+OE ED+AE+CD+OE+OF AD+CD+OE+OF 4+5+1.5+1.5 12 故答案为：12 【点睛】本题利用了平行四边形的性质和已知条件先证出OAEOCF，再全等三角形的性质，转化 边的关系后再求解 41 （2019崇明区二模）如图，在正六边形 ABCDEF 的上方作正方形 AFGH，联结 GC，那么GCD 的正 切值为 3 + 1 【答案】解：连接 FD，设正多
38、边形的边长为 a， 在FED 中，EFEDa，FED120， FD= 3a DGDF+FG（3 +1）a 在 RtGCD 中，tanGCD= = 3 + 1 故答案为3 + 1 【点睛】本题主要考查正多边形的内角和及解直角三角形，解题的关键是在正六边形中求出 DF 长度 42 （2019闵行区二模）如图，在ABC 中，点 D 在边 AC 上，且 CD2AD设 = ， = ，那么 = 1 3 （结果用向量、 的式子表示） 【答案】解：CD2AD， = ， = 1 3 = 1 3 ， = + ， = + 1 3 ， 故答案为：1 3 【点睛】 本题考查平面向量， 三角形法则等知识， 解题的关键是熟
39、练掌握基本知识， 属于中考常考题型 43 （2019崇明区二模）如图，在ABC 中，D、E 分别在边 AB、AC 上，DEBC，BD2AD， = ， = ，那么 用 、表示为： = 2 3 + 3 【答案】解：DEBC， = = 1 3， = ， =3 ， BD= 2 3AB， = ， = 2 3 ， = + ， = 2 3 +3 ， 故答案为2 3 +3 【点睛】本题考查平面向量，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于 中考常考题型 44（2019奉贤区二模） 已知ABC， 点D、 E分别在边AB、 AC上， DEBC， DE= 1 3 如果设 = ， = ， 那么
40、 = + 3 （用向量 、 的式子表示） 【答案】解：如图， DEBC，DE= 1 3BC， = ， =3 ， = + ， = +3 ， 故答案为 +3 【点睛】本题考查平面向量，平行向量的性质，三角形法则等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型 45 （2019普陀区二模）如图，AD、BE 是ABC 的中线，交于点 O，设 = ， = ，那么向量 用 向量 、 表示是 2 + 【答案】解：AD、BE 是ABC 的中线，交于点 O， AO2OD， =2 ， = + ， =2 + ， 故答案为 2 + 【点睛】本题考查平面向量，三角形法则，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是熟
41、练掌握基本知 识，属于中考常考题型 46（2019金山区二模） 如图， 在ABCD 中， E 是边 BC 上的点， AE 交 BD 于点 F， = 2 3， = ， = ， 那 么 = 3 2 （用 、 表示） 【答案】解：四边形 ABCD 是平行四边形， ADBC，ACBC， BE：BC2：3， BE：AD2：3， AD= 3 2BE， = ， = 3 2 ， = + ， = 3 2 ， 故答案为3 2 【点睛】本题考查平行四边形的性质，平面向量等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常 考题型 47 （2019崇明区一模）如果从一个四边形一边上的点到对边的视角是直角，那么称该点为直角
42、点例如， 如图的四边形 ABCD 中，点 M 在 CD 边上，连结 AM、BM，AMB90，则点 M 为直角点若点 E、 F 分别为矩形 ABCD 边 AB、CD 上的直角点，且 AB5，BC= 6，则线段 EF 的长为 7或6 【答案】解：作 FHAB 于点 H，连接 EF AFB90， AFD+BFC90， AMD+DAM90， DAFBFC 又DC， ADFFCB， = ，即 6 = 5 6 ， FC2 或 3 点 F，E 分别为矩形 ABCD 边 CD，AB 上的直角点， AEFC， 当 FC2 时，AE2，EH1， EF2FH2+EH2（6）2+127， EF= 7 当 FC3 时，
43、此时点 E 与点 H 重合，即 EFBC= 6， 综上，EF= 7或6 故答案为：7或6 【点睛】此题考查了相似三角形的判定定理及性质和勾股定理，得出ADFFCB 是解题关键 48 （2019徐汇区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，EF 是梯形 ABCD 的中位线，AHCD 分别交 EF、BC 于点 G、H，若 = ， = ，则用 、 表示 = 2 【答案】解：在梯形 ABCD 中，ADBC，则 ADHC，AHCD， 四边形 AHCD 是平行四边形 ADHC 又 EF 是梯形 ABCD 的中位线， EF= + 2 ，且 GFAD EGEFGF= + 2 AD= 2 = ， = ， =
44、 2 故答案是： 2 【点睛】考查了平面向量和梯形中位线定理，注意：向量既有大小又有方向 49 （2019普陀区一模）如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，ABBC，BDDC，tanABD= 1 2，BC5， 那么 DC 的长等于 25 【答案】解：ABBC， ABD+DBC90， BDDC， C+DBC90， ABDC， tanC= = 1 2， BD= 1 2CD， 由勾股定理得，BD2+CD2BC2，即（1 2CD） 2+CD252， 解得，CD25， 故答案为：25 【点睛】本题考查的是梯形的性质，正切的定义，勾股定理，掌握梯形的性质，正切的定义是解题的关 键 50 （2019宝山区一
45、模）若 2| |3，那么 3| 9 2 【答案】解：由 2| |3 得到：|=3 2， 故 3| |33 2 = 9 2 故答案是：9 2 【点睛】考查了平面向量的知识，解题时，可以与实数的运算法则联系起来考虑，属于基础题. 51（2019嘉定区一模） 如果向量 、 、 满足关系式 2 （ 3 ） 4 ， 那么 = 2 （用向量 、 表 示） 【答案】解：2 （ 3 ）4 2 +3 4 =0 2 =0 =2 故答案是：2 【点睛】考查平面向量，此题是利用方程思想求得向量 的值的，难度不大 52 （2019闵行区一模）化简： 3 2 + + 1 2（ 3 2 ） + 1 4 【答案】解： 3 2 + + 1 2（ 3 2 ） = 3 2 + + 1 2 3 4 （ 3 2 + 1 2） +（1 3 4） = + 1 4 故答案是： + 1 4