1、备战备战 2021 年中考数学真题年中考数学真题模拟题模拟题分类汇编分类汇编(上海上海专版专版) 专题专题 1313 相似三角形相似三角形( (共共 4747 题题) ) 一填空题一填空题(共共 2 小题小题) 1(2020上海)九章算术中记载了一种测量井深的方法如图所示，在井口 B 处立一根垂直于井口的 木杆 BD，从木杆的顶端 D 观察井水水岸 C，视线 DC 与井口的直径 AB 交于点 E，如果测得 AB1.6 米，BD1 米，BE0.2 米，那么井深 AC 为 7 米 【分析】根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论 【解析】BDAB，ACAB， BDAC， ACEBDE， = ，
2、1 = 1.4 0.2， AC7(米)， 答：井深 AC 为 7 米 2(2018上海)如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上如果 BC4，ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是 12 7 【分析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，如图，先利用三角形面积公式计算出 AH3，设正方形 DEFG 的边长为 x， 则 GFx， MHx， AM3x， 再证明AGFABC， 则根据相似三角形的性质得 4 = 3; 3 ， 中考真题再现中考真题再现 然后解关于 x 的方程即可 【解析】作 AHBC 于 H，交 GF 于 M，
3、如图， ABC 的面积是 6， 1 2BCAH6， AH= 26 4 =3， 设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GFx，MHx，AM3x， GFBC， AGFABC， = ，即 4 = 3; 3 ，解得 x= 12 7 ， 即正方形 DEFG 的边长为12 7 故答案为12 7 二解答题二解答题(共共 5 小题小题) 3(2020上海)已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，BEDF，CE 的延长线交 DA 的延长线于点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H (1)求证：BECBCH； (2)如果 BE2ABAE，求证：AGDF 【分析】(1)想办法
4、证明BCEH 即可解决问题 (2)利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可 【解答】(1)证明：四边形 ABCD 是菱形， CDCB，DB，CDAB， DFBE， CDFCBE(SAS)， DCFBCE， CDBH， HDCF， BCEH， BB， BECBCH (2)证明：BE2ABAE， = ， AGBC， = ， = ， DFBE，BCAB， BEAGDF， 即 AGDF 4(2019上海)已知：如图，AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC，D 是 AO 延长线上一点，联结 BD 并 延长交O 于点 E，联结 CD 并延长交O 于点 F (1)求证：BDCD； (2)如果 A
5、B2AOAD，求证：四边形 ABDC 是菱形 【分析】(1)连接 BC，根据 ABAC，OBOAOC，即可得出 AD 垂直平分 BC，根据线段垂直平分线 性质求出即可； (2)根据相似三角形的性质和判定求出ABOADBBAO，求出 BDAB，再根据菱形的判定推出 即可 【解答】证明：(1)如图 1，连接 BC，OB，OC， AB、AC 是O 的两条弦，且 ABAC， A 在 BC 的垂直平分线上， OBOAOC， O 在 BC 的垂直平分线上， AO 垂直平分 BC， BDCD； (2)如图 2，连接 OB， AB2AOAD， = ， BAODAB， ABOADB， OBAADB， OAOB，
6、 OBAOAB， OABBDA， ABBD， ABAC，BDCD， ABACBDCD， 四边形 ABDC 是菱形 5(2019上海)如图 1，AD、BD 分别是ABC 的内角BAC、ABC 的平分线，过点 A 作 AEAD，交 BD 的延长线于点 E (1)求证：E1 2C； (2)如图 2，如果 AEAB，且 BD：DE2：3，求 cosABC 的值； (3)如果ABC 是锐角，且ABC 与ADE 相似，求ABC 的度数，并直接写出 的值 【分析】(1)由题意：E90ADE，证明ADE90 1 2C 即可解决问题 (2)延长 AD 交 BC 于点 F证明 AEBC，可得AFBEAD90， =
7、 ，由 BD：DE2：3， 可得 cosABC= = = 2 3 (3)因为ABC 与ADE 相似，DAE90，所以ABC 中必有一个内角为 90因为ABC 是锐角， 推出ABC90接下来分两种情形分别求解即可 【解答】(1)证明：如图 1 中， AEAD， DAE90，E90ADE， AD 平分BAC， BAD= 1 2BAC，同理ABD= 1 2ABC， ADEBAD+DBA，BAC+ABC180C， ADE= 1 2(ABC+BAC)90 1 2C， E90(90 1 2C)= 1 2C (2)解：延长 AD 交 BC 于点 F ABAE， ABEE， BE 平分ABC， ABEEBC，
8、 ECBE， AEBC， AFBEAD90， = ， BD：DE2：3， cosABC= = = 2 3 (3)ABC 与ADE 相似，DAE90， ABC 中必有一个内角为 90 ABC 是锐角， ABC90 当BACDAE90时， E= 1 2C， ABCE= 1 2C， ABC+C90， ABC30，此时 =23 当CDAE90时， = 1 2C45， EDA45， ABC 与ADE 相似， ABC45，此时 =22 综上所述，ABC30或 45， =23或 22 6(2018上海)已知：如图，正方形 ABCD 中，P 是边 BC 上一点，BEAP，DFAP，垂足分别是点 E、 F (1
9、)求证：EFAEBE； (2)连接 BF，如果 = 求证：EFEP 【分析】(1)利用正方形的性质得 ABAD，BAD90，根据等角的余角相等得到13，则可判 断ABEDAF，则 BEAF，然后利用等线段代换可得到结论； (2)利用 = 和 AFBE 得到 = ，则可判定 RtBEFRtDFA，所以43，再证明4 5，然后根据等腰三角形的性质可判断 EFEP 【解答】证明：(1)四边形 ABCD 为正方形， ABAD，BAD90， BEAP，DFAP， BEAAFD90， 1+290，2+390， 13， 在ABE 和DAF 中 = 1 = 3 = ， ABEDAF， BEAF， EFAEAF
10、AEBE； (2)如图， = ， 而 AFBE， = ， = ， RtBEFRtDFA， 43， 而13， 41， 51， 45， 即 BE 平分FBP， 而 BEEP， EFEP 7(2015上海)已知，如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，点 E 在边 BC 的延长线上，且 OE OB，连接 DE (1)求证：DEBE； (2)如果 OECD，求证：BDCECDDE 【分析】(1)由平行四边形的性质得到 BO= 1 2BD，由等量代换推出 OE= 1 2BD，根据平行四边形的判定 即可得到结论； (2)根据等角的余角相等，得到CEOCDE，推出BDECDE，即可得到结论 【解答
11、】证明：(1)四边形 ABCD 是平行四边形， BOOD， OEOB， OEOD， OBEOEB，OEDODE， OBE+OEB+OED+ODE180， BEO+DEOBED90， DEBE； (2)OECD CEO+DCECDE+DCE90， CEOCDE， OBOE， DBECDE， BEDBED， BDEDCE， = ， BDCECDDE 一选择题一选择题(共共 14 小题小题) 1(2020闵行区一模)已知 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 APBP，那么下列比例式能成立的是( ) A = B = C = D = 5;1 2 【分析】根据黄金分割的定义：把线段 AB 分成两条线段 A
12、P 和 BP(APBP)，且使 AP 是 AB 和 BP 的 比例中项，叫做把线段 AB 黄金分割，点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点 【解析】根据黄金分割定义可知： AP 是 AB 和 BP 的比例中项， 即 AP2ABBP， = 故选：A 2(2020宝山区一模)如果 2a3b，那么 =( ) A 2 3 B 3 2 C5 D1 【分析】直接利用已知变形进而得出答案 2 2020020 模拟模拟汇编汇编 【解析】2a3b， = 3 2 故选：B 3(2020普陀区一模)已知 = 3 5，那么下列等式中，不一定正确的是( ) A5x3y Bx+y8 C: = 8 5 D = :3 :5 【
13、分析】根据比例的性质作答 【解析】A、由比例的性质得到 3y5x，故本选项不符合题意 B、根据比例的性质得到 x+y8k(k 是正整数)，故本选项符合题意 C、根据合比性质得到: = 8 5，故本选项不符合题意 D、根据等比性质得到 = :3 :5，故本选项不符合题意 故选：B 4(2020奉贤区一模)已知线段 a，b，c，如果 a：b：c1：2：3，那么: :的值是( ) A1 3 B2 3 C3 5 D5 3 【分析】直接利用已知进而表示出 a，b，c，进而代入求出答案 【解析】a：b：c1：2：3， 设 ax，b2x，c3x， : : = :2 3:2 = 3 5 故选：C 5(2020
14、闵行区一模)如果把 RtABC 的各边长都扩大到原来的 n 倍，那么锐角 A 的四个三角比值( ) A都缩小到原来的 n 倍 B都扩大到原来的 n 倍 C都没有变化 D不同三角比的变化不一致 【分析】根据三角形三边扩大相同的倍数，可得边的比不变，根据锐角三角函数的定义，可得答案 【解析】如果把 RtABC 的三边长度都扩大 2 倍，锐角 A 不变，锐角三角函数值不变， 故选：C 6(2020青浦区一模)如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，点 G 在线段 AD 上，GEBD，且交 AB 于点 E，GFAC，且交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是( ) A = B = C = D =
15、 【分析】利用相似三角形的性质和平行线分线段成比例依次判断可求解 【解析】GEBD， = ，AEGABD， = = ， GFAC， = ， = ，DGFDAC， = = ， = ， = ， = ， + = + =1， 只有选项 A 符合题意， 故选：A 7(2020徐汇区一模)已知，P 是线段 AB 上的点，且 AP2BPAB，那么 AP：AB 的值是( ) A5;1 2 B3;5 2 C5:1 2 D3:5 2 【分析】根据黄金分割定义即可求解 【解析】设 AB 为 1，AP 为 x，则 BP 为 1x， AP2BPAB， x2(1x)1 解得 x1= 51 2 ，x2= 15 2 (舍去)
16、 AP：AB= 51 2 故选：A 8 (2020浦东新区三模)如图， 已知ABC 与BDE 都是等边三角形， 点 D 在边 AC 上(不与点 A、 C 重合)， DE 与 AB 相交于点 F，那么与BFD 相似的三角形是( ) ABFE BBDC CBDA DAFD 【分析】根据等边三角形的性质和相似三角形的判定定理即可得到结论 【解析】ABC 与BDE 都是等边三角形， ABDF60， ABDDBF， BFDBDA， 与BFD 相似的三角形是BDA， 故选：C 9(2020闵行区校级一模)如图，在正方形 ABCD 中，BPC 是等边三角形，BP、CP 的延长线分别交 AD 于点 E、 F，
17、 连结 BD、 DP， BD 与 CF 相交于点 H， 给出下列结论： BE2AEDFPBPHDP2 PHPC；FE：BC= (23 3)：3，其中正确的个数为( ) A1 B2 C3 D4 【分析】由正方形的性质和相似三角形的判定与性质，即可得出结论 【解析】BPC 是等边三角形， BPPCBC，PBCPCBBPC60， 在正方形 ABCD 中， ABBCCD，AADCBCD90 ABEDCF30， BE2AE；故正确； PCCD，PCD30， PDC75， FDP15， DBA45， PBD15， FDPPBD， DFPBPC60， DFPBPH；故正确； PDHPCD30，DPHDPC，
18、 DPHCPD， = ， DP2PHPC，故正确； ABE30，A90 AE= 3 3 AB= 3 3 BC， DCF30， DF= 3 3 DC= 3 3 BC， EFAE+DFBC= 23 3 BC， FE：BC(23 3)：3 故正确， 故选：D 10(2020宝山区二模)如图，矩形 EFGH 内接于ABC，且边 FG 落在 BC 上，如果 ADBC，BC3， AD2，EF：EH2：3，那么 EH 的长为( ) A1 2 B3 2 C12 13 D2 【分析】设 EH3x，表示出 EF，由 ADEF 表示出AEH 的边 EH 上的高，根据AEH 与ABC 相 似，利用相似三角形对应边上的
19、高之比等于相似比求出 x 的值，即为 EH 的长 【解析】如图所示： 四边形 EFGH 是矩形， EHBC， AEHABC， AMEH，ADBC， = ， 设 EH3x，则有 EF2x，AMADEF22x， 2;2 2 = 3 3 ， 解得：x= 1 2， 则 EH= 3 2 故选：B 11(2020虹口区一模)如图，点 D 是ABC 的边 BC 上一点，BADC，AC2AD，如果ACD 的面 积为 15，那么ABD 的面积为( ) A15 B10 C7.5 D5 【分析】首先证明BADBCA，由相似三角形的性质可得：BAD 的面积：BCA 的面积为 1：4， 得出BAD 的面积：ACD 的面
20、积1：3，即可求出ABD 的面积 【解析】BADC，BB， BADBCA， AC2AD， = ( ) 2=1 4， = 1 3， ACD 的面积为 15， ABD 的面积= 1 3 155， 故选：D 12(2020金山区一模)如果点 D、E，F 分别在ABC 的边 AB、BC，AC 上，联结 DE、EF，且 DEAC， 那么下列说法错误的是( ) A如果 EFAB，那么 AF：ACBD：AB B如果 AD：ABCF：AC，那么 EFAB C如果EFCABC，那么 EFAB D如果 EFAB，那么EFCBDE 【分析】由平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质得出选项 A 不符合题意；由平行线
21、分线段成 比例定理和已知条件得出选项 B 不符合题意；由相似三角形的性质得出 EF 与 AB 不平行，选项 C 符合 题意；由平行线的性质和相似三角形的判定得出选项 D 不符合题意；即可得出答案 【解析】如图所示： A、DEAC，EFAB， 四边形 ADEF 是平行四边形，BDEBAC， DEAF， = ， AF：ACBD：AB；选项 A 不符合题意； B、DEAC， AD：ABCE：BC， AD：ABCF：AC， CE：BCCF：AC， EFAB，选项 B 不符合题意； C、EFCABC， CFECBA， EF 与 AB 不平行，选项 C 符合题意； D、DEAC，EFAB， CBED，CE
22、FB， EFCBDE，选项 D 不符合题意； 故选：C 13(2020崇明区一模)如图，在ABC 中，点 D、E 分别在 AB 和 AC 边上且 DEBC，点 M 为 BC 边上 一点(不与点 B、C 重合)，联结 AM 交 DE 于点 N，下列比例式一定成立的是( ) A = B = C = D = 【分析】根据相似三角形的判定和性质分析即可 【解析】DEBC， ADNABM，ANEAMC， = ， = ， = ， 即 = ， 故选：B 14(2020杨浦区一模)如图，在正方形 ABCD 中，ABP 是等边三角形，AP、BP 的延长线分别交边 CD 于点 E、F，联结 AC，CP，AC 与
23、BF 相交于点 H，下列结论中错误的是( ) AAE2DE BCFPAPH CCFPAPC DCP2PHPB 【分析】A 正确利用直角三角形 30 度角的性质即可解决问题 B 正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断 C 错误通过计算证明CPACPF，即可判断 D 正确利用相似三角形的性质即可证明 【解析】四边形 ABCD 是正方形， DDAB90， APB 是等边三角形， PABPBAAPB60， DAE30， AE2DE，故 A 正确， ABCD， PFEABPAPH60， AHPPBA+BAH60+45105， 又BCBP，PBC30， BPCBCP75， CPF105， PHACPF，
24、 CFPAPH，故 B 正确， CPA60+75135CPF， CFP 与APC 不相似，故 C 错误， PCHPCBBCH754530， PCHPBC， CPHBPC， PCHPBC， = ， CP2PHPB，故 D 正确， 故选：C 二填空题二填空题(共共 14 小题小题) 15(2020闵行区校级一模)已知线段 AB2，P 是 AB 的黄金分割点，且 APBP，那么 AP 5 1 【分析】根据黄金分割的概念、黄金比值为5;1 2 计算 【解析】P 是 AB 的黄金分割点，APBP， AP= 51 2 AB= 5 1， 故答案为：5 1 16(2020虹口区一模)已知ABCA1B1C1，顶
25、点 A、B、C 分别与 A1、B1、C1对应，AC12、A1C1 8，ABC 的高 AD 为 6，那么 A1B1C1的高 A1D1长为 4 【分析】直接利用相似三角形的性质得出相似比等于对应高的比进而得出答案 【解析】ABCA1B1C1，AC12、A1C18， 相似比为：12 8 = 3 2， ABC 的高 AD 为 6， A1B1C1的高 A1D1长为：6 2 3 =4 故答案为：4 17(2020青浦区二模)如果点 D、E 分别是ABC 的 AB、AC 边的中点，那么ADE 与ABC 的周长之 比是 1：2 【分析】根据中位线的定理即可求出答案 【解析】点 D、E 分别是ABC 的 AB、
26、AC 边的中点， DE 是ABC 的中位线， = = = 1 2， = : : = 1 2 故答案为：1：2 18(2020虹口区一模)如果 a：b2：3，且 a+b10，那么 a 4 【分析】根据已知条件设 a2k，b3k，再根据 a+b10 求出 k 的值，从而得出 a 的值 【解析】设 a2k，b3k， a+b10， 2k+3k10， 解得：k2， a2k224； 故答案为：4 19(2020奉贤区一模)如图，将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置，如果点 A恰好 是ABC 的重心，AB、AC分别于 BC 交于点 M、N，那么AMN 面积与ABC 的面积之比 是 1
27、9 【分析】由重心的性质可得 AD= 1 3AD，由相似三角形的性质可得AMN 面积与ABC 的面积之比 ( )2= 1 9 【解析】点 A恰好是ABC 的重心， AD= 1 3AD， 将ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 ABC的位置， ABCAMN， AMN 面积与ABC 的面积之比( )2= 1 9， 故答案为：1 9 20 (2020浦东新区二模)在 RtABC 中， ABC90， AB8， BC6， 点 D、 E 分别在边 AB、 AC 上 如 果 D 为 AB 中点，且 = ，那么 AE 的长度为 5 或 7 5 【分析】先求出 DE 的长，分两种情况讨论，利用相似三角形的
28、性质和等腰三角形的性质可求解 【解析】ABC90，AB8，BC6， AC= 2+ 2 = 64 + 36 =10， D 为 AB 中点， AD4， = ， 4 8 = 6 DE3， 如图，ADEABC90时， ADEABC， = AE5， 如图，ADEABC 时，取 AC 中点 H，连接 DH，过点 D 作 DFAC 于 F， 点 D 是 AB 中点，点 H 是 AC 的中点， DH= 1 2BC3，AHHC5，DHBC， ADHABC90， SADH= 1 2 AHDF= 1 2 ADDH， 5DF12， DF= 12 5 ， FH= 2 2 =9 144 25 = 9 5， DEDH，DF
29、AC， EFFH= 9 5， AEAH 9 5 9 5 = 7 5， 故答案为：5 或7 5 21(2020嘉定区二模)定义：如果三角形的两个内角 与 满足2，那么，我们将这样的三 角形称为“倍角三角形” 如果一个等腰三角形是“倍角三角形” ，那么这个等腰三角形的腰长与底边长 的比值为 2 2 或5:1 2 【分析】若等腰三角形的三个内角、，利用+2180和2 得 45， 此“倍角三角形”为等腰直角三角形，从而得到腰长与底边长的比值；若等腰三角形的三个内角、 ，利用 2+180和2 得 36，如图，BC72，A36，作 ABC 的平分线 BD，则ABDCBD36，易得 DADBCB，再证明BD
30、CACB，利用相 似比得到 BC：ACCD：BC，等量代换得到 BC：AC(ACBC)：BC，然后解关于 AC 的方程 AC2 ACBCBC20 得 AC 与 BC 的比值即可 【解析】若等腰三角形的三个内角、， +2180，2， 4180，解得 45， 此“倍角三角形”为等腰直角三角形， 腰长与底边长的比值为 2 2 ； 若等腰三角形的三个内角、， 2+180，2， 5180，解得 36， 如图，BC72，A36，作ABC 的平分线 BD，则ABDCBD36， DADB， BDCA+ABD72， BDCC， BDBC， 即 DADBCB， CBDA，BCDACB， BDCACB， BC：AC
31、CD：BC， 即 BC：AC(ACBC)：BC， 整理得 AC2ACBCBC20，解得 AC= 1+5 2 BC， 即 = 5:1 2 ， 此时腰长与底边长的比值为5:1 2 ， 综上所述，这个等腰三角形的腰长与底边长的比值为 2 2 或5:1 2 故答案为 2 2 或5:1 2 22 (2020奉贤区一模)已知ABC 中， 点 D、 E 分别在边 AB 和 AC 的反向延长线上， 若 = 1 3， 则当 的值 是 1 4 时，DEBC 【分析】根据平行线分线段成比例分析即可 【解析】要使 DEBC，则需 = ， = : = 1 4 故答案为：1 4 23(2020闵行区二模)已知在梯形 AB
32、CD 中，ADBC，ABC90，对角线 AC、BD 相交于点 O，且 ACBD，如果 AD：BC2：3，那么 DB：AC 6：3 【分析】过点 A 作 AEBD 交 CB 延长线于点 E，根据 ADBC，可得四边形 AEBD 是平行四边形，可 得 ACAE，证明ABOBCO，对应边成比例可得 OB= 6x，进而可求 tanACB= = 6 3 ，即可 得结论 【解析】如图， 过点 A 作 AEBD 交 CB 延长线于点 E， ADBC， 四边形 AEBD 是平行四边形， AEBD， ACBD， ACAE， tanACB= ， ADBC， = = 2 3， DBAC， BOC90， OCB+OB
33、C90， ABO+OBC90， ABOOCB， ABOBCO， = ， 设 AO2x，OC3x， OB= 6x， tanACB= = 6 3 ， = = 6 3 故答案为：6：3 24(2020宝山区一模)如图，已知正方形 ABCD 的各个顶点 A、B、C、D 都在O 上，如果 P 是 的中 点，PD 与 AB 交于 E 点，那么 = 2;1 2 【分析】根据垂径定理，连接 OP 后有 OPAD，可构成比例线段求解 【解析】连接 OP，交 AB 于点 F，连接 AC 根据垂径定理的推论，得 OPAB，AFBF 根据 90的圆周角所对的弦是直径，则 AC 为直径 设正方形的边长是 1，则 AC=
34、 2，圆的半径是 2 2 根据正方形的性质，得OAF45 所以 OF= 1 2，PF= 21 2 OPAD， = = 2;1 2 故答案为2;1 2 25(2020宝山区二模)如图，点 D 是ABC 的边 AB 上一点，如果ACDB，并且 AD：AC1：3， 那么 AD：BD 1：2 【分析】根据两角分别相等的两个三角形相似，可得ACDABC 的关系，根据相似三角形的性质， 可得答案 【解析】在ACD 与ABC 中， ACDABC，AA， ACDABC， = = 1 3 ， = 1 3 = 1 2 即 AD：BD1：2 故答案是：1：2 26(2020青浦区二模)小明学习完相似三角形一章后，发
35、现了一个有趣的结论：在两个不相似的直角 三角形中，分别存在经过直角顶点的一条直线，把直角三角形分成两个小三角形后，如果第一个直角三 角形分割出来的一个小三角形与第二个直角三角形分割出来的一个小三角形相似， 那么分割出来的另外 两个小三角形也相似他把这样的两条直线称为这两个直角三角形的相似分割线 如图 1、图 2，直线 CG、DH 分别是两个不相似的 RtABC 和 RtDEF 的相似分割线，CG、DH 分别 与斜边 AB、EF 交于点 G、H，如果BCG 与DFH 相似，AC3，AB5，DE4，DF8，那么 AG 3 【分析】先由勾股定理得出 BC 的值，再由BCGDFH 列出比例式，设 AG
36、x，用含 x 的式子表示 出 DH；按照相似分割线可知，AGCDHE，但要先得出两个相似三角形的边或角是如何对应的， 再根据相似三角形的性质列出比例式，解得 x 值即可 【解析】RtABC，AC3，AB5， 由勾股定理得：BC4， BCGDFH， = ， 已知 DF8，设 AGx，则 BG5x， 5; = 4 8， DH102x， BCGDFH， BFDH，BGCCHF， AGCDHE， A+B90，EDH+FDH90， AEDH， AGCDHE， = ， 又 DE4， 10;2 = 3 4， 解得：x3， 经检验，x3 是原方程的解，且符合题意 AG3 故答案为：3 27(2020虹口区一模
37、)如图，在梯形 AEFB 中，ABEF，AB6，EF10，点 C、D 分别在边 AE、BF 上且 CDAB，如果 AC3CE，那么 CD 9 【分析】连接 BE 交 CD 于点 M，由平行线分线段成比例定理先证 = 1 4， = 3 4，再证ECM EAB，BMDBEF，由相似三角形的性质可分别求出 CM，DM 的长，可进一步求出 CD 的长 【解析】如图，连接 BE 交 CD 于点 M， AC3CE， = 1 3， ABEF，CDAB， ABCDEF， = = 1 3， = 1 4， = 3 4， CMAB， ECMEAB， = ， 即 6 = 1 4， CM= 3 2， MDEF， BMD
38、BEF， = ， 即 10 = 3 4， MD= 15 2 ， CDCM+MD= 3 2 + 15 2 =9， 故答案为：9 28(2020虹口区一模)如图，在等腰梯形 ABCD 中，ADBC，sinC= 4 5，AB9，AD6，点 E、F 分别 在边 AB、BC 上，联结 EF，将BEF 沿着 EF 所在直线翻折，使 BF 的对应线段 BF 经过顶点 A，B F 交对角线 BD 于点 P，当 BFAB 时，AP 的长为 24 7 【分析】解直角三角形求出 BF，AF，再利用相似三角形的性质求解即可 【解析】如图， FBAB， BAF90， 四边形 ABCD 是等腰梯形， ABCC， sinA
39、BCsinC= = 4 5， 设 AF4k，BF5k，则 AB93k， k3， AF12，BF15， ADBF， APDFPB， = = 6 15 = 2 5， PA= 2 7AF= 24 7 ， 故答案为24 7 三解答题三解答题(共共 12 小题小题) 29(2020闵行区一模)已知：如图，ABC 中，ACB90，D 在斜边 AB 上，DEAC，DFBC，垂 足分 别为 E，F (1)当ACDBCD 时，求证：四边形 DECF 是正方形； (2)当BCDA 时，求证： = 【分析】(1)由垂直的定义可得出DECDFC，结合ECF90可得出四边形 DECF 为矩形，由 ACDBCD 可得出
40、CD 平分ACB，利用角平分线的性质可得出 DEDF，再利用“邻边相等的矩 形是正方形”可证出四边形 DECF 是正方形； (2)由BCD+ACDACB90，BCDA 可得出A+ACD90，利用三角形内角和定理 可求出ADC90，由DCFA，DFCADC90可证出CDFACD，再利用相似三 角形的性质可证出 = 【解答】证明：(1)DEAC，DFBC， DECDFC90， 又ECF90， 四边形 DECF 为矩形 ACDBCD， CD 平分ACB， DEDF， 四边形 DECF 是正方形 (2)BCD+ACDACB90，BCDA， A+ACD90， ADC1809090 DCFA，DFCADC
41、90， CDFACD， = 30(2020奉贤区二模)已知：如图，在梯形 ABCD 中，CDAB，DAB90，对角线 AC、BD 相交于 点 E，ACBC，垂足为点 C，且 BC2CECA (1)求证：ADDE； (2)过点 D 作 AC 的垂线，交 AC 于点 F，求证：CE2AEAF 【分析】(1)根据相似三角形的判定定理得到BCEACB，根据相似三角形的性质得到CBE CAB，根据等角的余角相等得到BECDAE，根据等腰三角形的判定定理证明； (2)根据平行线分线段成比例定理得到 = ， = ，得到 = ，整理得到 CE 2AEEF， 根据等腰三角形的三线合一得到 AFEF，证明结论 【
42、解答】证明：(1)BC2CECA， = ，又ECBBCA， BCEACB， CBECAB， ACBC，DAB90， BEC+CBE90，DAE+CAB90， BECDAE， BECDEA， DAEDEA， ADDE； (2)DFAC，ACBC， DFEBCA90， DFBC， = ， DCAB， = ， = ， CE2AEEF， ADDE，DFAC， AFEF， CE2AEAF 31(2020宝山区一模)如图，ABC 中，ABAC，AM 为 BC 边的中线，点 D 在边 AC 上，联结 BD 交 AM 于点 F，延长 BD 至点 E，使得 = ，联结 CE求证： (1)ECD2BAM； (2)
43、BF 是 DF 和 EF 的比例中项 【分析】 (1)由等腰三角形的性质可得BAC2BAM， 通过证明ADBCDE， 可得BACECD 2BAM； (2)由等腰三角形的性质可得 BFCF，通过证明DCFCEF，可得 = ，可得结论 【解答】证明：(1)ABAC，AM 为 BC 边的中线， BAC2BAM， = ，ADBCDE， ADBCDE， BACECD， ECD2BAM； (2)如图，连接 CF， ABAC，AM 为 BC 边的中线， AM 是 BC 的垂直平分线， BFCF，且 ABAC，AFAF， ABFACF(SSS) ABFACF， 由(1)可知：ADBCDE， ABFE， ACF
44、E，且EFCDFC， DCFCEF， = ，且 BFCF， BF2DFEF， BF 是 DF 和 EF 的比例中项 32(2020青浦区一模)已知：如图，在ABC 中，点 D 在边 BC 上，AEBC，BE 与 AD、AC 分别相交于 点 F、G，AF2FGFE (1)求证：CADCBG； (2)联结 DG，求证：DGAEABAG 【分析】(1)通过证明FAGFEA，可得FAGE，由平行线的性质可得EEBCFAG， 且ACDBCG，可证CADCBG； (2)由相似三角形的性质可得 = ，且DCGACB，可证CDGCAB，可得 = ，由 平行线分线段成比例可得 = ，可得结论 【解答】证明：(1
45、)AF2FGFE = ，且AFGEFA， FAGFEA， FAGE， AEBC， EEBC， EBCFAG，且ACDBCG， CADCBG； (2)CADCBG， = ，且DCGACB， CDGCAB， = ， AEBC， = = ， = ， DGAEABAG 33(2020浦东新区三模)如图，在 RtABC 中，ACB90，BAC60，AC6，AD 平分BAC， 交边 BC 于点 D，过点 D 作 CA 的平行线，交边 AB 于点 E (1)求线段 DE 的长； (2)取线段 AD 的中点 M，联结 BM，交线段 DE 于点 F，延长线段 BM 交边 AC 于点 G，求 的值 【分析】(1)
46、根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可； (2)根据平行线分线段成比例定理，列出比例式求解即可 【解析】(1)AD 平分BAC，BAC60， DAC30， 在 RtACD 中，ACD90，DAC30，AC6， CD23， 在 RtACB 中，ACB90，BAC60，AC6， BC63， BDBCCD43， DECA， = = 2 3， DE4； (2)点 M 是线段 AD 的中点， DMAM， DECA， = ， DFAG， DECA， = ， = ， = ， BD43，BC63，DFAG， = 2 3 34(2020普陀区二模)已知：如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E 是 DB