1、借助作图操作寻求解题思路借助作图操作寻求解题思路 【专题综述】 几何知识是初中数学的一个重要部分.其中，几何作图是几何知识的一个重要内容，它是学好几何的必备技 能.几何作图不仅可以帮助学生提高识图能力，还可以帮助学生提高分析问题和解决问题的能力，在几何作 图的过程中，可以让学生加深对题目的理解. 复杂的几何作图，都是由一些基本作图组成的.常见的基本作图有根据条件作三角形;作角平分线;作线段垂 直平分线;作轴对称图形;作旋转图形等等.在复杂几何问题中，适当的分析与操作，作图，有助于我们解决几 何问题. 【方法解读】 下面通过一个例题，说明几何作图的操作探究，对于分析几何问题，寻求解题思路具有重要
2、意义. 试题 (2017 年福建省泉州市初中学业质量检查题)如图 1， 在直角坐标系中， 抛物线与轴 交于两点，与直线交于点. (1)求的值; (2)已知点关于原点对称，现将线段沿轴向上平移个单位长度，若线段与抛物 线有两个不同的公共点，试求的取值范围; (3)利用尺规作图，在该抛物线上作出点，使得，并简要说明理由.(保留作图痕迹) 解析 (1) 抛物线与直线的交点为, ,得. (2)如图 2, 关于原点对称，. 易得线段的解析式为. 2 2yxbx x ,A B2yx(1,)Mm ,m b ,M NOMNy(0)s s MN s GAGOBGO Q(1,)Mm 12 2 mb m 1 2 b
3、 m ,M NQO( 1, 2)N MN2 ( 11)yxx 线段向上平移个单位长度后对应线段的解析式为. 若 与抛物线有两个交点，则方程组 , 有两个不同的解，即方程有两个不同的解. , . 通过观察图象，可知线段向上平移的过程中，当过点时，线段与抛物线开始有两个交 点. 经过点时，有,即. 综上，. 对于第(1)(2)问，学生通过简单的推理计算及数形结合的方法容易得到结论.而对于第(3)问，很多学生无从下 手，或者胡乱作图.下面我们对第(3)问进行分析. 首先，从条件“”出发，即平分.考虑到它具有性质“角平分线上的点到角两边 的距离相等”，所以过点作于点于点，如图 3，则有. MNs:2(
4、 11)l yxsx l 2 2 2 yxs yxx 2 20 xxs 14(2)0s V 9 4 s MNMNAMN l( 1,0)A 20s 2s 9 2 4 s AGOBGOGOAGB OOEAG,E OFBGFOEOF 由于点，点，所以有，进而有. 由于，所以得到. 得到的新条件“”，对于能力强的初中生来说，会利用平面直角坐标系中两点的距离公式得到点 的横纵坐标满足的关系式，再结合圆的方程，得到尺规作图的方法.解答如下: 设，则. , ，即，整理得 . 则点是在以(-2,0)为圆心，2 为半径的圆上，进而完成尺规作图. 对于能力强，具有超前学习能力的学生来说，可以通过代数计算的方法得到
5、解答思路.但是大部分初中生对 于式子，转化成圆的方程，进而得到点的轨迹是没有办 法理解的.那么，是否有其它方法让大部分学生能解决这个难题呢?于是，笔者做了如下思考. 本题的第(3)问要求用尺规作图，得到点.既然是尺规作图，那是否能用尺规作图，加上直观猜想的方法去 寻找满足条件“”的点的轨迹呢?如果能， 那么， 这个轨迹与抛物线的交点不就是所要找的点 了吗? 根据上面的思路，抛去抛物线的背景，利用尺规，开始寻找点的轨迹. 以为半径作，以为半径作.两圆的交点为点. 由于，要使得与有交点，则 (线段的范围在学生自己操作的过程 中，会自然得到.若选取的长度不适合，则所作的与没有交点，那么需要调整的长度
6、，最 终发现. 确定了线段的某个长度后，作，调整的长度，使得，作，得到交点;重复 上面的操作，得到若干个点 (如图 4，本文图中选取的长度为 3，2.75，2.5，2，1. 5，1.25，1). ( 1,0)A (2,0)B2OAOB2 AOGBOG SS OEOF2AGBG 2AGBG G ( , )G x y 222222 (1),(2)AGxyBGxy 2AGBGQ 22 4AGBG 2222 4(1)4(2)xyxy 22 (2)4xy G 2222 4(1)4(2)xyxy 22 (2)4xyG G 2AGBGGG G AGABGBG 1,2OAOBAB13AGAG AGABAG 1
7、3AG AGABG2AGBGBG GAG 在准确作图后，观察发现，这些点形成了圆的图形(如图5).且在作图时发现当=3 时，与只 有一个交点(-4,0)，当=1 时，与只有一个交点(0,0)，进而得到所在的轨迹为以(-2,0) 为圆心，2 为半径的圆，进而完成尺规作图. 这样，在不需要具备圆的方程，不需要复杂的代数变形技巧的情况下，我们凭借几何作图和直观猜想，就 寻找到了点的轨迹. 下面给出证明(如图 6). , ， 即. 又， ， ， ， . 又, . 题后反思 几何作图作为一种几何分析的工具，它可以把题目的文字语言转化成形象的图形语言，变抽象 为具体.同时，在作图的过程中，每一步都能让学生
8、对题目的直观条件和隐含条件有更好的理解和把握，对 于学生分析题目，解决问题都是有利的.所以在平时的教学和作业布置时，可以让学生多动手作图，培养学 生的作图能力.除了基本的作图外，初中阶段还学习了函数的图象和性质，其中函数图象的形成是很好的“轨 迹”教学契机.在教学过程中， 应该让学生逐步明白， 为了探究发现题中条件具有的性质， 可以利用几何作图， 以及描点的方式，寻找到这个“条件”下相应点的轨迹，进而帮助解决问题. 【强化训练】 GAGAB EAGABOG G ( 2,0),( 1,0),(2,0),2FABFGQ 121 , 242 FAFG FGFB FAFG FGFB GFABFGQ A
9、FGGFB V: V FGAFBG OFFGQ FGOFOG FOGFBGBGOQFGOFGAAGO AGOBGO 1. （2017 山东省菏泽市）如图，矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为（4，5），D 是 OB 的中点，E 是 OC 上 的一点，当ADE 的周长最小时，点 E 的坐标是（ ） A（0， 4 3 ） B（0， 5 3 ） C（0，2） D（0，10 3 ） 【答案】B 【解析】 2.（2017 枣庄）如图，直线 2 4 3 yx与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，点 C、D 分别为线段 AB、OB 的 中点，点 P 为OA 上一动点，PC+PD 值最小时点 P 的坐标
10、为（ ） A（3，0） B（6，0） C（ 3 2 ，0） D（ 5 2 ，0） 【答案】C 【解析】 令 2 4 3 yx中 x=0，则 y=4，点 B 的坐标为（0，4）； 令 2 4 3 yx中 y=0，则 2 40 3 x，解得：x=6，点 A 的坐标为（6，0） 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点，点 C（3，2），点 D（0，2） 点 D和点 D 关于 x 轴对称，点 D的坐标为（0，2） 设直线 CD的解析式为 y=kx+b， 直线 CD过点 C （3， 2） ， D （0， 2） ， 23 2 kb b ， 解得： 4 3 2 k b ， 直线 CD的解析式为 4 2
11、3 yx 令 4 2 3 yx 中 y=0，则 0= 4 2 3 x，解得：x= 3 2 ，点 P 的坐标为（ 3 2 ，0） 故选 C （方法二）连接 CD，作点 D 关于 x 轴的对称点 D，连接 CD交 x 轴于点 P，此时 PC+PD 值最小，如图所 示 又OPCD，点 P 为线段 CD的中点，点P 的坐标为（ 3 2 ，0） 故选 C 考点：1一次函数图象上点的坐标特征；2轴对称最短路线问题 3. （2017 山东省菏泽市）如图，函数 y1=2x 与 y2=ax+3 的图象相交于点 A（m，2），则关于 x 的不等式 2xax+3 的解集是（ ） Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 【答
12、案】D 【解析】 试题分析：函数 y1=2x 过点 A（m，2），2m=2，解得：m=1，A（1，2），不等式2x ax+3 的解集为 x1故选 D 考点：一次函数与一元一次不等式 4. （2017 四川省自贡市）一次函数 11 yk xb和反比例函数 2 2 k y x （ 12 0k k ）的图象如图所示，若 12 yy ，则 x 的取值范围是（ ） A2x0 或 x1 B2x1 Cx2 或 x1 Dx2 或 0 x1 【答案】D 【解析】 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 5. （2017 四川省雅安市）如图，四边形 ABCD 中，A=C=90 ，B=60 ，AD=1，BC=2，则四
13、边形 ABCD 的面积是（ ） A 3 3 2 B3 C2 3 D4 【答案】A 【解析】 考点：1勾股定理；2含 30 度角的直角三角形；3解直角三角形 6. （2017 湖南省娄底市）如图，在等腰 RtABC 中，ABC=90 ，AB=CB=2，点 D 为 AC 的中点，点 E， F 分别是线段 AB，CB 上的动点，且EDF=90 ，若 ED 的长为 m，则BEF 的周长是 （用含 m 的代数式 表示） 【答案】（2m+2） 【解析】 试题分析：如图，连接 BD，在等腰 RtABC 中，点 D 是 AC 的中点，BDAC，BD=AD=CD，DBC= A=45 ，ADB=90 ，EDF=9
14、0 ，ADE=BDF，在ADE 和BDF 中，A=DBF，AD=BD， ADE=BDF，ADEBDF（ASA），AE=BF，DE=DF，在 RtDEF 中，DF=DE=m，EF=2 DE=2m，BEF 的周长为 BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+2m，故答案为：（2m+2） 考点：1全等三角形的判定与性质；2等腰直角三角形；3动点型 7. （2017 四川省内江市）如图，在矩形 AOBC 中，O 为坐标原点，OA、OB 分别在 x 轴、y 轴上，点 B 的 坐标为 （0，3 3） ， ABO=30 ， 将ABC 沿 AB 所在直线对折后， 点 C 落在点 D 处， 则点 D
15、的坐标为 （ ） A（ 3 2 ， 3 3 2 ） B（2， 3 3 2 ） C（ 3 3 2 ， 3 2 ） D（ 3 2 ，3 3 3 2 ） 【答案】A 【解析】 考点：1翻折变换（折叠问题）；2坐标与图形性质；3矩形的性质；4综合题 8. （2017 四川省广元市）如图，在矩形 ABCD 中，E 是 AD 边的中点，BEAC，垂足为 F，连结 DF，下 列四个结论：AEFCAB；tanCAD=2；DF=DC；CF=2AF，正确的是（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 设 AE=a，AB=b，则 AD=2a，由BAEADC，有 2ba ab ，即 b=2a，tanCAD= DC
16、AD = 2 b a = 2 2 故 不正确； 正确的有，故选 C 考点：1相似三角形的判定与性质；2矩形的性质；3解直角三角形 9. （2017 海南省）如图，AB 是O 的弦，AB=5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45 ，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【答案】 5 2 2 【解析】 考点：1三角形中位线定理；2圆周角定理；3最值问题 10.（2017 重庆）在ABC 中，ABM=45 ，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM 延长线上一点，连接 AC （1）如图 1，若 AB=3 2，BC=5，求 AC 的长； （2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MD=MC，点 E 是ABC 外一点，EC=AC，连接 ED 并延长交 BC 于 点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：BDF=CEF 【答案】（1）13；（2）证明见解析 【解析】 （2）延长 EF 到点 G，使得 FG=EF，连接 BG 由 DM=MC，BMD=AMC，BM=AM， BMDAMC （SAS） ，AC=BD，又 CE=AC，因此 BD=CE， 由 BF=FC，BFG=EFC，FG=FE，BFGCFE，故 BG=CE，G=E，所以 BD=BG=CE，因此 BDG=G=E 考点：1全等三角形的判定与性质；2勾股定理