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2021年中考数学微专题讲义专题9.7借助作图操作寻求解题思路

1、借助作图操作寻求解题思路借助作图操作寻求解题思路 【专题综述】 几何知识是初中数学的一个重要部分.其中,几何作图是几何知识的一个重要内容,它是学好几何的必备技 能.几何作图不仅可以帮助学生提高识图能力,还可以帮助学生提高分析问题和解决问题的能力,在几何作 图的过程中,可以让学生加深对题目的理解. 复杂的几何作图,都是由一些基本作图组成的.常见的基本作图有根据条件作三角形;作角平分线;作线段垂 直平分线;作轴对称图形;作旋转图形等等.在复杂几何问题中,适当的分析与操作,作图,有助于我们解决几 何问题. 【方法解读】 下面通过一个例题,说明几何作图的操作探究,对于分析几何问题,寻求解题思路具有重要

2、意义. 试题 (2017 年福建省泉州市初中学业质量检查题)如图 1, 在直角坐标系中, 抛物线与轴 交于两点,与直线交于点. (1)求的值; (2)已知点关于原点对称,现将线段沿轴向上平移个单位长度,若线段与抛物 线有两个不同的公共点,试求的取值范围; (3)利用尺规作图,在该抛物线上作出点,使得,并简要说明理由.(保留作图痕迹) 解析 (1) 抛物线与直线的交点为, ,得. (2)如图 2, 关于原点对称,. 易得线段的解析式为. 2 2yxbx x ,A B2yx(1,)Mm ,m b ,M NOMNy(0)s s MN s GAGOBGO Q(1,)Mm 12 2 mb m 1 2 b

3、 m ,M NQO( 1, 2)N MN2 ( 11)yxx 线段向上平移个单位长度后对应线段的解析式为. 若 与抛物线有两个交点,则方程组 , 有两个不同的解,即方程有两个不同的解. , . 通过观察图象,可知线段向上平移的过程中,当过点时,线段与抛物线开始有两个交 点. 经过点时,有,即. 综上,. 对于第(1)(2)问,学生通过简单的推理计算及数形结合的方法容易得到结论.而对于第(3)问,很多学生无从下 手,或者胡乱作图.下面我们对第(3)问进行分析. 首先,从条件“”出发,即平分.考虑到它具有性质“角平分线上的点到角两边 的距离相等”,所以过点作于点于点,如图 3,则有. MNs:2(

4、 11)l yxsx l 2 2 2 yxs yxx 2 20 xxs 14(2)0s V 9 4 s MNMNAMN l( 1,0)A 20s 2s 9 2 4 s AGOBGOGOAGB OOEAG,E OFBGFOEOF 由于点,点,所以有,进而有. 由于,所以得到. 得到的新条件“”,对于能力强的初中生来说,会利用平面直角坐标系中两点的距离公式得到点 的横纵坐标满足的关系式,再结合圆的方程,得到尺规作图的方法.解答如下: 设,则. , ,即,整理得 . 则点是在以(-2,0)为圆心,2 为半径的圆上,进而完成尺规作图. 对于能力强,具有超前学习能力的学生来说,可以通过代数计算的方法得到

5、解答思路.但是大部分初中生对 于式子,转化成圆的方程,进而得到点的轨迹是没有办 法理解的.那么,是否有其它方法让大部分学生能解决这个难题呢?于是,笔者做了如下思考. 本题的第(3)问要求用尺规作图,得到点.既然是尺规作图,那是否能用尺规作图,加上直观猜想的方法去 寻找满足条件“”的点的轨迹呢?如果能, 那么, 这个轨迹与抛物线的交点不就是所要找的点 了吗? 根据上面的思路,抛去抛物线的背景,利用尺规,开始寻找点的轨迹. 以为半径作,以为半径作.两圆的交点为点. 由于,要使得与有交点,则 (线段的范围在学生自己操作的过程 中,会自然得到.若选取的长度不适合,则所作的与没有交点,那么需要调整的长度

6、,最 终发现. 确定了线段的某个长度后,作,调整的长度,使得,作,得到交点;重复 上面的操作,得到若干个点 (如图 4,本文图中选取的长度为 3,2.75,2.5,2,1. 5,1.25,1). ( 1,0)A (2,0)B2OAOB2 AOGBOG SS OEOF2AGBG 2AGBG G ( , )G x y 222222 (1),(2)AGxyBGxy 2AGBGQ 22 4AGBG 2222 4(1)4(2)xyxy 22 (2)4xy G 2222 4(1)4(2)xyxy 22 (2)4xyG G 2AGBGGG G AGABGBG 1,2OAOBAB13AGAG AGABAG 1

7、3AG AGABG2AGBGBG GAG 在准确作图后,观察发现,这些点形成了圆的图形(如图5).且在作图时发现当=3 时,与只 有一个交点(-4,0),当=1 时,与只有一个交点(0,0),进而得到所在的轨迹为以(-2,0) 为圆心,2 为半径的圆,进而完成尺规作图. 这样,在不需要具备圆的方程,不需要复杂的代数变形技巧的情况下,我们凭借几何作图和直观猜想,就 寻找到了点的轨迹. 下面给出证明(如图 6). , , 即. 又, , , , . 又, . 题后反思 几何作图作为一种几何分析的工具,它可以把题目的文字语言转化成形象的图形语言,变抽象 为具体.同时,在作图的过程中,每一步都能让学生

8、对题目的直观条件和隐含条件有更好的理解和把握,对 于学生分析题目,解决问题都是有利的.所以在平时的教学和作业布置时,可以让学生多动手作图,培养学 生的作图能力.除了基本的作图外,初中阶段还学习了函数的图象和性质,其中函数图象的形成是很好的“轨 迹”教学契机.在教学过程中, 应该让学生逐步明白, 为了探究发现题中条件具有的性质, 可以利用几何作图, 以及描点的方式,寻找到这个“条件”下相应点的轨迹,进而帮助解决问题. 【强化训练】 GAGAB EAGABOG G ( 2,0),( 1,0),(2,0),2FABFGQ 121 , 242 FAFG FGFB FAFG FGFB GFABFGQ A

9、FGGFB V: V FGAFBG OFFGQ FGOFOG FOGFBGBGOQFGOFGAAGO AGOBGO 1. (2017 山东省菏泽市)如图,矩形 ABOC 的顶点 A 的坐标为(4,5),D 是 OB 的中点,E 是 OC 上 的一点,当ADE 的周长最小时,点 E 的坐标是( ) A(0, 4 3 ) B(0, 5 3 ) C(0,2) D(0,10 3 ) 【答案】B 【解析】 2.(2017 枣庄)如图,直线 2 4 3 yx与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B,点 C、D 分别为线段 AB、OB 的 中点,点 P 为OA 上一动点,PC+PD 值最小时点 P 的坐标

10、为( ) A(3,0) B(6,0) C( 3 2 ,0) D( 5 2 ,0) 【答案】C 【解析】 令 2 4 3 yx中 x=0,则 y=4,点 B 的坐标为(0,4); 令 2 4 3 yx中 y=0,则 2 40 3 x,解得:x=6,点 A 的坐标为(6,0) 点 C、D 分别为线段 AB、OB 的中点,点 C(3,2),点 D(0,2) 点 D和点 D 关于 x 轴对称,点 D的坐标为(0,2) 设直线 CD的解析式为 y=kx+b, 直线 CD过点 C (3, 2) , D (0, 2) , 23 2 kb b , 解得: 4 3 2 k b , 直线 CD的解析式为 4 2

11、3 yx 令 4 2 3 yx 中 y=0,则 0= 4 2 3 x,解得:x= 3 2 ,点 P 的坐标为( 3 2 ,0) 故选 C (方法二)连接 CD,作点 D 关于 x 轴的对称点 D,连接 CD交 x 轴于点 P,此时 PC+PD 值最小,如图所 示 又OPCD,点 P 为线段 CD的中点,点P 的坐标为( 3 2 ,0) 故选 C 考点:1一次函数图象上点的坐标特征;2轴对称最短路线问题 3. (2017 山东省菏泽市)如图,函数 y1=2x 与 y2=ax+3 的图象相交于点 A(m,2),则关于 x 的不等式 2xax+3 的解集是( ) Ax2 Bx2 Cx1 Dx1 【答

12、案】D 【解析】 试题分析:函数 y1=2x 过点 A(m,2),2m=2,解得:m=1,A(1,2),不等式2x ax+3 的解集为 x1故选 D 考点:一次函数与一元一次不等式 4. (2017 四川省自贡市)一次函数 11 yk xb和反比例函数 2 2 k y x ( 12 0k k )的图象如图所示,若 12 yy ,则 x 的取值范围是( ) A2x0 或 x1 B2x1 Cx2 或 x1 Dx2 或 0 x1 【答案】D 【解析】 考点:反比例函数与一次函数的交点问题 5. (2017 四川省雅安市)如图,四边形 ABCD 中,A=C=90 ,B=60 ,AD=1,BC=2,则四

13、边形 ABCD 的面积是( ) A 3 3 2 B3 C2 3 D4 【答案】A 【解析】 考点:1勾股定理;2含 30 度角的直角三角形;3解直角三角形 6. (2017 湖南省娄底市)如图,在等腰 RtABC 中,ABC=90 ,AB=CB=2,点 D 为 AC 的中点,点 E, F 分别是线段 AB,CB 上的动点,且EDF=90 ,若 ED 的长为 m,则BEF 的周长是 (用含 m 的代数式 表示) 【答案】(2m+2) 【解析】 试题分析:如图,连接 BD,在等腰 RtABC 中,点 D 是 AC 的中点,BDAC,BD=AD=CD,DBC= A=45 ,ADB=90 ,EDF=9

14、0 ,ADE=BDF,在ADE 和BDF 中,A=DBF,AD=BD, ADE=BDF,ADEBDF(ASA),AE=BF,DE=DF,在 RtDEF 中,DF=DE=m,EF=2 DE=2m,BEF 的周长为 BE+BF+EF=BE+AE+EF=AB+EF=2+2m,故答案为:(2m+2) 考点:1全等三角形的判定与性质;2等腰直角三角形;3动点型 7. (2017 四川省内江市)如图,在矩形 AOBC 中,O 为坐标原点,OA、OB 分别在 x 轴、y 轴上,点 B 的 坐标为 (0,3 3) , ABO=30 , 将ABC 沿 AB 所在直线对折后, 点 C 落在点 D 处, 则点 D

15、的坐标为 ( ) A( 3 2 , 3 3 2 ) B(2, 3 3 2 ) C( 3 3 2 , 3 2 ) D( 3 2 ,3 3 3 2 ) 【答案】A 【解析】 考点:1翻折变换(折叠问题);2坐标与图形性质;3矩形的性质;4综合题 8. (2017 四川省广元市)如图,在矩形 ABCD 中,E 是 AD 边的中点,BEAC,垂足为 F,连结 DF,下 列四个结论:AEFCAB;tanCAD=2;DF=DC;CF=2AF,正确的是( ) A B C D 【答案】C 【解析】 设 AE=a,AB=b,则 AD=2a,由BAEADC,有 2ba ab ,即 b=2a,tanCAD= DC

16、AD = 2 b a = 2 2 故 不正确; 正确的有,故选 C 考点:1相似三角形的判定与性质;2矩形的性质;3解直角三角形 9. (2017 海南省)如图,AB 是O 的弦,AB=5,点 C 是O 上的一个动点,且ACB=45 ,若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点,则 MN 长的最大值是 【答案】 5 2 2 【解析】 考点:1三角形中位线定理;2圆周角定理;3最值问题 10.(2017 重庆)在ABC 中,ABM=45 ,AMBM,垂足为 M,点 C 是 BM 延长线上一点,连接 AC (1)如图 1,若 AB=3 2,BC=5,求 AC 的长; (2)如图 2,点 D 是线段 AM 上一点,MD=MC,点 E 是ABC 外一点,EC=AC,连接 ED 并延长交 BC 于 点 F,且点 F 是线段 BC 的中点,求证:BDF=CEF 【答案】(1)13;(2)证明见解析 【解析】 (2)延长 EF 到点 G,使得 FG=EF,连接 BG 由 DM=MC,BMD=AMC,BM=AM, BMDAMC (SAS) ,AC=BD,又 CE=AC,因此 BD=CE, 由 BF=FC,BFG=EFC,FG=FE,BFGCFE,故 BG=CE,G=E,所以 BD=BG=CE,因此 BDG=G=E 考点:1全等三角形的判定与性质;2勾股定理