1、灵活运用设而不求方法求解数学问题灵活运用设而不求方法求解数学问题 【专题综述】 在求解数学问题时，常会碰到一些问题，它所涉及的量比较多，量与量之间的关系也不太明显，若只根据 题意，直接设未知数，解决问题较难此时若通过设辅助未知数，把那些不明显的关系表示出来，而在求 解含辅助未知数的方程（组）时，则可根据其特点，巧妙地将辅助未知数消去，而不必求出这些辅助未知 数，从而求得原问题的解，这就是“设而不求”，采用这种方法常常可以简化解题过程，使得求解方法变 得简捷、巧妙 【方法解读】 例 1 有甲、乙、丙三种货物，若购甲 3 件、乙 7 件、丙1 件共需 315 元；若购甲 4 件、乙 10 件、丙一
2、件 共需 420 元问现在购甲、乙、丙各一件共需多少元？ 解 设购甲、乙、丙各一件分别需 x 元、y 元、z 元，则由题意可得： 解关于 x3y 和 xyx 的二元一次方程组可得 xyx105（元） 点评 对于本题，若按常规方法求解，则需分别求出 x、y、z 的值，而根据题中的条件只能列出两个方程， 因此直接求值不太可能可见题意并非一定要求出 x、y、z 之值，而只需求出（xyz）这个整体之值即 可 例 2 一个十位数字为 0 的三位数，它恰好等于它的数字和的 67 倍；交换它的个位数 字和百位数字得到一个新的三位数，它恰好又是数字和的 m 倍，求 m 的值 解 设三位数的百位数字为 x，个位
3、数字为 y，则据题意可得： 例 3 已知直角三角形 ABC 的周长是 25，斜边上的中线长是 1，求该三角形的面积 解 设两直角边长分别为 x、y，则根据题意，可得下面方程组： 点评 本题若用解方程组求出 x、y 的值，再计算，则不仅运算量大，方程繁杂，且还容易出错采用“设 而不求”的方法，使得解题过程简洁明快 例 4 已知二次函数 yx2mx4 的图像与 x 轴交于 A、B 两点，且 A、B 两交点间的距离为 2求此二次 函数的解析式 例 5 有一片牧场，草每天都匀速地生长（革每天增长的量相等）如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草； 如果放牧 21头牛，则 8 天吃完牧草设每头牛每天吃草
4、的量是相等的，(1)如果放牧 16 头牛，几天可以吃 完草?(2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧几头牛？ 解 (1)设每头牛每天吃草量为 x，草每天增长量为 y，牧场原有的草量为 a，16 头牛 z 天可以吃完牧草则 根据题意可得： (2)设放牧 w 头牛，牧草永远吃不完，则必须使 w 头牛每天吃的草量不大于每天的增 长量，即 xwy 把代入，可得 w12（因为 w0） 答：(1)如果放牧 16 头牛，18 天可以吃完草； (2)要使牧草永远吃不完，至多只能放牧 12 头牛 点评 本题是著名的“牛吃草”问题，解题需要考虑草每天的增长量，每头牛每天吃草量及牧场原有草量 之间的关系，所以本题设了
5、一些辅助未知数，并把这些关系表示出来，然后巧妙地进行消元，从而使得问 题顺利获解 例 6 如图 1 所示，在ABC 的两边 AB、AC 上分别向外作正方形 ACGH 和 BAFE，延长 BC 边上的高 DA 交 FH 于点 M，求证：MHMF 点评 本题的一般证法是，通过添加辅助线构造全等三角形来证明，上面运用“设而不求”的方法，不仅 简捷明了，而且令人耳目一新 【强化训练】 1若 2 1 x y 是方程组 1 7 mxny nxmy 的解，则（m+n）（nm）的值为（ ） A. 16B. -16C. 8D. 8 【答案】B 故选 B 2已知 2 1 x y ， 是方程组 5 1 axby b
6、xay ， 的解，则ab的值是（） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】把 2 1 x y 代入 5 1 axby bxay ， 得， 25 21 ab ba ，-得， 4ab ，故选 D. 3已知函数 12 yxxxx，其中 1 x、 2 x为常数，且 12 xx，若方程 12 2xxxx的两个根 为 3 x、 4 x，且 34 xx，则 1 x、 2 x、 3 x、 4 x的大小关系为（） A. 1324 xxxxB. 1342 xxxx C. 3124 xxxxD. 3142 xxxx 【来源】人教版九年级上册 22.2 二次函数与一元二次方程同步练习 【答案】C 【解
7、析】试题解析：函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象与 x轴的交点的横坐标分别是 x1、x2； 函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图象是由函数 y=（x-x1）（x-x2）的图象向下平移 2个单位得到的， 则方程（x-x1）（x-x2）-2=0或方程（x-x1）（x-x2）=2的两根 x3、x4即为函数 y=（x-x1）（x-x2）-2 的图 象与 x 轴的交点的横坐标， 它们的大致图象如图所示： 根据图象知，x3x1x2x4 故选 C 4已知方程 2x2x10两根分别是 x1和 x2，则 x1x2的值等于（） A. 2B. 1 2 C. 1 2 D. 1 【来源】武汉二中 2017
8、-2018 上学期期中考试九年级数学试卷 【答案】C 5已知两圆的圆心距是 3，它们的半径分别是方程 2 7100 xx的两个根，那么这两个圆的位置关系是 （） A. 内切 B. 外切 C. 相交 D. 外离 【来源】人教版九年级数学上册：21.2 解一元二次方程同步练习 【答案】A 【解析】设方程的两个根分别为 1 x， 2 x，所以 12 xx=7， 1 2 10 x x ， 则 2 12121 2 4xxxxx x= 2 74 10 =3，所以两圆内切，故选 A. 6已知 2 5 x y 是方程组 1 15 mxny nxmy 的解，则 m+n=_ 【答案】-2 【解析】试题解析：把 2
9、 5 x y 代入方程组 1 15 mxny nxmy ，得 251 2515 mn nm ， 7m+7n=-14 2.mn 故答案为：-2 7已知方程组 31 3 31 xya xya 的解满足 x+y=2，则 a 的值为_ 【答案】3 【点睛】本题考查的是二元一次方程组的解的定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做 二元一次方程组的解 8一元二次方程 2 340 xx与 2 450 xx的所有实数根之和等于_. 【来源】山东省聊城市冠县 2018 届九年级上学期期末考试数学试题 【答案】3 【解析】试题解析：因为 2 340 xx的两根之和为 3,方程 2 450 xx的两根之和为4， 所以一元二次方程 2 340 xx与 2 450 xx的所有实数根的和等于=34=1， 故答案为：1. 9在关于 x，y 的方程组 21 22 xym xy 中，若未知数 x，y 满足 xy0，求 m 的取值范围，并在 数轴上表示出来 【答案】m0，1 3 m 0，m 8 点睛：本题考查了二元一次方程组的解，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键