1、分类讨论思想在一元二次方程中的运用分类讨论思想在一元二次方程中的运用 【专题综述】 在数学中，常常要根据研究对象的性质差异，分别对各种不同的情况予以分析的思想方法叫分类讨论。本 文以一元二次方程为例，谈谈分类讨论思想在解题中的运用。 【方法解读】 例 1 已知方程 22 2110m xmx 有实数根，求m的取值范围。 分析：字母系数的取值范围问题，首先引起警觉，想到分类讨论。因为这里并没有指明是二次方程，故要 考虑是一次方程的可能。 解：当 2 0m ，即0m时，方程为一元一次方程10 x ，有实数根1x。 当 2 0m ，即0m时，方程为二次方程，由有实根的条件得， 2 2 214410mm
2、m ， 1 4 m 。所以 1 4 m ，且0m。 综合、，得 1 4 m 。 评注：字母系数的取值范围问题是否要讨论，要看清题目的条件。一般设问方式有两种前置式，即“二次 方程”；后置式，即“两实数根”。这都表明是二次方程，不需讨论，但切不可忽视二次项系数不为零的要 求。本例是根据二次项系数是否为零进行分类讨论。 例 2 当m是什么整数时，关于x的一元二次方程 2 440mxx与 22 44450 xmxmm的根都 是整数。 解：由于给出的关于x的方程是一元二次方程，二次项系数不为零，即0m。又由于方程均有实根， 2 1 4440m ，解得1m。 又 2 2 2 44 14450mmm ，解
3、得 5 4 m 。 5 1 4 m。又 m 是整数，且0m，1m或 1. 当1m时，方程 2 440mxx为 2 440 xx， 解得方程的根为22 2x ，它的根不是整数，故1m舍去。 当1m时，方程 2 440mxx的根为 12 2xx， 方程 22 44450 xmxmm根为 1 5x ， 2 1x ，均为整数，1m。 评注：本例是根据方程的根是否为整数进行分类讨论。 例 3 已知关于x的方程： 2 2 20 4 m xmx。 求证：无论m取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。 若这个方程的两个实数根 1 x、 2 x满足 21 2xx，求m的值及相应的 1 x、 2 x。 解 ： 2
4、 2 2 24212 4 m mm ，不 论m取 值 ， 总 有 2 210m， 2 2120m，即0 ，方程总有两个相异的实根。 2 12 0 4 m x x ， 1 0 x， 2 0 x 或 1 0 x ， 2 0 x 。 若 1 0 x ， 2 0 x ，则 21 2xx ， 12 2xx。4m。 此时 2 240 xx， 1 15x ， 2 15x 。 若 1 0 x ， 2 0 x ，则 21 2xx， 12 2xx 。 0m。此时 2 20 xx， 1 0 x， 2 2x 。 评注：本例是根据方程的正负进行分类讨论，旨在去掉绝对值符号。 例 4 若实数a、b满足 2 850aa，
5、2 850bb。求 11 11 ba ab 的值。 解 ： 由 方 程 根 的 定 义 ， 知a、b是 方 程 2 850 xx的 两 个 根 ，8ab ，5ab， 11 11 ba ab 2 222 20 1 ababab abab 。 事实上，题设中的a与b是可以相等的，当ab时，原式=2。 综上所述：当ab时，原式=20；当ab时，原式=2。 评注：本例题我们可以归纳出用分类讨论的数学思想方法解题的一般步骤是：明确讨论的对象。进行 合理分类，所谓合理分类，应该符合三个原则：分类应按同一标准进行，分类应当没有遗漏，分类 应是没有重复的。逐类讨论，分级进行。归纳并作出结论。 【强化训练】 1
6、.（2017 内蒙古呼和浩特市）关于 x 的一元二次方程 22 (2 )10 xaa xa 的两个实数根互为相反数， 则 a 的值为（ ） A2 B0 C1 D2 或 0 【答案】B 【解析】 试题分析：设方程的两根为 1 x， 2 x，根据题意得 12 0 xx ，所以 2 20aa，解得 a=0 或 a=2，当 a=2 时，方程化为 2 10 x ，=40，故 a=2 舍去，所以 a 的值为 0故选 B 考点：根与系数的关系 2.（2016 湖北省荆门市）已知 3 是关于 x 的方程 2 (1)20 xmxm的一个实数根，并且这个方程的两 个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC
7、 的周长为（ ） A7 B10 C11 D10 或 11 【答案】D 【解析】 考点：1解一元二次方程-因式分解法；2一元二次方程的解；3三角形三边关系；4等腰三角形的性 质；5分类讨论 3.（2016 湖北省荆门市）已知 3 是关于 x 的方程 2 (1)20 xmxm的一个实数根，并且这个方程的两 个实数根恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长为（ ） A7 B10 C11 D1 0 或 11 【答案】D 【解析】 考点：1解一元二次方程-因式分解法；2一元二次方程的解；3三角形三边关系；4等腰三角形的性 质；5分类讨论 4.（2016 湖北省随州市）已知等腰三角形的一边长为
8、9，另一边长为方程 2 8150 xx的根，则该等腰 三角形的周长为 【答案】19 或 21 或 23 【解析】 考点：1解一元二次方程-因式分解法；2三角形三边关系；3等腰三角形的性质；4分类讨论 5. 下列说法： 若一元二次方程 2 0 xbxa有一个根是0a a，则代数式ab的值是1 若0a b c ，则xa b c 是一元二次方程 2 0axbxc的一个根 若23bac，则一元二次方程 2 0axbxc有不相等的两个实数根 当 m 取整数1或 1 时， 关于 x 的一元二次方程 2 440mxx与 22 44450 xmxmm的解都 是整数 其中正确的有 A. 1 个 B. 2 个 C
9、. 3 个 D. 4 个 【来源】人教版九年级数学上册：21.3 实际问题与一元二次方程同步练习 【答案】B 【解析】若一元二次方程 x2+bx+a=0 有一个根是-a（a0），则 a2+b （-a）+a=0 整理得出：a（a-b+1）=0， 则代数式 a-b=-1，故此选项正确； 若 a+b+c=0，则 x=1 是一元二次方程 a x2+bx+c=0 的一个根，故此选项错误； 若 b=2a+3c，那么=b2-4ac=（2a+3c）2-4ac=（2a+2c）2+5c2， 当 a0，c=-a 时，0；当 a0，c=0 时，0；当 ac0 时，0， 0，故此选项正确； 关于 x 的一元二次方程 m
10、x2-4x+4=0 与 x2-4mx+4m2-4m-5=0 有解， 则 m0， 0 mx2-4x+4=0， =16-16m0，即 m1； x2-4mx+4m2-4m-5=0， =16m2-16m2+16m+200， 4m+50，m- 5 4 ； - 5 4 m1，而 m 是整数， 所以 m=1，m=0（舍去），m=-1（一个为 x2-4x+4=0，另一个为 x2+4x+3=0，冲突，故舍去）， 当 m=1 时，mx2-4x+4=0 即 x2-4x+4=0，方程的解是 x1=x2=2； x2-4mx+4m2-4m-5=0 即 x2-4x-5=0，方程的解是 x1=5，x2=-1； 当 m=0 时
11、，mx2-4x+4=0 时，方程是-4x+4=0 不是一元二次方程，故舍去 故 m=1，故此选项错误； 故正确的有 2 个， 故选 B 6如果等腰三角形的两边长分别是方程 2 10210 xx的两根，那么它的周长为( ) A. 10 B. 13 C. 17 D. 21 【来源】人教版九年级数学上册：21.2 解一元二次方程同步练习 【答案】C 【解析】解方程 2 10210 xx得， 1 x=3， 2 x=7，根据三角形的两边之和大于第三边，三角形的三边 不能是 3，3，7，所以三边长是 3，7，7，则周长是 3+7+7=17，故选 C. 7已知三角形的两边长是 4 和 6，第三边的长是方程
12、2 (3)10 x 的根，则此三角形的周长为( ) A. 10 B. 12 C. 14 D. 12 或 14 【来源】人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程同步练习 【答案】C 【解析】解方程 2 (3)10 x 得： 12 42xx， 当第三边的长为 4 时，因为 4+4=86，此时能围成三角形； 当第三边长为 2 时，因为 2+4=6，此时不能围成三角形； 此三角形的第三边长只能取 4， 此三角形的周长为：4+4+6=14. 故选 C. 点睛：求出方程的解之后，再求三角形的周长前，需先用三角形三边间的关系看所取第三边的长能否围成 三角形. 8. 已知函数 2 32yxmxm（m为常数
13、） （1）试判断该函数的图象与 x轴的公共点的个数； （2）求证：不论 m为何值，该函数的图象的顶点都在函数 2 46yxx的图象上； （3）若直线 y=x 与二次函数图象交于 A、B 两点，当4m2 时，求线段 AB的最大值和最小值。 【来源】福建省仙游县 2017-2018 学年上学期期末九年级质量检测数学试卷及答案 【答案】（1）2；（2）详见解析；（3）当 m=0 时，=4 2，当 m=-4 时，=8 . 【解析】试题分析：（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果； （2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可； （3）联立方程有： 2 32 yx yx
14、mxm 得：x2-(m-4）x-2m=0 ，根据根与系数的关系求出 (x1-x2)2=m2+16，解 等腰直角三角形可得| AB= 2 216m ，然后讨论 m 的取值，求出线段 AB 的最大值 和最小值。 解：(1)=(m3)2+8m=(m+1)2+80， 则该函数图象与 x 轴的公共点的个数 2 个， （2）y=-x2+（m-3）x+2m =-（x- ）2+ 把 x=代入 y=x2+4x+6=（x+2）2+2 y=（+2）2+2=+2 = 则不论 m为何值，该函数的图像的顶点都在函数 y=x2+4x+6 的图像上。 （也可用求根公式求得该式） | AB= 2 216m 4m2 当 m=0
15、时， min | AB=4 2， 当 m=-4 时， max | AB=8 点睛：此题考查了抛物线与 x轴的交点，以及二次函数的性质，二次函数与一元二次方程，熟练掌握二次函 数的图象与性质是解本题的关键 9如果关于x的方程 2 2250mxmxm 没有实数根，试判断关于x的方程 2 5210mxmxm的根的情况. 【来源】2017-2018 学年浙江版八年级下数学单元检测卷： 一元二次方程（基础卷) 【答案】当 m=5 时，方程有一个实数根，当 m5 时，方程有两个不相等的实数根 试题解析: 关于x的方程 2 2250mxmxm 没有实数根, 当 m=0 时,方程为450 x 方程有一个实数根
16、,不符合题意, 当 m0 时,因为方程 2 2250mxmxm 没有实数根, 所以, 2 40bac,即 2 22450mm m 解得: 4m, 2 5210mxmxm对于方程, 5,850mx 当时 方程变为有一个实数根, 2 m5,21454 31mmmm 当时, 4m, 4 310m, 2 5210mxmxm此时方程有两个不相等的实数根, ,5,5,mm综上所述 当时 方程有一个实数根 当时 方程有两个不相等的实数根. 10已知关于x的一元二次方程 22 4130 xmxmm （1）求证：无论m取何实数时，原方程总有两个实数根 （2）若原方程的两个实数根一个大于2，另一个小于7，求m的取值范围 【来源】北京育才学校创新教育中心 2018 届九年级上学期期中检测数学试题 【答案】（1）证明见解析（2） 1 7 3 m 【解析】试题分析：（1）根据 2 210m，即可得出结论； （2）先求出方程两根，再列不等式组求解即可 试题解析：解：（1）由题意，得： 2 2 414 3mmm 22 1681 124mmmm 2 441mm 2 210m， 无论m取何实数，原方程总有两个实数根 点睛：本题考查了一元二次方程根的判别式当0 时，方程有两个实数根；同时考查了公式法解一元二 次方程及解一元一次不等式组