1、例说换元法在初中数学中的例说换元法在初中数学中的应用应用 【专题综述】 利用换元法解题，具有极大的灵活性。关键在于根据问题的结构特征，恰当地引入辅助未知数，达到以简 驭繁，化难为易的目的。在具体应用时，换元的具体形式也是多种多样的。要在解题的实践中，不断摸索 规律，积累经验，掌握有关的变换技巧，提高运用换元法解题的能力。 【方法解读】 下面举例说明换元法在初中数学中应用。 一、用换元法分解因式 例 1 把(4)(2)(1)(1)72xxxx分解因式。 本题如果把括号、合并同类项以后，会得到关于x的四次式，分解起来比较困难。认真观察题目的结构， 可以发 2 (4)(1)34,xxxx 2 (2)
2、(1)32xxxx，它们的二次项、一次项完全相同，这就具 备了换元的条件，选用换元法进行降次处理，就使得分解变得简单易 行。在设辅助未知数时，方法比较灵活，如可设 2 3yxx，或设 2 34yxx等，一般地，设y等于 2 34xx和 2 32xx的算术平均式比较简捷。 解 ： 22 (4)(2)(1)(1)72(34)(32)72xxxxxxxx 设 2 31yxx，则 22 343,323xxyxxy 原式= 2 (3)(3)72972(9)(9)yyyyy = 22 (38)(310)xxxx = 2 (38)(5)(2)xxxx 总结提示 当在一个多项式中出现相同的部分时，一般可采用换
3、元法来解决问题。 二、换元法在解方程中作用 掌握运用换元法解方程和方程组是初中数学的一个重点要求而在解高次方程、分式方程、无理方程时，要 注意方程的特点创造运用换元法的条件往往会简化求解过程。 例 2 解下列方程: 222 (23)64xx 解 原方程变形为 222 (23)2(23)0 xx。 设 2 23yx，原方程形变为 2 20yy。 解这个方程，得 12 0,2yy。 当0y 时， 2 230 x , 12 66 , 22 xx ； 当2y 时， 2 232x ， 34 1010 , 22 xx 。 所以原方程有四个根: 12 66 , 22 xx ， 34 1010 , 22 xx
4、 。 22 265315xxxx 解析 整理原方程得: 22 2(31)53130 xxxx 。设 2 31xxy ，那么 22 31xxy ， 原方程变为 2 2530yy 。 解 这 个 方 程 ， 得 12 1 ,3 2 yy ， 当 1 2 y 时 ， 2 1 31 2 xx ， 根 据 算 术 根 的 定 义 ， 2 1 31 2 xx 无解。当3y 时， 2 313xx ，两边平方，整理得 2 3100 xx。解这个方 程，得 12 5,2xx 。检验，把5,2xx 分别代入原方程都适合，因此，它们都是原方程的根。原 方程的根是 12 5,2xx 。 三、证明题利用换元法十分简捷
5、例 3 试证明关于x的方程()()1xa xab的根一个比a大，一个比a小。 分析 本题的一般证明方法是求出两个实数根，再证明有一根大于a，另一根小于a。认真观察题目的结 构，可以变形为 2 ()() 10 xab xa ，可以实施换元。即要证一根比a大，一根比a小，可以转化为 证明 2 ()()0 xa xa。本题还可以借助于函数思想，利用换元法得到十分简捷的证明。 证法一 设xay，原方程变形为 2 10yby 22 ()4( 1)40bb ， 方程有两个不相等的实数根 12 ,y y。 由根与系数的关系，得 12 10yy ，即 12 ()()0 xa xa。 原方程中一个根大于a，一个
6、小于a。 证法二 设()() 1yxa xab，即 2 ()() 1yxab xa，把y看作是关于x的二次函数。 当xa时， 10y 。 2 ()() 1yxab xa的图象开口向，图象与x轴的交点一个在xa的左边， 一个在xa的右边， ()()1xa xab的根一个大于a，一个小于a。 【强化训练】 1.（2017 江苏省扬州市）若关于 x 的方程2201740200 xmx存在整数解，则正整数 m 的所有 取值的和为 【答案】15 【解析】 点睛：本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填 空题中的压轴题 考点：1无理方程；2换元法 2.在直角坐
7、标系 xOy 中，已知点 P(m，n)，m，n 满足(m21n2)(m23n2)8，则 OP 的长为（） A. 5B. 1C. 5D. 5或 1 【来源】2017-2018 学年九年级数学人教版上册：第 21 章 一元二次方程 单元测试题 【答案】B 【解析】设 t=m2+n2则由原方程，得（1+t）（3+t）=8，整理得 t2+4t-5=0，即（t+5）（t-1）=0，解得 t=-5 （舍去）或 t=1P（m，n），OP=m2+n2=1故选 B 3.已知方程组 2313 3530.9 ab ab 的解是 8.3 1.2 a b ，则方程组 223113 325130.9 xy xy 的解是_
8、 【答案】 6.3 2.2 x y 【解析】试题分析：若设2,1xa yb ， 223113 3 25130.9 xy xy 可以换元为 2313 3 530.9 ab ab ； 又 8.3 1.2 a b ， 28.3 11.2 x y ，解得 6.3 2.2 x y . 故答案为： 6.3 2.2 x y 4. 为了求 1+3+32+33+3100的值，可令 M=1+3+32+33+3100，则 3M=3+32+33+34+3101，因此，3M M=31011，所以 M=3 1011 2 ，即 1+3+32+33+3100=3 1011 2 ，仿照以上推理计算：1+5+52+53+5201
9、5的值是 _ 【来源】决胜 2018 中考压轴题全揭秘 专题 01 实数问题 【答案】5 20161 4 【解析】试题解析：设 M=1+5+52+53+52015， 则 5M=5+52+53+54+52016， 两式相减得：4M=520161， 则 M=5 20161 4 故答案为：5 20161 4 5（2017 安徽省，第 19 题，10 分）【阅读理解】 我们知道， 1 1 23 2 n n n ，那么 2222 123n结果等于多少呢？ 在图 1 所示三角形数阵中，第 1 行圆圈中的数为 1，即 12，第 2 行两个圆圈中数的和为 2+2，即 22，；第 n 行 n 个圆圈中数的和为
10、nn nnn 个 ，即 2 n.这样，该三角形数阵中共有 1 2 n n 个圆圈，所有圆圈中数 的和为 2222 123n 【规律探究】 将三角形数阵经两次旋转可得如图 2 所示的三角形数阵，观察这三个三角形数阵各行同一位置圆圈中的数 （如第 n1 行的第一个圆圈中的数分别为 n1，2，n），发现每个位置上三个圆圈中数的和均为，由此可 得， 这三个三角形数阵所有圆圈中数的总和为 2222 3 123n=， 因此， 2222 123n= 【解决问题】 根据以上发现，计算： 2222 1232017 1 232017 的结果为 【来源】2 年中考 1 年模拟 第七篇 专题复习篇 专题 33 探索规
11、律问题 【答案】【规律探究】2n+1， 1 21 2 n nn ， 1 21 6 n nn ；【解决问题】1345 【解析】试题分析：【规律探究】将同一位置圆圈中的数相加即可，所有圈中的数的和应等于同一位置圆 圈中的数的和乘以圆圈个数，据此可得，每个三角形数阵和即为三个三角形数阵和的 1 3 ，从而得出答案； 【解决问题】运用以上结论，将原式变形，化简计算即可得 试题解析：解：【规律探究】 由题意知，每个位置上三个圆圈中数的和均为 n1+2+n=2n+1，由此可得，这三个三角形数阵所有圆圈中 数的总和为： 3 （12+22+32+n2） = （2n+1） （1+2+3+n） = （2n+1）
12、1 2 n n ， 因此， 12+22+32+n2= 1 21 6 n nn ； 故答案为：2n+1， 1 21 2 n nn ， 1 21 6 n nn ； 【解决问题】 原式= 1 20172017 12 2017 1 6 1 20172017 1 2 = 1 3 （2017 2+1）=1345 故答案为：1345 6（2016 云南省）有一列按一定顺序和规律排列的数： 第一个数是 1 12； 第二个数是 1 23； 第三个数是 1 34； 对任何正整数 n，第 n个数与第（n+1）个数的和等于 2 (+2) （1）经过探究，我们发现： 1 12 = 1 1 2 ， 1 23 = 1 2
13、1 3， 1 34 = 1 3 1 4； 设这列数的第 5 个数为 a，那么 1 5 1 6， = 1 5 1 6， 1 5 1 6，哪个正确？ 请你直接写出正确的结论； （2）请你观察第 1 个数、第 2 个数、第 3 个数，猜想这列数的第 n 个数（即用正整数 n 表示第 n 数），并 且证明你的猜想满足“第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 2 (+2)”； （3） 设 M 表示 1 12， 1 22， 1 32， ， 1 20162， 这 2016 个数的和， 即 = 1 12 + 1 22 + 1 32 +.+ 1 20162， 求证： 2016 2017 4031 2016 【来
14、源】决胜 2018 中考压轴题全揭秘 专题 02 代数式问题 【答案】（1） = 1 5 1 6；（2）证明见解析；（3）证明见解析 试题解析：（1）由题意知第 5 个数 a= 1 56= 1 5 1 6； （2）第 n 个数为 1 (+1)，第（n+1）个数为 1 (+1)(+2)， 1 (+1) + 1 (+1)(+2)= 1 1 +1 + 1 +1 1 +2= 1 1 +2= 2 (+2)， 即第 n 个数与第（n+1）个数的和等于 2 (+2)； （3）1 1 2 = 1 12 1 12=1， 1 2 1 3 = 1 23 1 22 1 12 = 1 1 2， 1 3 1 4 = 1
15、34 1 32 1 23 = 1 2 1 3， 1 2015 1 2016 = 1 20152016 1 20152 1 20142015 = 1 2014 1 2015， 1 2016 1 2017 = 1 20162017 1 20162 1 20152016 = 1 2015 1 2016， 1 1 2017 1 12 + 1 22 + 1 32 +.+ 1 20162 2 1 2016， 2016 2017 4031 2016 【点睛】本题主要考查分式的混合运算及数字的变化规律，根据已知规律 1 (+1) = 1 1 +1，得到 1 1 +1 = 1 (+1) 1 2 1 (1)= 1
16、 1 1 是解题的关键 7计算下列各式的值： 2222 919; 99199; 9991999; 999919999. 观察所得结果，总结存在的规律，运用得到的规律可得 2 2014920149 999 +1999 个个 =_. 【答案】 2014 10. 【解析】 试题分析： 2 2221 91910 1191020 1 19101010 ， 2 2222 99199100 1199100200 1 19910010010 ， 2 2223 99919991000 1199910002000 1 19991000100010 ， 2 2224 99991999910000 119999100
17、0020000 1 19999100001000010 ， 2n n9n9 999 +199910 个个 . 22014 2014920149 999 +199910 个个 考点：1.探索规律题（数字的变化类）；2.完全平方公式的应用. 8 探究发现： 阅读解答题： 在数学中， 有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决 例： 试比较 20142015 20142012 与 20142014 20142013 的大小 解：设 20142014=a，x=20142015 20142012, y= 20142014 20142013 那么 x=（a+1）（a-2）， 那么 y= a（a
18、-1） x-y= x y(填、) 填完后，你学到了这种方法吗？不妨尝试一下，相信你准行！ 问题：计算（m+222014）(m+142014)-(m+182014)(m+172014) 【答案】2，；m+22014 【解析】 试题解析：xy=（a+1）（a2）a（a1）=a2a2a2+a=2； xy=20，即 xy； 设 m+182014=x，则有： 原式=（x+4）（x4）x（x1） =x216x2+x =x16 =m+18201416 =m+22014 考点：整式的混合运算 9（本题 7 分）阅读下列材料： 一般地，n 个相同的因数 a 相乘记为 an，记为 an如 2 2 2=23=8，此
19、时， 3 叫做以 2 为底 8 的对数， 记为 log28（即 log28=3）一般地，若 an=b（a0 且 a1，b0），则 n 叫做以 a 为底 b 的对数，记为 logab （即 logab=n）如 34=81，则 4 叫做以 3 为底 81 的对数，记为 log381（即 log381=4） （1）计算以下各对数的值： log24=，log216= ，log264= （2）观察（1）中三数 4、16、64 之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264 之间又满足怎样的关系式； （3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？ logaM+logaN= ；（a0 且
20、 a1，M0，N0） （4）根据幂的运算法则：anam=an+m以及对数的含义说明上述结论成立 【答案】（1）2；4；6；（2）log24+log216=log264；（3）logaM+logaN=loga（MN）；（4）见解析 【解析】 试题分析：根据幂的计算法则得出答案；根据数字之间的规律得出一般性的规律，然后利用同底数幂的乘 法法则进行证明 试题解析：（1） 2 log 4=2， 2 log 16=4， 2 log 64=6； （2）4 16=64， 2 log 4+ 2 log 16= 2 log 64； （3）logaM+logaN=log () a MN； （4）证明：设logaM
21、= 1 b，logaN= 2 b， 则 1 b a=M， 2 b a=N， MN= 1 b a 2 b a= 12 bb a + 1 b+ 2 b=log () a MN即logaM+logaN=log () a MN 考点：同底数幂的计算、规律题 10.问题：已知方程 2 10 xx ，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的 2 倍 解：设所求方程的根为 y，则2yx，所以 2 y x 把 2 y x 代入已知方程，得 2 ( )10 22 yy 化简，得： 2 240yy 这种利用方程根的代替求新方程的方法， 我们成为“换根法”， 请用阅读材料提供的“换根法”求新方程(要求： 把所
22、求方程化成一般形式)； (1)已知方程 2 20 xx，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数 (2)已知关于 x 的一元二次方程 2 00axbxca 有两个不等于零的实数根， 求一个一元二次方程，使 它的根分别是已知方程根的倒数 【来源】人教版九年级数学上册 21.1 一元二次方程同步练习 【答案】(1) 2 20yy;(2) 2 00cybyac 【解析】试题分析： 按阅读材料中所提供的范例的方法类比进行解答即可. 化简，得： 2 20yy 去分母，得 2 0abycy 若0c ，则 2 0axbx，于是方程 2 00axbxca 有一根为 0，不符合题意 0c ，故所求的方程为： 2 00cybyac