1、例谈求阴影部分面积的几种常见方法例谈求阴影部分面积的几种常见方法 【专题综述】 在初中数学中，求阴影部分的面积问题是一个重要内容，在近年来的各地中考试题中屡见不鲜这类试题 大多数都是求不规则图形的面积，具有一定的难度，因此，正确把握求阴影部分面积问题的解题方法，显 得尤为重要本文举例介绍解决这类问题的常见方法 【方法解读】 一、直接求解法一、直接求解法 例例 1 如图 1，有一矩形纸片 ABCD，AB10，AD6，将纸片折叠，使 AD 边落在 AB 边上，AD 变到 AD1 位置，折痕为 AE再将AED1以 D1E 为折痕，向右折叠，AE 变到 A1E 位置，且 A1E 交 BC 于点 F求图
2、 中阴影部分的面积 分析 因为阴影部分是一个规则的几何图形 RtCEF，故根据已知条件可以直接计算阴影部分面积 解 如图 1，根据对称性可得 ADAD1A1D16 由已知条件易知： ECD1B4，BC6； RtFBA1RtFCE 设 FC 为 x，则 FB6x 二、间接求解法二、间接求解法 例例 2 如图 2，O1与O2外切于点 C，且两圆分别和直线 l 相切于 A、B 两点，若O1半径为 3cm； O2半径为 1cm，求阴影部分面积 分析 这是求一个不规则图形的面积，没有现成的面积公式，因此应采用间接的方法，设法转化为规则图 形的面积的和或差去计算 三、整体合并法三、整体合并法 例例 3 如
3、图 3，A、B、C 两两不相交，且半径都是 0.5cm，求三个阴影部分面积之和 分析 所求的阴影部分面积是三个扇形面积之和，因为三个扇形圆心角度数不知道，所以无法单独求解， 但仔细观察发现，三个扇形的圆心角分别是ABC 的三个内角，其和为 180，而扇形半径都相等，所以 三个扇形能合并成一个半圆于是问题获解 解 如图 3，因为三个圆的半径相等，三个扇形圆心角之和是 180，所以其面积就是半圆面积 XK 四、等积变换法四、等积变换法 例例 4 如图 4，A 是半径为 R 的O 外一点，弦 BC 为3R，OABC，求阴影部分面积 分析 本题的阴影部分是不规则的图形，求其面积较困难，但灵活运用等积变
4、换，就可以把它的面积转化 为扇形 OBC 的面积，从而获解 解 连接 OC，OB， 五五、分割法、分割法 例例 5 如图 5，在 RtABC 中，C90，AC4，BC2，分别以AC、BC 为直径画半圆，求阴影部分 面积 分析 阴影部分图形不规则，不能直接求面积，可以把它分割成几个部分求面积的和 解 如图 5，连接 CD AC、BC 是直径， ADCBDC90， A、D、B 三点共线 设阴影部分面积被分割为 S1、S2、S3、S4四部分 则 六、转化法六、转化法 例例 6 如图(1)，大半圆 O 与小半圆 O1相切于点 C，大半圆的弦 AB 与小半圆相切于点 F，且 ABCD，AB 4cm，求阴
5、影部分面积 分析 如果想直接求阴影部分面积，无法求解，因为它不是规则图形但要采取转化思想，把小半圆平移 到与大半圆的圆心重合的位置，作 OEAB 于点 E连接 OB，可知 BE2cm，阴影部分面积等于大半圆 面积减去小半圆的面积 解 如图(2)，将小半圆 O1移至与大半圆圆心重合，作 OEAB 于点 E，则 BEAB2cm 设大圆半径为 R，小圆半径为 x，在 RtOEB 中，有 七、割补法七、割补法 例例 7 如图 7，点 P(3a，a)是反比例函数 y12 x 与O 在第一象限内的一个交点，求阴影部分的面积 分析 阴影部分分两部分，难于逐一求解，但考虑反比例函数的对称性，结合割补原理，问题
6、变得特别简 单 解 如图 7，把右上角的 S1部分分割下来，移到左下方补在 S3处，与 S2就组成了一个扇形 OAB 易知： P(3a，a)在反比例函数 y 12 x 的图象上， 1 2 3a 12 a 解得：a12，a22（舍去） P 坐标为(6，2) 连接 OP，作 PCx 轴于点 C，得： 八、方程建模法八、方程建模法 例例 8 如图 8，正方形边长为 a，以每边为直径在正方形内画四个半圆，求阴影部分的面积 分析 本题直接求阴影部分面积较复杂，但观察图形特点引入方程的思想，问题变得非常简单 解 正方形由四个阴影花瓣和四个空白图形组成，如图 8，设一个阴影花瓣面积为 x，一个空白图形面积为
7、 y 根据题意得： 因此阴影部分面积为 2 2 2 a a 【强化训练】 1（2017 内蒙古包头市）如图，在ABC 中，AB=AC，ABC=45 ，以 AB 为直径的O 交 BC 于点 D， 若 BC=4 2，则图中阴影部分的面积为（ ） A+1 B+2 C2+2 D4+1 【答案】B 【解析】 考点：1扇形面积的计算；2等腰三角形的性质；3圆周角定理 2（2017 四川省凉山州）如图，一个半径为 1的O1经过一个半径为2的O 的圆心，则图中阴影部分 的面积为（ ） A1 B 1 2 C2 D 2 2 【答案】A 【解析】 试题分析：如图，O 的半径为2，O1的半径为 1，点 O 在O1上，
8、连接 OA，OB，OO1，OA=2， O1A=O1O=1，则有（2）2=12+12，OA2=O1A2+O1O2，OO1A 为直角三角形，AOO1=45 ，同理 可得BOO1=45 ， AOB=90 ， AB为O1的直径， S阴影部分=S半圆ABS弓形AB=S半圆AB （S扇形OABS OAB ） =S半圆ABS扇形OAB+S OAB = 1 2 12 902 360 + 1 2 22=1故选 A 考点：1相交两圆的性质；2扇形面积的计算 3（2017 四川省资阳市）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=4，BC=3，将 RtABC 绕点 A 逆时针旋 转 30 后得到ADE，则图中阴
9、影部分的面积为（ ） A 13 12 B 3 4 C 4 3 D 25 12 【答案】D 【解析】 考点：1旋转的性质；2扇形面积的计算 4（2017 衢州）运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB 是O 的直径，CD、EF 是O 的弦，且 ABCDEF，AB=10，CD=6，EF=8则图中阴影部分的面积是（ ） A 25 2 B10 C24+4 D24+5 【答案】A 【解析】 考点：1扇形面积的计算；2圆周角定理 5. （2017 云南省）如图，边长为 4 的正方形 ABCD 外切于O，切点分别为 E、F、G、H则图中阴影部 分的面积为 【答案】2+4 【解析】 试题分析： 如图， 连接
10、 HO， 延长 HO 交 CD 于点 P， 正方形 ABCD 外切于O， A=D=AHP=90 ， 四边形 AHPD 为矩形，OPD=90 ，又OFD=90 ，点 P 于点 F 重合，则 HF 为O 的直径，同理 EG 为O 的直径， 由B=OGB=OHB=90 且 OH=OG 知， 四边形 BGOH 为正方形， 同理四边形 OGCF、 四边形 OFDE、四边形 OEAH 均为正方形，BH=BG=GC=CF=2，HGO=FGO=45 ，HGF=90 ， GH=GF= 22 GCCF =2 2， 则阴影部分面积= 1 2 SO+SHGF= 1 2 22+ 1 2 2 22 2=2+4 故答案为：
11、 2+4 考点：1切线的性质；2正方形的性质；3扇形面积的计算 6（2017 吉林省）如图，分别以正五边形 ABCDE 的顶点 A，D 为圆心，以 AB 长为半径画BE，CE若 AB=1，则阴影部分图形的周长为 （结果保留 ） 【答案】 6 5 +1 【解析】 考点：1正多边形和圆；2弧长的计算 7. （2017 四川省达州市）如图，矩形 ABCD 中，E 是 BC 上一点，连接 AE，将矩形沿 AE 翻折，使点 B 落 在 CD 边 F 处，连接 AF，在 AF 上取点 O，以 O 为圆心，OF 长为半径作O 与 AD 相切于点 P若 AB=6， BC=3 3，则下列结论：F 是 CD 的中
12、点；O 的半径是 2；AE= 9 2 CE； 3 2 S 阴影 其中正确结 论的序号是 【答案】 【解析】 RTADF 中，AF=6，DF=3，DAF=30 ，AFD=60 ，EAF=EAB=30 ，AE=2EF； AFE=90 ，EFC=90 AFD=30 ，EF=2EC，AE=4CE，错误； 连接 OG，作 OHFG，AFD=60 ，OF=OG，OFG 为等边；同理OPG 为等边； POG=FOG=60 ，OH= 3 2 OG=3，S扇形OPG=S扇形OGF，S阴影=（S矩形OPDHS扇形OPGSOGH）+（S 扇形OGFSOFG）=S矩形OPDH 3 2 SOFG= 31 23(23)
13、22 = 3 2 正确； 故答案为： 考点：1切线的性质；2矩形的性质；3扇形面积的计算；4翻折变换（折叠问题）；5综合题 8. （2017 湖北省恩施州）如图，在 RtABC 中，BAC=30 ，以直角边 AB 为直径作半圆交 AC 于点 D， 以 AD 为边作等边ADE，延长 ED 交 BC 于点 F，BC=2 3，则图中阴影部分的面积为 （结果不取近 似值） 【答案】 3 3 3 2 【解析】 考点：1扇形面积的计算；2勾股定理；3圆周角定理 9. （2017 内蒙古赤峰市）如图，点 A 是直线 AM 与O 的交点，点 B 在O 上，BDAM 垂足为 D，BD 与O 交于点 C，OC 平
14、分AOB，B=60 （1）求证：AM 是O 的切线； （2）若 DC=2，求图中阴影部分的面积（结果保留 和根号） 【答案】（1）证明见解析；（2） 8 6 3 3 【解析】 试题解析：（1）B=60 ，BOC 是等边三角形，1=2=60 ，OC 平分AOB，1=3， 2=3，OABD，BDM=90 ，OAM=90 ，AM 是O 的切线； （2） 3=60 ， OA=OC， AOC 是等边三角形， OAC=60 ， OAM=90 ， CAD=30 ， CD=2， AC=2CD=4，AD=2 3，S阴影=S梯形OADCS扇形OAC= 1 2 （4+2）2 3 6016 360 = 8 6 3 3
15、 考点：1切线的判定与性质；2扇形面积的计算 10 （2017 新疆）如图，AC 为O 的直径，B 为O 上一点，ACB=30 ，延长 CB 至点 D，使得 CB=BD， 过点 D 作 DEAC，垂足 E 在 CA 的延长线上，连接 BE （1）求证：BE 是O 的切线； （2）当 BE=3 时，求图中阴影部分的面积 【答案】（1）证明见解析；（2） 33 3 22 【解析】 试题解析： （1） 如图所示， 连接 BO， ACB=30 ， OBC=OCB=30 ， DEAC， CB=BD， RtDCE 中，BE= 1 2 CD=BC，BEC=BCE=30 ，BCE 中，EBC=180 BECBCE=120 ，EBO= EBCOBC=120 30 =90 ，BE 是O 的切线； （2）当 BE=3 时，BC=3，AC 为O 的直径，ABC=90 ，又ACB=30 ，AB=tan30 BC=3， AC=2AB=2 3， AO=3， 阴影部分的面积=半圆的面积RtABC的面积= 1 2 AO2 1 2 AB BC= 1 2 3 1 2 3 3= 33 3 22 考点：1切线的判定与性质；2扇形面积的计算