1、例谈解题切入点的寻找例谈解题切入点的寻找 【专题综述】 学习数学离不开解题，求解数学题的关键，在于准确快速地找到解题的切入点，切入点找对了，可以顺利 求解，那么，如何寻找解题的切入点呢？一是应该对题目的条件、结论、图形及隐含条件进行仔细全面的 分析；二是要从不同的角度去分析、思考问题，千万不能死板，要灵活，一个角度不行，就换一个角度试 试一般说来，找寻解题切入点的方法有：从题设条件出发找寻解题切入点，从题目结论出发找寻解题切 人点，从图形特点出发找寻解题切入点，从定义、定理、公式、辅助线出发找寻解题切入点，从化归与转 化的思想出发找寻解题切入点，利用数形结合思想找寻解题切入点下面以一题为例，谈
2、一谈解题切入点 找寻的具体做法 【方法解读】 例题例题 M 是等边三角形 ABC 的外接圆BC上的任一点，求证：MAMBMC 一、利用截长法，寻找切入点一、利用截长法，寻找切入点 证明一条线段等于两条线段之和通常所使用的方法之一是截长法 如图 1， 首先在 AM 上截取 ANMB， 连结 NC， 这就是解本题的一个切入点， 因此只须证 MCMN 即可 从已知条件可知： NACMBC，ACBC， 可证ANCBMC， 从而有 NCMC 又因为NMCABC60， 故MNC 为等边三角形，MNMC， 所以有 MAMNANMCMB 二、利用补短法，寻找切入点二、利用补短法，寻找切入点 证明一条线段等于两
3、条线段之和通常所使用的方法是除了截长法之外，还有补短法 如图 2，延长 MC 到点 E，使 CEMB，连结 AE，这就是解本题的另一个切入点 在ABM 和ACE 中，已知ABMACE（圆内接四边形的一个外角等于其内对角），ABAC、BM CE，可证ABMACE，有 MAEA 又因为AMEABC60，可证AME 为等边三角形， 故有 MAMEMCEC， 即 MAMCMB 当然，也可以延长 CM 到点 D，使 CDMA，只要证 BMDM 即可 三、采用相似形，寻找切入点三、采用相似形，寻找切入点 因为要证 MAMCMB，如图 3，就须证 MA、MB、MC 所在的三角形相似，利用相似三角形对应边成
4、比例求出比例式，然后相加求解，这又是解本题的一个切入点 设，ABBCCAa BDbCDc，ADd AMBBCAABD60，BADLMAB， ADBABM， 得 MBa bd ，即 MB ab d ， 同理，有ADCACM， 故有 MAMCMB 四、利用余弦定理，寻找切入点四、利用余弦定理，寻找切入点 因为 ABBCCA，AMCAMB60，所求线段和已知线段都包含在这两个三角形之中，所以采 用余弦定理来寻找本题的切入点 如图4，设，4BBCCAa， MBy1，MCy2， 在AMC 中，由余弦定理有： 在ABM 中，同样有： 由上题利用余弦定理可得两个式子， 想到构造一元二次方程因此，也可以利用韦
5、达定理去解决本题 五、利用正弦定理，寻找切入点五、利用正弦定理，寻找切入点 因为所求涉及到的三条线段都包含在四边形之中， 并且都有是同一圆的三条弦， 所以利用正弦定理来证明， 这又是解本题的一个切入点 如图 4，设ABC 的外接圆的半径为 R，BAM1，MAC2，MBm，MCn，MAp由正 弦定理有： 即 MAMCMB 六、利用面积法，寻找切入六、利用面积法，寻找切入点点 如图 5，设 ABBCCAa，MAC1，ADB2，则CBM1，2601 根据面积公式有： 七、构造含七、构造含 30 度角的直度角的直角三角形，寻找切入点角三角形，寻找切入点 因为CNABNAABC60，所以过点 A 作 A
6、DBM 于点 D，AECM 于点 E，构造了两个含 30 度角的直角三角形，这又是解本题的一个切入点 如图 6，有 八、运用托列密定理，寻找切入点 如图 3，根据托列密定理有： BCMAACMBABMC 而 BCACAB， MAMCMB 以上通过对一个例题的各种分析，简要介绍了解题切入点的寻找方法和出发点可以看出，同一个问 题从不同的角度出发去分析，可以找到不同的切入点，得到不同的解法，其中有繁也有简因此，同学们 在学习数学时，一定要从不同的角度分析和思考问题，力求正确迅速地找准最佳切入点，使问题得到快速 正确的解决 【强化训练】 1（2017 广西贵港市）如图，A，B，C，D 是O 上的四个
7、点，B 是AC的中点，M 是半径 OD 上任意一 点若BDC=40 ，则AMB 的度数不可能是（ ） A45 B60 C75 D85 【答案】D 【解析】 考点：1圆周角定理；2圆心角、弧、弦的关系 2.（2017 山东省烟台市）如图，ABCD 中，B=70 ，BC=6，以 AD 为直径的O 交 CD 于点 E，则DE的 长为（ ） A 3 1 B 3 2 C 6 7 D 3 4 【答案】B 【解析】 试题分析：连接 OE，如图所示： 四边形 ABCD 是平行四边形， D=B=70 ， AD=BC=6， OA=OD=3， OD=OE， OED=D=70 ， DOE=180 2 70 =40 ，
8、DE的长= 403 180 = 3 2 ；故选 B 考点：1弧长的计算；2平行四边形的性质；3圆周角定理 3（2017 山东省青岛市）如图，AB 是O 的直径，点 C，D，E 在O 上，若AED=20 ，则BCD 的度 数为（ ） A100 B110 C115 D120 【答案】B 【解析】 考点：圆周角定理 4（2017 广西贺州市）如图，在O 中，AB 是O 的直径，AB=10，ACCDDB，点 E 是点 D 关于 AB 的对称点， M 是 AB 上的一动点， 下列结论： BOE=60 ； CED= 1 2 DOB； DMCE； CM+DM 的最小值是 10，上述结论中正确的个数是（ ）
9、A1 B2 C3 D4 【答案】C 【解析】 做 C 关于 AB 的对称点 F，连接 CF，交 AB 于 N，连接 DF 交 AB 于 M，此时 CM+DM 的值最短，等于 DF 长， 连接 CD， ACCDDB=AF， 并且弧的度数都是 60 ， D= 1 2 120 =60 ， CFD= 1 2 60 =30 ， FCD=180 60 30 =90 ，DF 是O 的直径，即 DF=AB=10，CM+DM 的最小值是 10，正 确； 故选 C 考点：1圆周角定理；2轴对称最短路线问题；3最值问题 5. （2017 四川省阿坝州）如图将半径为 2cm 的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心 O，则
10、折痕 AB 的长为 （ ） A2cm B3cm C2 5cm D2 3cm 【答案】D 【解析】 考点：1垂径定理；2翻折变换（折叠问题） 6. （2017 青海省西宁市）如图，AB 是O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P，AP=2，BP=6，APC=30 ，则 CD 的长为（ ） A15 B2 5 C2 15 D8 【答案】C 【解析】 试题分析： 作 OHCD 于 H， 连结 OC， 如图， OHCD， HC=HD， AP=2， BP=6， AB=8， OA=4， OP=OAAP=2， 在 RtOPH 中， OPH=30 ， POH=30 ， OH= 1 2 OP=1， 在 RtOHC
11、 中， OC=4， OH=1，CH= 22 OCOH=15，CD=2CH=2 15故选 C 考点：1垂径定理；2含 30 度角的直角三角形；3勾股定理 7. （2017 山东省威海市）如图，ABC 为等边三角形，AB=2若 P 为ABC 内一动点，且满足PAB= ACP，则线段 PB 长度的最小值为 【答案】 2 3 3 【解析】 考点：1点与圆的位置关系；2等边三角形的性质；3最值问题；4圆周角定理；5动点型 8. （2017 海南省）如图，AB 是O 的弦，AB=5，点 C 是O 上的一个动点，且ACB=45 ，若点 M、N 分别是 AB、AC 的中点，则 MN 长的最大值是 【答案】 5
12、 2 2 【解析】 考点：1三角形中位线定理；2圆周角定理；3最值问题 9. （2017 湖北省十堰市） 如图，ABC 内接于O， ACB=90 ，ACB 的角平分线交O 于 D 若 AC=6， BD=5 2，则 BC 的长为 【答案】8 【解析】 试题分析：连接 BD，ACB=90 ，AB 是O 的直径ACB 的角平分线交O 于 D，ACD= BCD=45 ，AD=BD=5 2AB 是O 的直径，ABD 是等腰直角三角形，AB= 22 ADBD = 22 (5 2)(5 2) =10AC=6，BC= 22 ABAC= 22 106=8故答案为：8 考点：1圆周角定理；2勾股定理 10. （2
13、017 四川省乐山市） 如图， 以 AB 边为直径的O 经过点 P， C 是O 上一点， 连结 PC 交 AB 于点 E， 且ACP=60 ，PA=PD （1）试判断 PD 与O 的位置关系，并说明理由； （2）若点 C 是弧 AB 的中点，已知AB=4，求 CECP 的值 【答案】（1）PD 是O 的切线；（2）8 【解析】 试题解析：（1）如图，PD 是O 的切线 证明如下： 连结 OP， ACP=60 ， AOP=120 ， OA=OP， OAP=OPA=30 ， PA=PD， PAO=D=30 ， OPD=90 ，PD 是O 的切线 （2） 连结 BC， AB 是O 的直径， ACB=90 ， 又C 为弧 AB 的中点， CAB=ABC=APC=45 ， AB=4， AC=Absin45 =2 2 C=C， CAB=APC， CAECPA， CACE CPCA ， CPCE=CA2= （2 2）2=8 考点：1相似三角形的判定与性质；2圆心角、弧、弦的关系；3直线与圆的位置关系；4探究型