1、2021 年陕西省西安市灞桥区中考数学七模试卷年陕西省西安市灞桥区中考数学七模试卷 一一.选择题（共选择题（共 8 小题，每题小题，每题 3 分，计分，计 24 分）分） 1 （3 分）下列四个实数中，最大的是（ ） A2 B C0 D1 2 （3 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 3 （3 分）下列运算结果是 a4的是（ ） A（a2）2 Ba2+a2 C （2a）2 D2a6（2a2） 4 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的中线，E 是 AC 的中点，连接 DE，若 BC6，AD 2，则 DE（ ） A B C D 5 （3 分）已知一
2、次函数 ykx+b 的图象经过点（1，2） ，且 y 的值随 x 的值的增大而减小，则下列判断正 确的是（ ） Ak0，b0 Bk0，b2 Ck0，b0 Dk0，b0 6 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，ADa，ABb，要使 BC 边上至少存在一点 P，使ABP、APD、 CDP 两两相似，则 a、b 间的关系式一定满足（ ） Aab Bab Cab Da2b 7（3 分） 如图， ABC 中， ABAC， O 是ABC 的外接圆， BO 的延长线交边 AC 于点 D， ACB70， 则ABD 度数为（ ） A35 B20 C40 D30 8 （3 分）若要平移二次的数 yx2+2mxm2
3、m+1（m 为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合， 那么需要平移的最短距离为（ ） A B C1 D 二二.填空题（共填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，计分，计 18 分）分） 9 （3 分）函数 y1 中，自变量 x 的取值范围是 10 （3 分）一个 n 边形的内角和为 900，则 n 11 （3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（2，1） ，B（1，3） ，将线段 AB 经过平移后得到线段 AB， 若点 A 的对应点为 A （3， 2） ， 则点 B 的对应点 B的坐标是 12 （3 分）某商场一种商品的进价为 96 元，若标价后再打 8 折
4、出售，仍可获利 10%，则该商品的标价为 元 13（3 分） 已知两个反比例函数 y1， y2， 与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点 A 和点 B， 且 OA2AB，则 y2的解析式为 14 （3 分）已知矩形长与宽分别为 a、b（ab） ，截一个面积最大的菱形，使菱形的顶点落在矩形的边上， 该菱形最大面积为 三三.解答题（共解答题（共 12 小题，计小题，计 78 分）分） 15 （4 分）计算： （） 1+ +|2|6sin45 16 （4 分）先化简，再求值： （），其中 a 17 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，A108，请你利用尺规在 BC 边上求一点 P，使APC10
5、8 （不写画法，保留作图痕迹） 18 （5 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB、AC 边上的点，BDCE，ABEACD，BE 与 CD 相交于点 F求证：ABC 是等腰三角形 19 （6 分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式为了解同学们在 线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位： min） ，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表 在线阅读时间频数分布表 组别 在线阅读时间 t 人数 A 10t30 4 B 30t50 8 C 50t70 a D 70t90 16 E 90t110 2 根据
6、以上图表，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 人，a ，m ； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 50min？ 20 （6 分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建，如图，A，B 两地之 间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶，已知 BC80 千米，A45，B30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（
7、结果保留根号） 21 （6 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 y 轴相交于点 A，y 与 x 的部分对应值如表（m 为 整数） ： x 0 m 2 y 3 4 3 （1）直接写出 m 的值和点 A 的坐标 （2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图 （3）过点 A 作直线 lx 轴，将抛物线在 y 轴左侧的部分沿直线 l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得 到一个新图象请你结合新图象回答：当直线 yn 与新图象有两个公共点，则 n 的取值范围 22 （6 分）生态公园计划在园内的坡地上造一片有 A，B 两种树的混合林，需要购买这两种树苗 2000 棵， 种植 A，B 两种树
8、苗的相关信息如表 品种项目 单价（元/棵） 成活率 劳务费（元/棵） A 15 95% 3 B 20 99% 4 设购买 A 种树苗 x 棵，造这片林的总费用为 y 元，解答下列问题： （1）写出 y（元）与 x（棵）之间的函数关系式； （2）假设这批树苗种植后成活 1960 棵，则造成这片林的总费用需多少元？ 23 （6 分）为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有： 我爱你，中国 ， 歌唱祖国 ， 我和 我的祖国 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲） 比赛时，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先
9、从中随机抽取一张卡片， 放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛 （1）八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概 率 24 （8 分）如图，AB 是O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作 ECOA 于点 C，过点 B 作O 的切线 交 CE 的延长线于点 D （1）求证：DBDE； （2）若 AB12，BD5，求O 的半径 25 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx26x+4 的顶点 M 在直线 L：ykx2 上 （1）求直线 L 的函数表达式； （2）现
10、将抛物线沿该直线 L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为 N，与 x 轴的右交点为 C，连接 NC，当 tanNCO2 时，求平移后的抛物线的解析式 26 （12 分）平面上有三点 M、A、B，若 MAMB，则称点 A、B 为点 M 的等距点 问题探究： （1）如图，在ABC 中，ABAC，点 P 为 AB 上一点，试在 AC 上确定一点 Q，使点 P、 Q 为点 A 的等距点； （2）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 P 是 AD 边上一定点，试在 BC 边上找 点 Q，使点 P、Q 为点 O 的等距点，并说明理由 问题解决： （3）如图，在正方形 ABCD
11、 中，AB1，点 P 是对角线 AC 上一动点，在边 CD 上是否存在点 Q，使 点 B、 Q 为点 P 的等距点， 同时使四边形 BCQP 的面积为正方形 ABCD 面积的一半？若存在这样的点 Q， 求出 CQ 的长；若不存在，说明理由 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一一.选择题（共选择题（共 8 小题，每题小题，每题 3 分，计分，计 24 分）分） 1 （3 分）下列四个实数中，最大的是（ ） A2 B C0 D1 【分析】根据实数的大小比较法则排列大小，得到答案 【解答】解：102， 最大的数是 2， 故选：A 【点评】本题考查的是实数的大小比较，任意两个实数都可以比较大小正实
12、数都大于 0，负实数都小 于 0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小 2 （3 分）下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是（ ） A B C D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根 据轴对称图形的概念求解 【解答】解：A、不是轴对称图形，故此选项错误； B、不是轴对称图形，故此选项错误； C、是轴对称图形，故此选项正确； D、不是轴对称图形，故此选项错误 故选：C 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重 合 3 （3 分）下列运算结果是 a4的是（ ） A（a2）2 Ba2+
13、a2 C （2a）2 D2a6（2a2） 【分析】 根据幂的乘方、 合并同类项、 积的乘方、 单项式除以单项式的运算法则分别求出每个式子的值， 再判断即可 【解答】解：A、结果是a4，不等于 a4，故本选项不符合题意； B、结果是 2a2，不等于 a4，故本选项不符合题意； C、结果是 4a2，不等于 a4，故本选项不符合题意； D、结果是 a4，故本选项符合题意； 故选：D 【点评】本题考查幂的乘方、合并同类项、积的乘方、单项式除以单项式等知识点，能正确求出每个式 子的值是解此题的关键 4 （3 分）如图，ABC 中，ABAC，AD 是ABC 的中线，E 是 AC 的中点，连接 DE，若 B
14、C6，AD 2，则 DE（ ） A B C D 【分析】利用等腰三角形的三线合一可得出 ADBC，进而可得出ADC90，在 RtACD 中，利用 勾股定理可求出 AC 的长，再利用“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半” ，即可求出 DE 的 长 【解答】解：ABAC，AD 是ABC 的中线， ADBC， ADC90 在 RtACD 中，ADC90，AD2，CDBC3， AC 又E 是 AC 的中点，ADC90， DEAC 故选：C 【点评】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，利用等腰三角形的性 质及勾股定理，求出 AC 的长是解题的关键 5 （3 分）已知一
15、次函数 ykx+b 的图象经过点（1，2） ，且 y 的值随 x 的值的增大而减小，则下列判断正 确的是（ ） Ak0，b0 Bk0，b2 Ck0，b0 Dk0，b0 【分析】根据一次函数 ykx+b 的图象经过点（1，2） ，且 y 的值随 x 的值的增大而减小，可以得到 2 k+b，k0，然后即可判断哪个选项中的说法正确，本题得以解决 【解答】解：一次函数 ykx+b 的图象经过点（1，2） ，且 y 的值随 x 的值的增大而减小， 2k+b，k0， b2， 故选：B 【点评】本题考查一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确 题意，利用一次函数的性质解答
16、6 （3 分）如图，矩形 ABCD 中，ADa，ABb，要使 BC 边上至少存在一点 P，使ABP、APD、 CDP 两两相似，则 a、b 间的关系式一定满足（ ） Aab Bab Cab Da2b 【分析】本题可结合方程思想来解答由于ABP 和DCP 相似，可得出关于 AB、PC、BP、CD 的比 例关系式设 PCx，那么 BPax，根据比例关系式可得出关于 x 的一元二次方程，由于 BC 边上至 少有一点符合条件的 P 点，因此方程的0，由此可求出 a、b 的大小关系 【解答】解：若设 PCx，则 BPax， ABPPCD， ，即， 即 x2ax+b20 方程有解的条件是：a24b20，
17、（a+2b） （a2b）0，则 a2b0， a2b 故选：D 【点评】本题是存在性问题，可以转化为方程问题，利用判断方程的解的问题来解决 7（3 分） 如图， ABC 中， ABAC， O 是ABC 的外接圆， BO 的延长线交边 AC 于点 D， ACB70， 则ABD 度数为（ ） A35 B20 C40 D30 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理得到BAC180707040，连接 OA利用垂径定理以及等腰三角形的性质解决问题即可 【解答】解：ABAC，ACB70， ABCACB70， BAC180707040， 连接 OA ABAC， ， OABC， BAOCAO， OAO
18、B， ABDBAO， BAC2ABD， ABDBAC20 故选：B 【点评】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，解题的关键是学会添加常用辅助线 8 （3 分）若要平移二次的数 yx2+2mxm2m+1（m 为常数）的图象，使它的顶点与坐标原点重合， 那么需要平移的最短距离为（ ） A B C1 D 【分析】首先求得抛物线的顶点在直线 yx+1 上，根据题意得到原点 O 到直线 yx+1 的距离就是 需要平移的最短距离，利用三角形面积公式即可求得 【解答】解：yx2+2mxm2m+1（xm）2m+1， 顶点为（m，m+1） ， 抛物线的顶点在直线 yx+1 上，如图， 原点 O 到直线 yx+
19、1 的距离就是需要平移的最短距离， yx+1， A（0，1） ，B（1，0） ， AB， OAOBABOD，即 11OD， OD， 需要平移的最短距离为， 故选：B 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，明确原点 O 到直线 yx+1 的距离 就是需要平移的最短距离是解题的关键 二二.填空题（共填空题（共 6 小题，每题小题，每题 3 分，计分，计 18 分）分） 9 （3 分）函数 y1 中，自变量 x 的取值范围是 x0 【分析】根据二次根式的意义，被开方数不能为负数，据此求解 【解答】解：根据题意，得 x0 故答案为：x0 【点评】函数自变量的范围一般从三个方面考虑：
20、 （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 10 （3 分）一个 n 边形的内角和为 900，则 n 7 【分析】根据 n 边形的内角和为（n2）180列出关于 n 的方程，解方程即可求出边数 n 的值 【解答】解：这个多边形的边数是 n， 则： （n2） 180900， 解得 n7 故答案为：7 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、 变形和数据处理 11 （3 分）在平面直角坐标系中，线段 AB 的两个端点的坐标分别为 A（2
21、，1） ，B（1，3） ，将线段 AB 经过平移后得到线段 AB， 若点 A 的对应点为 A （3， 2） ， 则点 B 的对应点 B的坐标是 （6， 4） 【分析】根据点 A 到 A确定出平移规律，再根据平移规律列式计算即可得到点 B的坐标 【解答】解：A（2，1） ，A（3，2） ， 平移规律为横坐标加 5，纵坐标加 1， B（1，3） ， 1+56，3+14， 点 B的坐标为（6，4） 故答案为： （6，4） 【点评】本题考查了坐标与图形变化平移，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标 上移加，下移减，先确定出平移规律是解题的关键 12（3 分） 某商场一种商品的进价为 96
22、 元， 若标价后再打 8 折出售， 仍可获利 10%， 则该商品的标价为 132 元 【分析】设该商品的标价为 x 元，等量关系：标价的 8 折出售，仍可获利 10%，可列方程解得答案 【解答】解：设该商品的标价为 x 元，依题意有： 0.8x969610%， 解得：x132 故答案为：132 【点评】 本题考查一元一次方程的应用， 关键在于找出题目中的等量关系， 根据等量关系列出方程解答 13（3 分） 已知两个反比例函数 y1， y2， 与过原点的一条直线在第一象限的交点分别为点 A 和点 B， 且 OA2AB，则 y2的解析式为 y2或 y2 【分析】过 A 作 ACx 轴于 C，过 B
23、 作 BDx 轴于 D，则OACOBD，得出（）2， 根据反比例函数系数 k 的几何意义即可求出结果 【解答】解：当 B 在 A 的右边时，如图 1， 过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D， ACBD， OACOBD， （）2， OA2AB， ， ， k y2的解析式是 y2， 当 A 在 B 的右边时，如图 2， 过 A 作 ACx 轴于 C，过 B 作 BDx 轴于 D， ACBD， OACOBD， （）2， OA2AB， 2， 4 k y2的解析式是 y2， 故答案为 y2或 y2 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，相似三角形的判定和性质，反比例函数
24、 y中 k 的几何意义要注意数形结合思想的运用 14 （3 分）已知矩形长与宽分别为 a、b（ab） ，截一个面积最大的菱形，使菱形的顶点落在矩形的边上， 该菱形最大面积为 【分析】当菱形对角线最长上时，菱形面积最大，用含 a，b 代数式求出菱形底边，通过菱形面积底 高求解 【解答】解：菱形顶点都落在矩形边上， 菱形的高为 b， 当底最长时菱形面积最大， 此时菱形两个顶点与矩形顶点重合，如图， 设 BFDFx，则 CFax， 在 RtCDF 中，由勾股定理得： FC2+CD2DF2， 即（ax）2+b2x2， 解得 x， S菱形BFDEBFCD 故答案为： 【点评】本题考查菱形与矩形的性质，解
25、题关键是熟练掌握菱形与矩形的性质 三三.解答题（共解答题（共 12 小题，计小题，计 78 分）分） 15 （4 分）计算： （） 1+ +|2|6sin45 【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和特殊角的三角函数值分别化简得出答案 【解答】解：原式3+3+26 3+3+23 5 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 16 （4 分）先化简，再求值： （），其中 a 【分析】先根据分式混合运算顺序和运算法则化简原式，再将 a 的值代入计算可得 【解答】解：原式 ， 当 a时， 原式52 【点评】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算
26、法则 17 （5 分）如图，ABC 中，ABAC，A108，请你利用尺规在 BC 边上求一点 P，使APC108 （不写画法，保留作图痕迹） 【分析】以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交 BC 于点 P，点 P 即为所求 【解答】解：如图，以 B 为圆心，BA 为半径画弧，交 BC 于点 P，点 P 即为所求 理由：ABAC，A108， B36， BABP， BAPBPA72， APC18072108 【点评】本题考查基本作图、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属 于中考常考题型 18 （5 分）如图，在ABC 中，点 D，E 分别是 AB、AC 边上的点，BDCE
27、，ABEACD，BE 与 CD 相交于点 F求证：ABC 是等腰三角形 【分析】先证BDFCEF（AAS） ，得出 BFCF，则FBCFCB，得出ABCACB，则 AB AC 【解答】证明：ABEACD， DBFECF， 在BDF 和CEF 中， BDFCEF（AAS） ， BFCF，DFEF， FBCFCB， ABCACB， ABAC， 即ABC 是等腰三角形 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定；证明三角形全等是解题的关键 19 （6 分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式为了解同学们在 线阅读情况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，
28、并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位： min） ，然后利用所得数据绘制成如图不完整的统计图表 在线阅读时间频数分布表 组别 在线阅读时间 t 人数 A 10t30 4 B 30t50 8 C 50t70 a D 70t90 16 E 90t110 2 根据以上图表，解答下列问题： （1）这次被调查的同学共有 50 人，a 20 ，m 8 ； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于 50min？ 【分析】 （1）根据 B 组的频数和所占的百分比，可以求得这次被调查的同学总数，用被调查的同学总数 乘以
29、 C 组所占百分比得到 a 的值，用 A 组人数除以被调查的同学总数，即可得到 m； （2）用 360乘以 D 组所占百分比得到 D 组圆心角的度数； （3） 利用样本估计总体， 用该校学生数乘以样本中平均每天的在线阅读时间不少于 50min 的人数所占的 百分比即可 【解答】解： （1）这次被调查的同学共有 816%50（人） ，a5040%20， m%8%， m8 故答案为：50，20，8； （2）扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为：360115.2； （3）950722（人） ， 答：估计全校学生平均每天的在线阅读时间不少于 50min 的有 722 人 【点评】本题考查了频数分布表
30、，扇形统计图，读懂统计图表，从不同的统计图表中得到必要的信息是 解决问题的关键也考查了利用样本估计总体 20 （6 分）为加快城乡对接，建设美丽乡村，某地区对 A、B 两地间的公路进行改建，如图，A，B 两地之 间有一座山汽车原来从 A 地到 B 地需途经 C 地沿折线 ACB 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 AB 行驶，已知 BC80 千米，A45，B30 （1）开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走多少千米？ （2）开通隧道后，汽车从 A 地到 B 地可以少走多少千米？（结果保留根号） 【分析】 （1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D，在直角ACD 中，解直角三角形求出
31、 CD，进而解答 即可； （2）在直角CBD 中，解直角三角形求出 BD，再求出 AD，进而求出汽车从 A 地到 B 地比原来少走多 少路程 【解答】解： （1）过点 C 作 AB 的垂线 CD，垂足为 D， ABCD，sin30，BC80 千米， CDBCsin308040（千米） ， AC40（千米） ， AC+BC80+40（千米） ， 答：开通隧道前，汽车从 A 地到 B 地要走（80+40）千米； （2）cos30，BC80（千米） ， BDBCcos3080（千米） ， tan45，CD40（千米） ， AD40（千米） ， ABAD+BD40+40（千米） ， 汽车从 A 地到
32、B 地比原来少走多少路程为：AC+BCAB80+40404040+40（） （千米） 答：汽车从 A 地到 B 地比原来少走的路程为40+40（）千米 【点评】本题考查了勾股定理的运用以及解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直 角三角形的问题，解决的方法就是作高线 21 （6 分）已知二次函数 yax2+bx+c（a0）的图象与 y 轴相交于点 A，y 与 x 的部分对应值如表（m 为 整数） ： x 0 m 2 y 3 4 3 （1）直接写出 m 的值和点 A 的坐标 （2）在给出的坐标系中画出该函数图象的草图 （3）过点 A 作直线 lx 轴，将抛物线在 y 轴左侧的部分沿
33、直线 l 翻折，抛物线的其余部分保持不变，得 到一个新图象请你结合新图象回答：当直线 yn 与新图象有两个公共点，则 n 的取值范围 【分析】 （1）根据抛物线的对称性求得 m，根据表中的数据特征得出 A 点坐标； （2）画出函数图象的草图即可； （3）观察图象，即可求得 n 的值 【解答】解： （1）根据抛物线的轴对称性可知：m1， 由表格知，图象过（0，3） 图象与 y 轴相交于 A 点， A（0，3） ； （2）画出该函数图象的草图如下， （3）由图象可知，直线 y4 与新图象有两个公共点，直线 y3 与新图象有两个公共点， 综上，n3 或 n4 【点评】 本题是一个二次函数的综合题，
34、主要考查了待定系数法， 二次函数的性质， 翻折的性质， 第 （3） 题关键找出关键点求出 n 的值 22 （6 分）生态公园计划在园内的坡地上造一片有 A，B 两种树的混合林，需要购买这两种树苗 2000 棵， 种植 A，B 两种树苗的相关信息如表 品种项目 单价（元/棵） 成活率 劳务费（元/棵） A 15 95% 3 B 20 99% 4 设购买 A 种树苗 x 棵，造这片林的总费用为 y 元，解答下列问题： （1）写出 y（元）与 x（棵）之间的函数关系式； （2）假设这批树苗种植后成活 1960 棵，则造成这片林的总费用需多少元？ 【分析】 （1）A 种树苗为 x 棵时，B 种树苗为（
35、2000 x）棵，根据题意容易写出函数关系式； （2）根据题意，成活 1960 棵，即 0.95x+0.99（2000 x）1960，可计算出此时 x 的值，再代入（1） 中的函数关系式中就可计算出总费用 【解答】解： （1）y（15+3）x+（20+4） （2000 x） ， 18x+4800024x， 6x+48000； （2）由题意，可得 0.95x+0.99（2000 x）1960， x500当 x500 时，y6500+4800045000， 造这片林的总费用需 45000 元 【点评】此题不难，关键要仔细审题，懂得把 B 种树苗用 A 种树苗为 x 表示出来，即（2000 x） 2
36、3 （6 分）为纪念建国 70 周年，某校举行班级歌咏比赛，歌曲有： 我爱你，中国 ， 歌唱祖国 ， 我和 我的祖国 （分别用字母 A，B，C 依次表示这三首歌曲） 比赛时，将 A，B，C 这三个字母分别写在 3 张无差别不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，八（1）班班长先从中随机抽取一张卡片， 放回后洗匀，再由八（2）班班长从中随机抽取一张卡片，进行歌咏比赛 （1）八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是 ； （2）试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概 率 【分析】 （1）直接根据概率公式计算可得； （2）画树状图得出所有等可能结果
37、，再从中找到符合条件的结果数，利用概率公式计算可得 【解答】解： （1）因为有 A，B，C3 种等可能结果， 所以八（1）班抽中歌曲我和我的祖国的概率是； 故答案为 （2）树状图如图所示： 共有 9 种可能，八（1）班和八（2）班抽中不同歌曲的概率 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从中选出 符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率 24 （8 分）如图，AB 是O 的一条弦，E 是 AB 的中点，过点 E 作 ECOA 于点 C，过点 B 作O 的切线 交 CE 的延长线于点 D （1）求证：DB
38、DE； （2）若 AB12，BD5，求O 的半径 【分析】 （1）欲证明 DBDE，只要证明DEBDBE； （2）作 DFAB 于 F，连接 OE只要证明AOEDEF，可得 sinDEFsinAOE，由 此求出 AO 即可解决问题 【解答】 （1）证明：AOOB， OABOBA， BD 是切线， OBBD， OBD90， OBE+EBD90， ECOA， CAE+CEA90， CEADEB， EBDBED， DBDE （2）作 DFAB 于 F，连接 OE DBDE，AEEB6， EFBE3，OEAB， 在 RtEDF 中，DEBD5，EF3， DF4， AOE+A90，DEF+A90， AO
39、EDEF， sinDEFsinAOE， AE6， AO O 的半径为 【点评】本题考查切线的性质、勾股定理、垂径定理、锐角三角函数、等腰三角形的性质等知识，解题 的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型 25 （10 分）在平面直角坐标系中，抛物线 yx26x+4 的顶点 M 在直线 L：ykx2 上 （1）求直线 L 的函数表达式； （2）现将抛物线沿该直线 L 方向进行平移，平移后的抛物线的顶点为 N，与 x 轴的右交点为 C，连接 NC，当 tanNCO2 时，求平移后的抛物线的解析式 【分析】 （1）由题目已给出的抛物线一般式 yx26x+4 直接化为顶点
40、式 y（x6）214 即可读 出顶点坐标 M（6，14） ，把顶点坐标代入直线 L 的解析式即可求出斜率 k2，进而写出直线 L 的解 析式； （2）在直线 L 上取一点 N，过 N 作 NEx 轴于点 E，构造NCO 即NCE，使得 tanNCE2， 则 NE2CE，设平移后的二次函数的顶点式为 y （xh）2+k，则 N 点坐标为（h，k） ，由 NE2CE 得，CE （k） ，则 C 点坐标可以表示为（h，0） ，又由 N 在直线 L 上，所以将 N（h，k） 代入 y6x2 得，k2h2，即平移后二次函数的顶点式可以为 y （xh） 22h2，把 C（h ，0）代入其中，即可求出 h3
41、 或 h1，因为当对称轴在 y 轴左侧时抛物线与 x 轴无交点，与 题意有又交点 C 不相符，则 h1 应舍去，h3，进而求得 k8将 h和 k代入平移后二次函数的 顶点式，再化为一般式即可 【解答】解： （1）抛物线 yx26x+4 所以 h6，k14 M 点的坐标为（6，14） 又M 在直线 L 上 把 M（6，14）代入 ykx2 中得，146k2 解得，k2 直线 L 的解析式为，y2x2 （2）如图，设 N（h，k） ，过 N 作 NEx 轴于点 E，连接 NC 由 tanNCO2 得，2，即 NE2CE C 点坐标为（hk，0） 又点 N（h，k）在直线 L 上 把 N（h，k）代
42、入 Ly2x2 得，k2h2 设平移后的抛物线顶点式为 y（xh）2+k 则把 k2h2 代入上式得，y（xh）22h2 且 hkh（2h2）2h+1 C（2h+1，0） 把 C（2h+1，0）代入 y（xh）22h2 得， 0（2h+1h）22h2 整理得，h22h30 解得，h1 或 h3 平移后的抛物线与 x 轴的右交点为 C， 抛物线的顶点必在 x 轴下方， k2h20， h1， h3 k2328 N 点坐标为（3，8） 平移后抛物线顶点式为，y（x3）28 展开得，yx23x 【点评】本题考查了二次函数的顶点式及顶点坐标公式与图象的平移，同时也考差了待定系数法在一次 函数的应用和锐角
43、三角函数的边比关系，综合性较强是一道典型好题 26 （12 分）平面上有三点 M、A、B，若 MAMB，则称点 A、B 为点 M 的等距点 问题探究： （1）如图，在ABC 中，ABAC，点 P 为 AB 上一点，试在 AC 上确定一点 Q，使点 P、 Q 为点 A 的等距点； （2）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 交于点 O，点 P 是 AD 边上一定点，试在 BC 边上找 点 Q，使点 P、Q 为点 O 的等距点，并说明理由 问题解决： （3）如图，在正方形 ABCD 中，AB1，点 P 是对角线 AC 上一动点，在边 CD 上是否存在点 Q，使 点 B、 Q 为点 P
44、的等距点， 同时使四边形 BCQP 的面积为正方形 ABCD 面积的一半？若存在这样的点 Q， 求出 CQ 的长；若不存在，说明理由 【分析】 （1）根据点 A、B 为点 M 的等距点的定义，截取即可； （2）证明APOCQO，根据全等三角形的性质解答； （3）连接 PB、PD，作 PMCD 于 M，在 CM 上截取 MQMD，根据题意列出方程，解方程即可 【解答】解： （1）如图，以 A 为圆心，AP 为半径作圆，交 AC 于点 Q， 则点 Q 即为所求； （2）延长 PO 与 BC 交于点 Q，则 OPOQ， 在APO 和CQO 中， ， APOCQO， OPOQ， 作 OMBC，截取 MQMQ， 连接 OQ，则 OQOQOP， P、Q、Q都为点 O 的等距离点； （3）连接 PB、PD，作 PMCD 于 M，在 CM 上截取 MQMD， 则 PBPD，PDPQ， 设 DMMQx， 由题意得，1（1x）xx2（1x）x（1x）2x， 整理得，x22x+0， 解得，x1，x2（舍去） ， 则 DM， CQ12DM1 【点评】本题考查的是正方形的性质、点 A、B 为点 M 的等距点的定义、全等三角形的判定和性质，正 确理解点 A、B 为点 M 的等距点的定义、掌握正方形的性质是解题的关键