1、第第 9 章章 整式乘法与因式分解（整式乘法与因式分解（1） 一、选择题一、选择题 1、在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题： 3x（2x2+3x1）6x39x2+， “”的地方被墨水弄污了，你认为“”内应填写（ ） A1 B1 C3x D3x 2、多项式 36a2bc48ab2c+24abc2的公因式是（ ） A12a2b2c2 B6abc C12abc D36a2b2c2 3、若代数式 x2mx+4 因式分解的结果是（x+2）2，则 m 的值是（ ） A4 B4 C2 D4 4、如图，现有正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，
2、如果要拼一个长为（a+3b） ，宽为（a+2b） 的大长方形，则需要 C 类卡片（ ） A3 张 B4 张 C5 张 D6 张 5、设 A（x3） （x7） ，B（x2） （x8） ，则 A、B 的大小关系为（ ） AAB BAB CAB D无法确定 6、用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为 x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为 36，中间空缺的小正方形的面积为 4，则下列关系式中不正确的是（ ） Ax+y6 Bxy2 Cxy8 Dx2+y236 7、 已知 a2019x+2018， b2019x+2019， c2019x+2020， 则代数式 a2+b2+c2abacbc
3、的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 8、已知 a2+ 4 1 b22ab2，则 3a 2 1 b 的值为（ ） A4 B2 C2 D4 9、设 a，b，c 是ABC的三条边，且 332222 aba babacbc，则这个三角形是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 10、已知图是长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，图是大长方形，且边 ABa+3b，将 7 张如图 的小长方形纸片不重叠地放在大长方形 ABCD 内， 如图所示， 未被覆盖两个长方形用阴影表示 设 左上角与右下角的阴影部分的面积差为 S， 若 BC 的长度变化时， S 始终保持不
4、变， 则 a， b 应满足 （ ） AA= 2 3 b Ba2b Ca4b Da3b 二、填空题二、填空题 11、因式分解（a+b）24ab 的结果是 12、 （ ）24x2y4； （a2b）2 （a2b）3 13、在括号内填入适当的整式： （2a+b） （ ）b24a2 14、若（x2x+m） （x8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为 15、若 2xy3，xy3，则 22 4yx_ 16、已知 22 254xkxyy是一个完全平方式，那么k的值是_ 17、若 xy3，xy2，则 x2+y2 18、甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时，甲看错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2
5、） ，乙看错了 b 的值， 分解的结果为（x8） （x+4） ，那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 19、已知 a2b2，则代数式 a（b2）b（a4）的值为 20、阅读以下内容： 2 (1)(1)1xxx， 23 111xxxx， 324 1 (1)1xxxxx ， 根据这一规律：计算： 2320192020 1+2+2 +2 +22 =_ 三、解答题三、解答题 21、 （1）计算： a5 （a）3+（2a2）4 223 )() 2 1 (4xyxyxy （4x3y）2 （2a+b） （2ab）+（a+2b）2 （2）先化简，再求值： )2( 2 1 )()( 2 yxxxyyxyx
6、，其中 x1， 5 1 y b（a3b）a（3a+2b）+（3ab） （2a3b）（3a） ，其中 a，b 满足 2a8b60 22、因式分解： （1）a3a； （2）4ab24a2bb3； （3）a2（xy）9b2（xy） ； （4） （y21）2+6 （1y2）+9 23、在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若 m2+2mn+2n26n+90求 m 和 n 的值 解：因为 m2+2mn+2n26n+9（m2+2mn+n2）+（n26n+9）（m+n）2+（n3）20 所以 m+n0，n30 即 m3n3 问题： （1）若 x2+2xy+2y24y+40，求 xy 的值 （2）若
7、a、b、c 是ABC 的长，满足 a2+b210a+8b41，c 是ABC 中最长边的边长， 且 c 为偶数，那么 c 可能是哪几个数？ 24、已知 ab1，a2+b213，求下列代数式的值： （1）ab； （2）a2b28 25、阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解 如 x24y22x4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、 后两部分分别分解因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式具体过程 如下：x24y22x4y(x24y2)(2x4y)(x2y)(x2y)2(x2y)(x
8、2y)(x2y2) 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x22xyy24： （2）已知ABC 的三边长 a、b、c 满足 a2abacbc0，判断ABC 的形状并说明理由 26、数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题 （1）请写出图 1，图 2，图 3 阴影部分的面积分别能解释的乘法公式 图 1 ， 图 2 ， 图 3 （2）用 4 个全等的长和宽分别为 a，b 的长方形拼摆成一个如图 4 的正方形，请你通过计算阴影部分的 面积，写出这三个代数式（a+b）2， （ab）2，ab
9、 之间的等量关系 （3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当 x+y3，xy10 时，求 xy 的值 第第 9 章章 整式乘法与因式分解（整式乘法与因式分解（1） （解析） （解析） 一、选择题一、选择题 1、在一次数学课上，学习了单项式乘多项式，小明回家后，拿出课堂笔记本复习，发现这样一道题： 3x（2x2+3x1）6x39x2+， “”的地方被墨水弄污了，你认为“”内应填写（ ） A1 B1 C3x D3x 【分析】单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项， 再把所得的积相加 【解答】解：3x（2x2+3x1）6x39x2+3x 故选：C 2、多项
10、式 36a2bc48ab2c+24abc2的公因式是（ ） A12a2b2c2 B6abc C12abc D36a2b2c2 【分析】 根据公因式的定义， 分别找出系数的最大公约数和相同字母的最低指数次幂， 乘积就是公因式 【解答】解：系数的最大公约数是 12，相同字母的最低指数次幂是 abc， 公因式为 12abc 故选：C 3、若代数式 x2mx+4 因式分解的结果是（x+2）2，则 m 的值是（ ） A4 B4 C2 D4 【分析】根据完全平方公式因式分解即可得结果 【解答】解：因为（x+2）2x2+4x+4 所以 m 的值为：4 故选：A 4、如图，现有正方形卡片 A 类，B 类和长方
11、形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为（a+3b） ，宽为（a+2b） 的大长方形，则需要 C 类卡片（ ） A3 张 B4 张 C5 张 D6 张 【分析】根据多项式与多项式相乘的法则求出长方形的面积，根据题意得到答案 【解答】解：（a+3b） （a+2b）a2+2ab+3ab+6b2a2+5ab+6b2， 需要 A 类卡片 1 张、B 类卡片 6 张、C 类卡片 5 张， 故选：C 5、设 A（x3） （x7） ，B（x2） （x8） ，则 A、B 的大小关系为（ ） AAB BAB CAB D无法确定 【分析】根据多项式乘以多项式的法则，先把 A、B 进行整理，然后比较即可得出答案 【解
12、答】解：A（x3） （x7）x210 x+21，B（x2） （x8）x210 x+16， ABx210 x+21（x210 x+16）50， AB； 故选：A 6、用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为 x、y）拼成如图所示的大正方形，已知大正方形的面积为 36，中间空缺的小正方形的面积为 4，则下列关系式中不正确的是（ ） Ax+y6 Bxy2 Cxy8 Dx2+y236 【分析】根据正方形的面积分别求出小正方形和大正方形的边长，然后结合图形列出关于 x、y 的方程， 求出 x、y 的值，分别计算即可得解 【解答】解：大正方形的面积为 36，中间空缺的小正方形的面积为 4， 大正方形的边长是
13、 6，中间空缺的小正方形的边长为 2， x+y6，xy2， （x+y）2x2+2xy+y236， （xy）2x22xy+y24， xy（x+y）2（xy）28，x2+y2（x+y）2+（xy）220， 关系式中不正确的是 x2+y236 故选：D 7、 已知 a2019x+2018， b2019x+2019， c2019x+2020， 则代数式 a2+b2+c2abacbc 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 【分析】首先把 a2+b2+c2abacbc 化为 2（a2+b2+c2abacbc）2，再应用完全平方公式，可 得：2（a2+b2+c2abacbc）2（ab）2+（bc）2+（c
14、a）22，然后把 a、b、c 的值代入，求出算式的值是多少即可 【解答】解：a2019x+2018，b2019x+2019，c2019x+2020， ab1，bc1，ca2， a2+b2+c2abacbc 2（a2+b2+c2abacbc）2 （ab）2+（bc）2+（ca）22 （1）2+（1）2+222 62 3 故选：D 8、已知 a2+ 4 1 b22ab2，则 3a 2 1 b 的值为（ ） A4 B2 C2 D4 【分析】先将原方程化成非负数和为 0 的形式，再根据非负数的性质求得 a、b，进而代入代数式求得结 果 【解答】解：a2+ 4 1 b22ab2， a22a+1+ 4 1
15、 b2+b+10， a10， 2 1 b+10，a1，b2， 3a- 2 1 b3+14 故选：A 9、设 a，b，c 是ABC的三条边，且 332222 aba babacbc，则这个三角形是( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形 【答案】【答案】D 【分析】把所给的等式能进行因式分解的要因式分解，整理为整理成多项式的乘积等于 0的形式，求出三 角形三边的关系，进而判断三角形的形状. 【解析】【解析】解：a3-b3=a2b-ab2+ac2-bc2，a3-b3-a2b+ab2-ac2+bc2=0， （a3-a2b）+（ab2-b3）-（ac2-bc2）=
16、0，a2（a-b）+b2（a-b）-c2（a-b）=0， （a-b） （a2+b2-c2）=0， 所以 a-b=0 或 a2+b2-c2=0所以 a=b 或 a2+b2=c2故选：D. 10、已知图是长为 a，宽为 b（ab）的小长方形纸片，图是大长方形，且边 ABa+3b，将 7 张如图 的小长方形纸片不重叠地放在大长方形 ABCD 内， 如图所示， 未被覆盖两个长方形用阴影表示 设 左上角与右下角的阴影部分的面积差为 S， 若 BC 的长度变化时， S 始终保持不变， 则 a， b 应满足 （ ） AA= 2 3 b Ba2b Ca4b Da3b 【分析】表示出左上角与右下角部分的面积，求
17、出之差，根据差与 BC 无关即可求出 a 与 b 的关系式 【解答】解：如图，左上角阴影部分的长为 AE，宽为 AF3b，右下角阴影部分的长为 PC，宽为 a， ADBC，即 AE+EDAE+a，BCBP+PC4b+PC， AE+a4b+PC，即 AEPC4ba， 阴影部分面积之差 SAEAFPCCG3bAEaPC3b（PC+4ba）aPC（3ba）PC+12b2 3ab， 则 3ba0，即 a3b 故选：D 二、填空题二、填空题 11、因式分解（a+b）24ab 的结果是 【分析】直接去括号再合并同类项，再利用完全平方公式分解因式即可 【解答】解： （a+b）24ab a2+b2+2ab4a
18、b a2+b22ab （ab）2 故答案为： （ab）2 12、 （ ）24x2y4； （a2b）2 （a2b）3 【分析】根据单项式乘单项式和幂的乘方与积的乘方的法则分别进行计算，即可得出答案 【解析】 （2xy2）24x2y4； （a2b）2 （a2b）3a4b2a6b3a10b5； 故答案为：2xy2；a10b5 13、在括号内填入适当的整式： （2a+b） （ ）b24a2 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可 【解答】解： （2a+b） （b2a）b24a2故答案为：b2a 14、若（x2x+m） （x8）中不含 x 的一次项，则 m 的值为 【分析】首先利用多项式乘法法则计算出
19、（x2x+m） （x8） ，再根据积不含 x 的一次项，可得含 x 的 一次项的系数等于零，即可求出 m的值 【解答】解： （x2x+m） （x8） x38x2x2+8x+mx8m x39x2+（8+m）x8m， 不含 x 的一次项， 8+m0， 解得：m8 故答案为8 15、若 2xy3，xy3，则 22 4yx_ 【答案】【答案】21 【分析】首先将已知条件平方，进而将已知代入求出答案 【详解】解：2xy3， 2 22 2494xyxxyy， xy3； 22 4yx9+4xy21； 故答案为：21 16、已知 22 254xkxyy是一个完全平方式，那么k的值是_ 【答案】【答案】20 【
20、分析】利用完全平方式的特征（形如 22 2aabb的式子即为完全平方式）即可确定 k 的值. 【详解】解：因为 22 254xkxyy是一个完全平方式， 所以 2 2222 2545225204xkxyyxyxxyy，即 k=20； 2 2222 2545225204xkxyyxyxxyy，即 k=-20； 所以 k 的值是20故答案为：20 17、若 xy3，xy2，则 x2+y2 【分析】利用完全平方公式可以求出 x2+y2的值 【解答】解：xy3，（xy）29，x2+y22xy9， xy2，x2+y2229，x2+y213，故答案为：13 18、甲乙两人完成因式分解 x2+ax+b 时，
21、甲看错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2） ，乙看错了 b 的值， 分解的结果为（x8） （x+4） ，那么 x2+ax+b 分解因式正确的结果为 【分析】根据甲、乙看错的情况下得出 a、b 的值，进而再利用十字相乘法分解因式即可 【解析】因式分解 x2+ax+b 时， 甲看错了 a 的值，分解的结果是（x+6） （x2） ， b6（2）12， 又乙看错了 b 的值，分解的结果为（x8） （x+4） ， a8+44， 原二次三项式为 x24x12， 因此，x24x12（x6） （x+2） ， 故答案为： （x6） （x+2） 19、已知 a2b2，则代数式 a（b2）b（a4）的值为
22、 【分析】直接利用单项式乘多项式计算，再把已知代入得出答案 【解析】a（b2）b（a4） ab2aab+4b 2a+4b 2（a2b） ， a2b2， 原式2（2）4 故答案为：4 20、阅读以下内容： 2 (1)(1)1xxx， 23 111xxxx， 324 1 (1)1xxxxx ， 根据这一规律：计算： 2320192020 1+2+2 +2 +22 =_ 【答案】【答案】-1 【分析】根据题意可得出规律 11 1 (1)1 nnn xxxxx，利用规律对 2320192020 1+2+2 +2 +22 进行变形，从而求出结果. 【详解】解：原式= 2320192020 2 1 1+2
23、+2 +2 +22= 20202020 21 2 =-1，故答案为：-1. 三、解答题三、解答题 21、 （1）计算： a5 （a）3+（2a2）4 223 )() 2 1 (4xyxyxy （4x3y）2 （2a+b） （2ab）+（a+2b）2 （2）先化简，再求值： )2( 2 1 )()( 2 yxxxyyxyx，其中 x1， 5 1 y b（a3b）a（3a+2b）+（3ab） （2a3b）（3a） ，其中 a，b 满足 2a8b60 【分析】 （1）原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，合并即可得到结果； 原式利用幂的乘方与积的乘方运算法则计算，再利用单项式乘除单项式法则计算即可
24、求出值； 原式利用完全平方公式计算即可求出值； 原式利用平方差公式及完全平方公式计算即可求出值； （2）原式利用完全平方公式，平方差公式，以及单项式乘多项式法则计算得到最简结果，把 x 与 y 的值代入计算即可求出值； 原式中括号中利用单项式乘多项式，多项式乘多项式法则计算，再利用多项式除以单项式法则计 算得到最简结果，把已知等式变形后代入计算即可求出值 【解答】解： （1）原式a8+16a815a8； 原式4xy3 （ 2 1 xy）x2y42x2y4x2y42； 原式16x2+24xy+9y2； 原式4a2b2+a2+4ab+4b25a2+4ab+3b2； （2）原式x2+2xy+y2y2
25、+x2x2+ 2 1 xyx2+ 2 5 xy， 当 x1，y= 5 1 时，原式1 2 1 2 1 ； 原式（ab3b23a22ab+6a29ab2ab+3b2）（3a） （3a212ab）（3a） a+4b （a4b） ， 由 2a8b60，得到 a4b3， 则原式3 22、因式分解： （1）a3a； （2）4ab24a2bb3； （3）a2（xy）9b2（xy） ； （4） （y21）2+6 （1y2）+9 【分析】 （1）直接提取公因式 a，进而利用平方差公式分解因式得出答案； （2）直接提取公因式b，进而利用完全平方公式分解因式即可； （3）直接提取公因式（xy） ，进而利用平方差公
26、式分解因式得出答案； （4）直接利用完全平方公式分解因式，再利用平方差公式分解因式即可 【解答】解： （1）a3aa（a21）a（a+1） （a1） ； （2）4ab24a2bb3b（4ab+4a2+b2）b（2ab）2； （3）a2（xy）9b2（xy）（xy） （a29b2）（xy） （a+3b） （a3b） ； （4） （y21）2+6 （1y2）+9（y21）26 （y21）+9 （y213）2 （y+2）2（y2）2 23、在理解例题的基础上，完成下列两个问题： 例题：若 m2+2mn+2n26n+90求 m 和 n 的值 解：因为 m2+2mn+2n26n+9（m2+2mn+n2）
27、+（n26n+9）（m+n）2+（n3）20 所以 m+n0，n30 即 m3n3 问题： （1）若 x2+2xy+2y24y+40，求 xy 的值 （2）若 a、b、c 是ABC 的长，满足 a2+b210a+8b41，c 是ABC 中最长边的边长， 且 c 为偶数，那么 c 可能是哪几个数？ 【分析】 （1）根据题目中的例题的解答方法可以求得 x、y 的值，从而可以求得 xy 的值； （2）根据非负数的性质和三角形两边之和大于第三边，可以求得长的取值范围，由 c 是ABC 中最 长边的边长，且 c 为偶数，从而可以得到 c 的值 【答案】解： （1）x2+2xy+2y24y+40， x2+
28、2xy+2y24y+4x2+2xy+y2+y24y+4（x+y）2+（y2）20， x+y0，y20， 解得，x2，y2， xy（2）24； （2）a2+b210a+8b41， a2+b210a8b+410， （a5）2+（b4）20， a50，b40， 解得，a5，b4， ABC 中最长边的边长，且 c 为偶数， 5c5+4， 即 5c9， c6 或 c8， 即 c 可能是 6 或 8 24、已知 ab1，a2+b213，求下列代数式的值： （1）ab； （2）a2b28 【分析】 （1）由（ab）2a2+b22ab 及已知条件可求得答案； （2） （a+b）2a2+b2+2ab 及已知条件
29、可求得 a+b 的值，进而得出 a2b28 的值即可 【解答】解： （1）ab1， （ab）2 a2+b22ab 1， a2+b213， 132ab1， ab6； （2）a2+b213，ab6， （a+b）2 a2+b2+2ab 13+12 25， a+b5 或5， a2b28（a+b） （ab）8， 当 a+b5 时， （a+b）83； 当 a+b5 时， （a+b）85813 25、阅读下面的材料： 常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法等，但有的多项式只用上述方法无法分解 如 x24y22x4y，细心观察这个式子，会发现前两项符合平方差公式，后两项可提取公园式，前、 后两部分分别分解
30、因式后又出现新的公因式，提取公因式就可以完成整个式子的分解因式具体过程 如下：x24y22x4y(x24y2)(2x4y)(x2y)(x2y)2(x2y)(x2y)(x2y2) 像这种将一个多项式适当分组后，进行分解因式的方法叫做分组分解法 利用分组分解法解决下面的问题： （1）分解因式：x22xyy24： （2）已知ABC 的三边长 a、b、c 满足 a2abacbc0，判断ABC 的形状并说明理由 【答案】【答案】(1) (2)(2)xyxy；(2)等腰三角形，理由见解析 【分析】(1)前三项符合完全平方公式，再和最后一项应用平方差公式分解因式即可 (2)前两项、 后两项均可提取公因式，
31、前、 后两部分分别因式分解后又出现新的公因式， 据此把 a2-ab-ac+bc 分解因式，进而判断出ABC 的形状即可 【解析】【解析】解：(1)原式 22 ()2(2)(2)xyxyxy，故答案为( 2)(2)xyxy (2) 2 0aabacbc ()0)a abc ab ，()0()ab ac， ()=0ab或()=0ac，ab或ac， ABC 为等腰三角形故答案为等腰三角形 26、数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图的直观性，可以帮助理解数学问题 （1）请写出图 1，图 2，图 3 阴影部分的面积分别能解释的乘法公式 图 1 ， 图 2 ， 图 3 （2）用 4 个全等的
32、长和宽分别为 a，b 的长方形拼摆成一个如图 4 的正方形，请你通过计算阴影部分的 面积，写出这三个代数式（a+b）2， （ab）2，ab 之间的等量关系 （3）根据（2）中你探索发现的结论，计算：当 x+y3，xy10 时，求 xy 的值 【分析】根据正方形得面积计算公式，解决问题 【解答】解： （1）图 1、 图 2、 图 3、 （2）由题意可知，阴影部分的面积大正方形面积4小长方形面积， 大正方边长为（a+b） ，面积为（a+b）2，小长方形长为 a，宽为 b，面积为 ab， 则 a2+2ab+b24ab a22ab+b2 （ab）2， （ab）2（a+b）24ab （3）由（xy）2（x+y）24xy， （xy）2324（10）49， xy7