1、第第 17 章勾股定理期末复习综合提升训练章勾股定理期末复习综合提升训练 1（附答案）（附答案） 1如图，在 RtABC 中，ACB90，BC3，AB5，角平分线 CD 交 AB 于点 D，则点 D 到 AC 的距 离是（ ） A B2 C D3 2已知三角形的三边长分别为 a，b，c，且 a+b10，ab18，c8，则该三角形的形状是（ ） A等腰三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 3 九章算术是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地”问题： “今有竹高丈，末折抵地，问 折者高几何？“意思是：一根竹子，原来高一丈（一丈为十尺） ，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢 恰
2、好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？（ ） A4 尺 B4.55 尺 C5 尺 D5.55 尺 4已知 a，b，c 是ABC 的三条边，满足下列条件的ABC 中，不是直角三角形的是（ ） Ab2c2a2 BA：B：C3：4：5 CCAB Da：b：c5：12：13 5一架长 10m 的梯子斜靠在墙上，梯子底端到墙的距离为 6m若梯子顶端下滑 1m，那么梯子底端在水平 方向上滑动了（ ） A1m B小于 1m C大于 1m D无法确定 6已知ABC 中，AB10，AC17，BC 边上的高 AD8，则ABC 的面积为（ ） A168 B84 C84 或 36 D168 或 7
3、2 7如图，正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的，若 CF5，AB13，则 EF 的长为 8在 RtABC 中，C90，若 a6，b8，则斜边 c 上的高 h 9如图，ABC 中，C90，BC，AB10，D 在边 AC 上，且 CD2AD （1）D 点到 AB 的距离为 ； （2）若 M、N 两点都在边 AB 上，DMN 是等腰三角形，且DMNBDC，则 MN 长为 10ABC 中，ABAC6，BAC120，P 是 BC 上的动点，Q 是 AC 上的动点（Q 不与 A，C 重合） （1）线段 PA 的最小值为 ； （2）当ABP 为直角三角形时，PCQ 也为直角三角形时，则 CQ
4、的长度为 11如图，在ABC 中，BC5，AC6，AB7，则ABC 的面积 SABC 12如图，点 D 在ABC 的边 AB 上，ACB90，A2BCD，BC20，BD8，则ABC 的周长 为 13如图，在四边形 ABCD 中，B90，AB3，BC6，点 E 在 BC 上，AEDE且 AEDE，若 EC 1则 CD 14如图，在 RtABC 中，ACB90，点 D 在 AB 的延长线上，BDBC，AE 平分BAC 交 CD 于点 E，若 AE5，则点 A 到直线 CD 的距离 AH 为 15如图，在直线 l 上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为 1.0，1.21，1.44
5、，正 放置的四个正方形的面积为 S1、S2、S3、S4，则 S1+S4 16如图，四个全等的直角三角形围成一个大正方形 ABCD，中间阴影的部分是一个小正方形 EFGH，这样 就组成了一个“赵爽弦图” 若 AB13，AE12，则正方形 EFGH 的面积为 17如图，RtABC 中，ACB90，CD 是 AB 边上的高，AC8，BC6，则 AD 18如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，BDEC90，AB8cm，AD24 cm，BC26cm，点 P 从点 A 出发，以 1cm/s 的速度向点 D 运动；点 Q 从点 C 同时出发，以 3cm/s 的速度向点 B 运动规定 其中一个动点到达端点时
6、，另一个动点也随之停止运动若过点 P 作 PFBC 于 F，从运动开始算，运 动到第 秒时，DECPFQ 19将一根 24cm 的筷子，置于底面直径为 5cm、高为 12cm 的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长 为 hcm，则 h 的最小值 ，h 的最大值 20如图，四边形 ABCD 中，C90，AD13，AB2，BC9，DC12，则四边形 ABCD 的面 积为 21如图，ABC 中，ABBC，BEAC 于点 E，ADBC 于点 D，BAD45，AD 与 BE 交于点 F， 连接 CF （1）求证：BF2AE； （2）若 CD2，求 AD 的长 22四边形 ABCD 中，AB12，BC3
7、，CD4，AD13，C90 （1）求证：ABD90； （2）求四边形 ABCD 的面积 23为了绿化环境，我县某中学有一块四边形的空地 ABCD，如图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测 量，ADC90，CD3 米，AD4 米，AB13 米，BC12 米 （1）求出空地 ABCD 的面积 （2）若每种植 1 平方米草皮需要 300 元，问总共需投入多少元？ 24如图，学校有一块三角形空地 ABC，计划将这块三角形空地分割成四边形 ABDE 和EDC，分别摆放 “秋海棠”和“天竺葵”两种不同的花卉经测量，EDC90，DC6m，CE10m，BD14m， AB16m，AE2m （1）求 DE 的长；
8、 （2）求四边形 ABDE 的面积 25如图，已知ABC 中，ACB90，过点 B 作 BDAC，交ACB 的平分线 CD 于点 D，CD 交 AB 于点 E （1）求证：BCBD； （2）若 AC3，AB6，求 CD 的长 26如图，ABC 中，ACB90，AB5cm，BC3cm，若点 P 从点 A 出发，以每秒 2cm 的速度沿折 线 ACBA 运动，设运动时间为 t 秒（t0） （1）若点 P 在 AC 上，且满足 PAPB 时，求出此时 t 的值； （2）若点 P 恰好在BAC 的角平分线上，求 t 的值； （3）在运动过程中，直接写出当 t 为何值时，BCP 为等腰三角形 27如图，
9、已知在ABC 中，CDAB 于 D，BD9，BC15，AC20 （1）求 CD 的长； （2）求 AB 的长； （3）判断ABC 的形状 参考答案参考答案 1解：作 DEAC 于 E，作 DFBC 于 F， 在 RtACB 中，AC4， CD 是角平分线， DEDF， ACDE+BCDFACBC，即4DE+3DE43， 解得 DE 故点 D 到 AC 的距离是 故选：A 2解：c8， c264， （a+b）22ab 10036 64， a2+b2c2， 此三角形是直角三角形 故选：B 3解：设竹子折断处离地面 x 尺，则斜边为（10 x）尺， 根据勾股定理得：x2+32（10 x）2 解得：x
10、4.55 答：原处还有 4.55 尺高的竹子 故选：B 4解：A、b2c2a2， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、A+B+C180，A：B：C3：4：5， 最大角C18075，此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； C、ABC， B+CA， A+B+C180， A90，此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； D、a：b：c5：12：13， 设 a5k，b12k，c13k， a2+b2（5k）2+（12k）2（13k）2c2， 此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； 故选：B 5解：在ABC 中，ACB90，AB10 米，BC6 米，由勾股定理得 AC8 米， A1B
11、C1中，C90，A1B110 米，A1C7 米，由勾股定理得 B1C米， BB1B1CBC（6）米 ， 61， 梯子底端在水平方向上滑动了小于 1m， 故选：C 6解：在直角三角形 ABD 中，根据勾股定理，得 BD15， 在直角三角形 ACD 中，根据勾股定理，得 CD6 当 AD 在三角形的内部时，BC15+621， 所以ABC 的面积为21884； 当 AD 在三角形的外部时，BC1569， 所以ABC 的面积为9836 故选：C 7解：如图， 正方形 ABCD 是由四个全等的直角三角形围成的， AHBECGDF，AEBGCFDH， EGGFGHHE， 四边形 EGFH 为菱形， ABE
12、 为直角三角形， AEBGEH90， 四边形 EGFH 为正方形， 四边形 ABCD 为正方形， CDAB13， 在 RtCDF 中，DFC90，CF5， 根据勾股定理得，DF12， GFDFDHGCFC7， 在GEF 中，GEGF7，EGF90， 根据勾股定理得，EF7 故答案为：7 8解：C90，若 a6，b8， c10， 而 SABCab6824， 斜边 c 上的高 h， SABCch， 2410h， h 故答案为： 9解： （1）过 D 作 DFAB 于 F， D 到 AB 的距离为 DF， C90，BC，AB10， ，sinA， CD2AD， CD2，AD， 故答案为：1； （2）若
13、以 DM，DN 为腰， DMNBDC， DMN 是等腰三角形，DFMN， DF 平分 MN， MN2MF4， 若以 DM，MN 为腰， BD， DFMN， MNDM， 当 NDNM 时，MNDM1.25， 综上所述，MN 长为 1.25 或 4 或 故答案为： （1）1； （2）1.25 或 4 或 10解： （1）作 APBC 于 P， ABC 中，ABAC6，BAC120， BC30， 由垂线段最短可知，线段 PA 的最小值为AB3 故答案为：3； （2）如，APB90，PQC90时， AQAP1.5， CQ61.54.5； 如，BAP90，QPC90时， BP2AP2AB2，即 BP2（
14、BP）262， 解得 BP4（负值舍去） ， 由勾股定理得 BP3， BC6， CP2， 由勾股定理得 CQ4（负值舍去） ； BAP90，PQC90时， CP2， 由勾股定理得 CQ3（负值舍去） 综上所述，CQ 的长度为 4.5 或 4 或 3 故答案为：4.5 或 4 或 3 11解：过点 C 作 CDAB 于点 D，设 BDx，则 AD7x， 在 RtACD 中，CD， 在 RtBCD 中，CD， ， 解得：x， CDCD， SABCABCD76 故答案为：6 12解：设DCB，则CAB2， 则ACDACBDCB90， CBA180ACBCAB902， 又CDADCB+DBC902+9
15、0， ACDCDA90， ACAD， 设 ACx，则 ADACx， AC2+BC2AB2， x2+202（8+x）2， x2+40064+16x+x2， x21， ABC 的周长AC+CB+AD+DB21+20+8+2170 故答案为：70 13解：过点 D 作 DFBC，交 BC 延长线于点 F， 由题意得，BEBCEC5， B90， BAE+AEB90， AEDE， AEB+DEC90， BAEDEC， AEDE，BDFE90， ABEEFD（AAS） ， EFAB3，DFBE5， CFEFCE2， DFC90， DC 故答案为： 14解：BCBD， DBCD， AHDH， HACB90，
16、 ACH+HAC90，ACH+BCD90， HACBCDD， AE 平分CAB， EACEAD， HAEHAC+EAC，AEHD+EAD， HAEAEH， HAHE， AE5， AHHEAE5， 故答案为：5 15解：由勾股定理的几何意义可知：S1+S21，S2+S31.21，S3+S41.44， S1+S41.23 故填：1.23 16解：直角三角形直角边的较短边为， 正方形 EFGH 的面积1313416912049 故答案为：49 17解：AC8，BC6， AB10， SABC6810CD， CD 在 RtACD 中，AD， 故答案为： 18解：ADBC，BDEC90，A180B90，A
17、DEDEC90， ABADE90， 四边形 ABED 是矩形， BEAD24cm，BC26cm， ECBCBE2cm DEC90，PFBC 于 F，ADBC， DEPF，DECPFQ90， 当 ECFQ2cm 时DECPFQ 设运动时间为 t 秒， 点 P 从点 A 出发， 以 1cm/s 的速度向点 D 运动； 点 Q 从点 C 同时出发， 以 3cm/s 的速度向点 B 运动 规 定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动， BFAPt，CQ3t，0t 分两种情况： Q 在 F 的右边时， BF+FQ+CQBC， t+2+3t26， t6，符合题意； Q 在 F 的左边时， BFF
18、Q+CQBC， t2+3t26， t7，符合题意； 综上，从运动开始算，运动到第 6 或 7 秒时，DECPFQ 故答案为：6 或 7 19解：当筷子与杯底垂直时 h 最大，h最大241212（cm） 当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时 h 最小， 此时，在杯子内部分13（cm） ， 故 h241311（cm） 故 h 的取值范围是 11h12 故答案为：11cm；12cm 20解：连接 BD， C90，BC9，DC12， BD15， AB2+AD2（2）2+13256+169225DB2， ABD 是直角三角形，且A90， 四边形 ABCD 的面积为：ABAD+CBCD213+91213+5
19、4， 故答案为：13+54 21 （1）证明：ADBC，BAD45， ABD 是等腰直角三角形， ADBD， BEAC，ADBC， CAD+ACD90， CBE+ACD90， CADCBE， 在ADC 和BDF 中， ， ADCBDF（ASA） ， BFAC， ABBC，BEAC， AC2AE， BF2AE； （2）解：ADCBDF， DFCD2， 在 RtCDF 中，CF2， BEAC，AEEC， AFCF2， ADAF+DF2+2 22解： （1）C90，BC3，CD4， BD5， 在ABD 中，AB2+BD2122+52144+25169AD2， ABD 是直角三角形，ABD90； （2
20、）由图形可知：S四边形ABCDSABD+SBCD ABBD+BCCD125+3430+636 23解： （1）连接 AC， 在 RtACD 中，AC2CD2+AD232+4252， 在ABC 中，AB2132，BC2122， 而 52+122132， 即 AC2+BC2AB2， ACB90， S四边形ABCDSACBSACDCBCADCD 5124324（m2） （2）需费用 243007200（元） ， 答：总共需投入 7200 元 24解： （1）在 RtEDC 中，EDC90，DC6m，CE10m， m； （2）如图，连接 BE， 在 RtEBD 中，BD14m，ED8m， BE2BD2
21、+ED2142+82260， AB16m，AE2m， AB2+AE2162+22260， AB2+AE2BE2， ABE 是直角三角形，A90， SABE16216（m2） 又SBDE14856（m2） 四边形 ABDE 的面积SABE+SBDE72（m2） 25 （1）证明：ACB90，CD 平分ACB， BCDACDACB9045， BDAC， DACD45， DBCD， BCBD； （2）解：在 RtACB 中，BC3， BD3， BCDD45， CBD90， CD3 26解： （1）设存在点 P，使得 PAPB， 此时 PAPB2t，PC42t， 在 RtPCB 中，PC2+CB2PB
22、2， 即： （42t）2+32（2t）2， 解得：t， 当 t时，PAPB； （2）当点 P 在BAC 的平分线上时，如图 1，过点 P 作 PEAB 于点 E， 此时 BP72t，PEPC2t4，BE541， 在 RtBEP 中，PE2+BE2BP2， 即： （2t4）2+12（72t）2， 解得：t， 当 t6 时，点 P 与 A 重合，也符合条件， 当或 6 时，P 在ABC 的角平分线上； （3）在 RtABC 中，AB5cm，BC3cm， AC4cm， 根据题意得：AP2t， 当 P 在 AC 上时，BCP 为等腰三角形， PCBC，即 42t3， t， 当 P 在 AB 上时，BC
23、P 为等腰三角形， CPPB，点 P 在 BC 的垂直平分线上， 如图 2，过 P 作 PEBC 于 E， BEBC， PBAB，即 2t34，解得：t， PBBC，即 2t343， 解得：t5， PCBC，如图 3，过 C 作 CFAB 于 F， BFBP， ACB90， 由射影定理得；BC2BFAB， 即 325， 解得：t， 当时，BCP 为等腰三角形 27解： （1）在BCD 中，因为 CDAB， 所以 BD2+CD2BC2 所以 CD2BC2BD215292144 所以 CD12 （2）在ACD 中，因为 CDAB， 所以 CD2+AD2AC2 所以 AD2AC2CD2202122256 所以 AD16 所以 ABAD+BD16+925 （3）因为 BC2+AC2152+202625，AB2252625， 所以 AB2BC2+AC2 所以ABC 是直角三角形